【步步高】高考數(shù)學總復習 2.9函數(shù)的應用配套文檔 理 新人教A版 (1).DOC

2.9函數(shù)的應用1幾類函數(shù)模型及其增長差異(1)幾類函數(shù)模型函數(shù)模型函數(shù)解析式一次函數(shù)模型f(x)axb (a、b為常數(shù)，a0)反比例函數(shù)模型f(x)b (k，b為常數(shù)且k0)二次函數(shù)模型f(x)ax2bxc(a，b，c為常數(shù)，a0)指數(shù)函數(shù)模型f(x)baxc(a，b，c為常數(shù)，b0，a0且a1)對數(shù)函數(shù)模型f(x)blogaxc(a，b，c為常數(shù)，b0，a0且a1)冪函數(shù)模型f(x)axnb (a，b為常數(shù)，a0)(2)三種函數(shù)模型的性質yax(a1)ylogax(a1)yxn(n0)在(0，)上的增減性單調遞增單調遞增單調遞增增長速度越來越快越來越慢相對平穩(wěn)圖象的變化隨x的增大逐漸表現(xiàn)為與y軸平行隨x的增大逐漸表現(xiàn)為與x軸平行隨n值變化而各有不同值的比較存在一個x0，當xx0時，有l(wèi)ogaxxnax2.解函數(shù)應用問題的步驟(四步八字)(1)審題：弄清題意，分清條件和結論，理順數(shù)量關系，初步選擇數(shù)學模型；(2)建模：將自然語言轉化為數(shù)學語言，將文字語言轉化為符號語言，利用數(shù)學知識，建立相應的數(shù)學模型；(3)解模：求解數(shù)學模型，得出數(shù)學結論；(4)還原：將數(shù)學問題還原為實際問題的意義以上過程用框圖表示如下：1判斷下面結論是否正確(請在括號中打“”或“”)(1)函數(shù)y2x的函數(shù)值比yx2的函數(shù)值大()(2)冪函數(shù)增長比直線增長更快()(3)不存在x0，使ax0xlogax0.()(4)美緣公司2010年新上市的一種化妝品，由于脫銷，在2011年曾提價25%,2014年想要恢復成原價，則應降價25%.()(5)某種商品進價為每件100元，按進價增加25%出售，后因庫存積壓降價，若按九折出售，則每件還能獲利()(6)f(x)x2，g(x)2x，h(x)log2x，當x(4，)時，恒有h(x)f(x)0，當x10時，代入兩項費用y1，y2分別是2萬元和8萬元，可得k120，k2，y1y2x28，當且僅當x，即x5時取等號，故選a.3汽車經過啟動、加速行駛、勻速行駛、減速行駛之后停車，若把這一過程中汽車的行駛路程s看作時間t的函數(shù)，其圖象可能是()答案a解析汽車加速行駛時，速度變化越來越快，而汽車勻速行駛時，速度保持不變，體現(xiàn)在s與t的函數(shù)圖象上是一條直線，減速行駛時，速度變化越來越慢，但路程仍是增加的4某家具的標價為132元，若降價以九折出售(即優(yōu)惠10%)，仍可獲利10%(相對進貨價)，則該家具的進貨價是()a118元 b105元 c106元 d108元答案d解析設進貨價為a元，由題意知132(110%)a10%a，解得a108，故選d.5某種病毒經30分鐘繁殖為原來的2倍，且知病毒的繁殖規(guī)律為yekt(其中k為常數(shù)，t表示時間，單位：小時，y表示病毒個數(shù))，則k_，經過5小時，1個病毒能繁殖為_個答案2ln 21 024解析當t0.5時，y2，2ek，k2ln 2，ye2tln 2，當t5時，ye10ln 22101 024.題型一二次函數(shù)模型例1某跳水運動員在一次跳水訓練時的跳水曲線為如圖所示的拋物線的一段，已知跳水板ab長為2 m，跳水板距水面cd的高bc為3 m，ce5 m，cf6 m，為安全和空中姿態(tài)優(yōu)美，訓練時跳水曲線應在離起跳點h m(h1)時達到距水面最大高度4 m，規(guī)定：以cd為橫軸，cb為縱軸建立直角坐標系(1)當h1時，求跳水曲線所在的拋物線方程；(2)若跳水運動員在區(qū)域ef內入水時才能達到壓水花的訓練要求，求達到壓水花的訓練要求時h的取值范圍思維啟迪(1)可根據(jù)拋物線方程的頂點式求跳水曲線所在的拋物線方程；(2)利用x5，x6時函數(shù)值的符號求h范圍解(1)由題意知最高點為(2h,4)，h1，設拋物線方程為yax(2h)24，當h1時，最高點為(3,4)，方程為ya(x3)24，將a(2,3)代入，得3a(23)24，解得a1.當h1時，跳水曲線所在的拋物線方程為y(x3)24.(2)將點a(2,3)代入yax(2h)24得ah21，所以a.由題意，得方程ax(2h)240在區(qū)間5,6內有一解令f(x)ax(2h)24x(2h)24，則f(5)(3h)240，且f(6)(4h)240.解得1h.達到壓水花的訓練要求時h的取值范圍為1，思維升華實際生活中的二次函數(shù)問題(如面積、利潤、產量等)，可根據(jù)已知條件確定二次函數(shù)模型，結合二次函數(shù)的圖象、單調性、零點解決，解題中一定注意函數(shù)的定義域某產品的總成本y(萬元)與產量x(臺)之間的函數(shù)關系是y3 00020x0.1x2 (0x240，xn*)，若每臺產品的售價為25萬元，則生產者不虧本時(銷售收入不小于總成本)的最低產量是()a100臺 b120臺c150臺 d180臺答案c解析設利潤為f(x)萬元，則f(x)25x(3 00020x0.1x2)0.1x25x3 000 (0x0)(1)如果m2，求經過多少時間，物體的溫度為5攝氏度；(2)若物體的溫度總不低于2攝氏度，求m的取值范圍解(1)若m2，則22t21t2，當5時，2t，令2tx1，則x，即2x25x20，解得x2或x(舍去)，此時t1.所以經過1分鐘，物體的溫度為5攝氏度(2)物體的溫度總不低于2攝氏度，即2恒成立，亦m2t2恒成立，亦即m2恒成立令x，則04時，y41.83x1.83(5x4)20.4x4.8.當乙的用水量超過4噸，即3x4時，y241.83(3x4)(5x4)24x9.6.所以y(2)由于yf(x)在各段區(qū)間上均單調遞增；當x0，時，yf()26.4；當x(，時，yf()10(其中n是任課教師所在班級學生參加高考該任課教師所任學科的平均成績與該科省平均分之差，f(n)的單位為元)，而k(n)現(xiàn)有甲、乙兩位數(shù)學任課教師，甲所教的學生高考數(shù)學平均分超出省平均分18分，而乙所教的學生高考數(shù)學平均分超出省平均分21分則乙所得獎勵比甲所得獎勵多()a600元 b900元 c1 600元 d1 700元答案d解析k(18)200(元)，f(18)200(1810)1 600(元)又k(21)300(元)，f(21)300(2110)3 300(元)，f(21)f(18)3 3001 6001 700(元)故選d.函數(shù)應用問題典例：(12分)在扶貧活動中，為了盡快脫貧(無債務)致富，企業(yè)甲將經營狀況良好的某種消費品專賣店以5.8萬元的優(yōu)惠價格轉讓給了尚有5萬元無息貸款沒有償還的小型企業(yè)乙，并約定從該店經營的利潤中，首先保證企業(yè)乙的全體職工每月最低生活費的開支3 600元后，逐步償還轉讓費(不計息)在甲提供的資料中：這種消費品的進價為每件14元；該店月銷量q(百件)與銷售價格p(元)的關系如圖所示；每月需各種開支2 000元(1)當商品的價格為每件多少元時，月利潤扣除職工最低生活費的余額最大？并求最大余額；(2)企業(yè)乙只依靠該店，最早可望在幾年后脫貧？思維啟迪(1)認真閱讀題干內容，理清數(shù)量關系(2)分析圖形提供的信息，從圖形可看出函數(shù)是分段的(3)建立函數(shù)模型，確定解決模型的方法規(guī)范解答解設該店月利潤余額為l，則由題設得lq(p14)1003 6002 000，由銷量圖易得q2分代入式得l4分(1)當14p20時，lmax450元，此時p19.5元；當20p26時，lmax元，此時p元故當p19.5元時，月利潤余額最大，為450元8分(2)設可在n年后脫貧，依題意有12n45050 00058 0000，解得n20.即最早可望在20年后脫貧12分解函數(shù)應用題的一般程序：第一步：審題弄清題意，分清條件和結論，理順數(shù)量關系；第二步：建模將文字語言轉化成數(shù)學語言，用數(shù)學知識建立相應的數(shù)學模型；第三步：解模求解數(shù)學模型，得到數(shù)學結論；第四步：還原將用數(shù)學方法得到的結論還原為實際問題的意義第五步：反思回顧對于數(shù)學模型得到的數(shù)學結果，必須驗證這個數(shù)學結果對實際問題的合理性溫馨提醒(1)本題經過了三次建模：根據(jù)月銷量圖建立q與p的函數(shù)關系；建立利潤余額函數(shù)；建立脫貧不等式(2)本題的函數(shù)模型是分段的一次函數(shù)和二次函數(shù)，在實際問題中，由于在不同的背景下解決的問題發(fā)生了變化，因此在不同范圍中，建立函數(shù)模型也不一樣，所以現(xiàn)實生活中分段函數(shù)的應用非常廣泛(3)在構造分段函數(shù)時，分段不合理、不準確，是易出現(xiàn)的錯誤.方法與技巧1認真分析題意，合理選擇數(shù)學模型是解決應用問題的基礎；2實際問題中往往解決一些最值問題，我們可以利用二次函數(shù)的最值、函數(shù)的單調性、基本不等式等求得最值3解函數(shù)應用題的四個步驟：審題；建模；解模；還原失誤與防范1函數(shù)模型應用不當，是常見的解題錯誤所以，要正確理解題意，選擇適當?shù)暮瘮?shù)模型2要特別關注實際問題的自變量的取值范圍，合理確定函數(shù)的定義域3注意問題反饋在解決函數(shù)模型后，必須驗證這個數(shù)學解對實際問題的合理性.a組專項基礎訓練一、選擇題1若一根蠟燭長20 cm，點燃后每小時燃燒5 cm，則燃燒剩下的高度h(cm)與燃燒時間t(小時)的函數(shù)關系用圖象表示為()答案b解析根據(jù)題意得解析式為h205t(0t4)，其圖象為b.2利民工廠某產品的年產量在150噸至250噸之間，年生產的總成本y(萬元)與年產量x(噸)之間的關系可近似地表示為y30x4 000，則每噸的成本最低時的年產量(噸)為()a240 b200 c180 d160答案b解析依題意，得每噸的成本為30，則2 3010，當且僅當，即x200時取等號，因此，當每噸成本最低時，年產量為200噸，故選b.3某工廠采用高科技改革，在兩年內產值的月增長率都是a，則這兩年內第二年某月的產值比第一年相應月產值的增長率為()aa121 b(1a)121ca da1答案b解析不妨設第一年8月份的產值為b，則9月份的產值為b(1a)，10月份的產值為b(1a)2，依次類推，到第二年8月份是第一年8月份后的第12個月，即一個時間間隔是1個月，這里跨過了12個月，故第二年8月份產值是b(1a)12.又由增長率的概念知，這兩年內的第二年某月的產值比第一年相應月產值的增長率為(1a)121.4. 某電信公司推出兩種手機收費方式：a種方式是月租20元，b種方式是月租0元一個月的本地網內打出電話時間t(分鐘)與打出電話費s(元)的函數(shù)關系如圖，當打出電話150分鐘時，這兩種方式電話費相差()a10元 b20元c30元 d.元答案a解析設a種方式對應的函數(shù)解析式為sk1t20，b種方式對應的函數(shù)解析式為sk2t，當t100時，100k120100k2，k2k1，t150時，150k2150k1201502010.5. 某廠有許多形狀為直角梯形的鐵皮邊角料，如圖，為降低消耗，開源節(jié)流，現(xiàn)要從這些邊角料上截取矩形鐵片(如圖中陰影部分)備用，當截取的矩形面積最大時，矩形兩邊長x、y應為()ax15，y12 bx12，y15cx14，y10 dx10，y14答案a解析由三角形相似得，得x(24y)，sxy(y12)2180，當y12時，s有最大值，此時x15.二、填空題6一個容器裝有細沙a cm3，細沙從容器底下一個細微的小孔慢慢地勻速漏出，t min后剩余的細沙量為yaebt(cm3)，經過8 min后發(fā)現(xiàn)容器內還有一半的沙子，則再經過_ min，容器中的沙子只有開始時的八分之一答案16解析當t0時，ya，當t8時，yae8ba，e8b，容器中的沙子只有開始時的八分之一時，即yaebta，ebt(e8b)3e24b，則t24，所以再經過16 min.7. a、b兩只船分別從在東西方向上相距145 km的甲乙兩地開出a 從甲地自東向西行駛b從乙地自北向南行駛，a的速度是40 km/h，b的速度是16 km/h，經過_小時，ab間的距離最短答案解析設經過x h，a、b相距為y km，則y(0x)，求得函數(shù)的最小值時x的值為.8某市出租車收費標準如下：起步價為8元，起步里程為3 km(不超過3 km按起步價付費)；超過3 km但不超過8 km時，超過部分按每千米2.15元收費；超過8 km時，超過部分按每千米2.85元收費，另每次乘坐需付燃油附加費1元現(xiàn)某人乘坐一次出租車付費22.6元，則此次出租車行駛了_ km.答案9解析設出租車行駛x km時，付費y元，則y，由y22.6，解得x9.三、解答題9某地上年度電價為0.8元，年用電量為1億千瓦時本年度計劃將電價調至0.55元0.75元之間，經測算，若電價調至x元，則本年度新增用電量y(億千瓦時)與(x0.4)元成反比例又當x0.65時，y0.8.(1)求y與x之間的函數(shù)關系式；(2)若每千瓦時電的成本價為0.3元，則電價調至多少時，本年度電力部門的收益將比上年度增加20%？收益用電量(實際電價成本價)解(1)y與(x0.4)成反比例，設y(k0)把x0.65，y0.8代入上式，得0.8，k0.2.y，即y與x之間的函數(shù)關系式為y.(2)根據(jù)題意，得(1)(x0.3)1(0.80.3)(120%)整理，得x21.1x0.30，解得x10.5，x20.6.經檢驗x10.5，x20.6都是所列方程的根x的取值范圍是0.550.75，故x0.5不符合題意，應舍去x0.6.當電價調至0.6元時，本年度電力部門的收益將比上年度增加20%.10提高過江大橋的車輛通行能力可改善整個城市的交通狀況在一般情況下，大橋上的車流速度v(單位：千米/時)是車流密度x(單位：輛/千米)的函數(shù)當橋上的車流密度達到200輛/千米時，造成堵塞，此時車流速度為0；當車流密度不超過20輛/千米時，車流速度為60千米/時研究表明：當20x200時，車流速度v是車流密度x的一次函數(shù)(1)當0x200時，求函數(shù)v(x)的表達式；(2)當車流密度x為多大時，車流量(單位時間內通過橋上某觀測點的車輛數(shù)，單位：輛/時)f(x)xv(x)可以達到最大，并求出最大值(精確到1輛/時)解(1)由題意，當0x20時，v(x)60；當20x200時，設v(x)axb，再由已知得解得故函數(shù)v(x)的表達式為v(x)(2)依題意并由(1)可得f(x)當0x20時，f(x)為增函數(shù)，故當x20時，其最大值為60201 200；當20x200時，f(x)x(200x)2，當且僅當x200x，即x100時，等號成立所以當x100時，f(x)在區(qū)間(20,200上取得最大值.綜上，當x100時，f(x)在區(qū)間0,200上取得最大值3 333，即當車流密度為100輛/千米時，車流量可以達到最大，最大值約為3 333輛/時b組專項能力提升1某位股民購進某支股票，在接下來的交易時間內，他的這支股票先經歷了n次漲停(每次上漲10%)，又經歷了n次跌停(每次下跌10%)，則該股民這支股票的盈虧情況(不考慮其他費用)為()a略有盈利 b略有虧損c沒有盈利也沒有虧損 d無法判斷盈虧情況答案b解析設該股民購這支股票的價格為a，則經歷n次漲停后的價格為a(110%)na1.1n，經歷n次跌停后的價格為a1.1n(110%)na1.1n0.9na(1.10.9)n0.99naa，故該股民這支股票略有虧損2某建材商場國慶期間搞促銷活動，規(guī)定：顧客購物總金額不超過800元，不享受任何折扣，如果顧客購物總金額超過800元，則超過800元部分享受一定的折扣優(yōu)惠，按下表折扣分別累計計算.可以享受折扣優(yōu)惠金額折扣率不超過500元的部分5%超過500元的部分10%某人在此商場購物總金額為x元，可以獲得的折扣金額為y元，則y關于x的解析式為y若y30元，則他購物實際所付金額為_元答案1 350解析若x1 300元，則y5%(1 300800)25(元)1 300.由10%(x1 300)2530，得x1 350(元)3某醫(yī)院為了提高服務質量，對掛號處的排隊人數(shù)進行了調查，發(fā)現(xiàn)：當還未開始掛號時，有n個人已經在排隊等候掛號；開始掛號后排隊的人數(shù)平均每分鐘增加m人假定掛號的速度是每個窗口每分鐘k個人，當開放一個窗口時，40分鐘后恰好不會出現(xiàn)排隊現(xiàn)象；若同時開放兩個窗口時，則