高中數(shù)學(xué) 2.3 圓的方程 2.3.3 直線與圓的位置關(guān)系學(xué)案 新人教B版必修2.doc

2.3.3直線與圓的位置關(guān)系1能熟練地掌握二元方程組的解法，并通過解方程或方程組，解決直線與圓的位置關(guān)系問題2根據(jù)給定的直線、圓的方程，會用代數(shù)法和幾何法判斷直線與圓的位置關(guān)系直線與圓的位置關(guān)系直線l：axbyc0(a2b20)，圓c：(xa)2(yb)2r2(r0)，設(shè)圓心(a，b)到直線的距離是d，d，則有：位置關(guān)系幾何特征代數(shù)特征(方程聯(lián)立)相離dr無實數(shù)解(0)相切dr_相交_代數(shù)法和幾何法來研究直線與圓的位置關(guān)系各有特點“幾何法”更多地側(cè)重于“形”，更多地結(jié)合了圖形的幾何性質(zhì)；“代數(shù)法”則側(cè)重于“數(shù)”，它傾向于“坐標(biāo)”與“方程”【做一做11】直線4x3y400與圓x2y264的位置關(guān)系是()a外離 b相切c相交 d相切或外離【做一做12】若直線xy2被圓(xa)2y24所截得的弦長為2，則實數(shù)a的值為()a1或 b1或3c2或6 d0或4【做一做13】(2010課標(biāo)全國卷)過點a(4,1)的圓c與直線xy10相切于點b(2,1)，則圓c的方程為_1過點(x0，y0)的圓的切線方程的求法剖析：(1)當(dāng)點(x0，y0)在圓x2y2r2上時，切線方程為x0xy0yr2；(2)當(dāng)點(x0，y0)在圓(xa)2(yb)2r2上時，切線方程為(x0a)(xa)(y0b)(yb)r2；(3)點(x0，y0)在圓外，則可設(shè)切線方程為yy0k(xx0)，變成一般式kxyy0kx00，因為與圓相切，所以可利用圓心到直線距離等于半徑，解出k.注意若此方程只有一個實根，則還有一條斜率不存在的直線，不能忽略2弦長的求法剖析：已知圓c：(xx1)2(yy1)2r2，直線ab：axbyc0(a，b不同時為0)，如圖，abc是等腰三角形，取弦ab的中點d，則cdab，且cd平分弦ab，因此弦長|ab|2，其中d表示弦心距，d.另外，還可以從方程的角度用兩點間距離公式去計算，這時結(jié)合根與系數(shù)的關(guān)系，進行整體代換求得，即將直線ab：ykxm代入(xx1)2(yy1)2r2，消去y得關(guān)于x的一元二次方程ax2bxc0，設(shè)直線與圓的交點a(x2，y2)，b(x3，y3)，則x2，x3是上述方程的兩個根，由根與系數(shù)的關(guān)系，得x2x3，x2x3，則|ab|x2x3|.題型一 直線與圓的位置關(guān)系【例1】求當(dāng)為何值時，直線xy10與圓x2y24x2y10相交？相切？相離？分析：可利用直線與圓的方程構(gòu)成的方程組的解的情況，或圓心到直線的距離與圓半徑之間的關(guān)系，列條件求解的值或的取值范圍反思：判斷直線與圓的位置關(guān)系可以從代數(shù)法和幾何法兩種角度入手，但用幾何法解決更簡便題型二 關(guān)于弦長問題【例2】求直線yx被圓(x2)2(y4)210所截得的弦長分析：求直線被圓所截弦長的方法，一是利用弦心距、半徑和半弦所構(gòu)成的直角三角形，二是用弦長公式反思：求直線被圓所截得的弦長問題多利用半弦、半徑、圓心到直線的距離構(gòu)成的直角三角形來處理題型三 直線與圓的綜合問題【例3】已知o為坐標(biāo)原點，o1：x2y2x6yc0與直線x2y30的兩個交點分別為p，q，那么當(dāng)c取何值時，opoq?分析：利用代數(shù)方法，即聯(lián)立直線與圓的方程，利用根與系數(shù)的關(guān)系對opoq進行轉(zhuǎn)化反思：當(dāng)圓中的幾何特征不明顯時，往往采用代數(shù)方程的思想，體現(xiàn)了解析幾何的本質(zhì)特征這也是解決解析幾何的重要方法【例4】求圓(x3)2(y3)29上到直線l：3x4y110的距離為1的點有幾個？分析：此題應(yīng)從圓心到直線l的距離與圓的半徑3之間的關(guān)系入手分析求解反思：解決有關(guān)直線與圓的問題要有作圖意識，準(zhǔn)確作圖能幫助我們更快更準(zhǔn)地分析題意另外，要善于挖掘題目的切入點，找出臨界是關(guān)鍵題型四 易錯辨析【例5】若直線l過點p(2,3)，且與圓(x1)2(y2)21相切，求直線l的方程錯解：設(shè)直線l：y3k(x2)，即kxy32k0.因為直線l與圓(x1)2(y2)21相切，所以1，所以k.所以直線l的方程為12x5y90.錯因分析：忘記討論斜率不存在時的情況1直線l：4x3y50與圓c：x2y24x2ym0無公共點的條件是m()a(，0) b(0,5)c(1,5) d(1，)2已知直線l：axyb0，圓c：x2y22ax2by0，則l與c在同一坐標(biāo)系中的圖形只可能是()3(2011山東德州一中高一檢測)若圓x2y22x4y0被直線xya0截得的弦長為3，則a的值為()a2或2 b或 c2或0 d2或04過點a(3，4)，且與圓x2y225相切的直線方程是_5已知圓c和y軸相切，圓心c在直線x3y0上，且被直線yx截得的弦長為2，求圓c的方程答案：基礎(chǔ)知識梳理1一組實數(shù)解(0)dr兩組實數(shù)解(0)【做一做11】b【做一做12】d圓心到直線的距離d，所以|a2|2，解得a4或a0.【做一做13】(x3)2y22設(shè)圓c的方程為(xa)2(yb)2r2，圓心(a，b)到直線xy10的距離 dr，又圓c過a(4,1)，b(2,1)，(4a)2(1b)2r2，(2a)2(1b)2r2.由，得a3，b0，r，圓的方程為(x3)2y22.典型例題領(lǐng)悟【例1】解法一：由消去y，得(12)x22(222)x2440.因為120，且4(222)24(12)(244)4(34)，所以當(dāng)0，即0或時，直線與圓相切；當(dāng)0，即0或時，直線與圓相交；當(dāng)0，即0時，直線與圓相離解法二：將圓x2y24x2y10配方，得(x2)2(y1)24.圓心到直線的距離為d.所以當(dāng)d2，即0或時，直線與圓相切；當(dāng)d2，即0或時，直線與圓相交；當(dāng)d2，即0時，直線與圓相離【例2】解法一：由點到直線的距離公式得圓心到直線的距離d.于是，弦長為224.解法二：聯(lián)立方程yx與(x2)2(y4)210，得2x212x100.設(shè)兩個交點坐標(biāo)為a(x1，y1)，b(x2，y2)，則x1，x2是方程的兩根，于是由根與系數(shù)的關(guān)系，得x1x26，x1x25，則|ab|4.【例3】解：如圖所示，聯(lián)立得方程組此方程組的解即為p，q兩點的坐標(biāo)p(x1，y1)，q(x2，y2)方程組消去x，得5y220y12c0，則y1y2，y1y24.而x1x2(32y1)(32y2)96(y1y2)4y1y2964415.由opoq，有1，即x1x2y1y20.150.c3.【例4】解法一：圓(x3)2(y3)29的圓心o1(3,3)，半徑r3.設(shè)圓心o1到直線3x4y110的距離為d，則d23.如圖所示，在圓心o1同側(cè)，與直線3x4y110平行且距離為1的直線l1與圓有兩個交點，這兩個交點符合題意又rd321，與直線3x4y110平行的圓的切線的兩個切點中有一個切點也符合題意符合題意的點共有3個解法二：符合題意的點是平行于直線3x4y110，且與之距離為1的直線和圓的交點設(shè)所求直線方程為3x4ym0，則d1，m115，即m6或m16，故l1：3x4y60或l2：3x4y160.設(shè)圓o1：(x3)2(y3)29的圓心到直線l1，l2的距離分別為d1，d2，則d13，d21.l1與圓o1相切，與圓o1有一個公共點；l2與圓o1相交，與圓o1有兩個公共點故符合題意的點共有3個【例5】正解：(1)若直線l的斜率存在，設(shè)直線l：y3k(x2)，即kxy32k0.因為直線l與圓(x1)2(y2)21相切，所以1，所以k.所以直線l的方程為12x5y90.(2)若直線l的斜率不存在，則直線l：x2也符合要求所以直線l的方程為12x5y90或x2.隨堂練習(xí)鞏固1c由圓心(2,1)到直線l：4x3y50的距離大于圓的半徑及方程滿足圓的條件可得2b注意