山東省濟寧市高考數(shù)學(xué)專題復(fù)習(xí) 第24講 平面向量的基本概念及線性運算練習(xí) 新人教A版.doc

第四章平面向量第一節(jié)平面向量的基本概念及線性運算考情展望1.在平面幾何圖形中考查向量運算的平行四邊形法則及三角形法則.2.以四種命題及充分必要條件為知識載體，考查向量的有關(guān)概念.3.借助共線向量定理探求點線關(guān)系或求參數(shù)的值一、向量的有關(guān)概念1向量：既有大小又有方向的量叫做向量，向量的大小叫做向量的長度(或模)2零向量：長度為0的向量，其方向是任意的3單位向量：長度等于1個單位的向量4平行向量：方向相同或相反的非零向量平行向量又叫共線向量規(guī)定：0與任一向量平行5相等向量：長度相等且方向相同的向量6相反向量：長度相等且方向相反的向量二、向量的線性運算向量運算定義法則(或幾何意義)運算律加法求兩個向量和的運算三角形法則 平行四邊形法則(1)交換律：abba.(2)結(jié)合律：(ab)ca(bc)減法求a與b的相反向量b的和的運算叫做a與b的差三角形法則aba(b)數(shù)乘求實數(shù)與向量a的積的運算(1)|a|a|；(2)當(dāng)0時，a的方向與a的方向相同；當(dāng)0時，a的方向與a的方向相反；當(dāng)0時，a0.(a)a；()aaa；(ab)ab向量加減法運算的兩個關(guān)鍵點：加法的三角形法則關(guān)鍵是“首尾相接，指向終點”，并可推廣為多個向量相加的“多邊形法則”；減法的三角形法則關(guān)鍵是“起點重合，指向被減向量”三、平面向量共線定理向量b與a(a0)共線的充要條件是有且只有一個實數(shù)，使得ba.巧用系數(shù)判共線(，r)，若a，b，c三點共線，則1；反之，也成立1化簡的結(jié)果為()a.b.c.d.【解析】 ()().【答案】d2下列給出的命題正確的是()a零向量是唯一沒有方向的向量b平面內(nèi)的單位向量有且僅有一個ca與b是共線向量，b與c是平行向量，則a與c是方向相同的向量d相等的向量必是共線向量【解析】 零向量方向任意，而不是沒有方向，故a錯；平面內(nèi)單位向量有無數(shù)個，故b錯；若b0，b與a、c都平行，但a、c不一定共線，故c錯；相等的向量方向相同，必是共線向量，故d正確【答案】d3設(shè)a，b為不共線向量，a2b，4ab，5a3b，則下列關(guān)系式中正確的是()a. b.2c. d.2【解析】 (a2b)(4ab)(5a3b)8a2b2(4ab)2.【答案】b4已知a與b是兩個不共線向量，且向量ab與(b3a)共線，則的值為()a1 b1 c. d【解析】 由題意知abk(b3a)kb3ka，解得【答案】d5(2012四川高考)設(shè)a、b都是非零向量，下列四個條件中，使成立的充分條件是()aab babca2b dab且|a|b|【解析】 表示與a同向的單位向量，表示與b同向的單位向量，只要a與b同向，就有，觀察選擇項易知c滿足題意【答案】c6(2013四川高考)在平行四邊形abcd中，對角線ac與bd交于點o，則_.【解析】 由向量加法的平行四邊形法則，得.又o是ac的中點，ac2ao，2，2.又，2.【答案】2考向一 071平面向量的有關(guān)概念給出下列四個命題：若|a|b|，則ab或ab；若，則四邊形abcd為平行四邊形；若a與b同向，且|a|b|，則ab；，為實數(shù)，若ab，則a與b共線其中假命題的個數(shù)為()a1b2c3d4【思路點撥】以概念為判斷依據(jù)，或通過舉反例來說明其不正確【嘗試解答】不正確|a|b|但a、b的方向不確定，故a，b不一定相等；不正確因為，a、b、c、d可能在同一直線上，所以abcd不一定是四邊形不正確兩向量不能比較大小不正確當(dāng)0時，a與b可以為任意向量，滿足ab，但a與b不一定共線【答案】d規(guī)律方法11.(1)易忽視零向量這一特殊向量，誤認為是正確的；(2)充分利用反例進行否定是對向量的有關(guān)概念題進行判定的行之有效的方法.2.準確理解向量的基本概念是解決這類題目的關(guān)鍵.(1)相等向量具有傳遞性，非零向量平行也具有傳遞性.(2)共線向量(平行向量)和相等向量均與向量的起點無關(guān).3.“向量”和“有向線段”是兩個不同的概念，向量只有兩個要素：大小、方向；而有向線段有三個要素：起點、方向、長度.對點訓(xùn)練給出下列四個命題：兩個向量相等，則它們的起點相同，終點相同；若ab，bc，則ac；若ab，bc，則ac；ab的充要條件是|a|b|且ab.其中假命題的個數(shù)為()a1b2c3d4【解析】 不正確兩個向量起點相同，終點相同，則兩向量相等；但兩個向量相等，不一定有相同的起點和終點正確根據(jù)向量相等的定義知不正確若b0時，b與a、c都平行，但a、c不一定平行不正確ab的充要條件是|a|b|且a，b同向【答案】c考向二 072平面向量的線性運算(2014寧波模擬)(1)在abc中，若d是ab邊上一點，且2，則()a.b.cd(2)若o是abc所在平面內(nèi)一點，d為bc邊中點，且20，那么()a. b.2c.3 d2【思路點撥】(1)d是ab邊上的三等分點，把用、表示；(2)由d為bc邊中點可得2，代入已知條件即可求解【嘗試解答】(1)()，所以，故選a.(2)因為d為bc邊中點，2，又20，220，即，故選a.【答案】(1)a(2)a規(guī)律方法21.解答本例(1)的關(guān)鍵是利用向量的加法與減法把用、表示出來.解答本例(2)的關(guān)鍵是2.2.進行向量的線性運算時，要盡可能轉(zhuǎn)化到三角形或平行四邊形中，選用從同一頂點出發(fā)的基本向量或首尾相連的向量，運用向量加、減法運算及數(shù)乘運算來解.對點訓(xùn)練圖411(1)如圖411所示，向量a，b，c，a、b、c在一條直線上，若3，則()acabbcabcca2bdca2b(2)若|2，則|_.【解析】 (1)33()33，23，cab.(2)|2，abc是邊長為2的正三角形，|為三角形高的2倍，所以|2.【答案】(1)a(2)2考向三 073共線向量定理的應(yīng)用設(shè)兩個非零向量e1和e2不共線(1)如果e1e2，3e12e2，8e12e2，求證：a、c、d三點共線(2)如果e1e2，2e13e2，3e1ke2，且a、c、f三點共線，求k的值【思路點撥】(1)a、c、d三點共線存在實數(shù)使.(2)a、c、f三點共線存在實數(shù)，使.【嘗試解答】(1)e1e2，3e12e2，4e1e2，又8e12e2，所以2，與共線，又與有公共點c，a、c、d三點共線(2)e1e2，2e13e2，3e12e2.a、c、f三點共線，從而存在實數(shù)，使得.3e12e23e1ke2，又e1，e2是不共線的非零向量，因此k2.所以實數(shù)k的值為2. 規(guī)律方法31.向量b與非零向量a共線的充要條件是存在唯一實數(shù)，使ba.要注意通常只有非零向量才能表示與之共線的其他向量，要注意待定系數(shù)法和方程思想的運用.2.證明三點共線問題，可用向量共線來解決，但應(yīng)注意當(dāng)兩向量共線且有公共點時，才能得出三點共線.對點訓(xùn)練(1)已知向量a，b不共線，ckab(kr)，dab.如果cd，那么()ak1且c與d同向bk1且c與d反向ck1且c與d同向 dk1且c與d反向(2)(2014洛陽模擬)對于非零向量a、b，“ab0”是“ab”的()a充分不必要條件b必要不充分條件c充分必要條件d既不充分也不必要條件【解析】 (1)cd，cd，即kab(ab)ab，k1，故選d.(2)由ab0知道a與b互為相反向量，從而ab，充分性成立由ab知ab，1時，ab0，必要性不成立【答案】(1)d(2)a易錯易誤之八忽視零向量的特殊性致誤1個示范例1個防錯練(2014荊州模擬)下列命題正確的是()a向量a、b共線的充要條件是有且僅有一個實數(shù)，使bab在abc中，0c不等式|a|b|ab|a|b|中兩個等號不可能同時成立d向量a、b不共線，則向量ab與向量ab必不共線【解析】 a不正確，當(dāng)ab0時，有無數(shù)個實數(shù)滿足ba.此處在求解時，常因忽視“共線向量定理中的條件a0”而致誤b不正確，在abc中，0.此處在求解時，常因混淆向量與數(shù)量的關(guān)系致誤，0是向量，其模為0，而0是數(shù)量，沒有方向c不正確，當(dāng)b0時，不等式|a|a|a|顯然成立此處在求解時，常受代數(shù)不等式|a|b|ab|a|b|的影響，而忽略了向量中0的作用導(dǎo)致錯誤d正確向量a與b不共線，a，b，ab與ab均不為零向量若ab與ab平行，則存在實數(shù)，使ab(ab)，即(1)a(1)b，無解，故假設(shè)不成立，即ab與ab不平行，故選d.【防范措施】 (1)共線向量定理中，ba要求a0，否則值可能不存在(2)向量的加減及