廣東省高考數(shù)學(xué) 2.7冪 函 數(shù)配套課件 理 新人教A版.ppt

第七節(jié)冪函數(shù) 三年1考高考指數(shù) 1 了解冪函數(shù)的概念 2 結(jié)合冪函數(shù)y x y x2 y x3 y y 的圖象 了解它們的變化情況 1 高考主要考查冪函數(shù)的概念 圖象與性質(zhì) 單獨(dú)考查的頻率較低 2 常與函數(shù)的性質(zhì)及二次函數(shù) 指數(shù)函數(shù) 對(duì)數(shù)函數(shù)等知識(shí)交匯命題 3 題型多以選擇題 填空題的形式出現(xiàn) 屬低中檔題 1 冪函數(shù)的概念 1 解析式 2 自變量 3 冪指數(shù) 4 冪的系數(shù) y x x 1 即時(shí)應(yīng)用 1 判斷下列函數(shù)是否是冪函數(shù) 請(qǐng)?jiān)诶ㄌ?hào)內(nèi)填是或否 y y 2 x 1 y x 1 2 y 2 已知點(diǎn)在冪函數(shù)f x 的圖象上 則f x 的表達(dá)式為 解析 2 設(shè)f x x r 則即 答案 1 是 否 否 是 2 f x 2 冪函數(shù)的圖象冪函數(shù)y x y y x2 y x 1 y x3的圖象如下 即時(shí)應(yīng)用 1 判斷下列命題是否正確 請(qǐng)?jiān)诶ㄌ?hào)內(nèi)填 或 冪函數(shù)的圖象都經(jīng)過點(diǎn) 1 1 和點(diǎn) 0 0 冪函數(shù)的圖象不可能在第四象限 n 0時(shí) 函數(shù)y xn的圖象是一條直線 冪函數(shù)y xn 當(dāng)n 0時(shí)是增函數(shù) 冪函數(shù)y xn 當(dāng)n 0時(shí) 在第一象限內(nèi)函數(shù)值隨x值的增大而減小 2 圖中所示曲線為冪函數(shù)y xn在第一象限的圖象 則c1 c2 c3 c4的大小關(guān)系是 解析 1 當(dāng) 0時(shí) 冪函數(shù)不過點(diǎn) 0 0 故 錯(cuò) 正確 當(dāng)x 0時(shí)無意義 所以 錯(cuò) 當(dāng)n 2時(shí) 函數(shù)在定義域上不單調(diào) 所以 錯(cuò) 正確 2 由冪函數(shù)的圖象特點(diǎn)知 當(dāng)自變量x 1時(shí) 冪指數(shù)大的函數(shù)值較大 故有c1 c2 c4 c3 答案 1 2 c1 c2 c4 c3 3 冪函數(shù)y x y x2 y x3 y y x 1的性質(zhì) r r r 0 r 0 r 0 奇 偶 奇 非奇非偶 奇 增 增 增 1 1 即時(shí)應(yīng)用 1 判斷下列函數(shù)在 0 上是否是單調(diào)遞減的函數(shù) 請(qǐng)?jiān)诶ㄌ?hào)中填是或否 f x x 2 f x x 1 f x f x x3 2 設(shè) 1 1 3 則使函數(shù)y x 的定義域?yàn)閞且為奇函數(shù)的所有 值為 解析 1 結(jié)合各函數(shù)的簡(jiǎn)圖可知 在 0 上單調(diào)遞減 2 經(jīng)驗(yàn)證知1 3符合 答案 1 否 是 否 否 2 1 3 冪函數(shù)概念的應(yīng)用 方法點(diǎn)睛 1 冪函數(shù)解析式y(tǒng) x 為常數(shù) 的結(jié)構(gòu)特征 1 指數(shù)為常數(shù) 2 底數(shù)為自變量x 3 冪系數(shù)為1 2 判定及應(yīng)用冪函數(shù)的方法要判斷一個(gè)函數(shù)是否為冪函數(shù) 只需判斷該函數(shù)的解析式是否滿足1中的三個(gè)特征 提醒 區(qū)分冪函數(shù)與指數(shù)函數(shù)的關(guān)鍵是自變量的位置在底數(shù)上還是在指數(shù)上 例1 已知函數(shù)f x m2 m 1 x 5m 3 m為何值時(shí) f x 1 是冪函數(shù) 2 是冪函數(shù) 且是 0 上的增函數(shù) 3 是正比例函數(shù) 4 是反比例函數(shù) 解題指南 利用冪函數(shù)必須滿足的三個(gè)特征 構(gòu)建關(guān)于m的式子求解 1 2 利用正比例函數(shù) 反比例函數(shù)的定義 構(gòu)建關(guān)于m的方程 求解 3 4 規(guī)范解答 1 f x 是冪函數(shù) 故m2 m 1 1 即m2 m 2 0 解得m 2或m 1 2 若f x 是冪函數(shù) 且又是 0 上的增函數(shù) 則 3 若f x 是正比例函數(shù) 則 5m 3 1 解得m 此時(shí)m2 m 1 0 故m 4 若f x 是反比例函數(shù) 則 5m 3 1 則m 此時(shí)m2 m 1 0 故m 互動(dòng)探究 若本例中的函數(shù)f x 為二次函數(shù) 則m為何值 解析 若f x 是二次函數(shù) 則 5m 3 2 即m 1 此時(shí)m2 m 1 0 故m 1 反思 感悟 冪函數(shù)y x r 其中 為常數(shù) 其本質(zhì)特征是以冪的底x為自變量 指數(shù) 為常數(shù) 這是判斷一個(gè)函數(shù)是否是冪函數(shù)的重要依據(jù)和唯一標(biāo)準(zhǔn) 應(yīng)當(dāng)注意并不是任意的一次函數(shù) 二次函數(shù)都是冪函數(shù) 如y x 1 y x2 2x等都不是冪函數(shù) 變式備選 已知f x m2 2m xm2 m 1 m為何值時(shí) f x 是 1 正比例函數(shù) 2 反比例函數(shù) 3 二次函數(shù) 4 冪函數(shù) 解析 1 若f x m2 2m xm2 m 1為正比例函數(shù) 則解之得 m 1 2 若f x m2 2m xm2 m 1為反比例函數(shù) 則解之得 m 1 3 若f x m2 2m xm2 m 1為二次函數(shù) 則解之得 m 4 若f x m2 2m xm2 m 1為冪函數(shù) 則m2 2m 1 解之得 m 冪函數(shù)的圖象與應(yīng)用 方法點(diǎn)睛 冪函數(shù)y x 圖象的特征 1 的正負(fù) 0時(shí) 圖象過原點(diǎn)和 1 1 在第一象限的圖象上升 0時(shí) 圖象不過原點(diǎn) 在第一象限的圖象下降 反之也成立 2 曲線在第一象限的凹凸性 1時(shí) 曲線下凸 0 1時(shí) 曲線上凸 0時(shí) 曲線下凸 3 冪函數(shù)的圖象最多只能出現(xiàn)在兩個(gè)象限內(nèi) 4 如果冪函數(shù)的圖象與坐標(biāo)軸相交 則交點(diǎn)一定是原點(diǎn) 例2 若點(diǎn)在冪函數(shù)f x 的圖象上 點(diǎn)在冪函數(shù)g x 的圖象上 定義h x 試求函數(shù)h x 的最大值以及單調(diào)區(qū)間 解題指南 本題是求函數(shù)h x 的最大值以及單調(diào)區(qū)間 只需作出其圖象 數(shù)形結(jié)合求解即可 但由于在條件中已知函數(shù)h x 在相應(yīng)段上的解析式 所以 在求解方法上 應(yīng)在每一段上求最大值及函數(shù)的單調(diào)區(qū)間 同時(shí)要注意函數(shù)端點(diǎn)值 規(guī)范解答 設(shè)冪函數(shù)為f x x 因?yàn)辄c(diǎn)在f x 的圖象上 所以所以 2 即f x x2 又設(shè)g x x 點(diǎn)在g x 的圖象上 所以 所以 2 即g x x 2 在同一直角坐標(biāo)系中畫出函數(shù)f x 與g x 的圖象 如圖所示 則有 根據(jù)圖象可知 函數(shù)的最大值等于1 單調(diào)遞增區(qū)間是 1 和 0 1 單調(diào)遞減區(qū)間是 1 0 和 1 反思 感悟 解決與冪函數(shù)圖象有關(guān)的問題 常利用其單調(diào)性 奇偶性 最值 值域 等性質(zhì)去確認(rèn)與應(yīng)用 而與冪函數(shù)有關(guān)的函數(shù)的性質(zhì)的研究 常利用其相應(yīng)冪函數(shù)的圖象 數(shù)形結(jié)合求解 變式訓(xùn)練 冪函數(shù)y xm2 4m m z 的圖象如圖所示 則m的值為 a 0 b 1 c 2 d 3 解析 選c y xm2 4m m z 的圖象與坐標(biāo)軸沒有交點(diǎn) m2 4m 0 即0 m 4 又 函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱 且m z m2 4m為偶數(shù) 因此m 2 冪函數(shù)的性質(zhì)與應(yīng)用 方法點(diǎn)睛 1 比較冪值大小的類型及方法 1 當(dāng)冪的底數(shù)相同 指數(shù)不相同時(shí) 可以利用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性比較 2 當(dāng)冪的底數(shù)不同 指數(shù)相同時(shí) 可以利用冪函數(shù)的單調(diào)性比較 3 當(dāng)冪的底數(shù)與指數(shù)都不同時(shí) 一種方法是作商 比較商值與1的大小關(guān)系 確定兩個(gè)冪值的大小關(guān)系 另一種方法是找中介值 即找中間量 通過比較兩個(gè)冪值與中間量的大小 確定兩冪值的大小關(guān)系 4 比較多個(gè)冪值的大小 一般也采用中間量法 即先判斷每個(gè)冪值與0 1等數(shù)的大小關(guān)系 據(jù)此將它們分成若干組 然后將同一組內(nèi)的各數(shù)再比較大小 最后確定各數(shù)間的大小關(guān)系 2 冪函數(shù)y x 的性質(zhì) 1 定義域 值域及奇偶性 要視 的具體值而定 2 當(dāng) 0時(shí) 冪函數(shù)在 0 上是增函數(shù) 當(dāng) 0時(shí) 冪函數(shù)在 0 上是減函數(shù) 例3 已知冪函數(shù)y x3m 9 m n 的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱 且在 0 上函數(shù)值隨x的增大而減小 求滿足的a的取值范圍 解題指南 利用冪函數(shù)的性質(zhì) 構(gòu)建出m的不等式 并求出m的值 再根據(jù)其單調(diào)性 由關(guān)于a的已知不等式 構(gòu)建a的不等式 從而求出a的范圍 規(guī)范解答 函數(shù)在 0 上遞減 3m 9 0 m 3 m n m 1 2 又 函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱 3m 9為偶數(shù) 當(dāng)m 1時(shí) 3m 9 6為偶數(shù) 當(dāng)m 2時(shí) 3m 9 3為奇數(shù) m 1 而y 在 0 0 上均為減函數(shù) 等價(jià)于a 1 3 2a 0或0 a 1 3 2a或a 1 0 3 2a 解得a 1或 a的取值范圍是 互動(dòng)探究 若滿足本例中條件的冪函數(shù)為f x 討論函數(shù)g x a f x 6 的奇偶性 其中a b r 解析 由本例的解析知f x g x 則當(dāng)a 0 b 0時(shí) g x 為非奇非偶函數(shù) 當(dāng)a 0 b 0時(shí) g x 為奇函數(shù) 當(dāng)a 0 b 0時(shí) g x 為偶函數(shù) 當(dāng)a 0 b 0時(shí) g x 既是奇函數(shù)又是偶函數(shù) 反思 感悟 1 有關(guān)冪值的大小比較 可結(jié)合冪值的特點(diǎn) 選擇適當(dāng)?shù)暮瘮?shù) 借助其單調(diào)性進(jìn)行比較 2 本例集冪函數(shù)的概念 圖象及單調(diào)性 奇偶性于一體 綜合性較強(qiáng) 解答該類問題的關(guān)鍵是弄清冪函數(shù)的概念及性質(zhì) 構(gòu)建待求參數(shù)的方程或不等式并注意對(duì)參數(shù)的討論 來求解問題 變式備選 1 已知函數(shù)f x 1 求f x 的單調(diào)區(qū)間 2 比較f 與的大小 解析 1 f x 其圖象可由冪函數(shù)y x 2向左平移2個(gè)單位 再向上平移1個(gè)單位得到 如圖 所以該函數(shù)在 2 上是減函數(shù) 在 2 上是增函數(shù) 2 圖象關(guān)于直線x 2對(duì)稱 又 2 f 2 已知冪函數(shù) 1 試確定該函數(shù)的定義域 并指明該函數(shù)在其定義域上的單調(diào)性 2 若該函數(shù)還經(jīng)過點(diǎn) 試確定m的值 并求滿足條件f 2 a f a 1 的實(shí)數(shù)a的取值范圍 解析 1 m2 m m m 1 m n 而m與m 1中必有一個(gè)為偶數(shù) m2 m為偶數(shù) 函數(shù)f x 的定義域?yàn)?0 并且該函數(shù)在 0 上為增函數(shù) 2 函數(shù)還經(jīng)過點(diǎn) m2 m 2 解得 m 1或m 2 又 m n m 1 f x 又 f 2 a f a 1 故m的值為1 滿足條件f 2 a f a 1 的實(shí)數(shù)a的取值范圍為 易錯(cuò)誤區(qū) 冪函數(shù)圖象與性質(zhì)的應(yīng)用誤區(qū) 典例 2012 南京模擬 已知冪函數(shù)y xm2 2m 3 m z 的圖象與x軸 y軸都無公共點(diǎn) 且關(guān)于y軸對(duì)稱 則m的值為 冪函數(shù)的解析式為 解題指南 先根據(jù)冪函數(shù)的圖象與x軸 y軸都無公共點(diǎn)這一條件構(gòu)建關(guān)于m的不等式求出m的取值范圍 再根據(jù)冪函數(shù)圖象關(guān)于y軸對(duì)稱 確定出m的具體值 從而得到冪函數(shù)的解析式 規(guī)范解答 因?yàn)閮绾瘮?shù)y xm2 2m 3 m z 的圖象與x軸 y軸都無公共點(diǎn) 所以m2 2m 3 0 解得 1 m 3 又m z m 1 0 1 2 3 而y xm2 2m 3的圖象又關(guān)于y軸對(duì)稱 m2 2m 3為偶數(shù) 當(dāng)m 1時(shí) m2 2m 3 0 為偶數(shù) 當(dāng)m 0時(shí) m2 2m 3 3 為奇數(shù) 當(dāng)m 1時(shí) m2 2m 3 4 為偶數(shù) 當(dāng)m 2時(shí) m2 2m 3 3 為奇數(shù) 當(dāng)m 3時(shí) m2 2m 3 0 為偶數(shù) 綜上m 1 1 3 故冪函數(shù)的解析式為y x 4或y 1 x 0 答案 1或1或3y x 4或y 1 x 0 閱卷人點(diǎn)撥 通過對(duì)試卷及閱卷數(shù)據(jù)分析與總結(jié) 我們可以得到以下誤區(qū)警示和備考建議 1 2011 陜西高考 函數(shù)y 的圖象是 解析 選b 因?yàn)楫?dāng)x 1時(shí) x 當(dāng)x 1時(shí) x 所以a c d錯(cuò)誤 故選b 2 2012 佛山模擬 冪函數(shù)f x x3m 5 m n 在 0 上是減函數(shù) 且f x f x 則m可能等于 a 0 b 1 c 2 d 3 解析 選b 逐個(gè)驗(yàn)證知m 1 故選b 3 2012 廣州模擬 若函數(shù)f x x 3 則f