高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 84 直線 平面垂直的判定與性質(zhì)課件 新人教A版.pptVIP

最新考綱1 以立體幾何的有關(guān)定義 公理和定理為出發(fā)點(diǎn) 認(rèn)識(shí)和理解空間中線面垂直 面面垂直的有關(guān)性質(zhì)與判定定理 并能夠證明相關(guān)性質(zhì)定理 2 能運(yùn)用線面垂直 面面垂直的判定及性質(zhì)定理證明一些空間圖形的垂直關(guān)系的簡(jiǎn)單命題 第4講直線 平面垂直的判定與性質(zhì) 1 直線與平面垂直 1 直線和平面垂直的定義如果一條直線l與平面 內(nèi)的 直線都垂直 就說(shuō)直線l與平面 互相垂直 知識(shí)梳理 任意 2 判定定理與性質(zhì)定理 兩條相 平行 交直線 l a l b a b a b 2 平面與平面垂直 1 平面與平面垂直的定義兩個(gè)平面相交 如果它們所成的二面角是 就說(shuō)這兩個(gè)平面互相垂直 2 判定定理與性質(zhì)定理 直二面角 垂線 l l 3 直線與平面所成的角 1 定義 平面的一條斜線和它在平面上的射影所成的銳角 叫做這條斜線和這個(gè)平面所成的角 交線 a l a l 4 二面角的有關(guān)概念 1 二面角 從一條直線出發(fā)的 所組成的圖形叫做二面角 2 二面角的平面角 二面角棱上的一點(diǎn) 在兩個(gè)半平面內(nèi)分別作與棱 的射線 則兩射線所成的角叫做二面角的平面角 兩個(gè)半平面 垂直 1 判斷正誤 在括號(hào)內(nèi)打 或 精彩ppt展示 1 直線l與平面 內(nèi)無(wú)數(shù)條直線都垂直 則l 2 若直線a 平面 直線b 則直線a與b垂直 3 若兩平面垂直 則其中一個(gè)平面內(nèi)的任意一條直線垂直于另一個(gè)平面 4 若平面 內(nèi)的一條直線垂直于平面 內(nèi)的無(wú)數(shù)條直線 則 診斷自測(cè) 2 設(shè)平面 與平面 相交于直線m 直線a在平面 內(nèi) 直線b在平面 內(nèi) 且b m 則 是 a b 的 a 充分不必要條件b 必要不充分條件c 充分必要條件d 既不充分也不必要條件解析若 因?yàn)?m b b m 所以根據(jù)兩個(gè)平面垂直的性質(zhì)定理可得b 又a 所以a b 反過(guò)來(lái) 當(dāng)a m時(shí) 因?yàn)閎 m 且a m共面 一定有b a 但不能保證b 所以不能推出 故選a 答案a 3 2013 新課標(biāo)全國(guó) 卷 已知m n為異面直線 m 平面 n 平面 直線l滿足l m l n l l 則 a 且l b 且l c 與 相交 且交線垂直于ld 與 相交 且交線平行于l解析由于m n為異面直線 m 平面 n 平面 則平面 與平面 必相交 但未必垂直 且交線垂直于直線m n 又直線l滿足l m l n 則交線平行于l 故選d 答案d 4 2014 四川卷 如圖 在正方體abcd a1b1c1d1中 點(diǎn)o為線段bd的中點(diǎn) 設(shè)點(diǎn)p在線段cc1上 直線op與平面a1bd所成的角為 則sin 的取值范圍是 答案b 5 2015 寧波模擬 如果正四棱錐的底面邊長(zhǎng)為2 側(cè)面積為4 則它的側(cè)面與底面所成的 銳 二面角的大小為 答案45 考點(diǎn)一直線與平面垂直的判定與性質(zhì) 例1 如圖 在四棱錐p abcd中 pa 底面abcd ab ad ac cd abc 60 pa ab bc e是pc的中點(diǎn) 證明 1 cd ae 2 pd 平面abe 證明 1 在四棱錐p abcd中 pa 底面abcd cd 平面abcd pa cd ac cd 且pa ac a cd 平面pac 而ae 平面pac cd ae 2 由pa ab bc abc 60 可得ac pa e是pc的中點(diǎn) ae pc 由 1 知ae cd 且pc cd c ae 平面pcd 而pd 平面pcd ae pd pa 底面abcd pa ab 又 ab ad且pa ad a ab 平面pad 而pd 平面pad ab pd 又 ab ae a pd 平面abe 規(guī)律方法 1 證明直線和平面垂直的常用方法 線面垂直的定義 判定定理 垂直于平面的傳遞性 a b a b 面面平行的性質(zhì) a a 面面垂直的性質(zhì) 2 證明線面垂直的核心是證線線垂直 而證明線線垂直則需借助線面垂直的性質(zhì) 因此 判定定理與性質(zhì)定理的合理轉(zhuǎn)化是證明線面垂直的基本思想 求證 1 ap 平面bef 2 be 平面pac 證明 1 設(shè)ac be o 所以ae bc ae ab bc 因此四邊形abce為菱形 所以o為ac的中點(diǎn) 又f為pc的中點(diǎn) 因此在 pac中 可得ap of 又of 平面bef ap 平面bef 所以ap 平面bef 2 由題意知ed bc ed bc 所以四邊形bcde為平行四邊形 因此be cd 又ap 平面pcd 所以ap cd 因此ap be 因?yàn)樗倪呅蝍bce為菱形 所以be ac 又ap ac a ap ac 平面pac 所以be 平面pac 考點(diǎn)二平面與平面垂直的判定與性質(zhì) 例2 如圖 在四棱錐p abcd中 ab ac ab pa ab cd ab 2cd e f g m n分別為pb ab bc pd pc的中點(diǎn) 求證 1 ce 平面pad 2 平面efg 平面emn 證明 1 法一取pa的中點(diǎn)h 連接eh dh 因?yàn)閑為pb的中點(diǎn) 所以eh ab 所以eh cd 且eh cd 因此四邊形dceh是平行四邊形 所以ce dh 又dh 平面pad ce 平面pad 因此 ce 平面pad 所以四邊形afcd為平行四邊形 因此cf ad 又cf 平面pad ad 平面pad 所以cf 平面pad 因?yàn)閑 f分別為pb ab的中點(diǎn) 所以ef pa 又ef 平面pad pa 平面pad 所以ef 平面pad 因?yàn)閏f ef f 故平面cef 平面pad 又ce 平面cef 所以ce 平面pad 2 因?yàn)閑 f分別為pb ab的中點(diǎn) 所以ef pa 又ab pa 所以ab ef 同理可證ab fg 又ef fg f ef 平面efg fg 平面efg 因此ab 平面efg 又m n分別為pd pc的中點(diǎn) 所以mn cd 又ab cd 所以mn ab 因此mn 平面efg 又mn 平面emn 所以平面efg 平面emn 規(guī)律方法 1 證明平面和平面垂直的方法 面面垂直的定義 面面垂直的判定定理 a a 2 已知兩平面垂直時(shí) 一般要用性質(zhì)定理進(jìn)行轉(zhuǎn)化 在一個(gè)平面內(nèi)作交線的垂線 轉(zhuǎn)化為線面垂直 然后進(jìn)一步轉(zhuǎn)化為線線垂直 訓(xùn)練2 2014 江蘇卷 如圖 在三棱錐p abc中 d e f分別為棱pc ac ab的中點(diǎn) 已知pa ac pa 6 bc 8 df 5 求證 1 直線pa 平面def 2 平面bde 平面abc 證明 1 因?yàn)閐 e分別為棱pc ac的中點(diǎn) 所以de pa 又因?yàn)閜a 平面def de 平面def 所以直線pa 平面def 所以 def 90 即de ef 又pa ac de pa 所以de ac 因?yàn)閍c ef e ac 平面abc ef 平面abc 所以de 平面abc 又de 平面bde 所以平面bde 平面abc 考點(diǎn)三線面角 二面角的求法 例3 如圖 在四棱錐p abcd中 pa 底面abcd ab ad ac cd abc 60 pa ab bc e是pc的中點(diǎn) 1 求pb和平面pad所成的角的大小 2 證明 ae 平面pcd 3 求二面角a pd c的正弦值 1 解在四棱錐p abcd中 因pa 底面abcd ab 平面abcd 故pa ab 又ab ad pa ad a 從而ab 平面pad 故pb在平面pad內(nèi)的射影為pa 從而 apb為pb和平面pad所成的角 在rt pab中 ab pa 故 apb 45 所以pb和平面pad所成的角的大小為45 2 證明在四棱錐p abcd中 因pa 底面abcd cd 平面abcd 故cd pa 由條件cd ac pa ac a cd 平面pac 又ae 平面pac ae cd 由pa ab bc abc 60 可得ac pa e是pc的中點(diǎn) ae pc 又pc cd c 綜上得ae 平面pcd 3 解過(guò)點(diǎn)e作em pd 垂足為m 連接am 如圖所示 由 2 知 ae 平面pcd am在平面pcd內(nèi)的射影是em 則am pd 因此 ame是二面角a pd c的平面角 由已知 可得 cad 30 設(shè)ac a 可得 規(guī)律方法求線面角 二面角的常用方法 1 線面角的求法 找出斜線在平面上的射影 關(guān)鍵是作垂線 找垂足 要把線面角轉(zhuǎn)化到一個(gè)三角形中求解 2 二面角的大小求法 二面角的大小用它的平面角來(lái)度量 平面角的作法常見(jiàn)的有 定義法 垂面法 注意利用等腰 等邊三角形的性質(zhì) 訓(xùn)練3 2014 天津一考 如圖所示 在四棱錐p abcd中 底面abcd是正方形 側(cè)棱pd 底面abcd pd dc e是pc的中點(diǎn) 作ef pb交pb于點(diǎn)f 1 證明pa 平面edb 2 證明pb 平面efd 3 求二面角c pb d的大小 1 證明如圖所示 連接ac ac交bd于o 連接eo 底面abcd是正方形 點(diǎn)o是ac的中點(diǎn) 在 pac中 eo是中位線 pa eo 而eo 平面edb且pa 平面edb pa 平面edb 2 證明 pd 底面abcd 且dc 底面abcd pd dc pd dc 可知 pdc是等腰直角三角形 而de是斜邊pc的中線 de pc 同樣 由pd 底面abcd 得pd bc 底面abcd是正方形 有dc bc bc 平面pdc 而de 平面pdc bc de 由 和 且pc bc c可推得de 平面pbc 而pb 平面pbc de pb 又ef pb且de ef e pb 平面efd 3 解由 2 知 pb df 故 efd是二面角c pb d的平面角 由 2 知de ef pd db 設(shè)正方形abcd的邊長(zhǎng)為a 思想方法 1 證明線線垂直的方法 1 定義 兩條直線所成的角為90 2 平面幾何中證明線線垂直的方法 3 線面垂直的性質(zhì) a b a b 4 線面垂直的性質(zhì) a b a b 2 空間中直線與直線垂直 直線與平面垂直 平面與平面垂直三者之間可以相互轉(zhuǎn)化 每一種垂直的判定都是從某種垂直開(kāi)始轉(zhuǎn)向另一種垂直最終達(dá)到目的 其轉(zhuǎn)化關(guān)系為在證明兩平面垂直時(shí)一般先從現(xiàn)有的直線中尋找平面的垂線 若這樣的直線圖中不存在 則可通過(guò)作輔助