高考數(shù)學(xué)一輪總復(fù)習(xí) 第五章 數(shù)列、推理與證明 第7講 數(shù)學(xué)歸納法課件 理.ppt

第7講數(shù)學(xué)歸納法 1 運(yùn)用數(shù)學(xué)歸納法證明命題要分兩步 第一步是歸納奠基 或遞推基礎(chǔ) 第二步是歸納遞推 或歸納假設(shè) 兩步缺一不可 2 用數(shù)學(xué)歸納法可以證明許多與自然數(shù)有關(guān)的數(shù)學(xué)命題 其中包括恒等式 不等式 數(shù)列通項(xiàng)公式 整除性問題 幾何問題等 條時(shí) 第一步檢驗(yàn)第一個(gè)值n0等于 a 1 b 2 c 3 d 4 且n 1 時(shí) 在第二步證明從n k到n k 1成立時(shí) 左邊增加 的項(xiàng)數(shù)是 a 2kb 2k 1c 2k 1d 2k 1 c a 3 凸n邊形有f n 條對(duì)角線 則凸n 1邊形有對(duì)角線數(shù)f n 1 為 c 5 a f n n 1c f n n 1 b f n nd f n n 2 4 若不等式2n n2 1對(duì)于n n0的正整數(shù)n都成立 則n0的最小值為 考點(diǎn)1 對(duì)數(shù)學(xué)歸納法的兩個(gè)步驟的認(rèn)識(shí) 上述證法 a 過程全都正確b n 1驗(yàn)得不正確c 歸納假設(shè)不正確d 從n k到n k 1的推理不正確解析 上述證明過程中 在由n k變化到n k 1時(shí) 不等式的證明使用的是放縮法而沒有使用歸納假設(shè) 故選d 答案 d 答案 b 規(guī)律方法 用數(shù)學(xué)歸納法證明時(shí) 要注意觀察下列幾個(gè)方面 n的范圍以及遞推的起點(diǎn) 觀察首末兩項(xiàng)的次數(shù) 或其他 確定n k時(shí)命題的形式f k 從f k 1 和f k 的差異 尋找由k到k 1遞推中 左邊要加 或乘 的式子 互動(dòng)探究 1 用數(shù)學(xué)歸納法證明1 a a2 an 1 an 1 a 1 1 a n n 時(shí) 在驗(yàn)證n 1時(shí) 左邊計(jì)算所得的式子是 b a 1c 1 a a2 b 1 ad 1 a a2 a4 解析 n 1時(shí) 左邊的最高次數(shù)為1 即最后一項(xiàng)為a 左邊是1 a 答案 n n 1 an2 bn c 對(duì)一切正整數(shù)n都成立 證明你 考點(diǎn)2 用數(shù)學(xué)歸納法證明恒等式命題 例2 是否存在常數(shù)a b c 使等式1 22 2 32 2 n n 1 12 的結(jié)論 思維點(diǎn)撥 從特殊入手 探求a b c的值 考慮到有3個(gè)未知數(shù) 先取n 1 2 3 列方程組求得 然后用數(shù)學(xué)歸納法對(duì)一切n n 等式都成立 3n2 11n a b c 24 解 把n 1 2 3代入得方程組4a 2b c 44 9a 3b c 70 a 3 解得b 11 c 10 猜想 等式1 22 2 32 n n 1 2 n n 1 12 10 對(duì)一切n n 都成立 3k2 11k 10 下面用數(shù)學(xué)歸納法證明 1 當(dāng)n 1時(shí) 由上面可知等式成立 2 假設(shè)n k時(shí)等式成立 即1 22 2 32 k k 1 2 k k 1 12 k k 1 k k 1 則1 22 2 32 k k 1 2 k 1 k 2 2 12 3k2 11k 10 k 1 k 2 2 12 3k 5 k 2 k 1 k 2 2 k 1 k 2 12 k 3k 5 12 k 2 k 1 k 2 12 3 k 1 2 11 k 1 10 當(dāng)n k 1時(shí) 等式也成立 綜合 1 2 對(duì)n n 等式都成立 規(guī)律方法 這是一個(gè)探索性命題 歸納 猜想 證明 是一個(gè)完整的發(fā)現(xiàn)問題和解決問題的思維模式 對(duì)于探索命題特別有效 要求善于發(fā)現(xiàn)規(guī)律 敢于提出更一般的結(jié)論 最后進(jìn)行嚴(yán)密的論證 從特殊入手 探求a b c的值 考慮到有3個(gè)未知數(shù) 先取n 1 2 3 列方程組求得 然后用數(shù)學(xué)歸納法對(duì)一切n n 等式都成立 左邊 右邊 所以等式成立 互動(dòng)探究 3 用數(shù)學(xué)歸納法證明 當(dāng)n n 時(shí) 11 3 13 5 1n 2n 1 2n 1 2n 1 證明 1 當(dāng)n 1時(shí) 左邊 111 33 右邊 12 1 1 13 k 1k 1 2 假設(shè)當(dāng)n k k n 時(shí)等式成立 即有 11 3 13 5 1 2k 1 2k 1 k2k 1 則當(dāng)n k 1時(shí) 11 3 13 5 1 2k 1 2k 1 1 2k 1 2k 3 k12k 1 2k 1 2k 3 k 2k 3 1 2k 1 2k 3 2k2 3k 1 2k 1 2k 3 2k 32 k 1 1 所以當(dāng)n k 1時(shí) 等式也成立 由 1 2 可知 對(duì)一切n n 等式都成立 考點(diǎn)3用數(shù)學(xué)歸納法證明整除性命題 例3 試證 當(dāng)n為正整數(shù)時(shí) f n 32n 2 8n 9能被64 整除 證明 方法一 1 當(dāng)n 1時(shí) f 1 34 8 9 64 命題顯然成立 2 假設(shè)當(dāng)n k k 1 k n 時(shí) f k 32k 2 8k 9能被64整除 由于32 k 1 2 8 k 1 9 9 32k 2 8k 9 9 8k 9 9 8 k 1 9 9 32k 2 8k 9 64 k 1 即f k 1 9f k 64 k 1 n k 1時(shí)命題也成立 根據(jù) 1 2 可知 對(duì)任意的n n 命題都成立 方法二 1 當(dāng)n 1時(shí) f 1 34 8 9 64 命題顯然成立 2 假設(shè)當(dāng)n k k 1 k n 時(shí) f k 32k 2 8k 9能被64整除 由歸納假設(shè) 設(shè)32k 2 8k 9 64m m為大于1的自然數(shù) 將32k 2 64m 8k 9代入到f k 1 中 得f k 1 9 64m 8k 9 8 k 1 9 64 9m k 1 當(dāng)n k 1時(shí)命題成立 根據(jù) 1 2 可知 n n 命題都成立 互動(dòng)探究 4 求證 二項(xiàng)式x2n y2n n n 能被x y整除 證明 1 當(dāng)n 1時(shí) x2 y2 x y x y 能被x y整除 命題成立 2 假設(shè)當(dāng)n k k 1 k n 時(shí) x2k y2k能被x y整除 那么當(dāng)n k 1時(shí) x2k 2 y2k 2 x2 x2k y2 y2k x2x2k x2y2k x2y2k y2y2k x2 x2k y2k y2k x2 y2 顯然x2k 2 y2k 2能被x y整除 即當(dāng)n k 1時(shí)命題成立 由 1 2 知 對(duì)任意的正整數(shù)n命題均成立 難點(diǎn)突破 利用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式例題 2012年大綱 函數(shù)f x x2 2x 3 定義數(shù)列 xn 如下 x1 2 xn 1是過兩點(diǎn)p 4 5 qn xn f xn 的直線pqn與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo) 1 證明 2 xn xn 1 3 2 求數(shù)列 xn 的通項(xiàng)公式 1 數(shù)學(xué)歸納法證明中的兩個(gè)步驟體現(xiàn)了遞推思想 第一步是遞推的基礎(chǔ) 第二步是遞推的依據(jù) 兩個(gè)步驟缺一不可 否則就會(huì)導(dǎo)致錯(cuò)誤 有一無二 是不完全歸納法 結(jié)論不一定可靠 有二無一 第二步就失去了遞推的基礎(chǔ) 2 用數(shù)學(xué)歸納法證明問題時(shí)應(yīng)注意第一步驗(yàn)證n n0時(shí) n0并不一定是1 3 用數(shù)學(xué)歸納法證明時(shí) 從n k到n k 1