初等函數(shù)在定義域中連續(xù).doc

初等函數(shù)在定義域中連續(xù)內(nèi)容概要一. 連續(xù)的定義二常見(jiàn)的初等函數(shù)舉例三以上所舉初等函數(shù)是否在定義域中連續(xù)并舉例證明幾個(gè)初等函數(shù)的連續(xù)性四以上所舉初等函數(shù)的復(fù)合函數(shù)（也是初等函數(shù)）是否有連續(xù)性并舉例證明五我們從中得到的定理一連續(xù)的定義（一）設(shè)函數(shù)f在某U（X0）內(nèi)有定義，若f(x)=f(x0)，則稱f在點(diǎn)X0連續(xù)（二）即函數(shù)在定義域中每一點(diǎn)滿足 1 左極限 和 右極限 存在 2 左極限等于右極限 3 左極限與右極限等于這一點(diǎn)的函數(shù)值二常見(jiàn)的初等函數(shù)舉例（一）概念初等函數(shù)是由冪函數(shù)(power function)、指數(shù)函數(shù)(exponential function)、對(duì)數(shù)函數(shù)(logarithmic function)、三角函數(shù)(trigonometric function)、反三角函數(shù)(inverse trigonometric function)與常數(shù)經(jīng)過(guò)有限次的有理運(yùn)算（加、減、乘、除、有理數(shù)次乘方、有理數(shù)次開(kāi)方）及有限次函數(shù)復(fù)合所產(chǎn)生、并且能用一個(gè)解析式表示的函數(shù)。英文：elementary function它是最常用的一類函數(shù)，包括常數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)、反三角函數(shù)（以上是基本初等函數(shù)），以及由這些函數(shù)經(jīng)過(guò)有限次四則運(yùn)算或函數(shù)的復(fù)合而得的所有函數(shù)。還有一系列雙曲函數(shù)也是初等函數(shù)，如sinh 的名稱是雙曲正弦或超正弦, cosh 是雙曲余弦或超余弦, tanh 是雙曲正切、coth 是雙曲余切、sech 是雙曲正割、csch 是雙曲余割。初等函數(shù)在其定義區(qū)間內(nèi)連續(xù)。（二）實(shí)例介紹1 常數(shù)函數(shù)對(duì)定義域中的一切x對(duì)應(yīng)的函 數(shù)值都取某個(gè)固定常數(shù) 的函數(shù)。2 指數(shù)函數(shù)形如yax的函數(shù)，式中a為不等于1的正常數(shù)。3 冪函數(shù)形如yxa的函數(shù)，式中a為實(shí)常數(shù) 。4 對(duì)數(shù)函數(shù)指數(shù)函數(shù)的反函數(shù)，記作，式中a為不等于1的正常數(shù)。指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)之間成 立關(guān)系式，=X。5 三角函數(shù)即正弦函數(shù)ysinx ，余弦函數(shù)ycosx ，正切函數(shù)ytanx，余切函數(shù)ycotx ，正割函數(shù)ysecx，余割 函數(shù)ycscx。6 反三角函數(shù)三角函數(shù) 的反函數(shù) 反正弦函數(shù)y arc sinx ，反 余 弦函數(shù) yarc cosx （1x1，初等函數(shù)0y） ，反 正 切 函數(shù) y=arc tanx ， 反余切函數(shù) y arc cotx（ x ，y ） 等 。 以上這些函數(shù)常統(tǒng)稱為基本初等函數(shù)。雙曲正弦或超正弦sinh x =(ex- e（-x)）/2雙曲余弦或超余弦cosh x =(ex + e(x)/2雙曲正切tanh x =sinh x / cosh x雙曲余切coth x = 1 / tanh x雙曲正割sech x = 1 / cosh x雙曲余割csch x = 1 / sinh x一個(gè)初等函數(shù)，除了可以用初等解析式表示以外，往往還有其他表示形式，例如 ，三角函數(shù) ysinx 可以用無(wú)窮級(jí)數(shù)表為 初等函數(shù)可以按照解析表達(dá)式分類為： 初等函數(shù)是最先被研究的一類函數(shù)，它與人類的生產(chǎn)和生活密切相關(guān)，并且應(yīng)用廣泛。為了方便，人們編制了各種函數(shù)表，如平方表、開(kāi)方表、對(duì)數(shù)表、三角函數(shù)表等（三）基本初等函數(shù)的范圍包括代數(shù)函數(shù)和超越函數(shù)?；境醯群瘮?shù)是實(shí)變量或復(fù)變量的指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)、三角函數(shù)和反三角函數(shù)經(jīng)過(guò)有限次四則運(yùn)算及有限次復(fù)合后所構(gòu)成的函數(shù)類。這是分析學(xué)中最常見(jiàn)的函數(shù)，在研究函數(shù)的一般理論中起著很重要的作用。實(shí)變量初等函數(shù) 定義域?yàn)閷?shí)數(shù)域的初等函數(shù)。 有理函數(shù) 實(shí)系數(shù)多項(xiàng)式稱為整有理函數(shù)。其中最初等函數(shù)簡(jiǎn)單的是線性函數(shù) y=0+1x，它的圖形是過(guò)y軸上y=0點(diǎn)的斜率為1的直線。二次整有理函數(shù)y=0+1x+2x2的圖形為拋物線。兩個(gè)整有理函數(shù)之比(1)稱為分式有理函數(shù)。其中最簡(jiǎn)單的是其圖形為雙曲線。整有理函數(shù)和分式有理函數(shù)統(tǒng)稱有理函數(shù)。有理函數(shù)起源于代數(shù)學(xué)。 求有理函數(shù)的反函數(shù)則可產(chǎn)生代數(shù)函數(shù)。如y=xn的反函數(shù)為三角函數(shù)和反三角函數(shù) 這是起源于幾何學(xué)的最簡(jiǎn)單的超越函數(shù)。高等分析學(xué)中計(jì)量角度的方法是所謂弧度法,即以單位圓周上的弧段量度相應(yīng)的圓心角。三角函數(shù)是sinx、cosx以及由它們導(dǎo)出的 和它們的定義如圖1所示。sinx和cosx在 x=0處的泰勒展式為(2)(3)它們的收斂半徑為。sinx、cosx、tanx、cotx 、secx 、cosecx的反函數(shù)分別為 arcsinx、 arccosx、 arctanx、arccotx、arcsecx、arccosecx(或記為sin-1x、 cos-1x、tan-1x、cot-1x、sec-1x、cosec-1x),初等函數(shù)圖形并稱為反三角函數(shù)。 指數(shù)函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù) 設(shè)為一正數(shù)，則y=z表示以為底的指數(shù)函數(shù)（圖2）。其反函數(shù)ylogx稱為以為底的對(duì)數(shù)函數(shù)(圖3)。特別當(dāng)=e時(shí)稱y=ez（或expx）和y=logx=lnx（或logx）為指數(shù)函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)。logx能由下面的積分式定義它表示由雙曲線 、下由t軸、左右分別由t=1和t=x兩直線所圍的面積。由此可知當(dāng)x在正實(shí)軸上變化時(shí)，y=logx取值在實(shí)軸上，且log1=0。它是x的增函數(shù),導(dǎo)數(shù)。此外logx滿足加法定理，即log(x1x2)=logx1+logx2。初等函數(shù) 初等函數(shù)對(duì)數(shù)函數(shù)的反函數(shù)指數(shù)函數(shù)ex是定義在實(shí)軸上取值于正實(shí)數(shù)的增函數(shù)，且 e01。 ex的導(dǎo)數(shù)與它本身相同。此外ex滿足乘法定理，即 。ex在x=0處的泰勒展式為。(4)雙曲函數(shù)和反雙曲函數(shù) 由指數(shù)函數(shù)經(jīng)有理運(yùn)算可導(dǎo)出雙曲函初等函數(shù)數(shù)。其性質(zhì)與三角函數(shù)很相似，并以 sinhx、coshx、tanhx、cothx、sechx、cosechx表示之，其定義如下：分別稱為雙曲正弦（圖4）和雙曲余弦（圖5）。像三角函數(shù)一樣，由它們導(dǎo)出的雙曲正切（圖6）tanhx=sinhx/coshx，雙曲余切（圖7）cothxcoshx/sinhx等都稱為雙曲函數(shù)。它們有如下的幾何解釋，即雙曲線x2-y2=1(x0)上取一點(diǎn)M,又令O為原點(diǎn),N(1,0)，將ON,OM和雙曲線上的弧所圍面積記為/2，點(diǎn)M的坐標(biāo)視為的函數(shù),并記為cosh和sinh，即有表示式(5)。初等函數(shù) 初等函數(shù) 初等函數(shù) 初等函數(shù)復(fù)變量初等函數(shù) 定義域?yàn)閺?fù)數(shù)域的初等函數(shù)。 有理函數(shù)、冪函數(shù)和根式函數(shù) 兩個(gè)復(fù)系數(shù)的多項(xiàng)式之比為有理函數(shù),它實(shí)現(xiàn)擴(kuò)充的復(fù)平面到自身的解析映射。分式線性函數(shù) 是一個(gè)特殊的有理函數(shù)，它在復(fù)分析中有重要的意義。另一個(gè)特殊情形是冪函數(shù)wzn，n 是自然數(shù),初等函數(shù)它在全平面是解析的,且。因此當(dāng)n2時(shí)，它在全平面除z=0以外到處實(shí)現(xiàn)共形映射（保角映射）。它將圓周丨z丨= r變?yōu)閳A周|w|=rn，將射線argz=變?yōu)樯渚€argwn。任何一個(gè)區(qū)域,只要該區(qū)域中任兩點(diǎn)的輻角差小于2/n,它就是wzn的單葉性區(qū)域。冪函數(shù) wzn的反函數(shù)為根式函數(shù),它有n 個(gè)值,(k=0，1,n-1),稱為它的分支。它們?cè)谌魏螀^(qū)域1z 12 中都單值解析而且將這個(gè)區(qū)域變?yōu)閰^(qū)域。它們的導(dǎo)數(shù)為。 指數(shù)函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù) 在指數(shù)函數(shù)式(4)中將x換為復(fù)變量z,便得到復(fù)變量的指數(shù)函數(shù)wez,并且,顯然有 (k為整數(shù))。復(fù)指數(shù)函數(shù)有類似于實(shí)指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)：ez是一整函數(shù)且對(duì)任何復(fù)數(shù)z,ez0;它滿足乘法定理:；ez以2ki為周期，即；并且它的導(dǎo)數(shù)與本身相同，即 。函數(shù)wez在全平面實(shí)現(xiàn)共形映射。任何一個(gè)區(qū)域，只要對(duì)區(qū)域內(nèi)任兩點(diǎn)，其虛部之差小于2，它就是ez的單葉性區(qū)域。例如,指數(shù)函數(shù)把直線x=x0變?yōu)閳A周,把直線y=y0變?yōu)樯渚€argwy0，因而把區(qū)域Sk變?yōu)閰^(qū)域 0w 2，把寬度為的帶形區(qū)域0 0+(2)變?yōu)殚_(kāi)度為的角形域0w0+。對(duì)數(shù)函數(shù)wLnz是指數(shù)函數(shù)ez的反函數(shù)，它有無(wú)窮多個(gè)值2k)（k 為整數(shù)），稱為它的分支。每一個(gè)分支在區(qū)域0z0+ 2 中是解析的，且有。對(duì)數(shù)函數(shù)把這個(gè)區(qū)域單葉地變?yōu)閹螀^(qū)域0w 02，也把開(kāi)度為的角形域0z0(2)變?yōu)閷挾葹榈膸螀^(qū)域0w 1）證明：由=1= ， 這表明在x=0連續(xù)。現(xiàn)任取?？梢灾溃?令t= ， 則當(dāng)時(shí)有，從而有 這就證明了在任一點(diǎn)連續(xù)。3冪函數(shù) 冪函數(shù)（為實(shí)數(shù)）可表為，它是函數(shù)與的復(fù)合，故由指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)（下證）的連續(xù)性以及復(fù)合函數(shù)的連續(xù)性（下證），推得冪函數(shù)在其定義域（0，+ ）上連續(xù)。4. 對(duì)數(shù)函數(shù) 由反函數(shù)的連續(xù)性得知，又指數(shù)函數(shù)是連續(xù)的，所以，作為指數(shù)函數(shù)的反函數(shù)，對(duì)數(shù)函數(shù)在其定義域上也連續(xù)。5三角函數(shù)由三角函數(shù)圖像可以組略得知其連續(xù)性。6反三角函數(shù)