2024年全國(guó)高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽（浙江預(yù)賽）試題含參考答案

2024年全國(guó)中學(xué)生奧林匹克數(shù)學(xué)競(jìng)賽浙江賽區(qū)初賽試題2.設(shè)函數(shù)f:{1,2,3}→{2,3,4}滿足f(f(x)?1)=f(x)距離為。_____ 。2試問(wèn)，當(dāng)k1,k2,k3滿足什么條件時(shí)，存在A>0使得定義在[0,A]上的函數(shù)g(x)+f(A?x)15.設(shè)f(x),g(x)均為整系數(shù)多項(xiàng)式，且degf(x)>degg(x)。若對(duì)無(wú)窮多個(gè)素?cái)?shù)p，pf(x)+g(x)存在有理根，證明：f(x)必存在有理根。2024年全國(guó)中學(xué)生奧林匹克數(shù)學(xué)競(jìng)賽浙江賽區(qū)初賽試題參考答案和評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)答案m≤?3解令y=f(x)?1∈{1,2,3}，則f(y)=y+1。對(duì)f(1)=2以下三種情況都滿足條件f(2)=f(3)=2;f(2)=f(3)=3;f(2)=f(3)=4，共3種。又f(1)=2,f(2)=3,f(3)=4顯然滿足條件。解令t=sinx,?1≤t≤1，原式變形y=1+,當(dāng)t≠0時(shí),≤y≤。當(dāng)t=0時(shí)，y=1。所以y的最大、最小值分別為其積為1，則通項(xiàng)xn=__________。解將已知條件變形得將上式從1到n疊加得到為所以球心到平面BDC的距離為2223nk22nCnk+1kC2024。_______22由圓的性質(zhì)可知，直線AP與直線l垂直，所以圓心坐標(biāo)滿足即圓心坐標(biāo)軌跡方程為x?y=2，記此直線為l/。/相切于A。設(shè)直線l/與x軸相交于點(diǎn)B（22=BO?BF1,即有答案：9試問(wèn)，當(dāng)k1,k2,k3滿足什么條件時(shí)，存在A>0使得定義在[0,A]上的函數(shù)g(x)+f(A?x)解對(duì)A的取值分類討論。此時(shí)，g(x)+f(A?x)最小值點(diǎn)有無(wú)窮多個(gè)，不合，舍去。此時(shí)，g(x)+f(A?x)最小值點(diǎn)有無(wú)窮多個(gè)，不合，舍去。此時(shí)，g(x)+f(A?x)最小值點(diǎn)唯一或無(wú)窮多個(gè)，不合，舍去。此時(shí)，g(x)+f(A?x)最小值點(diǎn)唯一或無(wú)窮多個(gè)，不合，舍去。（以上四類7分）226此時(shí)，g(x)+f(A?x)恰有兩個(gè)最大值點(diǎn)的充要條件為（k13A?首先易用抽屜原理證明，S每個(gè)元素均在A1，A2,…,Ak中至少出現(xiàn)3次（5分所以A15.設(shè)f(x),g(x)均為整系數(shù)多項(xiàng)式，且degf(x)>degg(x)。若對(duì)無(wú)窮多個(gè)素?cái)?shù)p，pf(x)+g(x)存在有理根，證明：f(x)必存在有理根。若子列αpi→α,則必有f(α)=0。下證α可為有理數(shù)。由pf(αp)+g(αp)=0得到sppan,rppa0+b0。記pa0+b0=rplp,lp（2）若有無(wú)窮多個(gè)素?cái)?shù)pi