高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 2.7 函數(shù)的圖像課件 文 新人教A版.ppt

2 7函數(shù)的圖像 1 函數(shù)圖像的主要作法有描點(diǎn)連線法 圖像變換法 描點(diǎn)連線法作圖的一般步驟為列表 描點(diǎn) 連線 熟悉函數(shù)圖像作法后可以不要列表這一步 直接邊算邊描點(diǎn) 2 函數(shù)在某區(qū)間上的單調(diào)性決定了函數(shù)圖像在這個(gè)區(qū)間上的大致變化趨勢(shì) 結(jié)合圖像對(duì)解決問題很有幫助 一 函數(shù)圖像 二 幾個(gè)常見函數(shù)的圖像 三 圖像的變換 圖像變換法是由一個(gè)已知的函數(shù)圖像 或是已知的一段函數(shù)圖像 經(jīng)過(guò)適當(dāng)?shù)淖儞Q 得到我們所需要的圖像 圖像變換法有平移變換 對(duì)稱變換 伸縮變換 周期變換等 其中對(duì)稱變換有點(diǎn)對(duì)稱與直線對(duì)稱等 y f x y f x a y f x y f x a y f x y f x a y f x y f x a 2 伸縮變換的兩種基本平移形式 其中a 0 0 y f x y f 1 平移變換的四種基本平移形式 其中a 0 y f x f x 3 對(duì)稱變換 1 點(diǎn)對(duì)稱 圖像上的兩個(gè)互相對(duì)應(yīng)點(diǎn)的中點(diǎn)為對(duì)稱點(diǎn) 若對(duì)于任意的x都有f x f 2a x 2b 則f x 關(guān)于點(diǎn) a b 對(duì)稱 2 直線對(duì)稱性 圖像上的兩個(gè)互相對(duì)應(yīng)點(diǎn)的中點(diǎn)在直線上 如果兩個(gè)點(diǎn)不相同 則直線為兩個(gè)點(diǎn)連線段的垂直平分線 常見的對(duì)稱有關(guān)于x軸 y軸 直線y x 直線x y 0 直線x a 直線y b對(duì)稱 3 與絕對(duì)值有關(guān)的對(duì)稱 y f x 的圖像是保留y f x 圖像不在x軸下方的部分 將y f x 圖像中位于x軸下方的部分以x軸為對(duì)稱軸翻折到x軸上方去 y f x 是一個(gè)偶函數(shù) 圖像關(guān)于y軸對(duì)稱 故只需畫出y軸右半部分的圖像就可得到y(tǒng)軸左半部分的圖像 四 試題中的常見問題 1 若f a x f b x 恒成立 則y f x 的圖像關(guān)于x 成軸對(duì)稱圖形 2 函數(shù)y f x a 與函數(shù)y f b x 的圖像關(guān)于直線x 對(duì)稱 3 若定義在r上的函數(shù)f x 關(guān)于直線x a與x b b a 都對(duì)稱 則函數(shù)f x 為周期函數(shù) 2b 2a是它的一個(gè)周期 4 若定義在r上的函數(shù)f x 關(guān)于點(diǎn) a c 和 b c b a 成中心對(duì) 稱 則函數(shù)f x 為周期函數(shù) 2b 2a是它的一個(gè)周期 5 若定義在r上的函數(shù)f x 關(guān)于點(diǎn) a c 成中心對(duì)稱 關(guān)于直線x b b a 成軸對(duì)稱 則函數(shù)f x 為周期函數(shù) 4b 4a是它的一個(gè)周期 1 方程log2 x 4 3x的實(shí)根的個(gè)數(shù)為 a 0個(gè) b 1個(gè) c 2個(gè) d 3個(gè) 解析 借助圖形 由圖可知 答案 c 2 函數(shù)f x 的圖像大致是 解析 f x f x 故f x 為奇函數(shù) 又f 1 0 故排除a b c 答案 d 3 函數(shù)y ln 1 x 的圖像大致為 解析 y lnx與y ln x 的圖像關(guān)于y軸對(duì)稱 y ln x 的圖像向右平移1個(gè)單位得y ln x 1 ln 1 x 故選c 答案 c 題型1函數(shù)圖像基礎(chǔ)題 例1作出下列函數(shù)的圖像 y x 2 x 1 y 2 x 3 分析 作函數(shù)圖像可以用兩種方法進(jìn)行 一是轉(zhuǎn)化函數(shù)解析式 這里是去掉絕對(duì)值符號(hào) 再采用描點(diǎn)法 二是利用基本函數(shù)圖像進(jìn)行適當(dāng)?shù)刈儞Q 解析 y 這是分段函數(shù) 每段函數(shù)圖像可根據(jù)二次函數(shù)圖像作出 如圖1 先作出函數(shù)y 2x 去掉y軸左邊的圖像 并將右邊的圖像復(fù)制到左邊 得到函數(shù)y 2 x 的圖像 然后再將函數(shù)y 2 x 的圖像向左平移3個(gè)單位得到 圖中的實(shí)線就是所求作的函數(shù)圖像 如 圖2 點(diǎn)評(píng) 為了作圖 必須要熟悉常見基本初等函數(shù)的圖像 并從函數(shù)的性質(zhì) 如定義域 值域 奇偶性 對(duì)稱性 單調(diào)性 過(guò)定點(diǎn)等 來(lái)確定函數(shù)圖像 在作函數(shù)圖像時(shí) 若作不熟悉的函數(shù)圖像 可以先變形為基本函數(shù)再作圖 但要注意變形的等價(jià)性以及x y的變化范圍 熟記基本函數(shù)的圖像 如 一次函數(shù) 反比例函數(shù) 二次函數(shù) 冪函數(shù) 指數(shù)函數(shù) 對(duì)數(shù)函數(shù)等圖像 利用變換法作圖時(shí) 要正確理解和應(yīng)用變換規(guī)律 抓住關(guān)鍵點(diǎn)和線 變式訓(xùn)練1作出下列函數(shù)的圖像 1 y 2 y log2 x 1 解析 1 y 2 作出函數(shù)y 的圖像 然后向右平移3個(gè)單位 再向下平移2個(gè)單位 得到所求函數(shù)的圖像 如圖1 函數(shù)y log2x的圖像 向右平移1個(gè)單位得函數(shù)y log2 x 1 的圖像 然后作出該圖像關(guān)于y軸的對(duì)稱圖像 得函數(shù)y log2 x 1 的圖像 如圖2 2 y log2 x 1 的定義域?yàn)?1 1 是偶函數(shù) 先作出 例2已知a 0且a 1 f x x2 ax 當(dāng)x 1 1 時(shí) 均有f x 求實(shí)數(shù)a的取值范圍 分析 把二次與指數(shù)分開 將問題轉(zhuǎn)化為研究二次函數(shù)與指數(shù)函數(shù)的關(guān)系 解析 x 1 1 時(shí) 均有f x x2 ax x2 ax在x 1 1 恒成立 題型2利用函數(shù)圖像解題 令g x x2 x ax 當(dāng)x 1 1 時(shí) g x 的圖像在 x 的圖像的下方 當(dāng)a 1時(shí) 結(jié)合圖像可知a 1 即1 a 2 當(dāng)0 a 1時(shí) 結(jié)合圖像可知 a 1 點(diǎn)評(píng) 本題結(jié)合了化歸與轉(zhuǎn)化的思想 討論的思想 數(shù)形結(jié)合的思想 從而輕松解決問題 直接運(yùn)算是比較困難的 變式訓(xùn)練2若不等式logax sin2x a 0且a 1 對(duì)于任意 0 都成立 求實(shí)數(shù)a的取值范圍 解析 令函數(shù)g x logax x sin2x 在 0 上 g x logax的圖像在 x sin2x的圖像的上方 結(jié)合圖形可知 x sin2x過(guò)點(diǎn) 1 且在 0 上單調(diào)遞增 只有當(dāng)01 即loga 1時(shí) 才滿足題意 a 1 實(shí)數(shù)a的取值范圍 1 例3設(shè)f x 是定義在r上的偶函數(shù) 對(duì)任意x r 都有f x 2 f x 2 且當(dāng)x 2 0 時(shí) f x x 1 若在區(qū)間 2 6 內(nèi)關(guān)于x的方程f x loga x 2 0 a 1 恰有3個(gè)不同的實(shí)數(shù)根 求實(shí)數(shù)a的取值范圍 分析 利用偶函數(shù) 周期性的性質(zhì)和數(shù)形結(jié)合的方法 再根據(jù)圖像分析函數(shù)的實(shí)根取值個(gè)數(shù) 題型3函數(shù)圖像的綜合問題 對(duì)任意x r 都有f x 2 f x 2 f x 的周期為4 當(dāng)x 2 0 時(shí) f x x 1 所以就可以畫出一個(gè)周期的圖像 f x loga x 2 0 a 1 即f x loga x 2 作圖分析 函數(shù)f x 與函數(shù)y loga x 2 的圖像在 2 6 上有三個(gè)交點(diǎn) 解析 f x 是定義在r上的偶函數(shù) f x 的圖像關(guān)于y軸對(duì)稱 a 2 點(diǎn)評(píng) 本題根據(jù)函數(shù)圖像運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的方法巧妙解題 體現(xiàn)了函數(shù)圖像在函數(shù)綜合問題中的重要作用 變式訓(xùn)練3已知f x 是r上的單調(diào)函數(shù) 且對(duì)任意的實(shí)數(shù)a r 有f a f a 0恒成立 若f 3 2 1 試判斷f x 在r上的單調(diào)性 并說(shuō)明理由 2 解關(guān)于x的不等式 f f m 0 解析 1 f x 為r上的減函數(shù) 理由如下 由題設(shè)可知f x 是r上的奇函數(shù) f 0 0 又因f x 是r上的單調(diào)函數(shù) 由f 3 2 f 0 f 3 所以f x 為r上的減函數(shù) 2 由f f m 0 得f f m f m 結(jié)合 1 得 m 整理得 0 當(dāng)m 1時(shí) 不等式的解集為 x x 0 或x 當(dāng)m 1時(shí) 不等式的解集為 x x 0 當(dāng)0 m 1時(shí) 不等式的解集為 x 0 x 1 熟練地掌握基本函數(shù)的圖像是解決有關(guān)圖像問題的基礎(chǔ)與關(guān)鍵 也是數(shù)形結(jié)合思想的具體體現(xiàn) 2 掌握函數(shù)圖像的兩種作法 描點(diǎn)法體現(xiàn)的是通過(guò)作圖分析函數(shù)的性質(zhì) 而變換法體現(xiàn)的是利用函數(shù)的性質(zhì)分析函數(shù)的圖像 再反作用于函數(shù)的性質(zhì) 3 要求能正確地從函數(shù)的圖像去討論函數(shù)的性質(zhì) 也要能用函數(shù)的性質(zhì)去研究函數(shù)和認(rèn)識(shí)函數(shù)的圖像 4 能夠正確地運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的思想解決問題 例已知函數(shù)f x x2 1 1 g x 2x 則它們圖像的交點(diǎn)有 a 1個(gè) b 2個(gè) c 3個(gè) d 4個(gè) 錯(cuò)解 作圖 選b 剖析 本題錯(cuò)誤的原因是沒有掌握函數(shù)圖像的 伸展趨勢(shì) 因?yàn)?我們作圖不可能把整個(gè)函數(shù)全部作出 也不可能十分精確 所以 必須注意函數(shù)圖像的 伸展趨勢(shì) 本題中f x 的圖像是拋物線的屬性 而g x 是指數(shù)函數(shù)的屬性 當(dāng)x增大時(shí) 指數(shù)函數(shù)的圖像上升的速度顯然比拋物線快 故在上述圖像中除a b外必有一點(diǎn)c是它們的交點(diǎn) 事實(shí)上c點(diǎn)為 4 16 圖像略 正解 通過(guò)數(shù)形結(jié)合并結(jié)合函數(shù)的性質(zhì)可知有3個(gè)交點(diǎn) 答案 c 一 選擇題 本大題共5小題 每小題6分 1 基礎(chǔ)再現(xiàn) 下列函數(shù)圖像中不正確的是 解析 函數(shù)y log2 x 是一個(gè)偶函數(shù) 圖像應(yīng)關(guān)于y軸對(duì)稱 故d圖不正確 答案 d 2 基礎(chǔ)再現(xiàn) 函數(shù)y log2的圖像 a 關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱 b 關(guān)于直線y x對(duì)稱 c 關(guān)于y軸對(duì)稱 d 關(guān)于直線y x對(duì)稱 解析 令f x log2 則f x log2 log2 f x 所以f x 是奇函數(shù) 答案 a 3 基礎(chǔ)再現(xiàn) 函數(shù)y loga x 1 a 1 的圖像大致是 解析 函數(shù)的定義域?yàn)閞 故c d錯(cuò) 當(dāng)x 0時(shí) y loga x 1 a 1 只有圖像b滿足條件 故選b 答案 b 4 視角拓展 已知函數(shù)f x loga 2x b 1 a 0 a 1 的圖像如圖所示 則a b滿足的關(guān)系是 a a b a 1 1 b 0 a 1 b 1 c 0 b 1 a 1 d 0 a 1 b 1 1 解析 函數(shù)f x 是增函數(shù) 利用復(fù)合函數(shù)的性質(zhì)可知a 1 f 0 logab 1 logaa 1 且f 0 logab 0 loga1 0 a 1 b 1 答案 b 5 高度提升 若函數(shù)f x k 1 ax a x a 0且a 1 在r上既是奇函數(shù) 又是減函數(shù) 則g x loga x k 的圖像是 k 2 f x ax a x 又f x 在r上是減函數(shù) 0 a 1 g x 的圖像應(yīng)是a 答案 a 解析 由函數(shù)f x 在r上是奇函數(shù) 可得f x f x 即 k 1 a x ax 1 k ax a x 6 基礎(chǔ)再現(xiàn) 若對(duì)任意x r 不等式 x ax恒成立 則實(shí)數(shù)a的取值范圍是 解析 在同一坐標(biāo)系中作出函數(shù)y x 與函數(shù)y ax的圖像 函數(shù)y x 的圖像恒在函數(shù)y ax的圖像上方或部分重合 所以 1 a 1 答案 1 1 二 填空題 本大題共4小題 每小題7分 7 視角拓展 若直線y 2a與函數(shù)y ax 1 a 0且a 1 的圖像有兩個(gè)公共點(diǎn) 則實(shí)數(shù)a的取值范圍為 解析 討論a 1 0 a 1時(shí)兩種情況的圖像 可得0 2a 1 0 a 答案 0 8 高度提升 已知函數(shù)f x log3x 正實(shí)數(shù)m n滿足m n且f m f n 若f x 在區(qū)間 m n2 上的最大值為2 則m n的值為 解析 依題意可知mn 1 且01 m n 1 m n2 n 1 n2 f x 在區(qū)間 m n2 上的最大值為f n2 log3n2 2log3n 2 n 3 m m n 答案 9 高度提升 已知f x 是定義在 3 3 上的奇函數(shù) 當(dāng)0 x 3時(shí) f x 的圖像如右圖所示 則不等式f x cosx 0的解集是 解析 f x 是 3 3 上的奇函數(shù) f x 0的解集是 1 0 1 3 f x 0的解集是 3 1 0 1 又在 3 3 上cosx 0的解集是 cosx 0的解集是 3 3 f x cosx 0等價(jià)于或 解得 x 1或0 x 1或 x 3 答案 1 0 1 3 10 視角拓展 設(shè)函數(shù)f x x2 logax a 0 a 1 若不等式f x 0在 0 上恒成立 求實(shí)數(shù)a的取值范圍 解析 f x 0 x2 logax 在同一直角坐標(biāo)系中作出函數(shù)y x2和y logax的圖像 x2 logax在 0 上恒成立 等價(jià)于在區(qū)間 0 上 y logax的圖像在y x2的圖像的上方 于是0 a 1 如圖 三 解答題 本大題共3小題 每小題14分 x 時(shí) y x2 11 視角拓展 已知函數(shù)f x 的圖像如圖所示 f x 為奇函數(shù) 其定義域?yàn)?0 0 解不等式x f x f x 0 或 因?yàn)閒 x 為奇函數(shù) 或 3 x 0或0 x 3 不等式的解集為 3 0 0