錐度量空間中映射的新的公共不動點定理.doc

錐度量空間中的公共不動點定理摘要：本文研究了錐度量空間中的公共不動點的存在性和唯一性，此結(jié)論證明并推廣了近來的相關(guān)結(jié)論.關(guān)鍵詞：錐度量空間；映射；公共不動點New common fixed point theorems for maps on cone metric spacesAbstract: In this paper, we study the uniqueness and existence of a common fixed point for a pair of mappings in cone metric space. The results extend and improve recent related results.Keywords: Cone metric space; Mapping; Common fixed point1. 介紹和預(yù)備知識設(shè)是拓?fù)湎蛄靠臻g，且為非空閉集，稱是一個錐, 如果，.稱“ ”為誘導(dǎo)的一個偏序關(guān)系，如果滿足： ； ； ；用表示，用表示但，表示-，(表示的內(nèi)部).賦范空間中的錐P稱為正規(guī)的，如果存在常數(shù)使得當(dāng)時 (,),滿足上式的最小正整數(shù)稱為的正規(guī)常數(shù).錐是實體，如果.在本文中，假設(shè)是拓?fù)湎蛄靠臻g，代表零元素，錐是實體的， “ ”為P誘導(dǎo)的一個偏序關(guān)系.定義1.1 設(shè)是一個非空集合，映射：滿足：(d1) ，對任意，和，當(dāng)且僅當(dāng)；(d2) ，對任意， ；(d3) ， ，z+ z，對任意，z ；則稱為上得一個錐度量，稱為一個錐度量空間.定義1.2 設(shè)，是一個錐度量空間，我們稱為： 柯西列，如果對任意的，存在正整數(shù)，使得當(dāng)，時，有， ； 收斂于 ，如果對任意的，存在正整數(shù)，使得當(dāng)時，有，；稱是完備的錐度量空間，如果中每一個Cauchy列都是收斂的.引理1.1 設(shè)，是一個錐度量空間，是實Banach空間，錐是實體的，是中的序列，則有(a) 收斂于 ， ，當(dāng)且僅當(dāng)，；(b) 是柯西列，當(dāng)且僅當(dāng)，.引理1.2 設(shè)，是一個錐度量空間，錐是實體的，是中的序列，如果收斂于且收斂于，則.證明：設(shè),都是的極限，對，由序列極限定義，存在，使得對所有, ，且 , ，從而, +, . 給定，對任何0，有，從而, ，即對任何0，, 由于是閉的，當(dāng)時，故令，得到, .所以, =，即.定義1.3 設(shè)和是集合中的自映射，如果存在使得= = ，則稱為和的公共點.定義1.4 錐度量空間中的兩個自映射和是弱相容的，如果和在處可以交換，即如果存在使得，則有=.稱為和的交換點，若=；稱為和的公共不動點，若.2. 主要結(jié)果 在這部分，給出在錐度量空間下定義的映射的一些公共不動點定理.定理2.1. 設(shè)，是一個錐度量空間，常數(shù)且，設(shè)映射，：滿足條件：對所有的， . 2.1對， ，如果，且是完備子空間，則和在中有唯一的公共點.然而，如果和是弱相容的，則和有唯一的公共不動點.證明：取，因為，所以存在，使得，依次歸納，得到一個序列使得 =0，1，2，3，.因此，由2.1，對于正整數(shù)，我們有同理有因此所以在這里，因為，則，從而，所以.因此，對正整數(shù)和，我們有因為，所以，又是定值， 如果，則即為和公共點； 如果，則有，所以對正整數(shù)，故由引理1.1得為柯西列，所以由的完備性得收斂到某點，即，所以存在使得，因此，由2.1，我們有=1，2，3， 2.2因此，讓且有，所以，即，又，所以，所以，即，所以由錐的定義得，因此即.綜上，我們知道和有公共點，下面證明它們的公共點唯一，假設(shè)存在另一個點使得，因此由2.1，我們有又因為，所以即所以和有唯一的公共點.下面證明和有唯一的公共不動點： 因為和是弱相容的，且由上知，所以有，下證，若不然，設(shè)，則由2.1可得由此可知，而，故，因此，矛盾，從而，即有，所以是和的公共不動點.設(shè)是和的另一個公共不動點，則所以，即，又，所以，所以，即，所以由錐的定義得，因此即.所以和有唯一的公共不動點.推論2.1 設(shè)，是一個完備的錐度量空間，且，設(shè)映射：滿足條件：對所有的， . 2.3對， ，存在唯一的不動點，對，利用逐次迭代得收斂到.證明：在定理2.1中令，結(jié)合其證明過程，即得此推論.定理2.2. 設(shè)，是一個錐度量空間，映射，：滿足條件：， 對所有的， . 2.4其中， 如果，且是完備子空間，則和在中有唯一的公共點。然而，如果和是弱相容的，則和有唯一的公共不動點.證明： 取，因為，所以存在，使得，依次歸納，得到一個序列使得 =0，1，2，3，.由2.2易得2.5在這里，且，所以因此，由2.3得由定理2.1的證明知，為柯西列，所以存在，使得，且有.所以知和有公共點，下面證明它們的公共點唯一，假設(shè)存在另一個點使得.因此由2.2，我們分以下四種情況：情況1. 如果則.因此，由，知即情況2. 如果則因此，即情況3. 如果則因此，即情況4. 如果則因此，所以由，知即綜上，我們知道和有唯一的公共點.下面證明和有唯一的公共不動點： 因為和是弱相容的，且由上知，所以有，下證，若不然，設(shè)，因為，所以，則由2.4可得，矛盾，所以，從而，即有，所以是和的公共不動點.設(shè)是和的另一個公共不動點，且，因為所以，則由2.4可得，矛盾，所以.所以和有唯一的公共不動點.推論2.2 設(shè)，是一個完備的錐度量空間，設(shè)映射：滿足條件：，對所有的， . 其中， 則存在唯一的不動點，對，利用逐次迭代得收斂到.證明：在定理2.2中令，結(jié)合其證明過程，即得此推論.參考文獻(xiàn)：1 Long-Guang Huang, Zhang Xian, Cone metric space and fixed point theorems of contractive mappings, J. Math. Anal. Appl. 332 (2007) 1468-1476.2 M. Abbas, G. Jungck, Common fixed point results for noncommuting mappings without continuity in cone metric space, J. Math. Anal. Appl. 341 (2008) 416-420.3 袁清,高建軍,王延偉.錐度量空間中廣義壓縮映象及映象對的不動點定理J.山東大學(xué)學(xué)報:理