（浙江通用）高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習 第八章 平面解析幾何 8.4 直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系.doc

【步步高】（浙江通用）2017版高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習 第八章 平面解析幾何 8.4 直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系1判斷直線與圓的位置關(guān)系常用的兩種方法(1)幾何法：利用圓心到直線的距離d和圓半徑r的大小關(guān)系dr相離(2)代數(shù)法：2圓與圓的位置關(guān)系設(shè)圓o1：(xa1)2(yb1)2r(r10)，圓o2：(xa2)2(yb2)2r(r20).方法位置關(guān)系幾何法：圓心距d與r1，r2的關(guān)系代數(shù)法：聯(lián)立兩圓方程組成方程組的解的情況外離dr1r2無解外切dr1r2一組實數(shù)解相交|r1r2|dr1r2兩組不同的實數(shù)解內(nèi)切d|r1r2|(r1r2)一組實數(shù)解內(nèi)含0d|r1r2|(r1r2)無解【知識拓展】1圓的切線方程常用結(jié)論(1)過圓x2y2r2上一點p(x0，y0)的圓的切線方程為x0xy0yr2.(2)過圓(xa)2(yb)2r2上一點p(x0，y0)的圓的切線方程為(x0a)(xa)(y0b)(yb)r2.(3)過圓x2y2r2外一點m(x0，y0)作圓的兩條切線，則兩切點所在直線方程為x0xy0yr2.2常用結(jié)論(1)兩圓的位置關(guān)系與公切線的條數(shù)：內(nèi)含：0條；內(nèi)切：1條；相交：2條；外切：3條；外離：4條(2)當兩圓相交時，兩圓方程(x2，y2項系數(shù)相同)相減便可得公共弦所在直線的方程【思考辨析】判斷下面結(jié)論是否正確(請在括號中打“”或“”)(1)“k1”是“直線xyk0與圓x2y21相交”的必要不充分條件()(2)如果兩個圓的方程組成的方程組只有一組實數(shù)解，則兩圓外切()(3)如果兩圓的圓心距小于兩圓的半徑之和，則兩圓相交()(4)從兩圓的方程中消掉二次項后得到的二元一次方程是兩圓的公共弦所在的直線方程()(5)過圓o：x2y2r2上一點p(x0，y0)的圓的切線方程是x0xy0yr2.()(6)過圓o：x2y2r2外一點p(x0，y0)作圓的兩條切線，切點分別為a，b，則o，p，a，b四點共圓且直線ab的方程是x0xy0yr2.()1(教材改編)圓(x1)2(y2)26與直線2xy50的位置關(guān)系是()a相切 b相交但直線不過圓心c相交過圓心 d相離答案b解析由題意知圓心(1，2)到直線2xy50的距離d1，而圓心o到直線axby1的距離d0，解得k0，即(k2)(k3)0，解得k2或k0，所以不論k為何實數(shù)，直線l和圓c總有兩個交點(2)解設(shè)直線與圓交于a(x1，y1)、b(x2，y2)兩點，則直線l被圓c截得的弦長|ab|x1x2|22 ，令t，則tk24k(t3)0，當t0時，k，當t0時，因為kr，所以164t(t3)0，解得1t4，且t0，故t的最大值為4，此時|ab|最小為2.題型二圓與圓的位置關(guān)系例2(1)圓(x2)2y24與圓(x2)2(y1)29的位置關(guān)系為()a內(nèi)切 b相交 c外切 d外離(2)過兩圓x2y24xy1，x2y22x2y10的交點的圓中面積最小的圓的方程為_(3)(2015南京模擬)如果圓c：x2y22ax2ay2a240與圓o：x2y24總相交，那么實數(shù)a的取值范圍是_答案(1)b(2)22(3)(2，0)(0,2)解析(1)兩圓圓心分別為(2,0)和(2,1)，半徑分別為2和3，圓心距d.32d32，兩圓相交(2)由得2xy0，代入得x或1，兩圓兩個交點為，(1，2)過兩交點的圓中，以，(1，2)為端點的線段為直徑的圓時，面積最小該圓圓心為，半徑為，圓的方程為22.(3)c的標準方程為(xa)2(ya)24，圓心坐標為(a，a)，半徑為2.依題意得：022，0|a|2.a(2，0)(0,2)思維升華圓與圓的位置關(guān)系判斷圓與圓的位置關(guān)系時，一般用幾何法，其步驟是(1)確定兩圓的圓心坐標和半徑長；(2)利用平面內(nèi)兩點間的距離公式求出圓心距d，求r1r2，|r1r2|；(3)比較d，r1r2，|r1r2|的大小，寫出結(jié)論(1)圓c1：x2y22y0，c2：x2y22x60的位置關(guān)系為()a外離 b外切c相交 d內(nèi)切答案d解析圓c1：x2y22y0的圓心為：c1(0,1)，半徑r11，圓c2：x2y22x60的圓心為：c2(，0)，半徑r23，|c1c2|2，又r1r24，r2r12，|c1c2|r2r12，圓c1與c2內(nèi)切(2)已知圓m：x2(y1)24，圓n的圓心(2,1)，若圓m與圓n交于a，b兩點，且|ab|2，則圓n的方程為()a(x2)2(y1)24b(x2)2(y1)220c(x2)2(y1)212d(x2)2(y1)24或(x2)2(y1)220答案d解析設(shè)圓n：(x2)2(y1)2r2，則圓m與圓n的公共弦方程為4x4y8r20，得.解得r220或r24.題型三直線與圓的綜合問題命題點1求弦長問題例3(2015課標全國)過三點a(1,3)，b(4,2)，c(1，7)的圓交y軸于m、n兩點，則|mn|等于()a2 b8 c4 d10答案c解析由已知，得(3，1)，(3，9)，則3(3)(1)(9)0，所以，即abbc，故過三點a、b、c的圓以ac為直徑，得其方程為(x1)2(y2)225，令x0得(y2)224，解得y122，y222，所以|mn|y1y2|4，選c.命題點2由直線與圓相交求參數(shù)問題例4(2015課標全國)已知過點a(0,1)且斜率為k的直線l與圓c：(x2)2(y3)21交于m，n兩點(1)求k的取值范圍；(2)若12，其中o為坐標原點，求|mn|.解(1)由題設(shè)，可知直線l的方程為ykx1，因為直線l與圓c交于兩點，所以1.解得k0)，若圓c上存在點p，使得apb90，則m的最大值為()a7 b6 c5 d4解析(1)由a，b，c在圓x2y21上，且abbc，ac為圓直徑，故2(4,0)，設(shè)b(x，y)，則x2y21且x1,1，(x2，y)，所以(x6，y)故|，x1時有最大值7，故選b.(2)根據(jù)題意，畫出示意圖，如圖所示，則圓心c的坐標為(3,4)，半徑r1，且|ab|2m.因為apb90，連接op，易知|op|ab|m.要求m的最大值，即求圓c上的點p到原點o的最大距離因為|oc|5，所以|op|max|oc|r6，即m的最大值為6.答案(1)b(2)b二、直線與圓的綜合問題典例2(1)(2015重慶)已知直線l：xay10(ar)是圓c：x2y24x2y10的對稱軸，過點a(4，a)作圓c的一條切線，切點為b，則|ab|等于()a2 b4 c6 d2(2)(2014江西)在平面直角坐標系中，a，b分別是x軸和y軸上的動點，若以ab為直徑的圓c與直線2xy40相切，則圓c面積的最小值為()a. b.c(62) d.解析(1)由于直線xay10是圓c：x2y24x2y10的對稱軸，圓心c(2,1)在直線xay10上，2a10，a1，a(4，1)|ac|236440.又r2，|ab|240436.|ab|6.(2)aob90，點o在圓c上設(shè)直線2xy40與圓c相切于點d，則點c與點o間的距離等于它到直線2xy40的距離，點c在以o為焦點，以直線2xy40為準線的拋物線上，當且僅當o，c，d共線時，圓的直徑最小為|od|.又|od|，圓c的最小半徑為，圓c面積的最小值為()2.答案(1)c(2)a溫馨提醒(1)與圓有關(guān)的最值問題主要表現(xiàn)在求幾何圖形的長度、面積的最值，求點到直線的距離的最值，求相關(guān)參數(shù)的最值等方面解決此類問題的主要思路是利用圓的幾何性質(zhì)將問題轉(zhuǎn)化(2)直線與圓的綜合問題主要包括弦長問題，切線問題及組成圖形面積問題，解決方法主要依據(jù)圓的幾何性質(zhì)方法與技巧1直線與圓的位置關(guān)系體現(xiàn)了圓的幾何性質(zhì)和代數(shù)方法的結(jié)合，“代數(shù)法”與“幾何法”是從不同的方面和思路來判斷的2求過一點的圓的切線方程時，首先要判斷此點是否在圓上，然后設(shè)出切線方程注意：斜率不存在的情形3圓的弦長的常用求法(1)幾何法：求圓的半徑為r，弦心距為d，弦長為l，則2r2d2；(2)代數(shù)方法：運用根與系數(shù)的關(guān)系及弦長公式：|ab|x1x2|.失誤與防范1求圓的弦長問題，注意應(yīng)用圓的性質(zhì)解題，即用圓心與弦中點連線與弦垂直的性質(zhì)，可以用勾股定理或斜率之積為1列方程來簡化運算2過圓上一點作圓的切線有且只有一條；過圓外一點作圓的切線有且只有兩條，若僅求得一條，除了考慮運算過程是否正確外，還要考慮斜率不存在的情況，以防漏解a組專項基礎(chǔ)訓(xùn)練(時間：35分鐘)1(2015廣東)平行于直線2xy10且與圓x2y25相切的直線的方程是()a2xy50或2xy50b2xy0或2xy0c2xy50或2xy50d2xy0或2xy0答案a解析設(shè)所求直線方程為2xyc0，依題有，解得c5，所以所求直線方程為2xy50或2xy50，故選a.2已知直線axy20與圓心為c的圓(x1)2(ya)24相交于a、b兩點，且abc為等邊三角形，則實數(shù)a的值為()a4 b4c4 d4答案c解析易知abc是邊長為2的等邊三角形故圓心c(1，a)到直線ab的距離為.即，解得a4.3若圓c1：x2y22axa290(ar)與圓c2：x2y22byb210 (br)內(nèi)切，則ab的最大值為()a. b2 c4 d2答案b解析圓c1：x2y22axa290 (ar)化為：(xa)2y29，圓心坐標為(a,0)，半徑為3.圓c2：x2y22byb210 (br)，化為x2(yb)21，圓心坐標為(0，b)，半徑為1，圓c1：x2y22axa290 (ar)與圓c2：x2y22byb210 (br)內(nèi)切，31，即a2b24，ab(a2b2)2.ab的最大值為2.4過點p(3,1)作圓c：(x1)2y21的兩條切線，切點分別為a，b，則直線ab的方程為()a2xy30 b2xy30c4xy30 d4xy30答案a解析如圖所示：由題意知：abpc，kpc，kab2，直線ab的方程為y12(x1)，即2xy30.5若直線ykx與圓(x2)2y21的兩個交點關(guān)于直線2xyb0對稱，則k，b的值分別為()a.，4 b，4c.，4 d，4答案a解析因為直線ykx與圓(x2)2y21的兩個交點關(guān)于直線2xyb0對稱，則ykx與直線2xyb0垂直，且2xyb0過圓心，所以解得k，b4.6(2015山東)過點p(1，)作圓x2y21的兩條切線，切點分別為a，b，則_.答案解析由題意，圓心為o(0,0)，半徑為1.如圖所示，p(1，)，pax軸，papb.poa為直角三角形，其中oa1，ap，則op2，opa30，apb60.|cosapbcos 60.7已知曲線c：x，直線l：x6，若對于點a(m,0)，存在c上的點p和l上的點q使得0，則m的取值范圍為_答案2,3解析曲線c：x，是以原點為圓心，2為半徑的半圓，并且xp2,0，對于點a(m,0)，存在c上的點p和l上的點q使得0，說明a是pq的中點，q的橫坐標x6，m2,38設(shè)圓c的半徑為1，圓心在l：yx (x0)上，若圓c與圓x2y24相交，則圓心c的橫坐標的取值范圍為_答案解析設(shè)圓c的圓心坐標為c(x，x)圓x2y24的圓心坐標為(0,0)，半徑為2，兩圓圓心距為d2x.由兩圓相交，得21d21，即12x3，解得x.9已知以點c(t，)(tr，t0)為圓心的圓與x軸交于點o，a，與y軸交于點o，b，其中o為原點(1)求證：oab的面積為定值；(2)設(shè)直線y2x4與圓c交于點m，n，若|om|on|，求圓c的方程(1)證明圓c過原點o，且|oc|2t2.圓c的方程是(xt)2(y)2t2，令x0，得y10，y2；令y0，得x10，x22t，soab|oa|ob|2t|4，即oab的面積為定值(2)解|om|on|，|cm|cn|，oc垂直平分線段mn.kmn2，koc.t，解得t2或t2.當t2時，圓心c的坐標為(2,1)，|oc|，此時c到直線y2x4的距離d.圓c與直線y2x4不相交，t2不符合題意，舍去圓c的方程為(x2)2(y1)25.10(2014課標全國)已知點p(2,2)，圓c：x2y28y0，過點p的動直線l與圓c交于a，b兩點，線段ab的中點為m，o為坐標原點(1)求m的軌跡方程；(2)當|op|om|時，求l的方程及pom的面積解(1)圓c的方程可化為x2(y4)216，所以圓心為c(0,4)，半徑為4.設(shè)m(x，y)，則(x，y4)，(2x,2y)由題設(shè)知0，故x(2x)(y4)(2y)0，即(x1)2(y3)22.由于點p在圓c的內(nèi)部，所以m的軌跡方程是(x1)2(y3)22.(2)由(1)可知m的軌跡是以點n(1,3)為圓心，為半徑的圓由于|op|om|，故o在線段pm的垂直平分線上，又p在圓n上，從而onpm.因為on的斜率為3，所以l的斜率為，故l的方程為x3y80.又|om|op|2，o到l的距離為，所以|pm|，spom，故pom的面積為.b組專項能力提升(時間：25分鐘)11若直線l：ykx1 (k0)與圓c：x24xy22y30相切，則直線l與圓d：(x2)2y23的位置關(guān)系是()a相交 b相切 c相離 d不確定答案a解析因為圓c的標準方程為(x2)2(y1)22，所以其圓心坐標為(2,1)，半徑為，因為直線l與圓c相切所以，解得k1，因為k0，所以k1，所以直線l的方程為xy10.圓心d(2,0)到直線l的距離d，所以直線l與圓d相交12過點(，0)引直線l與曲線y相交于a、b兩點，o為坐標原點，當aob的面積取最大值時，直線l的斜率等于()a. b c d答案b解析saob|oa|ob|sinaobsinaob.當aob時，aob面積最大此時o到ab的距離d.設(shè)ab方程為yk(x)(k0)，即kxyk0.由d得k.(也可ktanoph)13在平面直角坐標系xoy中，圓c1：(x1)2(y6)225，圓c2：(x17)2(y30)2r2.若圓c2上存在一點p，使得過點p可作一條射線與圓c1依次交于點a，b，滿足pa2ab，則半徑r的取值范圍是_答案5,55解析由題意可知滿足pa2ab的點p應(yīng)在以c1為圓心，半徑為25的圓上及其內(nèi)部(且在圓c1的外部)，記該圓為c3，若圓c2上存在滿足條件的點p，則圓c2與圓c3有公共點，所以|r25|r25，即|r25|30r25，解得5r55.14已知圓c：x2(y1)25，直線l：mxy1m0.(1)求證：對mr，直線l與圓c總有兩個交點；(2)設(shè)直線l與圓c交于點a，b，若|ab|，求直線l的傾斜角；(3)設(shè)直線l與圓c交于a，b，若定點p(1,1)滿足2，求此時直線l的方程(1)證明直線l恒過定點p(1,1)由12(11)25知點p在圓c內(nèi)，所以直線l與圓c總有兩個交點(2)解圓心到直線的距離d ，又d，所以，解得m，所以，l的傾斜角為或.(