量子力學(xué)導(dǎo)論第4章答案.doc

第四章 力學(xué)量用算符表達(dá)與表象變換4.1）設(shè)與為厄米算符，則和也是厄米算符。由此證明，任何一個(gè)算符均可分解為，與均為厄米算符，且證：）為厄米算符。）也為厄米算符。）令，則，且定義 （1）由），）得，即和皆為厄米算符。則由（1）式，不難解得 4.2）設(shè)是的整函數(shù)，證明整函數(shù)是指可以展開成。證： （1）先證。同理，現(xiàn)在，而 。又 而 4.3）定義反對易式，證明證：4.4）設(shè)，為矢量算符，和的標(biāo)積和矢積定義為，為Levi-civita符號(hào)，試驗(yàn)證 （1） （2） （3）證：（1）式左端（1）式右端也可以化成 。 （1）式得證。（2）式左端 （）（2）式右端 故（2）式成立。（3）式驗(yàn)證可仿（2）式。4.5）設(shè)與為矢量算符，為標(biāo)量算符，證明 （1） （2）證：（1）式右端（1）式左端（2）式右端 （2）式左端4.6）設(shè)是由，構(gòu)成的標(biāo)量算符，證明 （1）證： （2） （3）同理可證， （4） （5）將式（3）、（4）、（5）代入式（2），于是（1）式得證。4.7）證明 。證：利用基本對易式 即得 。因此 其次，由于和對易，所以因此，4.8）證明 （1） （2） （3） （4）證: （1）利用公式 ，有其中 因此 （2）利用公式， （）可得 由，則（2）得證。（3）（4）就此式的一個(gè)分量加以證明，由4.4）（2）， ，其中（即）類似地?？梢缘玫椒至亢头至康墓剑剩?）題得證。4.9）定義徑向動(dòng)量算符 證明：， ，證：，即為厄米算符。據(jù)4.8）（1），。其中 ，因而 以左乘上式各項(xiàng)，即得4.10)利用測不準(zhǔn)關(guān)系估算諧振子的基態(tài)能量。解：一維諧振子能量 。又奇，（由(3.8)、(3.9)題可知），由測不準(zhǔn)關(guān)系，得 。，得 同理有，。諧振子（三維）基態(tài)能量。4.11) 利用測不準(zhǔn)關(guān)系估算類氫原子中電子的基態(tài)能量。解：類氫原子中有關(guān)電子的討論與氫原子的討論十分相似，只是把氫原子中有關(guān)公式中的核電荷數(shù)換成（為氫原子系數(shù)）而理解為相應(yīng)的約化質(zhì)量。故玻爾軌跡半徑 ，在類氫原子中變?yōu)?。類氫原子基態(tài)波函數(shù)，僅是的函數(shù)。而，故只考慮徑向測不準(zhǔn)關(guān)系， 類氫原子徑向能量為：。而，如果只考慮基態(tài)，它可寫為，與共軛，于是， （1）求極值 由此得（：玻爾半徑；：類氫原子中的電子基態(tài)“軌跡”半徑）。代入（1）式，得基態(tài)能量，運(yùn)算中做了一些不嚴(yán)格的代換，如，作為估算是允許的。4.12)證明在分立的能量本征態(tài)下動(dòng)量平均值為0。證：設(shè)定態(tài)波函數(shù)的空間部分為，則有為求的平均值，我們注意到坐標(biāo)算符與的對易關(guān)系：。這里已用到最基本的對易關(guān)系，由此這里用到了的厄米性。 這一結(jié)果可作一般結(jié)果推廣。如果厄米算符可以表示為兩個(gè)厄米算符和的對易子，則在或的本征態(tài)中，的平均值必為0。4.13）證明在的本征態(tài)下，。（提示：利用，求平均。）證：設(shè)是的本征態(tài)，本征值為，即，同理有：。4.14) 設(shè)粒子處于狀態(tài)下，求和解：記本征態(tài)為，滿足本征方程，利用基本對易式 ，可得算符關(guān)系 將上式在態(tài)下求平均，因作用于或后均變成本征值，使得后兩項(xiàng)對平均值的貢獻(xiàn)互相抵消，因此 又上題已證 。同理 。4.15)設(shè)體系處于狀態(tài)（已歸一化，即），求（a）的可能測值及平均值;（b）的可能測值及相應(yīng)的幾率；（c）的可能測值及相應(yīng)的幾率。解：，；，。（a）由于已歸一化，故的可能測值為，0，相應(yīng)的幾率為，。平均值。（b）的可能測值為，相應(yīng)的幾率為，。（c）若，不為0，則（及）的可能測值為：，0，。1）在的空間，對角化的表象中的矩陣是求本征矢并令，則，得，。）取，得，本征矢為，歸一化后可得本征矢為。）取，得，本征矢為，歸一化后可得本征矢為。）取，得，歸一化后可得本征矢為。在態(tài)下， 取的振幅為，取的幾率為；取的振幅為，相應(yīng)的幾率為；取的振幅為，相應(yīng)的幾率為。總幾率為。2）在的空間，對角化表象中的矩陣?yán)?，。，本征方程，。），本征矢為。在態(tài)下，測得的振幅為。幾率為；），本征矢為。在態(tài)下，測得的振幅為，幾率為。），本征矢為，在態(tài)下，測得幾率為。），本征矢為，在態(tài)下，測得的振幅為。幾率為；），本征矢為，在態(tài)下，測得的幾率為。在態(tài)中，測（和）的可能值及幾率分別為：4.16）設(shè)屬于能級(jí)有三個(gè)簡并態(tài)，和，彼此線形獨(dú)立，但不正交，試?yán)盟鼈儤?gòu)成一組彼此正交歸一的波函數(shù)。解： ，。是歸一化的。，。它們是正交歸一的，但仍然是簡并的（可驗(yàn)證