高中數(shù)學(xué) 第一章 統(tǒng)計(jì) 1.5.2 估計(jì)總體的數(shù)字特征教案 北師大版必修3(1).DOC

5.2 估計(jì)總體的數(shù)字特征整體設(shè)計(jì)教學(xué)分析 教科書通過現(xiàn)實(shí)生活的例子,引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)識到：只描述平均位置的特征是不夠的,還需要描述樣本數(shù)據(jù)離散程度的特征.通過對如何描述數(shù)據(jù)離散程度的探索,使學(xué)生體驗(yàn)創(chuàng)造性思維的過程.三維目標(biāo)1.正確理解樣本數(shù)據(jù)標(biāo)準(zhǔn)差的意義和作用,學(xué)會計(jì)算數(shù)據(jù)的標(biāo)準(zhǔn)差；能根據(jù)實(shí)際問題的需要合理地選取樣本,從樣本數(shù)據(jù)中提取基本的數(shù)字特征（如平均數(shù)、標(biāo)準(zhǔn)差）,并作出合理的解釋；會用樣本的基本數(shù)字特征估計(jì)總體的基本數(shù)字特征，形成對數(shù)據(jù)處理過程進(jìn)行初步評價的意識.2.在解決統(tǒng)計(jì)問題的過程中,進(jìn)一步體會用樣本估計(jì)總體的思想,理解數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想和邏輯推理的數(shù)學(xué)方法；會用隨機(jī)抽樣的方法和樣本估計(jì)總體的思想解決一些簡單的實(shí)際問題,認(rèn)識統(tǒng)計(jì)的作用,能夠辯證地理解數(shù)學(xué)知識與現(xiàn)實(shí)世界的聯(lián)系.重點(diǎn)難點(diǎn)教學(xué)重點(diǎn)：根據(jù)實(shí)際問題從樣本數(shù)據(jù)中提取基本的數(shù)字特征并作出合理解釋,估計(jì)總體的基本數(shù)字特征；體會樣本數(shù)字特征具有隨機(jī)性.教學(xué)難點(diǎn)：用樣本平均數(shù)和標(biāo)準(zhǔn)差估計(jì)總體的平均數(shù)與標(biāo)準(zhǔn)差；能應(yīng)用相關(guān)知識解決簡單的實(shí)際問題.課時安排1課時教學(xué)過程導(dǎo)入新課思路1.平均數(shù)為我們提供了樣本數(shù)據(jù)的重要信息,但是,有時平均數(shù)也會使我們作出對總體的片面判斷.某地區(qū)的統(tǒng)計(jì)顯示,該地區(qū)的中學(xué)生的平均身高為176 cm,給我們的印象是該地區(qū)的中學(xué)生生長發(fā)育好,身高較高.但是,假如這個平均數(shù)是從五十萬名中學(xué)生中抽出的五十名身高較高的學(xué)生計(jì)算出來的話,那么,這個平均數(shù)就不能代表該地區(qū)所有中學(xué)生的身體素質(zhì).因此,只有平均數(shù)難以概括樣本數(shù)據(jù)的實(shí)際狀態(tài).所以我們學(xué)習(xí)從另外的角度來考察樣本數(shù)據(jù)的統(tǒng)計(jì)量標(biāo)準(zhǔn)差.(教師板書課題)思路2.在一次射擊選拔比賽中,甲、乙兩名運(yùn)動員各射擊10次,命中環(huán)數(shù)如下：甲運(yùn)動員：7,8,6,8,6,5,8,10,7,4;乙運(yùn)動員：9,5,7,8,7,6,8,6,7,7.我們知道甲=7，乙=7,兩個人射擊的平均成績是一樣的,那么,是否兩個人就沒有水平差距呢？圖1 從圖1直觀上看,還是有差異的.很明顯,甲的成績比較分散,乙的成績相對集中,因此這節(jié)課我們從另外的角度來考察這兩組數(shù)據(jù),引入課題：標(biāo)準(zhǔn)差.推進(jìn)新課新知探究提出問題(1)如何通過頻率分布直方圖估計(jì)數(shù)字特征（中位數(shù)、眾數(shù)、平均數(shù)）？(2)有甲、乙兩種鋼筋,現(xiàn)從中各抽取一個標(biāo)本（如下表）檢查它們的抗拉強(qiáng)度（單位：kg/mm2）,通過計(jì)算發(fā)現(xiàn),兩個樣本的平均數(shù)均為125.甲110120130125120125135125135125乙115100125130115125125145125145 哪種鋼筋的質(zhì)量較好？(3)某種子公司為了在當(dāng)?shù)赝菩袃煞N新水稻品種,對甲、乙兩種水稻進(jìn)行了連續(xù)7年的種植對比實(shí)驗(yàn),年畝產(chǎn)量分別如下：(千克)甲：600, 880, 880, 620, 960, 570, 900(平均773);乙：800, 860, 850, 750, 750, 800, 700(平均787).請你用所學(xué)統(tǒng)計(jì)學(xué)的知識,說明選擇哪種品種推廣更好?(4)全面建設(shè)小康社會是我們黨和政府的工作重心,某市按當(dāng)?shù)匚飪r水平計(jì)算,人均年收入達(dá)到1.5萬元的家庭即達(dá)到小康生活水平.民政局對該市100戶家庭進(jìn)行調(diào)查統(tǒng)計(jì),它們的人均收入達(dá)到了1.6萬元,民政局即宣布該市民生活水平已達(dá)到小康水平,你認(rèn)為這樣的結(jié)論是否符合實(shí)際?(5)如何考查樣本數(shù)據(jù)的離散程度的大小呢?把數(shù)據(jù)在坐標(biāo)系中刻畫出來,是否能直觀地判斷數(shù)據(jù)的離散程度?討論結(jié)果：(1)利用頻率分布直方圖估計(jì)眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)：估計(jì)眾數(shù)：頻率分布直方圖面積最大的方條的橫軸中點(diǎn)數(shù)字（最高矩形的中點(diǎn)）.估計(jì)中位數(shù)：中位數(shù)把頻率分布直方圖分成左右兩邊面積相等.估計(jì)平均數(shù)：頻率分布直方圖中每個小矩形的面積乘以小矩形底邊中點(diǎn)的橫坐標(biāo)之和.(2)圖2 由圖2可以看出,乙樣本的最小值100低于甲樣本的最小值110,乙樣本的最大值145高于甲樣本的最大值135,這說明乙種鋼筋沒有甲種鋼筋的抗拉強(qiáng)度穩(wěn)定. 我們把一組數(shù)據(jù)的最大值與最小值的差稱為極差（range）.由上圖可以看出,乙的極差較大,數(shù)據(jù)點(diǎn)較分散；甲的極差小,數(shù)據(jù)點(diǎn)較集中,這說明甲比乙穩(wěn)定.運(yùn)用極差對兩組數(shù)據(jù)進(jìn)行比較,操作簡單方便,但如果兩組數(shù)據(jù)的集中程度差異不大時,就不容易得出結(jié)論.(3)選擇的依據(jù)應(yīng)該是,產(chǎn)量高且穩(wěn)產(chǎn)的品種,所以選擇乙更為合理.(4)不符合實(shí)際.樣本太小,沒有代表性.若樣本里有個別高收入者與多數(shù)低收入者差別太大.在統(tǒng)計(jì)學(xué)里,對統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)的分析,需要結(jié)合實(shí)際,側(cè)重于考察總體的相關(guān)數(shù)據(jù)特征.比如,市民平均收入問題,都是考察數(shù)據(jù)的離散程度.(5)把問題(3)中的數(shù)據(jù)在坐標(biāo)系中刻畫出來.我們可以很直觀地知道,乙組數(shù)據(jù)比甲組數(shù)據(jù)更集中在平均數(shù)的附近,即乙的離散程度小, 如何用數(shù)字去刻畫這種離散程度呢? 考察樣本數(shù)據(jù)的離散程度的大小,最常用的統(tǒng)計(jì)量是方差和標(biāo)準(zhǔn)差.標(biāo)準(zhǔn)差：考察樣本數(shù)據(jù)的離散程度的大小,最常用的統(tǒng)計(jì)量是標(biāo)準(zhǔn)差(standard deviation).標(biāo)準(zhǔn)差是樣本數(shù)據(jù)到平均數(shù)的一種平均距離,一般用s表示.所謂“平均距離”,其含義可作如下理解：假設(shè)樣本數(shù)據(jù)是x1,x2,xn,表示這組數(shù)據(jù)的平均數(shù).xi到的距離是|xi|(i=1,2,n).于是,樣本數(shù)據(jù)x1,x2,xn到的“平均距離”是s=.由于上式含有絕對值,運(yùn)算不太方便,因此,通常改用如下公式來計(jì)算標(biāo)準(zhǔn)差：s=.意義：標(biāo)準(zhǔn)差用來表示穩(wěn)定性,標(biāo)準(zhǔn)差越大,數(shù)據(jù)的離散程度就越大,也就越不穩(wěn)定;標(biāo)準(zhǔn)差越小,數(shù)據(jù)的離散程度就越小,也就越穩(wěn)定.從標(biāo)準(zhǔn)差的定義可以看出,標(biāo)準(zhǔn)差s0,當(dāng)s=0時,意味著所有的樣本數(shù)據(jù)都等于樣本平均數(shù).標(biāo)準(zhǔn)差還可以用于對樣本數(shù)據(jù)的另外一種解釋.例如,在關(guān)于居民月均用水量的例子中,平均數(shù)=1.973，標(biāo)準(zhǔn)差s=0.868，所以+s=2.841,+2s=3.709；-s=1.105,-2s=0.237.這100個數(shù)據(jù)中，在區(qū)間-2s,+2s=0.237,3.709外的只有4個，也就是說，-2s,+2s幾乎包含了所有樣本數(shù)據(jù).從數(shù)學(xué)的角度考慮，人們有時用標(biāo)準(zhǔn)差的平方s2方差來代替標(biāo)準(zhǔn)差，作為測量樣本數(shù)據(jù)離散程度的工具,其中s2=(x1-)2+(x2-)2+(xn-)2.顯然，在刻畫樣本數(shù)據(jù)的離散程度上，方差與標(biāo)準(zhǔn)差是一樣的.但在解決實(shí)際問題時，一般多采用標(biāo)準(zhǔn)差.需要指出的是,現(xiàn)實(shí)中的總體所包含的個體數(shù)往往是很多的,總體的平均數(shù)與標(biāo)準(zhǔn)差是不知道的.如何求得總體的平均數(shù)和標(biāo)準(zhǔn)差呢?通常的做法是用樣本的平均數(shù)和標(biāo)準(zhǔn)差去估計(jì)總體的平均數(shù)與標(biāo)準(zhǔn)差.這與前面用樣本的頻率分布來近似地代替總體分布是類似的.只要樣本的代表性好,這樣做就是合理的,也是可以接受的. 兩者都是描述一組數(shù)據(jù)圍繞平均數(shù)波動的大小,實(shí)際應(yīng)用中比較廣泛的是標(biāo)準(zhǔn)差.應(yīng)用示例思路1例1 畫出下列四組樣本數(shù)據(jù)的條形圖,說明它們的異同點(diǎn).(1)5,5,5,5,5,5,5,5,5；(2)4,4,4,5,5,5,6,6,6；(3)3,3,4,4,5,6,6,7,7；(4)2,2,2,2,5,8,8,8,8.分析：先畫出數(shù)據(jù)的條形圖,根據(jù)樣本數(shù)據(jù)算出樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù),利用標(biāo)準(zhǔn)差的計(jì)算公式即可算出每一組數(shù)據(jù)的標(biāo)準(zhǔn)差.解：四組樣本數(shù)據(jù)的條形圖如圖3：圖3四組數(shù)據(jù)的平均數(shù)都是5.,標(biāo)準(zhǔn)差分別是：0.00,0.82,1.49,2.83.它們有相同的平均數(shù),但它們有不同的標(biāo)準(zhǔn)差,說明數(shù)據(jù)的離散程度是不一樣的.例2 甲、乙兩人同時生產(chǎn)內(nèi)徑為25.40 mm的一種零件.為了對兩人的生產(chǎn)質(zhì)量進(jìn)行評比,從他們生產(chǎn)的零件中各抽出20件,量得其內(nèi)徑尺寸如下(單位：mm)：甲25.46 25.32 25.45 25.39 25.3625.34 25.42 25.45 25.38 25.4225.39 25.43 25.39 25.40 25.4425.40 25.42 25.35 25.41 25.39乙25.40 25.43 25.44 25.48 25.4825.47 25.49 25.49 25.36 25.3425.33 25.43 25.43 25.32 25.4725.31 25.32 25.32 25.32 25.48從生產(chǎn)的零件內(nèi)徑的尺寸看，誰生產(chǎn)的質(zhì)量較高?分析：每一個工人生產(chǎn)的所有零件的內(nèi)徑尺寸組成一個總體.由于零件的生產(chǎn)標(biāo)準(zhǔn)已經(jīng)給出(內(nèi)徑25.40 mm),生產(chǎn)質(zhì)量可以從總體的平均數(shù)與標(biāo)準(zhǔn)差兩個角度來衡量.總體的平均數(shù)與內(nèi)徑標(biāo)準(zhǔn)尺寸25.40 mm的差異大時質(zhì)量低,差異小時質(zhì)量高;當(dāng)總體的平均數(shù)與標(biāo)準(zhǔn)尺寸很接近時,總體的標(biāo)準(zhǔn)差小的時候質(zhì)量高,標(biāo)準(zhǔn)差大的時候質(zhì)量低.這樣,比較兩人的生產(chǎn)質(zhì)量,只要比較他們所生產(chǎn)的零件內(nèi)徑尺寸所組成的兩個總體的平均數(shù)與標(biāo)準(zhǔn)差的大小即可.但是,這兩個總體的平均數(shù)與標(biāo)準(zhǔn)差都是不知道的,根據(jù)用樣本估計(jì)總體的思想,我們可以通過抽樣分別獲得相應(yīng)的樣本數(shù)據(jù),然后比較這兩個樣本的平均數(shù)、標(biāo)準(zhǔn)差,以此作為兩個總體之間差異的估計(jì)值.解：用計(jì)算器計(jì)算可得25.401,25.406;s甲0.037,s乙0.068.從樣本平均數(shù)看,甲生產(chǎn)的零件內(nèi)徑比乙的更接近內(nèi)徑標(biāo)準(zhǔn)(25.40 mm),但是差異很小;從樣本標(biāo)準(zhǔn)差看,由于s甲0.02,所以,由這組數(shù)據(jù)可以認(rèn)為甲種水稻的產(chǎn)量比較穩(wěn)定.例2 為了保護(hù)學(xué)生的視力,教室內(nèi)的日光燈在使用一段時間后必須更換.已知某校使用的100只日光燈在必須換掉前的使用天數(shù)如下,試估計(jì)這種日光燈的平均使用壽命和標(biāo)準(zhǔn)差.天數(shù)151180181210211240241270271300301330331360361390燈泡數(shù)1111820251672分析：用每一區(qū)間內(nèi)的組中值作為相應(yīng)日光燈的使用壽命,再求平均壽命.解：各組中值分別為165,195,225,255，285,315,345,375,由此算得平均數(shù)約為1651%+19511% +22518%+25520%+28525%+31516%+3457%+3752%=267.9268(天).這些組中值的方差為1(165-268)2+11(195-268)2+18(225-268)2+20(255-268)2+25 (285-268)2+16(315-268)2+7(345-268)2+2(375-268)2=2 128.60(天2).故所求的標(biāo)準(zhǔn)差約為46（天）.答：估計(jì)這種日光燈的平均使用壽命約為268天,標(biāo)準(zhǔn)差約為46天.知能訓(xùn)練（1）在一次歌手大獎賽上,七位評委為歌手打出的分?jǐn)?shù)如下：9.4,8.4,9.4,9.9,9.6,9.4,9.7,去掉一個最高分和一個最低分后,所剩數(shù)據(jù)的平均值和方差分別為_.（2）若給定一組數(shù)據(jù)x1,x2,xn,方差為s2,則ax1,ax2,axn的方差為_.(3)在相同條件下對自行車運(yùn)動員甲、乙兩人進(jìn)行了6次測試,測得他們的最大速度(單位：m/s)的數(shù)據(jù)如下：甲273830373531乙332938342836 試判斷選誰參加某項(xiàng)重大比賽更合適？答案：（1）9.5,0.016 （2）a2s2(3)=33,=33,s甲2=s乙2=,乙的成績比甲穩(wěn)定,應(yīng)選乙參加比賽更合適.拓展提升 某養(yǎng)魚專業(yè)戶在一個養(yǎng)魚池放入一批魚苗,一年以后準(zhǔn)備出售,為了在出售以前估計(jì)賣掉魚后有多少收入,這個專業(yè)戶已經(jīng)了解到市場的銷售價是每千克15元,請問,這個專業(yè)戶還應(yīng)該了解什么？怎樣去了解？請你為他設(shè)計(jì)一個方案.解：這個專業(yè)戶應(yīng)了解魚的總重量,可以先捕出一些魚（設(shè)有x條）,作上標(biāo)記后放回魚塘,過一段時間再捕出一些魚（設(shè)有a條）,觀察其中帶有標(biāo)記的魚的條數(shù),作為一個樣本來估計(jì)總體,則. 這樣就可以求得總條數(shù),同時把第二次捕出的魚的平均重量求出來,就可以估計(jì)魚塘中的平均重量,進(jìn)而估計(jì)全部魚的重量,最后估計(jì)出收入.課堂小結(jié)1.用樣本的數(shù)字特征估計(jì)總體的數(shù)字特征分兩類： 用樣本平均數(shù)估計(jì)總體平均數(shù),平均數(shù)對數(shù)據(jù)有“取齊”的作用,代表一組數(shù)據(jù)的平均水平. 用樣本標(biāo)準(zhǔn)差估計(jì)總體標(biāo)準(zhǔn)差.樣本容量越大,估計(jì)就越精確,標(biāo)準(zhǔn)差描述一組數(shù)據(jù)圍繞平均數(shù)波動的大小,反映了一組數(shù)據(jù)變化的幅度.2.用樣本估計(jì)總體的兩個手段（用樣本的頻率分布估計(jì)總體的分布；用樣本的數(shù)字特征估計(jì)總體的數(shù)字特征）,需要從總體中抽取一個質(zhì)量較高的樣本,才能不會產(chǎn)生較大的估計(jì)偏差,且樣本容量越大,估計(jì)的結(jié)果也就越精確.作業(yè) 習(xí)題15 3.設(shè)計(jì)感想 統(tǒng)計(jì)學(xué)科,最大的特點(diǎn)就是與現(xiàn)實(shí)生活的密切聯(lián)系,也是新教材的亮點(diǎn).僅僅想借助“死記硬背一些概念及公式,簡單模仿課本例題”來學(xué)習(xí),是絕對不行的.用樣本估計(jì)總體時,如果抽樣的方法比較合理,那么樣本可以反映總體的信息,但從