（浙江版）備戰(zhàn)2018高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 專題1.4 數(shù)列與數(shù)學(xué)歸納法教學(xué)案.doc

專題1.4 數(shù)列與數(shù)學(xué)歸納法【考情動(dòng)態(tài)】考點(diǎn)最新考綱五年統(tǒng)計(jì)數(shù)列的概念和表示方法 了解數(shù)列的概念和表示方法 (列表、圖象、公式)2016浙江131.等差數(shù)列的概念與運(yùn)算1.理解等差數(shù)列的概念，掌握等差數(shù)列的通項(xiàng)公式；2.了解等差數(shù)列與一次函數(shù).2013浙江文19；理18；2014浙江文19；2015浙江文10,17；理3；2016浙江文8；,理6；2017浙江6.2.等差數(shù)列的前n項(xiàng)和1.掌握等差數(shù)列前 n 項(xiàng)和公式及其應(yīng)用；2.會(huì)用數(shù)列的等差關(guān)系解決實(shí)際問題.2013浙江文19；理18；2014浙江文19； 2015浙江理3；2016浙江文8；,理6；2017浙江6.3.等比數(shù)列的概念與運(yùn)算1.理解等比數(shù)列的概念，掌握等比數(shù)列的通項(xiàng)公式；2.了解等比數(shù)列與指數(shù)函數(shù)的關(guān)系.2013浙江文19；理18；2014浙江理19；2015浙江文10,17；理3；2016浙江文17.4.等比數(shù)列前n項(xiàng)和及應(yīng)用1.掌握等比數(shù)列的通項(xiàng)公式與前 n 項(xiàng)和公式及其應(yīng)用；2.會(huì)用數(shù)列的等比關(guān)系解決實(shí)際問題.2016浙江文17.5.數(shù)列求和掌握等差數(shù)列、等比數(shù)列前 n 項(xiàng)和公式及其應(yīng)用.2016浙江文172015浙江文17；,理20；2014浙江文19；理19；2013浙江文19；理18.6與數(shù)列有關(guān)的綜合問題1.理解等差數(shù)列、等比數(shù)列的概念，掌握等差數(shù)列、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式與前 n 項(xiàng)和公式及其應(yīng)用.2了解等差數(shù)列與一次函數(shù)、等比數(shù)列與指數(shù)函數(shù)的關(guān)系.3會(huì)用數(shù)列的等差關(guān)系或等比關(guān)系解決實(shí)際問題.2017浙江6,22；2016浙江文8;理6,20；2015浙江理20；2014浙江文19；理19.7.數(shù)學(xué)歸納法了解數(shù)學(xué)歸納原理，會(huì)用數(shù)學(xué)歸納法證明簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)命題.2017浙江22【熱點(diǎn)重溫】熱點(diǎn)一 確定數(shù)列的通項(xiàng)公式【典例1】【2018屆甘肅省蘭州第一中學(xué)高三上學(xué)期第二次月考】已知正項(xiàng)數(shù)列的首項(xiàng)，前n項(xiàng)和為，若以為坐標(biāo)的點(diǎn)在曲線上，則數(shù)列的通項(xiàng)公式為_【答案】【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練】【2018屆遼寧省丹東市五校協(xié)作體高三上學(xué)期聯(lián)考】設(shè)數(shù)列的前n項(xiàng)和為若 且 則的通項(xiàng)公式_【答案】.【解析】，,，即。又，解得。故。數(shù)列從第二項(xiàng)起是公比為3的等比數(shù)列，故當(dāng)時(shí)， 。答案： 點(diǎn)睛：已知求的三個(gè)步驟(1)先利用求出；(2)用n1替換中的n得到一個(gè)新的關(guān)系，利用 (n2)便可求出當(dāng)n2時(shí)的表達(dá)式；(3)對(duì)n1時(shí)的結(jié)果進(jìn)行檢驗(yàn)，看是否符合n2時(shí)的表達(dá)式，如果符合，則可以把數(shù)列的通項(xiàng)公式合寫；如果不符合，則應(yīng)該分n1與n2兩段來寫 【典例2】【2018屆衡水金卷高三大聯(lián)考理】已知數(shù)列與的前項(xiàng)和分別為， ，且， ， ，若恒成立，則的最小值是( )a. b. c. 49 d. 【答案】b即數(shù)列是以3為首項(xiàng)，3為公差的等差數(shù)列，所以.所以.所以.要使恒成立，只需.故選b. 【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練】已知數(shù)列滿足， （）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（）若， ，求證：對(duì)任意的， .【答案】（1）（2）見解析（）因?yàn)椋?. 因此. 所以，對(duì)任意， 【考向預(yù)測(cè)】關(guān)于數(shù)列的概念問題，雖然在高考中很少獨(dú)立命題，但數(shù)列的通項(xiàng)公式、猜想、歸納、遞推意識(shí)卻融入數(shù)列的試題之中，往往將數(shù)列的前n項(xiàng)和與通項(xiàng)綜合考查熱點(diǎn)二 等差數(shù)列與等比數(shù)列的計(jì)算問題【典例3】【2017課標(biāo)1，理4】記為等差數(shù)列的前項(xiàng)和若，則的公差為a1b2c4d8【答案】c【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練】【2017課標(biāo)3，理9】等差數(shù)列的首項(xiàng)為1，公差不為0若a2，a3，a6成等比數(shù)列，則前6項(xiàng)的和為（ ）a b c3d8【答案】a【解析】【典例4】【2017江蘇，9】等比數(shù)列的各項(xiàng)均為實(shí)數(shù),其前項(xiàng)的和為,已知,則= .【答案】32【解析】當(dāng)時(shí)，顯然不符合題意；當(dāng)時(shí)，解得，則.【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練】【2017課標(biāo)3，理14】設(shè)等比數(shù)列滿足a1 + a2 = 1, a1 a3 = 3，則a4 = _.【答案】【解析】試題分析：設(shè)等比數(shù)列的公比為 ，很明顯 ，結(jié)合等比數(shù)列的通項(xiàng)公式和題意可得方程組：，由 可得： ，代入可得，由等比數(shù)列的通項(xiàng)公式可得： . 【典例5】【2017浙江卷6】已知等差數(shù)列an的公差為d，前n項(xiàng)和為sn，則“d0”是“s4 + s62s5”的（ ）a充分不必要條件b必要不充分條件c充分必要條件d既不充分也不必要條件【答案】c【解析】由，可知當(dāng)，則，即，反之，所以為充要條件，選c【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練】已知是等差數(shù)列的前項(xiàng)和，且，給出下列五個(gè)命題：；數(shù)列中的最大項(xiàng)為；，其中正確命題的個(gè)數(shù)為（ ）a. 2 b. 3 c. 4 d. 5【答案】b【考向預(yù)測(cè)】1.等差數(shù)列的性質(zhì)、通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)和公式構(gòu)成等差數(shù)列的重要內(nèi)容，在歷屆高考中必考，既有獨(dú)立考查的情況，也有與等比數(shù)列等其它知識(shí)內(nèi)容綜合考查的情況選擇題、填空題、解答題多種題型加以考查 2.等比數(shù)列也是高考的常考內(nèi)容，以等比數(shù)列的基本公式及基本運(yùn)算為基礎(chǔ)，可考查單一的等比數(shù)列問題，但更傾向于與等差數(shù)列或其他內(nèi)容相結(jié)合的問題，其中涉及到方程的思想、等價(jià)轉(zhuǎn)化的思想、分類討論的思想等從思維品質(zhì)上看更講究思維的靈活性及深刻性3. 等差(比)數(shù)列基本運(yùn)算的解題思路（1）設(shè)基本量a1和公差d(公比q)（2）列、解方程組：把條件轉(zhuǎn)化為關(guān)于a1和d(q)的方程(組)，然后求解，注意整體計(jì)算，以減少運(yùn)算量（3）注意應(yīng)用分類討論思想：在應(yīng)用等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式時(shí)，必須分類求和，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；在判斷等比數(shù)列單調(diào)性時(shí)，也必須對(duì)與分類討論熱點(diǎn)三 數(shù)列的求和【典例6】【2017課標(biāo)ii，理15】等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，則 ?！敬鸢浮俊窘馕觥俊緦?duì)點(diǎn)訓(xùn)練】【2018屆湖南省衡陽(yáng)縣高三12月聯(lián)考】若曲線在軸的交點(diǎn)處的切線經(jīng)過點(diǎn)，則數(shù)列的前項(xiàng)和_【答案】【解析】令，得，則切點(diǎn)為曲線在軸的交點(diǎn)處的切線方程為切線經(jīng)過點(diǎn)故答案為【典例7】【2018屆安徽省合肥市高三調(diào)研性檢測(cè)】數(shù)列滿足.（）求證：數(shù)列是等差數(shù)列；（）若數(shù)列滿足，求的前項(xiàng)和.【答案】（）證明見解析 （）（）由（）可知， ，由可知.又 ，則，【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練】【2018屆江西省贛州市崇義中學(xué)高三上第二次月考】已知數(shù)列的前項(xiàng)和為， ， 等 差數(shù)列中， ，且公差（）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（）是否存在正整數(shù)，使得?若存在，求出的最小值；若 不存在，請(qǐng)說明理由【答案】（1）， ；（2）4【考向預(yù)測(cè)】數(shù)列求和是高考重點(diǎn)考查的內(nèi)容之一，命題形式多種多樣，以解答題為主，難度中等或稍難，數(shù)列求和問題為先導(dǎo)，在解決數(shù)列基本問題后考查數(shù)列求和，在求和后往往與不等式、函數(shù)、最值等問題綜合.考查等差數(shù)列的求和多于等比數(shù)列的求和，往往在此基礎(chǔ)上考查“裂項(xiàng)相消法”、“錯(cuò)位相減法”.熱點(diǎn)四 數(shù)列的綜合問題【典例8】【2018屆浙江省鎮(zhèn)海中學(xué)高三上學(xué)期期中】已知數(shù)列滿足上： ， .（1）若，證明：數(shù)列是等差數(shù)列；（2）若，判斷數(shù)列的單調(diào)性并說明理由；（3）若，求證： .【答案】（1）依題意， 恒為常數(shù)；（2）見解析；（3）見解析.（3）由，得與異號(hào)，由，求和即可證得.試題解析：（1）依題意， ，平方得：恒為常數(shù).（3）， 與異號(hào)， ， ， ， . .【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練】【浙江省重點(diǎn)中學(xué)2017年12月期末熱身聯(lián)考】已知數(shù)列滿足： ， .求；證明： ；是否存在正實(shí)數(shù)，使得對(duì)任意的，都有，并說明理由【答案】（1）；（2）證明見解析；（3）存在.（2）， ，則，令，則 是遞增數(shù)列，即【典例9】【2018浙屆江省臺(tái)州中學(xué)高三上第三次統(tǒng)練】設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為， .（1）求證：數(shù)列為等差數(shù)列，并分別寫出和關(guān)于的表達(dá)式；（2）是否存在自然數(shù)，使得？若存在，求出的值；若不存在，請(qǐng)說明理由； （3）設(shè)， ，若不等式對(duì)恒成立，求的最大值.【答案】（1）詳見解析；（2）；（3）.【解析】試題分析：（1）利用，求得，這是等差數(shù)列，故；（2），這是等差數(shù)列，前向和為，故；（3），利用裂項(xiàng)求和法求得，解得，故.試題解析：（1）由,得,相減得.故數(shù)列是以為首項(xiàng),以公差的等差數(shù)列. .（2）由（1）知,由,得,即存在滿足條件的自然數(shù).【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練】【2018屆浙江省“七彩陽(yáng)光”聯(lián)盟高三上期初聯(lián)考】在數(shù)列中， ， .（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)，數(shù)列的前項(xiàng)的和為，試求數(shù)列的最小值；（3）求證：當(dāng)時(shí)， .【答案】（1）（2）（3）見解析【考向預(yù)測(cè)】數(shù)列的綜合問題，往往是將數(shù)列求和、數(shù)列的通項(xiàng)公式與不等式、函數(shù)、最值等問題綜合起來，是浙江高考重點(diǎn)考查的內(nèi)容之一，命題形式多種多樣，以解答題為主，難度往往較大，近幾年基本處于最后一道的位置.熱點(diǎn)五 數(shù)學(xué)歸納法【典例10】【2017浙江，22】（本題滿分15分）已知數(shù)列xn滿足：x1=1，xn=xn+1+ln(1+xn+1)（）證明：當(dāng)時(shí)，（）0xn+1xn；（）2xn+1 xn；（）xn【答案】（）見解析；（）見解析；（）見解析（）由得【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練】【2018屆浙江省嘉興市第一中學(xué)高三9月測(cè)試】已知數(shù)列滿足，求證：（i）；（ii）；（iii）.【答案】(1)見解析;(2) 見解析;(3) 見解析.（ii）因?yàn)椋运?（iii）因?yàn)?，所?從而.所以，即.所以.又，故.【典例11】【2018屆浙江省溫州市高三9月一?！恳阎獢?shù)列中，（）（1）求證：；（2）求證：是等差數(shù)列；（3）設(shè)，記數(shù)列的前項(xiàng)和為，求證： 【答案】(1)證明見解析；（2）證明見解析；（3）證明見解析.（2）由，得，所以，即，即，所以，數(shù)列是等差數(shù)列（3）由（2）知，因此，當(dāng)時(shí)，即時(shí)，所以時(shí)，顯然，只需證明，即可當(dāng)時(shí)， 【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練】【2018屆浙江省部分市學(xué)校高三上學(xué)期9+1聯(lián)考】已知數(shù)列滿足： ， ， .（1）證明： ；（2）證明： ；（3）證明： .【答案】(1)證明見解析