橢圓及其標準方程（第3-4課時）

橢圓的定義 距離之和等于常數(shù) 定點 距離 MF1 MF2 2a c 0 0 c a2 b2 c2 橢圓的標準方程 1 平面內(nèi)點M到兩定點F1 F2的距離之和為常數(shù)2a 當2a F1F2 時 點M的軌跡是橢圓 當2a F1F2 時 點M的軌跡是一條線段F1F2 當2a F1F2 時 點M的軌跡不存在 2 橢圓的標準方程有兩種形式 若含x2項的分母大于含y2項的分母 則橢圓的焦點在x軸上 反之焦點在y軸上 思路點撥 求橢圓的標準方程時 要先判斷焦點位置 確定橢圓標準方程的形式 最后由條件確定a和b的值 一點通 求橢圓標準方程的一般步驟為 答案 D 2 已知橢圓C經(jīng)過點A 2 3 且點F 2 0 為其右焦點 求橢圓C的標準方程 思路點撥 因為 PF1F2 120 F1F2 2c 所以要求S PF1F2 只要求 PF1 即可 可由橢圓的定義 PF1 PF2 2a 并結合余弦定理求解 4 平面內(nèi)有一個動點M及兩定點A B 設p MA MB 為定值 q 點M的軌跡是以A B為焦點的橢圓 那么 A p是q的充分不必要條件B p是q的必要不充分條件C p是q的充要條件D p既不是q的充分條件 又不是q的必要條件解析 若 MA MB 為定值 只有定值 AB 時 點M軌跡才是橢圓 故p為q的必要不充分條件 答案 B 解析 a2 16 a 4 而由橢圓定義 AF1 AF2 2a BF1 BF2 2a ABF2周長 AB AF2 BF2 AF1 BF1 AF2 BF2 4a 16 答案 B 例3 2 已知圓B x 1 2 y2 16及點A 1 0 C為圓B上任意一點 求AC的垂直平分線l與線段CB的交點P的軌跡方程 思路點撥 P為AC垂直平分線上的點 則 PA PC 而BC為圓的半徑 從而4 PA PB 可得點P軌跡為以A B為焦點的橢圓 一點通 求解有關橢圓的軌跡問題 一般有如下兩種思路 1 首先通過題干中給出的等量關系列出等式 然后化簡等式得到對應的軌跡方程 2 首先分析幾何圖形所揭示的幾何關系 對比橢圓的定義 然后設出對應橢圓的標準方程 求出其中a b的值 得到標準方程 7 ABC的三邊a b c成等差數(shù)列 A C的坐標分別為 1 0 1 0 求頂點B的軌跡方程 8 已知動圓M過定點A 3 0 并且在定圓B x 3 2 y2 64的內(nèi)部與其相內(nèi)切 求動圓圓心M的軌跡方程 9 已知x軸上的一定點A 1 0 Q為橢圓上的動點 求AQ中點M的軌跡方程 2 解 設動點M的坐標為 x y 則Q的坐標為 2x 1 2y 因為Q點為橢圓上的點 所以點M的軌跡方程是 1 用待定系數(shù)法求橢圓的標準方程時 若已知焦點的位置 可直接設出標準方程 若焦點位置不確定 可分兩種情況求解 也可設為Ax2 By2 1 A 0 B 0 A B 求解 2 解決與橢圓有關的軌跡問題時 要注意檢驗所得到的方程的解是否都在曲線上 3 涉及橢圓的焦點三角形問題 可結合橢圓的定義列出 PF1 PF2 2a求解 因此回歸定