DVD在線租賃1.doc

DVD在線租賃一 摘要隨著信息時代的到來，網(wǎng)絡(luò)成為人們生活中越來越不可或缺的元素之一。在線DVD租賃成為一種可行的服務(wù)。本文就DVD在線租賃問題建立了數(shù)學(xué)模型，我們針對會員在不同情況下對不同種類的DVD的需求量以及對會員該如何分配DVD的問題進行了分析討論。在問題一中我們通過問卷調(diào)查以及問題給出的歷史數(shù)據(jù)建立了一個優(yōu)化模型，再利用LINDO軟件解得了表（1）中五種不同類型DVD應(yīng)至少準備的張數(shù)分別為：=6250, =3125, =1563, =782, =313,才能保證希望看到每種DVD的會員中至少50%在一個月內(nèi)能夠看到該DVD。同樣的辦法得到了這五種不同種類DVD各應(yīng)至少準備的張數(shù)為：=3959, =1980, =990, =495, =198,才能保證在三個月內(nèi)至少95%的會員能夠看到每種DVD。在處理問題二時，我們根據(jù)表（2）的有關(guān)數(shù)據(jù)對DVD進行分配，要使會員獲得的滿意度最大，建立了一個01規(guī)劃模型，運用LINGO軟件編程求解出了20種DVD分配給100名會員的具體情況。并用表格列出了前30名會員分別獲得了哪種DVD（見附錄二）。在處理問題三時，我們根據(jù)表2中每種DVD下不為0的數(shù)字對應(yīng)的會員可統(tǒng)計出愿意觀看這DVD的人數(shù)，同樣用解決問題一的方法便可得出每100名會員對每種DVD的購買量：便可用解決問題二的01規(guī)劃模型來對DVD進行分配，分配結(jié)果（見附錄三），使一個月內(nèi)95%的會員得到他想看的DVD。二 關(guān)鍵詞線性規(guī)劃、DVD合理分配、最大滿意度三 問題重述考慮如下DVD在線租賃問題，會員提交的訂單包括多張DVD，這些DVD是基于其偏愛程度排序的。網(wǎng)站會根據(jù)手頭現(xiàn)有的DVD數(shù)量和會員的訂單進行分發(fā)。每個會員每個月租賃次數(shù)不得超過2次，每次獲得3張DVD。會員看完3張DVD之后，只需要將DVD放進網(wǎng)站提供的信封里寄回（郵費由網(wǎng)站承擔(dān)），就可以繼續(xù)下次租賃。1通過問卷調(diào)查1000個會員，得到了愿意觀看這些DVD的人數(shù)（表（1）給出了其中5種DVD的數(shù)據(jù)）。此外，歷史數(shù)據(jù)顯示，60%的會員每月租賃DVD兩次，而另外的40%只租一次。假設(shè)網(wǎng)站現(xiàn)有10萬個會員，對表（1）中的每種DVD來說，應(yīng)該至少準備多少張，才能保證希望看到該DVD的會員中至少50%在一個月內(nèi)能夠看到該DVD？如果要求保證在三個月內(nèi)至少95%的會員能夠看到該DVD呢？2根據(jù)表（2）如何對這些DVD進行分配，才能使會員獲得最大滿意度？并具體列出前30位會員（即C0001C0030）分別獲得哪些DVD。假設(shè)表（2）中DVD的現(xiàn)有數(shù)量全部為0，又如何決定每種DVD的購買量，以及如何對這20種DVD進行分配，才能使一個月內(nèi)95%的會員得到他想看的DVD，并且滿意度最大？四 問題分析 對于問題一主要是解決在已知會員的人數(shù)的情況下，要使網(wǎng)站以準備最少的5種類型DVD的張數(shù)，來保證希望看到各種DVD的會員中至少50%在一個月內(nèi)能夠看到該DVD，用線性規(guī)劃建立一個數(shù)學(xué)模型可解決此類問題，其目標函數(shù)為準備DVD的張數(shù)最少，約束條件為由各不同種類DVD準備的數(shù)量可滿足的總?cè)藬?shù)應(yīng)該不小于希望看到該DVD的人數(shù)的50%。問題二是對DVD進行分配，使會員獲得最大的滿意度，可利用01規(guī)劃建立模型來進行處理，其中各名會員是否獲得了各DVD類型為01變量，又因為會員的滿意度跟會員的偏愛程度有關(guān)，表(2)中會員的在線訂單數(shù)表示會員的偏愛程度，數(shù)字越小表示會員的偏愛程度超高，只需將會員所分配到不同種類的DVD所對應(yīng)的訂單數(shù)字求和取最小值，即滿意度越大，所建立的目標函數(shù)的值越小。在這里又存在一個問題，由于數(shù)字0表示對應(yīng)的DVD當(dāng)前不在會員的在線訂單中，由目標函數(shù)是求最小值問題，很明顯調(diào)用表(2)中的數(shù)據(jù)用LINGO軟件求得目標函數(shù)的最優(yōu)解為0，這是不符合實際的，這樣我們可以把“對應(yīng)的DVD當(dāng)前不在會員的在線訂單”理解成“會員的偏愛程度最低”，就可避免這一問題，約束條件由問題的總條件即每個會員每次獲得3張DVD和DVD的現(xiàn)有數(shù)量可確定。在問題三中繼續(xù)對表（2）中會員的在線訂單，如何決定每種DVD的購買量，以及如何對這些DVD進行分配，才能使一個月內(nèi)95%的會員得到他想看的DVD，并且滿意度最大，根據(jù)問題知表（2）中每種DVD當(dāng)前的會員的在線訂單不為0的數(shù)字對應(yīng)的會員人數(shù)即為愿意觀看該種DVD的人數(shù)，要使一個月內(nèi)95%的會員得到他想看的DVD，這樣就和第一問的問題相類似，這樣可算出DVD的購買量，在這里DVD的購買量即為第二問中所提到的DVD現(xiàn)有量，那么與解決問題二相類似的方法即可解決DVD的分配問題。五 模型假設(shè)1.不愿意觀看某種類型DVD的會員不會租看這種類型的DVD；2.每月租賃DVD兩次的會員每半個月歸還一次,可以提供本月下一次再出租,每月租賃DVD一次的會員看完一個月后才歸還；3.會員將看完的3張DVD放進網(wǎng)站提供的信封里寄回的途中不出現(xiàn)任何障礙；4.問卷調(diào)查的會員的情況與現(xiàn)實情況基本相符；5每個會員每次所租的3張DVD的種類不同；6只要DVD當(dāng)前在會員的在線訂單中，就是會員想看的DVD； 六 符號說明-在一個月內(nèi)不同種類DVD所準備的張數(shù)；（i=1、2、3、4、5）-在三個月內(nèi)不同種類DVD所準備的張數(shù)；（i=1、2、3、4、5）-第i名會員獲得第j種DVD所對應(yīng)的訂單數(shù)字；（i=1、2、100;j=1、2、20）-每種DVD的購買量；（i=1、2、20）-愿意觀看DVD的人數(shù)；（i=1、2、20）七 模型的建立與求解問題 一：對表（1）中的每種DVD來說，應(yīng)該至少準備多少張：通過問卷調(diào)查1000個會員得到愿意觀看這些DVD的人數(shù)可估算出現(xiàn)有10萬個會員愿意觀看五種不同DVD的人數(shù)如下表：DVD名稱DVD1DVD2DVD3DVD4DVD5愿意觀看的人數(shù)2000010000500025001000對五種DVD應(yīng)該準備的張數(shù)，要考慮到一個周期的問題，每月租賃一次的成員在一個月內(nèi)看完DVD后歸還，而租賃兩次的成員他第一次租的DVD返還后接著租，他租的DVD的張數(shù)是租賃一次DVD的兩倍，還要保證50%的人能夠看到他們希望看到的DVD。根據(jù)問題的分析和假設(shè)建立模型：目標函數(shù)：MIN (1)約束條件： 用LINDO軟件解得：(程序見附錄一),.即為五種不同種類的DVD應(yīng)該準備的張數(shù)。在三個月內(nèi)至少95%的會員能夠看到該DVD的情況和在一個月內(nèi)至少50%的會員能夠看到該DVD的情況類似：目標函數(shù)為： MIN (2) 約束條件 用LINDO軟件解得:(程序見附錄一), , , , .即五種不同種類DVD應(yīng)該準備的張數(shù),使得至少有95%的成員能夠看到該DVD的所要準備的張數(shù)。問題二：問題二是如何對20種不同DVD進行分配,才能使會員獲得最大滿意度,通過對問題二的具體分析：利用01規(guī)劃建立一個模型: 設(shè)為01變量，則：=1時,表示第i個會員獲得了第j種DVD(i=1、2、100;j=1、 2、 、20) =0時，表示第i個會員未獲得了第j種DVD(i=1、2、100;j=1、 2、 、20)根據(jù)問題：會員的在線訂單用數(shù)字1、2、表示，數(shù)字越小表示會員的偏愛程度越高，那么將會員所分配到不同種類DVD所對應(yīng)的訂單數(shù)字乘積求和取最小值就可使會員獲得最大滿意度。我們可以把“數(shù)字為0表示對應(yīng)的DVD當(dāng)前不在會員的在線訂單中”理解為“會員的偏愛程度最低”可設(shè)比當(dāng)前會員的在線訂單數(shù)字都大的數(shù)字為10，這就可避免前面所說的問題。 目標函數(shù) MIN (3) 由DVD現(xiàn)有數(shù)量和問題的總條件可得約束條件為： 用LINGO軟件解得：100名會員DVD的分配見附錄二，最大的滿意度為Z=976 (程序見附錄二)具體前30位會員分別獲得的DVD如下表：會員C1C2C3C4C5C6C7C8C9C10C11C12C13C14C15會員所獲得DVD種類D3D1D6D7D6D6D7D1D3D10D3D7D6D6D7D17D6D17D11D7D12D11D13D7D12D8D11D17D12D17D20D12D20D12D17D16D20D14D15D17D10D19D20D17D20會員C16C17C18C19C20C21C22C23C24C25C26C27C28C29C30會員所獲得DVD種類D7D4D7D6D6D6D3D12D7D15D3D6D5D12D3D9D7D1815D7D13D7D13D11D17D6D7D7D13D17D11D17D20D17D20D15D11D20D13D19D16D10D9D20D20問題三：由表（2）中數(shù)據(jù)可統(tǒng)計得到20種DVD下不為0的訂單數(shù)字分別對應(yīng)的會員人數(shù)，由假設(shè)得出即為愿意觀看這種DVD的人數(shù)：那么對于解決DVD購買量的問題與問題一中的方法類似。再根據(jù)DVD購買量，對這些DVD進行分配，使一個月內(nèi)95%的會員得到他想看的DVD，并且滿意度最大。我們就可以建立下面一個模型：目標函數(shù) ： (4)約束條件： 用LINGO軟件解得100名會員DVD的分配見附錄三，最大滿意度為Z=600 (程序見附錄三)八 模型的優(yōu)缺點及推廣模型的分析和求解的結(jié)果能夠比較準確的解決這個實際問題，但是模型的假設(shè)比較簡單化，在租賃過程中還有很多不確定的因素，例如:會員對DVD的價格,會員對網(wǎng)站提供的滿意度這些都影響到會員的在線訂單；會員在租賃過程中,還存在一個周期的問題,會員一個月租一次和租二次的歸還周期是不同的,而我們在考慮本文問題時，忽略的一點,這也是我們模型的局限性。我們還可以預(yù)測會員DVD的需求量，由于影響會員對DVD的需求預(yù)測有很多方面，而且各個方面的影響程度各不一樣，為了合理有效地將各個影響面總體對需求的影響表示出來，可以采用加權(quán)平均的方法計算。在現(xiàn)今的在線租賃市場，網(wǎng)站只有依靠合理有效的價格，以及滿足不同會員的要求，最終才能獲得利潤最大化的目的，也使會員的滿意度提高。此模型的建立還可推廣到資源的分配、公司招聘等問題上。參考文獻：1 趙靜 但琦數(shù)學(xué)建模與數(shù)學(xué)實驗（第二版） 北京 高等教育出版社 2003年6月2 葉其孝大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競賽輔導(dǎo)教材（第一版）湖南 湖南教育出版社1997年6月附錄附錄一：LINDO軟件編程：min x1+x2+x3+x4+x5st 1.6x1=10000 1.6x2=5000 1.6x3=2500 1.6x4=1250 1.6x5=1000Endgin 5 運行結(jié)果： OBJECTIVE FUNCTION VALUE 1) 12345.00 VARIABLE VALUE REDUCED COST X1 6250.000000 1.000000 X2 3125.000000 1.000000 X3 1563.000000 1.000000 X4 782.000000 1.000000 X5 625.000000 1.000000 ROW SLACK OR SURPLUS DUAL PRICES 2) 0.000149 0.000000 3) 0.000075 0.000000 4) 0.800037 0.000000 5) 1.200019 0.000000 6) 0.000015 0.000000 NO. ITERATIONS= 11 BRANCHES= 2 DETERM.= 1.000E 0 LINDO軟件編程：min x1+x2+x3+x4+x5 st 4.8x1=19000 4.8x2=9500 4.8x3=4750 4.8x4=2375 4.8x5=950endgin 5運行結(jié)果： OBJECTIVE FUNCTION VALUE 1) 7622.000 VARIABLE VALUE REDUCED COST X1 3959.000000 1.000000 X2 1980.000000 1.000000 X3 990.000000 1.000000 X4 495.000000 1.000000 X5 198.000000 1.000000 ROW SLACK OR SURPLUS DUAL PRICES 2) 3.200755 0.000000 3) 4.000378 0.000000 4) 2.000189 0.000000 5) 1.000094 0.000000 6) 0.400038 0.000000 NO. ITERATIONS= 8 BRANCHES= 3 DETERM.= 1.000E 0附錄二：LINGO軟件編程：MODEL: SETS: Row/1 . 100/:; Line/1 . 20/:CurVal; links(Row,Line):X,y; ENDSETS MIN=SUM(links:X*y); For(links(I,J):BIN(X); !0/1; For(Row(I): !每行相加之和等于3; SUM(Line(J):X(I,J) =3 ); For(Line(J): !每列相加之和小于現(xiàn)有數(shù)量; SUM(Row(I):X(I,J) = CurVal(J); !For(Row(I):For(line(J)|y(I,J)=0:X(I,J) #eq# 0); ! ; DATA: CurVal=8 1 22 10 8 40 40 1 8 15 19 20 10 2 5 8 30 10 8 38; !Dat=OLE(D2005.xls); y=FILE(Dat1.txt); ENDDATAEND運行結(jié)果：Objective value: 976.0000前30位會員分別獲得的DVD： X( 1, 1) 0.000000 10.00000 X( 1, 2) 0.000000 10.00000 X( 1, 3) 1.000000 2.000000 X( 1, 4) 0.000000 10.00000 X( 1, 5) 0.000000 10.00000 X( 1, 6) 0.000000 10.00000 X( 1, 7) 0.000000 9.000000 X( 1, 8) 0.000000 1.000000 X( 1, 9) 0.000000 10.00000 X( 1, 10) 0.000000 5.000000 X( 1, 11) 0.000000 7.000000 X( 1, 12) 0.000000 10.00000 X( 1, 13) 0.000000 10.00000 X( 1, 14) 0.000000 8.000000 X( 1, 15) 0.000000 10.00000 X( 1, 16) 0.000000 3.000000 X( 1, 17) 1.000000 6.000000 X( 1, 18) 0.000000 10.00000 X( 1, 19) 0.000000 10.00000 X( 1, 20) 1.000000 4.000000 X( 2, 1) 1.000000 1.000000 X( 2, 2) 0.000000 10.00000 X( 2, 3) 0.000000 9.000000 X( 2, 4) 0.000000 10.00000 X( 2, 5) 0.000000 10.00000 X( 2, 6) 1.000000 7.000000 X( 2, 7) 0.000000 10.00000 X( 2, 8) 0.000000 10.00000 X( 2, 9) 0.000000 4.000000 X( 2, 10) 0.000000 10.00000 X( 2, 11) 0.000000 10.00000 X( 2, 12) 1.000000 2.000000 X( 2, 13) 0.000000 10.00000 X( 2, 14) 0.000000 6.000000 X( 2, 15) 0.000000 3.000000 X( 2, 16) 0.000000 10.00000 X( 2, 17) 0.000000 10.00000 X( 2, 18) 0.000000 8.000000 X( 2, 19) 0.000000 5.000000 X( 2, 20) 0.000000 10.00000 X( 3, 1) 0.000000 10.00000 X( 3, 2) 0.000000 6.000000 X( 3, 3) 0.000000 10.00000 X( 3, 4) 0.000000 10.00000 X( 3, 5) 0.000000 10.00000 X( 3, 6) 1.000000 7.000000 X( 3, 7) 0.000000 10.00000 X( 3, 8) 0.000000 10.00000 X( 3, 9) 0.000000 10.00000 X( 3, 10) 0.000000 10.00000 X( 3, 11) 0.000000 10.00000 X( 3, 12) 0.000000 4.000000 X( 3, 13) 0.000000 1.000000 X( 3, 14) 0.000000 3.000000 X( 3, 15) 0.000000 8.000000 X( 3, 16) 0.000000 10.00000 X( 3, 17) 1.000000 2.000000 X( 3, 18) 0.000000 10.00000 X( 3, 19) 0.000000 9.000000 X( 3, 20) 1.000000 5.000000 X( 4, 1) 0.000000 10.00000 X( 4, 2) 0.000000 10.00000 X( 4, 3) 0.000000 10.00000 X( 4, 4) 0.000000 10.00000 X( 4, 5) 0.000000 4.000000 X( 4, 6) 0.000000 10.00000 X( 4, 7) 1.000000 7.000000 X( 4, 8) 0.000000 6.000000 X( 4, 9) 0.000000 10.00000 X( 4, 10) 0.000000 10.00000 X( 4, 11) 1.000000 3.000000 X( 4, 12) 1.000000 1.000000 X( 4, 13) 0.000000 10.00000 X( 4, 14) 0.000000 5.000000 X( 4, 15) 0.000000 9.000000 X( 4, 16) 0.000000 10.00000 X( 4, 17) 0.000000 8.000000 X( 4, 18) 0.000000 10.00000 X( 4, 19) 0.000000 2.000000 X( 4, 20) 0.000000 10.00000 X( 5, 1) 0.000000 5.000000 X( 5, 2) 0.000000 10.00000 X( 5, 3) 0.000000 10.00000 X( 5, 4) 0.000000 10.00000 X( 5, 5) 0.000000 10.00000 X( 5, 6) 1.000000 4.000000 X( 5, 7) 1.000000 7.000000 X( 5, 8) 0.000000 10.00000 X( 5, 9) 0.000000 10.00000 X( 5, 10) 0.000000 9.000000 X( 5, 11) 0.000000 10.00000 X( 5, 12) 0.000000 10.00000 X( 5, 13) 0.000000 3.000000 X( 5, 14) 0.000000 10.00000 X( 5, 15) 0.000000 2.000000 X( 5, 16) 0.000000 8.000000 X( 5, 17) 1.000000 6.000000 X( 5, 18) 0.000000 10.00000 X( 5, 19) 0.000000 1.000000 X( 5, 20) 0.000000 10.00000 X( 6, 1) 0.000000 4.000000 X( 6, 2) 0.000000 10.00000 X( 6, 3) 0.000000 6.000000 X( 6, 4) 0.000000 10.00000 X( 6, 5) 0.000000 10.00000 X( 6, 6) 1.000000 8.000000 X( 6, 7) 0.000000 10.00000 X( 6, 8) 0.000000 5.000000 X( 6, 9) 0.000000 9.000000 X( 6, 10) 0.000000 10.00000 X( 6, 11) 0.000000 10.00000 X( 6, 12) 1.000000 3.000000 X( 6, 13) 0.000000 10.00000 X( 6, 14) 0.000000 10.00000 X( 6, 15) 0.000000 1.000000 X( 6, 16) 1.000000 2.000000 X( 6, 17) 0.000000 10.00000 X( 6, 18) 0.000000 10.00000 X( 6, 19) 0.000000 7.000000 X( 6, 20) 0.000000 10.00000 X( 7, 1) 0.000000 10.00000 X( 7, 2) 0.000000 10.00000 X( 7, 3) 0.000000 6.000000 X( 7, 4) 0.000000 3.000000 X( 7, 5) 0.000000 10.00000 X( 7, 6) 0.000000 10.00000 X( 7, 7) 1.000000 1.000000 X( 7, 8) 0.000000 2.000000 X( 7, 9) 0.000000 8.000000 X( 7, 10) 0.000000 10.00000 X( 7, 11) 1.000000 4.000000 X( 7, 12) 0.000000 10.00000 X( 7, 13) 0.000000 10.00000 X( 7, 14) 0.000000 10.00000 X( 7, 15) 0.000000 10.00000 X( 7, 16) 0.000000 5.000