流體力學(xué),丁祖榮,中冊課后習(xí)題.pdf

流體力學(xué)流體力學(xué) C 篇題解篇題解 C1 題解題解 CP1 2 1 設(shè)質(zhì)量力 k 為常量 試問流體有無可能達到平衡 提示 驗證流體保持平衡的質(zhì)量力條件 解 將質(zhì)量力分量代入均質(zhì)流體平衡的質(zhì)量力條件 C1 2 6 式 可得平衡 CP1 4 1 如圖示 一水箱在重力作用下沿斜面以加速度滑下 斜面與水平面成角 求水 箱液面形狀及液面與水平面傾角 提示 將坐標(biāo)系固結(jié)于水箱上 按相對平衡等壓面微分方程求解 答 解 建立固結(jié)于水箱的坐標(biāo)系 oxyz 如圖所示 質(zhì)量力除重力外 還有非慣性坐標(biāo)系的慣 性力 將單位質(zhì)量力的三個分量代入等壓面微分方程中 令 令 液面與水平面夾角為 CP1 4 2 如圖示 一兩端敞口的 U 型管以加速度 a 沿水平方向作勻加速運動 設(shè)左右支管 的間距為 左右支管的液位差為 試求 型管的加速度 rfk zyx r kzf kyf kxf z y x 0 0 0 x f z f z f y f y f x f zx y z x y a cos sin g ag arctg agfx sin0 y f cosgfz dzgdxagdzfdyfdxfdp zyx cos sin 0 dp tg g ag dx dz cos sin cos sin g ag arctg cos sin g ag arctg m2 0 lm1 0 h a 液體密度對結(jié)果的影響 提示 將坐標(biāo)系固結(jié)于 U 形管上 按相對平衡等壓面微分方程求解 答 解 建立固結(jié)于 型管上的坐標(biāo)系如圖示 慣性力 由壓強微分式 由于和均為常數(shù) 設(shè)左支管 液面高 由式 b 右支管 液面高 由式 當(dāng)和值確定后 加速度便確定了 與液體密度無關(guān) 但要達到一定的 加速度 對 形管施加的推力與液體密度有關(guān) CP1 4 3 如圖示 一密閉圓筒高為 半徑為 內(nèi)裝的水 液 面上為大氣壓強 當(dāng)圓筒以角速度繞垂直軸旋轉(zhuǎn)時 設(shè)空氣體積不變 試確定 水作用在頂蓋螺栓上的力 F 提示 將坐標(biāo)系固結(jié)于圓筒上 按相對平衡壓強全微分式求液內(nèi)壓強分布 應(yīng)注意在頂蓋上 液體不充滿 且沿徑向壓強為非線性分布 必需用積分法求其合力 F 答 解 以液面最低點為原點建立坐標(biāo)系 orz 軸垂直向上 設(shè)氣體的體積不變 l h ga afx gfy gdyadxdp a gCgyaxp a 0 x by 0 p a 0 CgbgbC lx hby 0 p ba 0 gbhbgal l h ga lh m7 0 0 H m4 0 R 3 m25 0 rad s10 NF2 175 g r z g r z 22 2 0 2 0 22 32 0 2 m102 025 07 04 025 0 HR 氣 3 0 2 0 m102 0 2 1 氣 zr 即 因空氣體積不變 壓強仍為大氣壓 液內(nèi)壓強分布為 CP1 4 4 如圖示橫截面高 寬為之飛機汽油箱 所裝油為油箱容量的 試確定 在下面兩種情況下飛機的水平 寬度方向 加速度 汽油自由液面碰到油箱 底時 汽油自由液面碰到油箱中心 時 即油箱停止供油時 提示 油面與底面的夾角由水平加速度和重力加速度之比決定 但可由油箱靜止和運動時油 體體積不變確定其夾角的值 答 解 油面為等壓面 與體積力合力垂直 設(shè)油面與底面成 角 則 1 當(dāng)油面剛碰到箱底時 油的體積與靜止時相同 設(shè)油箱長度為 l 即 2 當(dāng)液面碰到中心點 A 時 油體橫截面為梯形 梯形上下底為 3 2 0 2 2 0 m102 0 22 1 g r r m 01274 0 10 81 94 102 0 4 102 0 4 22 4 0 g r m336 0012735 0 4 0 r m575 0 806 92 336 010 2 22 2 0 2 0 g r z 0 2222 2 2 0 zg r ppzg r p zz 頂 R r R r drrzg r rdrpF 00 2 22 0 22 頂 N175 85 1327 160 2 2 336 04 0 575 09810 8 336 04 0 101000 2 2 8 2 22442 2 0 2 0 4 0 42 rRgzrR 2 1 cb 31 a ga 3 1 ga 2 3 gatg lb b lbtgb 2 3 22 2 1 3 1 tg 3 1 g a ga 3 1 btgbb 即 CP1 4 5 如圖示 在直徑 高度的開口圓桶中 靜止時的水位高度為 設(shè)圓管繞中心軸勻速旋轉(zhuǎn) 試確定 液面正好達到容器邊緣時的每分鐘轉(zhuǎn)數(shù) n1 液面頂端碰到容器底時的每分鐘轉(zhuǎn)數(shù) n2 當(dāng)達到第二種情況后 容器再停止下來時的水面高度 提示 利用液面 等壓面 方程確定液體的體積或空氣的體積 由圓筒靜止和轉(zhuǎn)動時液體或 氣體體積不變確定轉(zhuǎn)速 當(dāng)液面邊緣正好達到圓筒邊緣后 繼續(xù)提高轉(zhuǎn)速將使部分水溢出筒 外 圓筒停止下來后水位比原來的低 答 133 7r min 163 7r min 解 取底部中心為原點 O z 軸向上的坐標(biāo)系 Oxz 等壓面方程為 液面邊緣點坐標(biāo)為 由式 液面方程為 求有兩種方法 1 由水的體積不變 lb b lbtgbbb 2 3 2 1 2 3 tg 2 3 g a ga 2 3 m4 0 dm6 0 H m4 0 1 h 2 h m3 0 2 h C g r z 2 22 a 2 dr Hz ag d HC 8 22 g d H g r z 82 2222 b 1 2 2 0 4 2h d drrz d 16 4 648 1 128 2 8 2 1 8 2 82 22 222 42 2 42 2 0 2 22 4 2 2 0 2222 2 0 g d H d g d Hd g d r g d Hr g rdr g d H g r rdrz d dd 由空氣體積不變 設(shè)液面最低點坐標(biāo)為 在 式中令 兩種解法結(jié)果相同 液面最低點坐標(biāo)為 液面方程為 液面邊緣點坐標(biāo)為 即 當(dāng) 2 中的水靜止下來后 由空氣體積保持不變 CP1 5 1 如圖示 一邊框裝有鉸鏈的傾斜閘門其寬度 閘門與水平面夾角為 閘門左側(cè)的水深 水面與閘門交點到鉸鏈軸的距離 設(shè) 開啟閘門的力作用于閘門底端 垂直向上 試求不計閘門重量與鉸鏈的摩擦力時開啟閘門的 力 F 提示 求總壓力作用點時注意坐標(biāo)系和原點的選取 求合力矩應(yīng)對鉸鏈軸取矩 16 44 222 1 2 g d H d h d 2 1 16dhHg ghH d 4 1 0 z 42 1 4 0 2 1 2 zHdhHd Hhz 10 2 0 0zzr ghH dd hHg d zHg 4 2 8 8 1 10 rad s148 9 4 06 0 4 0 4 r min7 133 2 6014 2 60 n 0 r0 z 0 Ca 式由 g r z 2 22 2dr Hz H g d 2 2 22 minr 7 163 2 16 1760 2 60 rad s16 174 0 6 081 98 8 2 n dgH HdhHd 2 2 2 42 1 4 m3 06 0 2 1 2 1 2 Hh m1 b 60 m3 2 Hcm30 a 答 解 沿閘門建立坐標(biāo)軸 y 向下為正 原點 O 在水面上 閘門水下長度為 l 設(shè)形心為 C 設(shè)壓強中心為 D 實際上 位于下三分點上 總壓力 由對鉸鏈 A 的合力矩為零 故開啟閘門所需的力為 CP1 5 2 如圖示 一水下建筑的密封艙門高 l 寬 b 水面離門框頂邊淹深 門框頂邊裝有鉸鏈 求打開艙門所需的力矩 M 提示 求總壓力作用點時注意坐標(biāo)系和原點的選取 求合力矩對頂邊鉸鏈取矩 答 解 設(shè) y 軸垂直向下 原點 O 在液面上 艙門形心 C 的淹深 設(shè)總壓力作用點 為 總壓力 NF 4 10195 4 m656 2 60sin 3 2 sin H l m328 12 lyc C C C CD y l y y r yy 12 2 2 m77 1 328 112 656 2 328 1 2 m77 1 3 2 lyD N3 29949 60sin 3 2 1 2 3 2 806 9100 1 3 AghF cp 0 FMA cos Dp yaFaHctgF N10195 4 5 03 0866 03 2 77 13 0 3 29949 cos 4 aHctg yaF F Dp N10195 4 4 m5 H mN1024 1 5 myc6 m056 6 18 1 6 12 2 2 C C C CD y l y y r yy 21 15 9806 AyHgAghF cc 以頂邊鉸鏈為軸 打開艙門所需的力矩為 M F 0 5 l 1 18 117672 1 0 056 CP1 5 3 如圖示 一矩形閘門的高寬 轉(zhuǎn)動軸為 左側(cè)水位為 右側(cè)水位為 為開啟閘門在 端方向系有纜繩 試求開啟閘門時 作用在纜繩上的力 F 提示 閘門兩側(cè)總壓力計算方法相同 但作用點偏心距計算方法有所不同 求合力距時對轉(zhuǎn) 動軸取矩 答 解 左右兩側(cè)水的總壓力大小分別為 左右側(cè)作用點離作用面形心的縱向偏心距分別為 由 CP1 6 1 如圖示 圓柱體兩側(cè)的水位不同 左側(cè)水位 H 與圓柱同高 右側(cè)水位僅及一半 設(shè) 圓柱半徑為R 試求作用于單位長圓柱面上總壓力的水平和垂直分力 坐標(biāo)系如圖示 提示 兩側(cè)水位不同 圓柱下部水平力不能左右抵消 只能分別計算 計算垂直力的壓力 體正好就是與水接觸的四分之三圓柱體 答 N117672 mN1024 1 5 m4m3 bl m2 1 Hm5 2 H 60 N1049 3 5 F 21 F F N784484219806 2 1 1 1 bH H gF N41185243 5 12 9806 2 22 lbllHgF 21 e e m33 06 11 He m214 0 5 15 129 2 12 2 2 2 2 2 lH l y r e C 0 o M 0 2 60cos 2 22111 elFFleHlF 60cos 2 2 11122 l eHlFelF F N1049 3 5 03 33 013 78448 214 05 1 411852 5 yx FF 2 8 3 gHFx 2 4 3 RgFy 解 左側(cè)水平力為 右側(cè)水平力為 水平合力為 左右兩側(cè)的壓力體均是實的 合起來正好是四分之三個圓 CP1 6 2 如圖示 一貯水容器右端通大氣 左端容器壁上裝有 個直徑分別為的 半球型蓋 a b c 設(shè) 試求作用在每個球蓋上的靜水總壓力的大小 和方向 提示 確定壓力體必需以大氣壓面為基準(zhǔn)面 從每個球蓋向基準(zhǔn)面投影確定壓力體 壓力體 內(nèi)可以有水 實體 可以沒有水 虛體 求水平分力作水平投影時有重疊部分合力為零 答 與水平方向夾角 解 對 蓋 水平分力合力為零 壓力體為半球蓋與大氣壓面所夾部分 為虛體 壓力向上 對 蓋 水平分力合力為零 壓力體為半球蓋與大氣壓面所夾部分 為實體 壓力向下 對 蓋 有水平和垂直分力 壓力體為半球蓋內(nèi)容積 為實體 壓力向下 垂直方向 水平方向 合力大小 2 1 2 1 2 gHH H gFx 2 2 8 1 24 gH HH gFx 2 21 8 3 gHFFF xxx 222 4 3 4 1 RgRRgFy m5 0 d m5 2 m0 2 Hh N1 3864 N2 6578 N5 1123 cba FFF 76 4 aa gF N0 1124 0327 01473 0 9810 25 0 3 2 5 0 25 12 4 9810 3 2 2 4 9810 3232 rd H h N0 6580 638 00327 0 9810 5 0 25 12 4 0327 0 9810 2 43 2 9810 2 23 d H hrgF bb N8 3200327 09810 3 2 9810 3 rgF ccy N4 38521963 029810 4 2 dghApF cccx N7 3865 22 cycxc FFF 合力方向與水平方向夾角 CP1 7 1 如圖示 一蠟塊比重為 SG 0 9 浸沒在裝有水和油的容器中 油的比重為 SG 0 85 試確定蠟塊浸沒在水中和油中的體積各占總體積的比例 提示 蠟塊受到的浮力為分別在水和油中部分受到的浮力之和 應(yīng)與蠟塊重量相等 答 在水中占 在油中占 解 設(shè)蠟塊浸沒在油和水中的體積分別為 總的體積為 油和水的密度分別為 根據(jù)阿基米德浮力定律 有 或 解得 CP1 7 2 如圖示一地秤裝置 在直徑為的圓柱形水池中盛水 圓柱形浮筒的直徑 為 自重為 底面的淹深為 當(dāng)加負(fù)載于浮筒上后 求浮筒的下降距離 m 提示 利用加載前后淹深改變而水的體積不變計算浮筒下降距離 答 解 加載前由浮力定律 設(shè)加負(fù)載 F 后浮筒新的淹深為 H 1 由浮力定律 由水的體積不變 76 408328 0arctanarctan cxcy FF 21 0 1 2 021 002211 ggg 021 002211 3 2 3 1 85 01 85 09 0 1 0 1 21 2120 12 10 0 2 m6 3 D m2 3 dN103 5 WN105 F h m266 0 h WH d g 4 2 m804 3 2 39810 10344 2 5 2 dg W H FWHdg 1 2 4 m072 5 2 39810 10103 4 4 2 55 2 1 dg FW H 44 1 222 HhHdDhd CP1 7 3 圖示一盛水容器 底部開孔 孔直徑為 r 一倒置圓錐體塞住圓孔 圓錐底直徑 為 高為 設(shè)水深 水密度為 圓錐密度為 試求頂起圓錐最小的力 F 提示 若設(shè)容器底部無孔 放置一個與本題圓錐體浸沒在水中圓臺部分相同的圓臺體 兩者 所受浮 力不同 圓臺體的浮力 為圓臺體排開水的體積重量 倒圓錐體排開水的體積應(yīng)為圓臺體積減 去 以圓孔面積為底 相同高度的圓柱體積之差 答 解 由圓孔邊向圓錐底面作投影線 設(shè)投影線所切割的圓錐外圍部分所受浮力為 投影線內(nèi)部分受水壓力為 圓錐自身重量為 CP1 8 1 設(shè) 地從海平面到高空均保持溫度不變 試求 從海平面算起 大氣壓強減少的位置高度 從海平面算起 大氣密度減少的位置高度 提示 用可壓縮流體平衡方程 按同溫層方法處理 答 解 設(shè)大氣為完全氣體 由氣體靜力學(xué)方程 1 1 2 2 1 2 22 HH D d HH D dD h m266 0 804 3072 5 6 3 2 3 1 2 2 r2 rh3 rH4 1 grF 8 1 1 3 b F 3222 3 1 2 1 2 3 2 2 3 2 3 1 3 rgr r r r rrgFb 1 F 32 1 8 5 2 3 4 2 rgrr r gF 2 F 3 1 2 12 3 3 1 rgrrgF grFFFF b 8 1 1 3 21 km5 30 K303 0 CT 5 1 z 10 2 z m7 454 1 zm934 2 z RTp 0 TT 積分 設(shè) 由式 可得 將狀態(tài)方程 代入 式 可得 設(shè) 由 式可得 CP1 8 2 設(shè) 地海平面滿足國際標(biāo)準(zhǔn)大氣模型 試分別按 不可壓縮條件 絕熱 條件計算海拔 3658m 高處的大氣壓強 提示 1 和 2 遵循相同的平衡方程 但狀態(tài)方程的具體形式不同 答 1 2 解 1 設(shè)大氣為完全氣體 并滿足不可壓縮條件 由氣體靜力學(xué)方程 設(shè)大氣滿足絕熱條件常數(shù) 由氣體靜力學(xué)方程 0 d d RT pg g z p z RT g p p d d 0 2 1 2 1 d d 0 p p z z z RT g p p ln 12 01 2 zz RT g p p 1 20 12 ln p p g RT zzz 95 0 12 ppKm kgN287 R m7 454 0513 0 5 886495 0ln 81 9 303287 1 z 1212 pp 1 20 ln g RT z 9 0 12 m934 1054 0 5 88649 0ln5 8864 2 z kPa3 57 pkPa7 63 p 0 0 0 RT p 0 0 d d RT gp g z p z RT gp pdd 0 0 zp p z RT gp p 0 0 0 dd 0 z RT gp pp 0 0 0 kPa3 57 288287 365881 9 1 3 101 1 0 0 RT gz pp 6 56 0 p p p4 1 同 例 8 1 相比 說明絕熱條件更接近實際情況 C2 題解題解 CP 2 2 2 設(shè)速度場可表為 若流場為不可壓縮和無旋的 求 a b c d 必須滿足的條件 答 且 解 由不可壓縮 得 由無旋 得 則 a b c d 必須滿足 且 CP 2 3 1 已知速度場 試問此流場是否存在流函數(shù)和速度勢 函數(shù) 如有 請求之 g p p g z p 1 0 0 d d zgpdppd 1 00 1 p p z zgppp 0 0 1 00 1 dd zp p gzpp 0 1 00 1 1 0 gzp p p p 1 00 1 0 1 0 1 1 gzpgzp p p 0 1 00 11 0 1 0 1 1 1 1 1 0 1 0 0 0 1 1 1 1 RT gz gz pp p kPa7 63 288287 365881 9 4 1 4 0 1 3 101 1 1 4 0 4 1 1 0 0 RT gz pp 9 62 0 p p byaxu dycxv da bc 0 y v x u 0 da 0 y u x v 0 bc da bc 22 yyxu xyxv 22 答 解 1 不存在速度勢函數(shù) 2 存在流函數(shù) 由 由 得 CP 2 3 2 試判斷不可壓縮流體平面流動 是否有勢流動 若有 求出速度勢 答 解 為有勢流動 由 C2 3 7 式 CP 2 3 3 試寫出不可壓縮均勻來流流場 的速度勢和流函數(shù) 答 Cyyxx 3223 3 1 2 1 3 1 0 2 1 22 2 1 2 1 2222 yxyxyxyx y u x v 022 xyxy y v x u xyxv x 22 2 1 3 1 d 22322 yfxyxyfxxyx 222 yyxuyfyx y 2 yyf Cyyf 3 3 1 Cyyxx 3223 3 1 2 1 3 1 xxyu 2yyxv 22 Cyyyxx 2322 2 1 3 1 2 1 022 xx y u x v xxyu x 2 2 1 22 yfxyx yyxvyfx y 222 yyyf 2 Cyyyf 23 2 1 3 1 Cyyyxx 2322 2 1 3 1 2 1 m s2 um s3 v Cyx 32 Cxy 32 解 CP 2 3 4 已知極坐標(biāo)系中的速度場為 1 試確定流動 是否有速度勢和流函數(shù) 2 若有 則求之 答 解 1 由 C2 3 6b 式 存在勢函數(shù) 由 C2 3 12b 式 存在流函數(shù) 2 勢函數(shù)為 流函數(shù)為 CP 2 3 5 不可壓縮流體平面流動的速度勢 試求其流函數(shù) Cyx y v x u 32 3 2 Cxy x v y u 32 3 2 2cos4rvr 2sin4rv 1 2 2cos2Cr 2 2 2sin2Cr 02sin82sin8 2cos4 2sin4 1 1 2 rr rr rr v r rv r r z 02cos42cos82cos4 2cos4 2cos4 1 cos4 1 r r r rr vv rr v rr v 2cos4rv r r 2cos2 d2cos4 2 frfrr 1 0 2sin4 1 2sin4 1 Cff rvf r r r 1 2 2cos2Cr 2sin2 d2sin4 2sin4 2 grgrr rv r 2 0 2cos4 1 2cos4 1 Cgg rvg r r r r 2 2 2sin2Cr xyx 22 答 解 CP 2 3 6 不可壓縮流體平面流動的流函數(shù) 試求其速度勢 答 解 CP 2 3 7 下列流函數(shù)是否都是有勢流動 k 為常數(shù) 1 2 3 4 答 1 是 2 是 3 不是 4 是 Cyx 12 12 x x u y y v2 12 xu y 2xfyxy yvxfy x 2 2 0 x fCxf Cyxy 2 1032 yxxy Cyyxx 2 2 1 3 2 1 22 3 x y u 2 y x v 3 xu x 3 2 1 2 yfxx 2 yvyf y Cyyyf 2 2 1 2 Cyyxx 2 2 1 3 2 1 22 kxy 22 yx 2 ln xyk sin 1 1 2 r r k 解 1 所以是有勢流動 2 所以是有勢流動 3 所以不是有勢流動 4 所以是有勢流動 CP2 3 8 已知流函數(shù) 試求 1 勢函數(shù) 2 過 A 1 0 與 B 0 1 兩點任意連線的流量 提示 2 流過流場中任意兩點的連線的流量等于這兩點的流函數(shù)值之差 答 1 2 解 kx y u ky x v 000 y u x v y y u2 x x v2 0 2 2 y u x v y k y u 2 x k x v 0 2 22 y k x k y u x v cos 1 1 1 2 r k r vr sin 1 1 sin 1 2 r k r rk rr v 0sin 1 1 sin 1 k 1 cos 1 1 sin 1 22 2 r k r r k r rk r v r rv r 32 3yyx Cxyx 23 3 1 AB Q 22 33yx y u xy x v6 1 2 CP2 3 9 已知勢函數(shù) 試確定 1 點上的速度 2 求過此兩點的 連線的流量 提示 流過流場中任意兩點的連線的流量等于這兩點的流函數(shù)值之差 答 解 1 點上的速度為 點上的速度為 2 得 CP2 3 10 已知不可壓縮流場的流函數(shù) 試確定 A B兩點間之流量 及流動方向 提示 流過流場中任意兩點的連線的流量等于這兩點的流函數(shù)值之差 答 流量為 0 流動方向為由向流動 解 這說明 點在同一根流線上 故流量 為 0 又 故流動方向為由向流動 22 33yxu x 3 23 yfxyx xyvyfxy y 6 6 0 y fCyf Cxyx 23 3 1013 1 0 0 1 32 yyxQ ABAB xy3 3 1 3 3 12 Q y x u3 x y v3 3 1 9 u3 v 3 3 9 u9 v xv x 3 yu y 3 Cyx 22 2 3 12 91 2 3 0 2 3 3 3 3 1 22 13 yxQ 22 yx 1 1 2 2 2 2 1 1 0 2 2 1 1 22 yxQ ABAB 1 1 2 2 022 1 11 11 1 y y u 2 2 1 1 CP2 4 1 位于和兩點有相同強度 4的點源 試求在和處的速度 提示 描述該流場的勢函數(shù)由兩點源的勢函數(shù)疊加而成 點源不在坐標(biāo)原點時 r 應(yīng)取相對 于點源位置的距離 勢函數(shù)的直角坐標(biāo)形式可從極坐標(biāo)形式轉(zhuǎn)換而來 答 解 速度勢 Q 4 故 CP2 4 2 設(shè)一平面流動 速度勢為 是正常數(shù) 試計算下列周線上環(huán)量 1 沿圓 2 沿圓 提示 首先判斷速度勢表達式代表何種基本流 再利用無旋流斯托克斯公式計算圓周環(huán)量 答 1 2 如果 則 如果 則 解 1 該速度勢代表位于坐標(biāo)原點 強度為 2 k 的點渦 半徑為 R 的圓內(nèi) 包含該點渦 按斯托克斯公式沿該圓的環(huán)量即點渦的強度 2 k 2 對圓心在 a 0 的圓 如果 則點渦位于圓外 如果 則包含點渦 CP2 4 3 設(shè)空氣繞某中心作無旋圓周運動 已知半徑為 1m 與 1 2m 的兩圓周之間的壓差為 150Pa 試求繞該中心點的任意封閉曲線上的環(huán)量 設(shè)空氣密度為 提示 將流場化為基本解流 找出環(huán)量關(guān)系 利用伯努利方程求解 答 173 3m2 s 解 在該點上放置一點渦 設(shè)強度為 以該點為原點 繞原點的封閉曲線上的環(huán)量即為 速度場為 0 1 0 1 1 0 1 1 0 1 0 u 2 1 0 v 5 4 1 1 u 5 12 1 1 v 2 2 2 2 0 1 0 1 1ln 2 1ln 2 yx Q yx Q 2 2 2 2 1 1 1 1 2yx x yx xQ x u 2 2 2 2 112yx y yx yQ y v 0 1 0 u 2 1 0 v 5 4 1 1 u 5 12 1 1 v k k 222 Ryx 22 2 Ryax k 2 Ra 0 Ra k 2 k 2 Ra 0 Ra k 2 3 kg m29 1 將 代入伯努利方程 CP2 4 4 二維無旋流場由位于坐標(biāo)原點強度為 Q 的源及強度為的點渦組成 1 試寫出 此流場中的流線方程 2 已知 求壓強場 提示 將流場表示成基本解的疊加 求出流函數(shù)表達式即可寫出流線方程 由基本解求速度 場 再利用伯努利方程求壓強 答 1 流線方程 2 壓強場 解 1 位于原點的點源的流函數(shù)為 位于原點的點渦的流函數(shù)為 流線方程為 2 由伯努利方程 r V 2 0 r V 1 1 2 r V 2 2 2 r V 2 22 2 11 2 1 2 1 VpVp 2 2 2 2 1 1 2 2 1 2 2 1 r p r p 12 2 2 2 2 1 2 11 8 1 pp rr sm3 173 44 1 1 129 1 8150 11 8 2 2 2 2 2 1 2 12 rr pp ppr0 v Cr m ln 22 2222 8rQpp 2 1 Q rln 2 2 Cr Q ln 22 21 r Q r vr 2 1 rr v 2 22 22 22 2 4r Q vvv r 0 v CP2 5 1 水以均流繞流半徑為的二維圓柱體 該圓柱體以 120r min 的轉(zhuǎn)速逆時針旋轉(zhuǎn) 試求 1 圓柱面上的環(huán)量值 2 圓柱面上駐點的位置 3 單位長圓柱體的升力 提示 由圓柱表面的線速度直接求速度環(huán)量 用茹柯夫斯基定侓計算單位長度圓柱體的升力 由駐點位置臨界角公式求前后兩個駐點的幅角 答 1 2 和 3 升力 解 1 2 取圓柱中心為坐標(biāo)原點 均流方向為 x 軸 和為前后駐點的幅角 參見圖 C2 5 3 a 3 升力 CP2 5 2 直徑為 d 1 2m 的二維圓柱體以 n 90r min 的轉(zhuǎn)速逆時針旋轉(zhuǎn) 空氣以 U 80km h 的速度繞流圓柱體 試求 1 圓柱面上的環(huán)量值 2 圓柱面上駐點的位置 3 單位長圓柱體的升力 設(shè)空氣密度為 提示 由圓柱表面的線速度直接求速度環(huán)量 用茹柯夫斯基定侓計算單位長度圓柱體的升力 由駐點位置臨界角公式求前后兩個駐點的幅角 答 解 1 2 22 22 2 82 1 r Q pvpp m s10 Um4 0 a cr L F sm6 12 2 5 194 cr 5 345 N10008 1 6 L F sm6 12 60 2120 4 0222 222 aav 25 0 104 04 6 12 4 sin aU cr 5 194 cr 5 345 N1026 16 121010 53 UFL cr L F 3 kg m29 1 sm3 21 2 352 73 187和 cr N6 610 L F rad s 3 60 902 60 2 n m s65 58 16 03 rv sm3 212 165 5 2 dv m s22 22 3600 1080 3 U 為前后駐點的幅角 3 CP2 5 3 在均流對圓柱繞流流場中疊加一環(huán)量 使兩個駐點重合在圓柱面的同一點上 設(shè)圓柱半徑為 a 來流速度為 U 密度為 試求單位長圓柱的升力 提示 兩個駐點重合時 幅角為 90 度 答 解 駐點重合在同一點上時 此時 環(huán)量為 CP2 5 4 試按勢流理論求空氣均勻來流對圓柱繞流柱面上的最高壓強與最低壓強之差 已 知來流速度為 密度為 提示 根據(jù)壓強系數(shù)的定義 最高壓強點位于前后駐點 最低壓 強點位于圓柱頂點 然后求兩壓強之差 答 解 最高壓強 駐點 最低壓強 頂點 C3 題解題解 CP3 3 1 如圖所示 兩平板沿相反方向運動 若 127 0 22 226 04 3 21 4 sin aU cr 352 73 187和 cr N6 6103 2122 2229 1 UFL L F 2 4UaFL 2 cr 1sin cr aU 4 2 44UaaUUUFL m s5 U 3 kg m23 1 2 2 1 U pp C s p 1 p C 3 p C Pa5 61 min0 pp 1 p C 2 0 2 1 Upp 3 p C 2 min 2 3 Upp Pa5 612523 122 2 min0 Upp m s22 VU 1 p 2 p mm5 1 b 求作用在上 下平板上的切應(yīng)力 提示 求板上切應(yīng)力需知道流體速度分布 一般由基本方程求解 特殊的流動可根據(jù)速度分 布特點直接求解 如本題為簡單庫埃特流 上下板切應(yīng)力相等 答 解 設(shè) x 軸位于下板面 方向與上板相同 z 軸垂直板面向上 方程 流動屬簡單庫埃特流 速度為線性分布 由邊界條件 時 時 CP3 3 2 如圖所示 無限長平板以勻速 U 沿間距為 b 的固定平面水平移動 其中為兩層 不相混的流體所充滿 其厚度和粘性系數(shù)分別為 和 若運動中無壓差 試 求在圖示坐標(biāo)系中流體中的速度分布 和切應(yīng)力分布 提示 根據(jù)流動特點判斷兩層液體的速度分布類型 由三個邊界條件聯(lián)立求解速度分布表達 式 應(yīng)注意兩層液體交界面的邊界條件特點 包括速度和切應(yīng)力 可參見 B3 5 節(jié) 答 解 由方程 C3 2 3 可得 上板邊界條件為 時 a 下板邊界條件為 時 b skg m49 0 Pa980 下上 21 pp 0 d d x p 0 d d1 d d 2 2 x p z u 21 czcu 0 zm s1 Vu m s1 2 c bz m s2 Uu 133 21 s102 105 1 3 bcUc 23 1 N m98010249 0 d d c z u 980 下上 Pa 1 b 2 b 1 2 1 u 2 u 1 2 2112 21 2112 2 1 bb Ub z bb U u 2112 21 2112 1 2 bb Ub z bb U u 2112 21 21 bb U 0 d d 2 1 2 z u 1 1 d d c z u 211 czcu 0 d d 2 2 2 z u 3 2 d d c z u 432 czcu 1 bz Uu 1211 cbcU 2 bz 0 2 u 423 0cbc 由兩層液體交界面上速度連續(xù) 時 a b 式可得 c 又由兩層液體交界面上切應(yīng)力連續(xù) 即 可得 d 由 c d 式可解得 由 b 式可得 速度分布式為 切應(yīng)力為常數(shù) CP3 3 3 在間距為的固定平板間的定常壓差層流中 平均流速為 流體粘性系數(shù)為 試證 沿流動方向距離上的壓差為 證明 在下板上沿流動方向取 x 軸 z 軸垂直向上 參照書中 C3 3 5a 式 速度分布為 CP3 4 1 已知粘性流體在圓管中作定常層流流動 圓管截面上速度分布為 其中為常數(shù) 為由圓心的矢徑 是圓管半徑 求 1 流量 Q 2 平均速度 V 0 z 21 uu 42 cc 2311 bcbcU 21 z u z u d d d d 2 2 1 1 3211 cc 2112 2 1 bb U c 2112 1 3 bb U c 2112 21 2324 bb Ub bccc 2112 21 2112 2 1 bb Ub z bb U u 2112 21 2112 1 2 bb Ub z bb U u 2112 21 21 bb U h2V l 2 3hVlp 2 d d 2 1 2 hzz x p u x ph zhzz x p h zu h V hh d d 3 d2 d d 2 1 2 1 d 2 1 2 2 2 0 2 0 x h V pd 3 d 2 l x h V p 0 2 2 1 d 3 d 2 12 3 h Vl ppp 22 rRCu CrR 3 單位長度圓管的沿程損失 提示 已知速度分布 壁面切應(yīng)力可求 利用斯托可斯公式求比壓降 單位長度壓強降 再求沿程損失 答 解 1 流量 2 平均速度 3 切應(yīng)力 由斯托克斯公式 單位長度上的壓降為 單位長度上的沿程損失為 CP3 4 2 如圖所示 密度為 粘度為的流體 在重力作用下以層流狀態(tài)流過一傾斜管 管的半徑為 R 管與水平線傾斜角為 求 1 當(dāng)管內(nèi)壓差時 寫出流動的微分 方程 2 管內(nèi)速度分布函數(shù) u r 3 流量的表達式 答 1 2 3 提示 利用柱坐標(biāo)形式的 N S 方程 慣性項為零 有體積力 無壓強梯度 求解速度分布 后沿管截面積分得流量 流量公式應(yīng)具有泊肅葉公式形式 解 1 由軸對稱 建立柱坐標(biāo)系 管軸為 x 軸 管徑為 r 軸 由柱坐標(biāo)形式 N S 方程 參見例 C3 4 1 可得 lhf gChf 4 4 0 22 0 2 d2d2R C rrrRCrruQ RR 2 2 2 2 4 CR R R C A Q V RC r u Rrw 2 d d R G w 2 C Rl p G w 4 2 g C g G l hf 4 0 p Q 0 1 sin 2 2 r u r u r g 22 4 sin Rr g u 4 sin 8 RgQ 0 r V0 V 0 0 p ruu 2 移項后積分兩次得 邊界條件 時 有限 時 速度分布 3 這里相當(dāng)于泊肅葉公式中的比壓降 G CP3 4 3 的水和的空氣流過同一光滑管道 如果壁面摩擦系數(shù)相等 求在同 一壓差下兩者的體積流量比 提示 本題未指明流態(tài) 無法直接用摩擦因子公式 達西公式適用于任何流態(tài) 反映壓差 達西摩擦因子 管道尺寸 流體性質(zhì)和平均速度之間的關(guān)系 本題應(yīng)從達西公式出發(fā)求流量 比 答 解 由達西公式 同一管道 d l 相同 現(xiàn)摩擦系數(shù) 相等 壓差相同 水和空氣的流量比為 CP3 6 1 當(dāng)時 直徑多大的普通鍍鋅鋼管 的沿程阻力系數(shù) 與直徑為的鑄鐵管 的相同 答 r u r rr g r u r u r g 1 sin 1 sin0 2 2 21 2 ln 4 sin crcr g u 0 ru 0 1 c Rr 0 u 2 2 4 sin R g c 2222 4 sin 4 sin 4 sin Rr g R g r g u 4 0 23 0 sin 8 d 2 sin d2RgrrRr g rruQ RR sing C 20C 20 0347 0 空 水 Q Q g V d l g p hf 2 2 l dP V 2 4 f C 0347 0 2 998 204 1 1 2 2 1 2 1 V V Q Q 5 10 Re 2 dmm375 0 1 mm30 1 dmm26 0 2 mm3 43 2 d 解 沿程阻力系數(shù)表達為 當(dāng) 均相等時才相等 令 由表 C3 1 商用鑄鐵管 鍍鋅鋼管 CP3 6 2 一根舊的鐵管 長 直徑 管內(nèi)水的流量 水的運動粘度取 試求沿程損失 答 解 管內(nèi)平均流速 查 Moody 圖 CP3 6 3 水管直徑 長度 絕對粗糙度 0 25mm 設(shè)已知流量 運動粘度 求沿程損失 答 解 查 Moody 圖 Re df d Re 21 dd mm26 0 1 mm375 0 2 mm3 43 26 0 375 0 30 1 2 12 dd mm5 0 m60 lcm20 d sm2 0 3 Q sm1014 1 26 f h m51 15 f h m s37 6 2 0 2 044 22 d Q V 6 6 1012 1 1014 1 2 037 6 Vd Re 0025 0 2 0 105 0 3 d 025 0 m51 15 81 92 37 6 2 0 60 025 0 2 22 g V d l hf mm250 dm300 l sm095 0 3 Q sm10 26 f h m58 4 f h m s935 1 25 0 095 044 22 d Q V 5 6 1084 4 10 25 0935 1 Vd Re 001 0250 25 0 d 02 0 CP3 6 4 如圖所示 油從壓力油箱經(jīng)一輸油管輸出 輸油管的直徑為 長度為 油的運動粘度為 設(shè)輸油管終端壓力等于大氣壓 不計入口損 失 若要保證流量為 試求壓力油箱液面所需的位置高度 提示 油箱中油位的高度既要保證克服輸油管中的沿程損失 又要保證達到規(guī)定的流量 答 解 屬層流區(qū) CP3 6 5 15 的空氣流過直徑 長度 絕對粗糙度 0 2mm 的管 道 已知沿程損失為 試求空氣的流量 Q 提示 本題要注意流動介質(zhì)是空氣 但沿程損失以水柱形式給出 應(yīng)將其轉(zhuǎn)成氣柱形式才能 計算流量 求流量屬第二類長管問題 可利用 Moody 圖作迭代運算 答 解 查表 15 時空氣的密度 運動粘度 水的密度 由達西公式可得 a b m58 4 81 92 935 1 25 0 300 02 0 2 22 g V d l hf mm6 d m5 l sm105 1 25 sm4 0 3 cQ m094 0 h m s014 0 006 014 3 104 044 2 6 2 d Q V 66 5 000015 0 006 0014 0 Vd Re 2300Re m094 0100 19423 81 92 014 0 006 0 5 66 5 64 2 64 5 22 g V d l Re hf m5 0 dm2000 l OcmH4 21 f h sm556 0 3 Q 3 kg m225 1 sm1047 1 25 3 1 kg m1 999 Air m62 32 225 1 1 999 04 0 1 1 ff hh m s 4 0 2000 5 062 3281 92 2 l dgh V f 4 5 1036 1 1047 1 5 04 0 Vd Re 管壁相對粗糙度為 查 Moody 圖 用迭代法確定摩擦因子 設(shè) 由 b 式 再查 Moody 圖得 設(shè) 由 b 式 再查 Moody 圖得 由 a 式得 流量為 CP3 6 6 一根直徑的鉚接鋼管 長 絕對粗糙度 的水 流流過該管 已知水頭損失 試求水的流量 提示 本題屬第二類長管問題 可利用 Moody 圖作迭代運算 答 解 相對粗糙度 查 Moody 圖完全粗糙區(qū) 設(shè) 查 15 的水運動粘度 再 查 Moody 圖 所求平均速度正確 CP3 6 7 溫度為的水流過直徑的焊接鋼管 絕對粗糙度 設(shè) 單位長度上的沿程損失 試求管內(nèi)流量 提示 本題屬第二類長管問題 可利用 Moody 圖作迭代運算 答 0004 0500 2 0 d 016 0 1 5 10075 1 Re02 01 02 0 2 4 1062 9 Re2 2 02 0 m s83 2 02 0 4 0 V sm556 0 4 5 0 83 2 4 3 22 d VQ cm30 dm400 lmm3 15 m8 f h Q sm124 0 3 Q 01 0 d 038 0 038 0 1 m s76 1 400 83 081 92 038 0 1 2 1 2 12 1 1 l gdh V f sm1014 1 26 5 6 106 4 1014 1 3 076 1 Vd Re 12 038 0 sm124 076 13 0 4 1 4 1 322 VdQ C 20cm50 dmm05 0 006 0 lhf Q sm414 0 3 Q 解 相對粗糙度 查 Moody 圖完全粗糙區(qū) 由達西公式 查 20 的水運動粘度 設(shè) 查 Moody 圖 作迭代計算 查 Moody 圖 所求流量為 CP3 6 8 用新鑄鐵管輸送 25 的水 流量 在長的管道上沿程損 失為 試求所需管道的直徑 d 提示 本題屬第三類長管問題 可利用 Moody 圖作迭代運算 答 選管道直徑為 0 6 m 解 由速度與流量關(guān)系 由達西公式 0001 050005 0 d 012 0 006 0 2 1 2 g V dl hf m s 2426 0 5 081 92006 0 1 2 1 2 1 2 1 gd l h V f sm101 26 V VVd Re 5 6 105 10 5 0 012 0 1 m s215 2 012 0 2426 0 1 V 65 1 1 101 1215 2105 dV Re 0132 0 2 m s11 22426 0 0132 0 1 2426 0 1 2 2 V 65 2 2 10055 111 2105 dV Re 0132 0 23 sm414 011 25 025 0 4 1 32 2 2 VdQ L s300 Q m1000 l OmH2 2 f h m s 382 01030044 22 3 2 ddd Q V 2 44 7 81 92 382 01000 2 55 22 ddg V d l hf 可得直徑與摩擦因子的關(guān)系式 查 25 水的運動粘度為 直徑與雷諾數(shù)的關(guān)系式為 查鑄鐵管粗糙度為 0 26mm 相對粗糙度為 設(shè) 0 027 d 0 632 m d 0 00016 Re 6 77 10E5 查 Moody 圖 0 015 設(shè) 0 015 d 0 561 m d 0 00015 Re 7 63 10E5 查 Moody 圖 0 015 即需管道直徑 d 0 561m CP3 6 9 輸油管為焊接鋼管 0 046 mm 管長 l 3000 m 輸送流量為 Q 0 25 m3 s 允 許的沿程損失為 hf 23 m 設(shè)油的運動粘度為 0 093 cm2 s 試設(shè)計管徑 d 至少應(yīng)多大 提示 本題屬第三類長管問題 建立管徑與摩擦系數(shù) 相對粗糙度 雷諾數(shù)的關(guān)系式 利用 Moody 圖作迭代運算 答 d 0 42m 解 由達西公式 a b 設(shè) 值 計算 d Re d 用 Moody 圖作迭代計算 設(shè) 1 0 02 d1 0 422 m Re1 8 1 104 d1 0 0001 查圖 1 0 019 2 0 019 d2 0 418 m Re2 8 2 104 d2 0 0001 查圖 2 0 019 取 d 0 42 m CP3 7 1 如圖所示 一突然擴大的管道 其管徑由突然擴大到 管 中 通 過 流 量的 水 在 截 面 前后 接 一 差 壓 計 其 中 充 以 四氯 化 碳 讀得的液面高差 試求管徑突然擴大處的局部損失系 數(shù) 且把求得的結(jié)果與理論計算的結(jié)果相比較 答 解 5 72 3 d sm1093 8 27 dd Vd Re 5 7 1028 4 1093 8 382 0 dd 106 2 4 522 2 0 0826 4 2g 1 dQ l d Q d l hf 0 67323 0 2530000 0826 0 0826 225 f hlQd 5 637 0 d d dd Qd d QVd Re 2 34227 100 093 0 25444 4 mm50 1 dmm100 2 d L s44 4 Q 3 m kg m9 1568 mm173 h K 5597 0 K sm1044 4 33 Q 理論值 誤差為 0 5 CP3 7 2 如圖 CP3 6 4 所示 油從郵箱經(jīng)一油管到噴霧嘴再噴入大氣 油管直徑 d 5mm 長 l 1m 中間裝有一個過濾器 K