全國初中數(shù)學競賽預賽.doc

全國初中數(shù)學競賽初賽試題（一）一、選擇題（共8小題，每小題5分，共40分）1要使方程組的解是一對異號的數(shù)，則的取值范圍是（）（A）（B）（C）（D）2一塊含有角的直角三角形（如圖），它的斜邊AB8cm, 里面空心的各邊與的對應(yīng)邊平行，且各對應(yīng)邊的距離都是1cm,那么的周長是（ ）(A)5cm (B)6cm (C) (D) 3將長為15cm的木棒截成長度為整數(shù)的三段，使它們構(gòu)成一個三角形的三邊，則不同的截法有( )(A)5種 (B) 6種 (C)7種 (D)8種 4作拋物線A關(guān)于軸對稱的拋物線B，再將拋物線B向左平移2個單位，向上平移1個單位，得到的拋物線C的函數(shù)解析式是，則拋物線A所對應(yīng)的函數(shù)表達式是( )(A) (B) (C) (D) 5書架上有兩套同樣的教材，每套分上、下兩冊，在這四冊教材中隨機抽取兩冊，恰好組成一套教材的概率是( )(A) (B) (C) (D) 6如圖，一枚棋子放在七邊形ABCDEFG的頂點處，現(xiàn)順時針方向移動這枚棋子10次，移動規(guī)則是：第次依次移動個頂點。如第一次移動1個頂點，棋子停在頂點B處，第二次移動2個頂點，棋子停在頂點D。依這樣的規(guī)則，在這10次移動的過程中，棋子不可能分為兩停到的頂點是( )(A)C,E,F (B)C,E,G (C)C,E (D)E,F.7一元二次方程中，若都是偶數(shù)，C是奇數(shù)，則這個方程( )(A)有整數(shù)根 (B)沒有整數(shù)根 (C)沒有有理數(shù)根 (D)沒有實數(shù)根8如圖所示的陰影部分由方格紙上3個小方格組成，我們稱這樣的圖案為L形，那么在由個小方格組成的方格紙上可以畫出不同位置的L形圖案個數(shù)是( )(A)16 (B) 32 (C) 48 (D) 64二、填空題：(共有6個小題，每小題5分，滿分30分)9已知直角三角形的兩直角邊長分別為3cm,4cm，那么以兩直角邊為直徑的兩圓公共弦的長為 cm.10將一組數(shù)據(jù)按由小到大(或由大到小)的順序排列，處于最中間位置的數(shù)(當數(shù)據(jù)的個數(shù)是奇數(shù)時)，或最中間兩個數(shù)據(jù)的平均數(shù)(當數(shù)據(jù)的個數(shù)是偶數(shù)時)叫做這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)，現(xiàn)有一組數(shù)據(jù)共100個數(shù)，其中有15個數(shù)在中位數(shù)和平均數(shù)之間，如果這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)和平均數(shù)都不在這100個數(shù)中，那么這組數(shù)據(jù)中小于平均數(shù)的數(shù)據(jù)占這100個數(shù)據(jù)的百分比是 11中，分別是的對邊，已知，則的值是等于 。12設(shè)直線和直線(是正整數(shù))及軸圍成的三角形面積為，則的值是 。13如圖，正方形ABCD和正方形CGEF的邊長分別是2和3，且點B、C、G在同一直線上，M是線段AE的中點，連結(jié)MF，則MF的長為 。14邊長為整數(shù)的等腰三角形一腰上的中線將其周長分為的兩部分，那么所有這些等腰三角形中，面積最小的三角形的面積是 。 三、解答題（共4題，分值依次為12分、12分、12分和14分）15(12分)已知都是整數(shù)，且,求的值。16. 做服裝生意的王老板經(jīng)營甲、乙兩個店鋪，每個店鋪在同一段時間內(nèi)都能售出A，B兩種款式的服裝合計30件，并且每售出一件A款式和B款式服裝，甲店鋪獲毛利潤分別為30元和40元，乙店鋪獲毛利潤分別為27元和36元。某日王老板進貨A款式服裝35件，B款式服裝25件。怎樣分配給每個店鋪各30件服裝，使得在保證乙店鋪毛利潤不小于950元的前提下，王老板獲取的總毛利潤最大？最大的總毛利潤是多少？17. 如圖所示，O沿著凸n邊形A1A2A3An-1An的外側(cè)（圓和邊相切）作無滑動的滾動一周回到原來的位置。（1）當O和凸n邊形的周長相等時，證明O自身轉(zhuǎn)動了兩圈；（2）當O的周長是，凸n邊形的周長是時，請寫明此時O自身轉(zhuǎn)動的圈數(shù)。18. 已知二次函數(shù)。（1）隨著m的變化，該二次函數(shù)圖象的頂點P是否都在某條拋物線上？如果是，請求出該拋物線的表達式；如果不是，請說明理由；（2）如果直線經(jīng)過二次函數(shù)圖象的頂點P，求此時m的值。全國初中數(shù)學競賽初賽試題（一）參考答案一、選擇題1答案D解：解方程組，得要使方程組的解是一對異號的數(shù)，只需2答案B解：連結(jié)BE，分別過E，F(xiàn)作AC的平行線 BC于點M和N，則EM=1，BM=，MN= 小三角形的周長是MN+2MN+MN=6cm3答案C解：能組成三角形的只有（1，7，7）、（2，6，7）、（3，5，7）、（3，6，6）、（4，4，7）、（4，5，6）、（5，5，5）七種4答案：D解：將拋物線C再變回到拋物線A：即將拋物線y=2(x+1)2-1向下平移1個單位，再向右平移2個單位，得到拋物線y=2(x-1)2-2，而拋物線y=2(x-1)2-2關(guān)于x軸對稱的拋物線是y=-2(x-1) 2+25答案：A解：四冊教材任取兩冊共有6種不同的取法，取出的兩冊是一套教材的共有4種不同的取法，故所求概率是6答案：A解：經(jīng)實驗或按下 方法可求得頂點C，E和F棋子不可能停到設(shè)頂點A，B，C，D，E，F(xiàn)，G分別是第0，1，2，3，4，5，6格，因棋子移動了k次后走過的總格數(shù)是1+2+3+k=，應(yīng)停在第格，這是P是整數(shù)，且使06，分別取k=1，2，3，4，5，6，7時，=1，3，6，3，1，0，0，發(fā)現(xiàn)第2，4，5格沒有停棋，若70知y至少為5，即x=126+4=130.所以甲隊至少有130人. 15.解：右圖給出了一個符合要求的填法； 共有6種不同填法AEBF CD984137256把填入A,B,C三處圈內(nèi)的三個數(shù)之和記為x；D,E,F三處圈內(nèi)的三個數(shù)之和記為y；其余三個圈所填的數(shù)位之和為z.顯然有x+y+z=1+2+9=45 圖中六條邊，每條邊上三個圈中之數(shù)的和為18，所以有z+3y+2x=618=108 -,得X+2y=108-45=63 把AB,BC,CA每一邊上三個圈中的數(shù)的和相加，則可得 2x+y=318=54 聯(lián)立，解得 x=15，y=24，繼而之z=6.在1，2，3，9中三個數(shù)之和為24的僅為7，8，9，所以在D,E,F三處圈內(nèi)，只能填7，8，9三個數(shù)，共有6種不同填法.顯然，當這三個圈中指數(shù)一旦確定，根據(jù)題目要求，其余六個圈內(nèi)指數(shù)也隨之確定，從而的結(jié)論，共有6種不同的填全國初中數(shù)學競賽試題（三）參考答案一、選擇題（共5小題，每小題6分，滿分30分。以下每道小題均給出了代號為A，B，C，D的四個選項，其中有且只有一個選項是正確的。請將正確選項的代號填入題后的括號里。不填、多填或錯填均得0分）1在高速公路上，從3千米處開始，每隔4千米經(jīng)過一個限速標志牌；并且從10千米處開始，每隔9千米經(jīng)過一個速度監(jiān)控儀剛好在19千米處第一次同時經(jīng)過這兩種設(shè)施，那么第二次同時經(jīng)過這兩種設(shè)施的千米數(shù)是（ ）（A）36 （B）37 （C）55 （D）90答：C解：因為4和9的最小公倍數(shù)為36，1936=55，所以第二次同時經(jīng)過這兩種設(shè)施的千米數(shù)是在55千米處故選C2已知，且=8，則a的值等于（ ） （A）5 （B）5 （C）9 （D）9 答：C解：由已知可得，又=8，所以 解得a=9故選C3RtABC的三個頂點A，B，C均在拋物線上，并且斜邊AB平行于x軸若斜邊上的高為h，則（ ）（A）h1 （B）h=1 （C）1h2答：B解：設(shè)點A的坐標為（a，a2），點C的坐標為（c，c2）（|c|a|），則點B的坐標為（a，a2），由勾股定理，得， 所以 由于，所以a2c2=1，故斜邊AB上高h= a2c2=1故選B4一個正方形紙片，用剪刀沿一條不過任何頂點的直線將其剪成兩部分；拿出其中一部分，再沿一條不過任何頂點的直線將其剪成兩部分；又從得到的三部分中拿出其中之一，還是沿一條不過任何頂點的直線將其剪成兩部分如此下去，最后得到了34個六十二邊形和一些多邊形紙片，則至少要剪的刀數(shù)是（ ）（A）2004 （B）2005 （C）2006 （D）2007答：B解：根據(jù)題意，用剪刀沿不過頂點的直線剪成兩部分時，每剪開一次，使得各部分的內(nèi)角和增加360于是，剪過k次后，可得(k1)個多邊形，這些多邊形的內(nèi)角和為(k1)360因為這(k1)個多邊形中有34個六十二邊形，它們的內(nèi)角和為34(622)180=3460180，其余多邊形有(k1)34= k33(個)，而這些多邊形的內(nèi)角和不少于(k33) 180所以(k1)3603460180(k33)180，解得k2005當我們按如下方式剪2005刀時，可以得到符合條件的結(jié)論先從正方形上剪下1個三角形，得到1個三角形和1個五邊形；再在五邊形上剪下1個三角形，得到2個三角形和1個六邊形如此下去，剪了58刀后，得到58個三角形和1個六十二邊形再取33個三角形，在每個三角形上剪一刀，又可得到33個三角形和33個四邊形，對這33個四邊形，按上述正方形的剪法，再各剪58刀，便34個六十二邊形和3358個三角形于是共剪了58333358=2005（刀）故選B（第5題圖）ABCDOQP5如圖，正方形ABCD內(nèi)接于O，點P在劣弧AB上，連結(jié)DP，交AC于點Q若QP=QO，則的值為（ ）（A）（B） （C）（D）答：D（第5題圖）ABCDOQP解：如圖，設(shè)O的半徑為r，QO=m，則QP=m，QC=rm，QA=rm在O中，根據(jù)相交弦定理，得QAQC=QPQD即 (rm)(rm)=mQD ，所以 QD=連結(jié)DO，由勾股定理，得QD2=DO2QO2，即 ， 解得所以， 故選D二、填空題 （共5小題，每小題6分，滿分30分）6已知a，b，c為整數(shù)，且ab=2006，ca=2005若ab，則abc的最大值為 答：5013解：由，得 因為，a400，所以，12.5x13.5 故x=13，此時9已知0a1，且滿足，則的值等于 (表示不超過x的最大整數(shù))答：6解：因為01當a1時， =10分又當時，由，得 ， 將兩邊平方，結(jié)合得化簡得 ， 故 ，解得，或 所以，a的取值范圍為a1且，15分解法二：因為，所以，所以 又，所以，為一元二次方程 的兩個不相等實數(shù)根，故，所以a1當a1時， =10分 另外，當時，由式有 ，即 或 ，解得，或當時，同理可得或所以，a的取值范圍為a1且，15分（第13題）ABCOPEK13如圖，點P為O外一點，過點P作O的兩條切線，切點分別為A，B過點A作PB的平行線，交O于點C連結(jié)PC，交O于點E；連結(jié)AE，并延長AE交PB于點K求證：PEAC=CEKB證明：因為ACPB，所以KPE=ACE又PA是O的切線，所以KAP=ACE，故KPE=KAP，于是 KPEKAP，所以 ， 即 由切割線定理得 所以 10分因為ACPB，KPEACE，于是 故 ，即 PEAC=CEKB 15分1410個學生參加n個課外小組，每一個小組至多5個人，每兩個學生至少參加某一個小組，任意兩個課外小組，至少可以找到兩個學生，他們都不在這兩個課外小組中求n的最小值解：設(shè)10個學生為，n個課外小組，首先，每個學生至少參加兩個課外小組否則，若有一個學生只參加一個課外小組，設(shè)這個學生為，由于每兩個學生至少在某一個小組內(nèi)出現(xiàn)過，所以其它9個學生都與他在同一