高中數(shù)學(xué)必修3綜合測試題.doc

正弦定理和余弦定理1正弦定理：2R，其中R是三角形外接圓的半徑由正弦定理可以變形為：(1)abcsin Asin Bsin C；(2)a2Rsin_A，b2Rsin_B，c2Rsin_C；(3)sin A，sin B，sin C等形式，以解決不同的三角形問題2余弦定理：a2b2c22bccos_A，b2a2c22accos_B，c2a2b22abcos_C余弦定理可以變形為：cos A，cos B，cos C.3SABCabsin Cbcsin Aacsin B(abc)r(R是三角形外接圓半徑，r是三角形內(nèi)切圓的半徑)，并可由此計算R，r.4已知兩邊和其中一邊的對角，解三角形時，注意解的情況如已知a，b，A，則A為銳角A為鈍角或直角圖形關(guān)系式absin Aabsin Absin Aabababab解的個數(shù)無解一解兩解一解一解無解一條規(guī)律在三角形中，大角對大邊，大邊對大角；大角的正弦值也較大，正弦值較大的角也較大，即在ABC中，ABabsin Asin B.兩類問題在解三角形時，正弦定理可解決兩類問題：(1)已知兩角及任一邊，求其它邊或角；(2)已知兩邊及一邊的對角，求其它邊或角情況(2)中結(jié)果可能有一解、兩解、無解，應(yīng)注意區(qū)分余弦定理可解決兩類問題：(1)已知兩邊及夾角求第三邊和其他兩角；(2)已知三邊，求各角兩種途徑根據(jù)所給條件確定三角形的形狀，主要有兩種途徑：(1)化邊為角；(2)化角為邊，并常用正弦(余弦)定理實施邊、角轉(zhuǎn)換雙基自測1在ABC中，A60，B75，a10，則c等于()A5 B10 C. D5解析由ABC180，知C45，由正弦定理得：，即.c.答案C2在ABC中，若，則B的值為()A30 B45 C60 D90解析由正弦定理知：，sin Bcos B，B45.答案B3在ABC中，a，b1，c2，則A等于()A30 B45 C60 D75解析由余弦定理得：cos A，0A，A60.答案C4在ABC中，a3，b2，cos C，則ABC的面積為()A3 B2 C4 D.解析cos C，0C，sin C，SABCabsin C324.答案C5已知ABC三邊滿足a2b2c2ab，則此三角形的最大內(nèi)角為_解析a2b2c2ab，cos C，故C150為三角形的最大內(nèi)角答案150考向一利用正弦定理解三角形【例1】在ABC中，a，b，B45.求角A，C和邊c.解由正弦定理得，sin A.ab，A60或A120.當(dāng)A60時，C180456075，c；當(dāng)A120時，C1804512015，c. (1)已知兩角一邊可求第三角，解這樣的三角形只需直接用正弦定理代入求解即可(2)已知兩邊和一邊對角，解三角形時，利用正弦定理求另一邊的對角時要注意討論該角，這是解題的難點，應(yīng)引起注意【訓(xùn)練1】 在ABC中，若b5，B，tan A2，則sin A_a_.解析因為ABC中，tan A2，所以A是銳角，且2，sin2Acos2A1，聯(lián)立解得sin A，再由正弦定理得，代入數(shù)據(jù)解得a2.答案2考向二利用余弦定理解三角形【例2】在ABC中，a、b、c分別是角A、B、C的對邊，且.(1)求角B的大小；(2)若b，ac4，求ABC的面積審題視點 由，利用余弦定理轉(zhuǎn)化為邊的關(guān)系求解解(1)由余弦定理知：cos B，cos C.將上式代入得：，整理得：a2c2b2ac.cos B.B為三角形的內(nèi)角，B.(2)將b，ac4，B代入b2a2c22accos B，得b2(ac)22ac2accos B，13162ac，ac3.SABCacsin B.【訓(xùn)練2】 已知A，B，C為ABC的三個內(nèi)角，其所對的邊分別為a，b，c，且2cos2 cos A0.(1)求角A的值；(2)若a2，bc4，求ABC的面積解(1)由2cos2 cos A0，得1cos Acos A0，即cos A，0A，A.(2)由余弦定理得，a2b2c22bccos A，A，則a2(bc)2bc，又a2，bc4，有1242bc，則bc4，故ABCbcsin A.考向三利用正、余弦定理判斷三角形形狀【例3】在ABC中，若(a2b2)sin(AB)(a2b2)sin C，試判斷ABC的形狀審題視點 首先邊化角或角化邊，再整理化簡即可判斷解由已知(a2b2)sin(AB)(a2b2)sin C，得b2sin(AB)sin Ca2sin Csin(AB)，即b2sin Acos Ba2cos Asin B，即sin2Bsin Acos Bsin2Acos Bsin B，所以sin 2Bsin 2A，由于A，B是三角形的內(nèi)角故02A2，02B2.故只可能2A2B或2A2B，即AB或AB.故ABC為等腰三角形或直角三角形 判斷三角形的形狀的基本思想是；利用正、余弦定理進行邊角的統(tǒng)一即將條件化為只含角的三角函數(shù)關(guān)系式，然后利用三角恒等變換得出內(nèi)角之間的關(guān)系式；或?qū)l件化為只含有邊的關(guān)系式，然后利用常見的化簡變形得出三邊的關(guān)系【訓(xùn)練3】 在ABC中，若；則ABC是()A直角三角形 B等邊三角形C鈍角三角形 D等腰直角三角形解析由正弦定理得a2Rsin A，b2Rsin B，c2Rsin C(R為ABC外接圓半徑).即tan Atan Btan C，ABC.答案B考向三正、余弦定理的綜合應(yīng)用【例3】在ABC中，內(nèi)角A，B，C對邊的邊長分別是a，b，c，已知c2，C.(1)若ABC的面積等于，求a，b；(2)若sin Csin(BA)2sin 2A，求ABC的面積解(1)由余弦定理及已知條件，得a2b2ab4.又因為ABC的面積等于，所以absin C，得ab4，聯(lián)立方程組解得(2)由題意，得sin(BA)sin(BA)4sin Acos A，即sin Bcos A2sin Acos A.當(dāng)cos A0，即A時，B，a，b；當(dāng)cos A0時，得sin B2sin A，由正弦定理，得b2a.聯(lián)立方程組解得所以ABC的面積Sa bsin C.【訓(xùn)練3】 (2011北京西城一模)設(shè)ABC的內(nèi)角A，B，C所對的邊長分別為a，b，c，且cos B，b2.(1)當(dāng)A30時，求a的值；(2)當(dāng)ABC的面積為3時，求ac的值解(1)因為cos B，所以sin B.由正弦定理，可得，所以a.(2)因為ABC的面積Sacsin B，sin B，所以ac3，ac10.由余弦定理得b2a2c22accos B，得4a2c2aca2c216，即a2c220.所以(ac)22ac20，(ac)240.所以ac2.【示例】在ABC中，a，b，c分別為內(nèi)角A，B，C所對的邊長，a，b，12cos(BC)0，求邊BC上的高正解在ABC中，cos(BC)cos A，12cos(BC)12cos A0，A.在ABC中，根據(jù)正弦定理，sin B.ab，B，C(AB).sin Csin(BA)sin Bcos Acos Bsin A.BC邊上的高為bsin C.【試一試】 ABC的三個內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，asin Asin Bbcos2 Aa.(1)求；(2)若c2b2a2，求B.嘗試解答(1)由正弦定理得，sin2Asin Bsin Bcos2Asin A，即sin B(sin2Acos2A)sin A.故sin Bsin A，所以.(2)由余弦定理和c2b2a2，得cos B.由(1)知b22a2，故c2(2)a2.可得cos2B，又cos B0，故cos B，所以B45.高中數(shù)學(xué)必修3綜合測試題一、 選擇題1、已知一組數(shù)據(jù)為20、30、40、50、60、60、70，則這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)的大小關(guān)系為（ ）A、中位數(shù) 平均數(shù) 眾數(shù) B、眾數(shù) 中位數(shù) 平均數(shù)C、眾數(shù) 平均數(shù) 中位數(shù) D、平均數(shù) 眾數(shù) 中位數(shù)2、某影院有60排座位，每排70個座號，一次報告會坐滿了聽眾，會后留下座號為15的所有聽眾60人進行座談，這是運用了（ ）A、抽簽法 B、隨機數(shù)法C、系統(tǒng)抽樣法 D、分層抽樣法3、某大學(xué)中文系共有本科生5000人，其中一、二、三、四年級的學(xué)生比為5：4：3：1，要用分層抽樣的方法從該系所有本科生中抽取一個容量為260的樣本，則應(yīng)抽二年級的學(xué)生（ ）A、100人 B、60人 C、80人 D、20人4、一個均勻的正方體，把其中相對的面分別涂上紅色、黃色、藍色，隨機向上拋出，正方體落地時“向上面為紅色”的概率是（ ） A、1/6 B、1/3 C、1/2 D 5/65、下列兩個變量之間的關(guān)系哪個不是函數(shù)關(guān)系（ ）A、 角度和它的正切值 B、 人的右手一柞長和身高C、正方體的棱長和表面積 D、真空中自由落體運動物體的下落距離和下落時間6、為了解A、B兩種輪胎的性能，某汽車制造廠分別從這兩種輪胎中隨機抽取8個進行測試，下面列出了每一種輪胎行駛的最遠里程數(shù)（單位：1000km）輪胎A：108、101、94、105、96、93、97、106輪胎B：96、112、97、108、100、103、86、98你認為哪種型號的輪胎性能更加穩(wěn)定（ ）A、輪胎A B、輪胎B C、都一樣穩(wěn)定 D、無法比較 7、我們對那大中學(xué)高二（1）班50名學(xué)生的身高進行了調(diào)查，按區(qū)間145-150，150-155，180185（單位：cm）進行分組，得到的分布情況如下圖所示，由圖可知樣本身高在165-170的頻率為（ ） A、0.24B、0.16C、0.12D、0.20 8、一個射手進行一次射擊，則事件“命中環(huán)數(shù)小于6環(huán)”的對立事件是（ ）A、 命中環(huán)數(shù)為7、8、9、10環(huán)B、命中環(huán)數(shù)為1、2、3、4、5、6環(huán)C、命中環(huán)數(shù)至少為6環(huán)D、命中環(huán)數(shù)至多為6環(huán)9、從一副標(biāo)準(zhǔn)的52張的撲克牌中隨機地抽取一張，則事件“這張牌是梅花”的概率為（ ）A、1/26 B、13/54 C、1/13 D、1/410、從一箱產(chǎn)品中隨機地抽取一件，設(shè)事件A=“抽到一等品”，事件B = “抽到二等品”，事件C =“抽到三等品”，且已知 P（A）= 0.65 ,P(B)=0.2 ,P(C)=0.1。則事件“抽到的不是一等品”的概率為（ ）A、0.65 B、0.35 C、0.3 D、0.00511、一塊各面均涂有油漆的正方體被鋸成1000個小的正方體，若將這些小正方體均勻攪拌在一起，則任意取出的一個小正方體其兩面均涂有油漆的概率是（ ）A、3/25 B、12/125 C、1/10 D、1/12二、 填空題1、已知一組數(shù)據(jù)X1，X2，X3，,Xn的方差是S,那么另一組數(shù)據(jù)X1-3，X2-3，X3-3，,Xn-3的方差是_2、下列說法中正確的有_刻畫一組數(shù)據(jù)集中趨勢的統(tǒng)計量有極差、方差、標(biāo)準(zhǔn)差等；刻畫一組數(shù)據(jù)離散程度統(tǒng)計量有平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)等。拋擲兩枚硬幣，出現(xiàn)“兩枚都是正面朝上”、“兩枚都是反面朝上”、“恰好一枚硬幣正面朝上”的概率一樣大有10個鬮，其中一個代表獎品，10個人按順序依次抓鬮來決定獎品的歸屬，則摸獎的順序?qū)χ歇劼蕸]有影響。 向一個圓面內(nèi)隨機地投一個點，如果該點落在圓內(nèi)任意一點都是等可能的，則該隨機試驗的數(shù)學(xué)模型是古典概型。三、解答題1、（共12分）某校有教職工500人，對他們進行年齡狀況和受教育程度的調(diào)查，其結(jié)果如下：高中?？票究蒲芯可嫌?5歲以下10150503524535 5020100201315350歲以上3060102102隨機的抽取一人，求下列事件的概率：（1） 50歲以上具有?？苹?qū)？埔陨蠈W(xué)歷； （4分）（2） 具有本科歷；（4分）（3） 不具有研究生學(xué)歷。（4分）2、 （共12分）為了調(diào)查甲、乙兩個網(wǎng)站受歡迎的程度，隨機選取了14天，統(tǒng)計上午8：0010：00間各自的點擊量，得如下所示的統(tǒng)計圖，根據(jù)統(tǒng)計圖：（1）甲、乙兩個網(wǎng)站點擊量的極差分別是多少？ （4分）（2）甲網(wǎng)站點擊量在10，40間的頻率是多少？ （4分）（3）甲、乙兩個網(wǎng)站哪個更受歡迎？并說明理由。 （4分）3、（共12分）在某中學(xué)舉行的物理知識競賽中，將三個年級參賽學(xué)生的成績在進行整理后分成5組，繪制出如圖所示的頻率分布直方圖，圖中從左到右依次為第一、第二、第三、第四、第五小組。已知第三小組的頻數(shù)是15。（1）求成績在5070分的頻率是多少； （4分）（2）求這三個年級參賽學(xué)生的總?cè)藬?shù)是多少； （4分）（3）求成績在80100分的學(xué)生人數(shù)是多少； （4分）4、（共12分）一個學(xué)校的足球隊、籃球隊和排球隊分別有28，22，17名成員，一些成員不止參加一支球隊，具體情況如圖所示。隨機選取一名成員：（1） 屬于不止1支球隊的概率是多少？ （6分） （2） 屬于不超過2支球隊的概率是多少？ （6分）1.設(shè)某程序框圖如圖所示，該程序運行后，輸出的值是（ ）A10 B15 C20 D30開始s=0i=1i5？i=i+1輸出s結(jié)束YNs=s+2i第1題 第2題2. 閱讀如圖1的程序框，并判斷運行結(jié)果為（ ）A55 B-55 C5 D-53.某程序框圖如右圖所示，若輸出的S57，則判斷框內(nèi)填（ ）是否開始輸入結(jié)束輸出A、k4？B、k5？C、k6？D、k7？第3題4.執(zhí)行程序框圖，如果輸入，那么輸出的（ ）A24 B120 C720 D1440 第4題90110周長(cm) 頻率/組距1001201300.010.020.0480第5題圖5、為了解一片速生林的生長情況，隨機測量了其中100株樹木的底部周長（單位：cm）根據(jù)5.所得數(shù)據(jù)畫出樣本的頻率分布直方圖（如右），那么在這100株樹木中，底部周長小于110cm的株數(shù)是（ ）A30 B60 C70 D806.甲、乙、丙、丁四人參加國際奧林匹克數(shù)學(xué)競賽選拔賽，四人的平均成績和方差如下表：甲乙丙丁平均成績86898985方差2.13.52.15.6從這四人中選擇一人參加國際奧林匹克數(shù)學(xué)競賽，最佳人選是（ ）A 甲 B乙 C丙 D丁7.有兩位射擊運動員在一次射擊測試中各射靶10次，每次命中的環(huán)數(shù)如下：甲 7 8 7 9 5 4 9 10 7 4乙 9 5 7 8 7 6 8 6 7 7則下列判斷正確的是（ ） （A） 甲射擊的平均成績比乙好 （B） 乙射擊的平均成績比甲好 （C） 甲比乙的射擊成績穩(wěn)定 （D） 乙比甲的射擊成績穩(wěn)定8三點（3,10），（7,20），（11,24）的線性回歸方程是（ ）(A) (B) (C) (D) 9.已知線性回歸方程為：，則x25時，y 的估計值為（ ）A.10.69 B.11.69 C12.69 D.13.6910.某地區(qū)高中分三類，類學(xué)校共有學(xué)生2000人，類學(xué)校共有學(xué)生3000人，類學(xué)校共有學(xué)生4000人，若采取分層抽樣的方法抽取900人，則類學(xué)校中應(yīng)抽學(xué)生的人數(shù)為（ ）A.190 B.210 C.200 D.18012.有60件產(chǎn)品，編號為01至60，現(xiàn)從中抽取5件檢驗，用系統(tǒng)抽樣的方法所確定的抽樣編號是（ ）A、5，10，15，20，25； B、5，12，31，39，57；C、5，15，25，35，45； D、5，17，29，41，5313.某廠的三個車間的職工代表在會議室開會,第一、二、三車間的與會人數(shù)分別是10、12、9，一個門外經(jīng)過的工人聽到發(fā)言，則發(fā)言人是第二或第三車間職工代表的概率是 （ ） A B. C D. 14.從1，2，3，4這4個數(shù)中，不放回地任意取兩個數(shù)，兩個數(shù)都是偶數(shù)的概率是( )（A） （B） （C） （D）15.從裝有兩個紅球和兩個黑球的口袋里任取兩個球，那么互斥而不對立的兩個事件是（ ） A“至少有一個黑球”與“都是黑球”B“至少有一個黑球”與“至少有一個紅球”C“恰好有一個黑球”與“恰好有兩個黑球”D“至少有一個黑球”與“都是紅球”16.甲、乙2人下棋，下成和棋的概率是，乙獲勝的概率是，則甲不勝的概率是（ ） A B C D17.取一根長度為3m的繩子，拉直后在任意位置剪斷，那么剪得兩段的長度都不小于1m的概率是（ ）A B C D不確定18.如圖，某人向圓內(nèi)投鏢，如果他每次都投入圓內(nèi)，那么他投中正方形區(qū)域的概率為（ ）A、 B、 C、 D、20.從裝有3個白球,2個黑球的盒子中任取兩球,則取到全是白球的概率是( )A. B. C. D. 21.為了了解2013年某校高三學(xué)生的視分組頻數(shù)頻率（3.9，4.230.06（4.2，4.560.12（4.5，4.825x（4.8，5.1yz（5.1，5.420.04合計n1.00力情況，隨機抽查了一部分學(xué)生視力，將調(diào)查結(jié)果分組，分組區(qū)間為， ，經(jīng)過數(shù)據(jù)處理，得到如右頻率分布表：（1）求頻率分布表中未知量的值；（2）從樣本中視力在和的所有同學(xué)中隨機抽取兩人，求兩人的視力差的絕對值低于0.5的概率22.某中學(xué)高三實驗班的一次數(shù)學(xué)測試成績的莖葉圖(圖3)和頻率分布直方圖(圖4)都受到不同程度的破壞，可見部分如下圖所示，據(jù)此解答如下問題。 （1）求全班人數(shù)及分數(shù)在之間的頻數(shù)； （2）計算頻率分布直方圖中的矩形的高； （3）若要從分數(shù)在80，100之間的試卷中任取兩份分析學(xué)生的答題情況，在抽取的試卷中，求至少有一份分數(shù)在90，100之間的概率。24某校高一級數(shù)學(xué)必修一模塊考試的成績分為四個等級，85分-100分為A等，70分-84分為B等，55分-69分為C等，54分以下為D等.右邊的莖葉圖（十位為莖，個位為葉）記錄了某班某小組6名學(xué)生的數(shù)學(xué)必修一模塊考試成績。（1） 求出莖葉圖中這6個數(shù)據(jù)的中位數(shù)和平均數(shù)；（2） 若從這6名學(xué)生中隨機抽出2名，分別求恰好有一名學(xué)生的成績達到A等的概率和至多有一名學(xué)生的成績達到A等的概率，1.D 2.D 3.A 4.B 5.C 6.C 7.D 8.D 9.B10.C 11. 12.D 13.D 14.A 15.C 16.B 17.B18.A 19.D 20.A21. 解：（1）由表可知，樣本容量為，由，得，由；3分， 6分（2）設(shè)樣本視力在（3.9，4.2的3人為，在（5.1，5.4的2人為7分由題意從5人中任取兩人的基本事件如下：，共有10個基本事件9分設(shè)事件表示“抽取的兩人的視力差的絕對值低于0.5”，則事件A等價于“抽取兩人來自同一組”包含的基本事件有：，共有4個基本事件 11分， 故抽取的兩人的視力差的絕對值低于0.5的概率為 12分22. 解：（1）由莖葉圖可知，分數(shù)在之間的頻數(shù)為2,頻率為，所以全班人數(shù)為（人） （2分） 故分數(shù)在之間的頻數(shù)為. （3分）(2) 分數(shù)在之間的頻數(shù)為4, 頻率為 （5分）所以頻率分布直方圖中的矩形的高為 （7分）（3）用表示之間的4個分數(shù)，用表示之