【志鴻優(yōu)化設(shè)計(jì)】（湖南專用）高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第十二章算法初步 推理與證明 復(fù)數(shù)12.4直接證明與間接證明教學(xué)案 理.doc

12.4直接證明與間接證明1了解直接證明的兩種基本方法分析法和綜合法；了解分析法和綜合法的思考過程、特點(diǎn)2了解間接證明的一種基本方法反證法；了解反證法的思考過程、特點(diǎn)1直接證明中最基本的兩種證明方法是_和_2綜合法是利用已知條件和某些數(shù)學(xué)定義、定理、公理等，經(jīng)過一系列的推理論證，最后推導(dǎo)出所要證明的結(jié)論成立綜合法又叫_3分析法是從要證明的結(jié)論出發(fā)，逐步尋求使它成立的充分條件，直至最后，把要證明的結(jié)論歸結(jié)為判定一個明顯成立的條件(已知條件、定理、定義、公理等)分析法又叫_4反證法：假設(shè)原命題_(即在原命題的條件下，結(jié)論不成立)，經(jīng)過正確的推理，最后得出矛盾，因此說明_，從而證明了_，這樣的證明方法叫反證法應(yīng)用反證法證明數(shù)學(xué)命題，一般有下面幾個步驟：第一步，分清命題“pq”的_；第二步，作出與命題結(jié)論q相矛盾的假設(shè)_；第三步，由p與q出發(fā)，應(yīng)用正確的推理方法，推出矛盾結(jié)果；第四步，斷定產(chǎn)生矛盾結(jié)果的原因在于開始所作的假設(shè)q不真，于是原結(jié)論q成立，從而間接地證明了命題pq為真1分析法是從要證明的結(jié)論出發(fā)，逐步尋找使結(jié)論成立的()a充分條件 b必要條件c充要條件 d等價(jià)條件2用反證法證明命題“三角形的三個內(nèi)角至少有一個不大于60”時，應(yīng)假設(shè)()a三個內(nèi)角都不大于60b三個內(nèi)角都大于60c三個內(nèi)角至多有一個大于60d三個內(nèi)角至多有兩個大于603設(shè)ta2b，sab21，則下列關(guān)于t和s的大小關(guān)系中正確的是()ats btscts dts4命題“對于任意角，cos4sin4cos 2”的證明：cos4sin4(cos2sin2)(cos2sin2)cos2sin2cos 2過程應(yīng)用了()a分析法b綜合法c綜合法、分析法綜合應(yīng)用d間接證明法5因?yàn)槟撤N產(chǎn)品的兩種原料相繼提價(jià)，所以生產(chǎn)者決定對產(chǎn)品分兩次提價(jià)，現(xiàn)在有三種提價(jià)方案：方案甲：第一次提價(jià)p%，第二次提價(jià)q%；方案乙：第一次提價(jià)q%，第二次提價(jià)p%；方案丙：第一次提價(jià)%，第二次提價(jià)%，其中pq0.比較上述三種方案，提價(jià)最多的是()a甲 b乙c丙 d一樣多一、綜合法【例1】 如圖，四邊形abcd是正方形，pb平面abcd，ma平面abcd，pbab2ma.求證：(1)平面amd平面bpc；(2)平面pmd平面pbd.方法提煉1綜合法是“由因?qū)Ч保菑囊阎獥l件出發(fā)，順著推證，經(jīng)過一系列的中間推理，最后導(dǎo)出所證結(jié)論的真實(shí)性用綜合法證明題的邏輯關(guān)系是：ab1b2bnb(a為已知條件或數(shù)學(xué)定義、定理、公理，b為要證結(jié)論)，它的常見書面表達(dá)是“，”或“”2利用綜合法證不等式時，是以基本不等式為基礎(chǔ)，以不等式的性質(zhì)為依據(jù)，進(jìn)行推理論證的因此，關(guān)鍵是找到與要證結(jié)論相匹配的基本不等式及其不等式的性質(zhì)3綜合法是一種由因?qū)Ч淖C明方法，其邏輯依據(jù)是三段論式的演繹推理方法，這就是保證前提正確，推理合乎規(guī)律，才能保證結(jié)論的正確性請做演練鞏固提升1二、分析法【例2】已知abc三邊a，b，c的倒數(shù)成等差數(shù)列，證明：b為銳角方法提煉1分析法是“執(zhí)果索因”，它是從要證的結(jié)論出發(fā)，倒著分析，逐漸地靠近已知2用分析法證“若p，則q”這個命題的模式是：為了證明命題q為真，這只需證明命題p1為真，從而有這只需證明命題p2為真，從而有這只需證明命題p為真而已知p為真，故q必為真特別警示：用分析法證題時，一定要嚴(yán)格按格式書寫，否則極易出錯3在解決問題時，我們經(jīng)常把綜合法和分析法結(jié)合起來使用，根據(jù)條件的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)去轉(zhuǎn)化結(jié)論，得到中間結(jié)論q；根據(jù)結(jié)論的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)去轉(zhuǎn)化條件，得到中間結(jié)論p，若由p可以推出q成立，就可以證明結(jié)論成立一般情況下，用分析法尋找思路，用綜合法完成證明請做演練鞏固提升4三、反證法【例3】 設(shè)an是公比為q的等比數(shù)列，sn是它的前n項(xiàng)和(1)求證：數(shù)列sn不是等比數(shù)列；(2)數(shù)列sn是等差數(shù)列嗎？為什么？方法提煉反證法是間接證明問題的一種常用方法，它不是從已知條件去直接證明結(jié)論，而是先否定結(jié)論，在否定結(jié)論的基礎(chǔ)上進(jìn)行演繹推理，導(dǎo)出矛盾，從而肯定結(jié)論的真實(shí)性用反證法證明要把握三點(diǎn)：(1)反設(shè)：必須先否定結(jié)論，即肯定結(jié)論的反面；(2)歸謬：必須從否定結(jié)論進(jìn)行推理，即應(yīng)把結(jié)論的反面作為條件，且必須依據(jù)這一條件進(jìn)行推證推導(dǎo)出的矛盾可能多種多樣，有的與已知矛盾，有的與假設(shè)矛盾，有的與已知事實(shí)矛盾等，但推導(dǎo)出的矛盾必須是明顯的；(3)結(jié)論：因?yàn)橥评碚_，所以產(chǎn)生矛盾的原因在于“反設(shè)”的謬誤，既然結(jié)論的反面不成立，從而肯定了結(jié)論成立請做演練鞏固提升2證明類問題中的新情景問題【典例】 設(shè)f(x)，g(x)，h(x)是r上的任意實(shí)數(shù)函數(shù)，如下定義兩個函數(shù)(fg)(x)和(fg)(x)：對任意xr，(fg)(x)f(g(x)，(fg)(x)f(x)g(x)則下列等式恒成立的是()a(fg)h)(x)(fh)(gh)(x)b(fg)h)(x)(fh)(gh)(x)c(fg)h)(x)(fh)(gh)(x)d(fg)h)(x)(fh)(gh)(x)解析：(fg)h)(x)(fg)(h(x)f(h(x)g(h(x)(fh)(x)(gh)(x)(fh)(gh)(x)答案：b答題指導(dǎo)：對于此類新情景下的新定義問題需要做好以下幾點(diǎn)：1充分理解題意，理解定義是解題的關(guān)鍵2若是選擇、填空題建議以特例理解新定義，可以化難為易、化繁為簡3“按規(guī)則要求辦事”，即新定義如何要求就如何去做，此法雖然可能會繁瑣，但只要理解透徹，運(yùn)算得當(dāng)也能解決問題1(2012浙江紹興模擬)設(shè)alg 2lg 5，bex(x0)，則a與b的大小關(guān)系為()aab babcab dab2(2012山師大附中模擬)用反證法證明某命題時，對結(jié)論：“自然數(shù)a，b，c中恰有一個偶數(shù)”正確的反設(shè)為()aa，b，c中至少有兩個偶數(shù)ba，b，c中至少有兩個偶數(shù)或都是奇數(shù)ca，b，c都是奇數(shù)da，b，c都是偶數(shù)3若函數(shù)f(x)f(x)f(x)與g(x)f(x)f(x)，其中f(x)的定義域?yàn)閞，且f(x)不恒為零，則()af(x)、g(x)均為偶函數(shù)bf(x)為奇函數(shù)，g(x)為偶函數(shù)cf(x)與g(x)均為奇函數(shù)df(x)為偶函數(shù)，g(x)為奇函數(shù)4已知a，b(0，)，求證：.參考答案基礎(chǔ)梳理自測知識梳理1綜合法分析法2順推證法或由因?qū)Ч?遞推證法或執(zhí)果索因法4不成立假設(shè)錯誤原命題成立條件和結(jié)論q基礎(chǔ)自測1a2.b3d解析：stab21a2b(b1)20，st.4b解析：因?yàn)樽C明過程是“從左往右”，即由條件結(jié)論5c解析：設(shè)產(chǎn)品的原價(jià)為a，則按方案甲可得提價(jià)后的價(jià)格為aa(1p%)(1q%)；按方案乙可得提價(jià)后的價(jià)格為ba(1q%)(1p%)a；按方案丙可得提價(jià)后的價(jià)格為caa2，則cba2a(1p%)(1q%)(p%q%)20，故應(yīng)選c.考點(diǎn)探究突破【例1】 證明：(1)因?yàn)閜b平面abcd，ma平面abcd，所以pbma.因?yàn)閜b平面bpc，ma平面bpc，所以ma平面bpc.同理，da平面bpc.又ma平面amd，ad平面amd，maada，所以平面amd平面bpc.(2)連接ac，設(shè)acbde，取pd的中點(diǎn)f，連接ef，mf.因?yàn)樗倪呅蝍bcd為正方形，所以e為bd的中點(diǎn)因?yàn)閒為pd的中點(diǎn)，所以efpb.又ampb，所以四邊形aefm為平行四邊形所以mfae.因?yàn)閜b平面abcd，ae平面abcd，所以pbae.所以mfpb.因?yàn)樗倪呅蝍bcd為正方形，所以acbd.所以mfbd.所以mf平面pbd.又mf平面pmd，所以平面pmd平面pbd.【例2】 證明：要證明b為銳角，根據(jù)余弦定理，也就是證明cos b0，即需證a2c2b20.由于a2c2b22acb2，要證a2c2b20.只需證2acb20.a，b，c的倒數(shù)成等差數(shù)列，即2acb(ac)要證2acb20，只需證b(ac)b20，即證b(acb)0.上述不等式顯然成立b必為銳角【例3】 (1)證明：若sn是等比數(shù)列，則s2s1s3，即a1(1q)2a1a1(1qq2)，a10，(1q)21qq2，解得q0，這與q0相矛盾，故數(shù)列sn不是等比數(shù)列(2)解：當(dāng)q1時，sn是等差數(shù)列當(dāng)q1時，sn不是等差數(shù)列假設(shè)q1時，s1，s2，s3成等差數(shù)列，即2s2s1s3，2a1(1q)a1a1(1qq2)由于a10，2(1q)2qq2，即qq2，q1，q0，這與q0相矛盾綜上可知，當(dāng)q1時，sn是等差數(shù)列；當(dāng)q1時，sn不是等差數(shù)列演練鞏固提升1a解析：alg 2lg 5lg 101，而bexe01，故ab.2b解析：“恰有一個偶數(shù)”的對立面是“沒有偶數(shù)或至少有兩個偶數(shù)”3d解析：由f(x)f(x)f(x)，g(x)f(x)f(x)