【備戰(zhàn)】高考數(shù)學(xué) 高頻考點歸類分析 關(guān)于線線、線面及面面垂直的問題（真題為例）.doc

關(guān)于線線、線面及面面垂直的問題典型例題： 例1. （2012年浙江省理5分）已知矩形，將沿矩形的對角線所在的直線進行翻折，在翻折過程中，【 】 a存在某個位置，使得直線與直線垂直 b存在某個位置，使得直線與直線垂直 c存在某個位置，使得直線與直線垂直 d對任意位置，三對直線“與”，“與”，“與”均不垂直【答案】b?！究键c】空間中直線與直線之間的位置關(guān)系?！窘馕觥?如圖，依題意，=，。 a，若存在某個位置，使得直線與直線垂直，則，平面，從而，這與已知矛盾，排除a；b，若存在某個位置，使得直線與直線垂直，則平面，平面平面。取中點，連接，則，就是二面角的平面角，此角顯然存在，即當(dāng)在底面上的射影位于的中點時，直線與直線垂直，故b正確；c，若存在某個位置，使得直線與直線垂直，則平面，從而平面平面，即在底面上的射影應(yīng)位于線段上，這是不可能的，排除c；d，由上所述，可排除d。故選 b。例2. （2012年全國課標(biāo)卷文12分）如圖，三棱柱abca1b1c1中，側(cè)棱垂直底面，acb=90，ac=bc=aa1，d是棱aa1的中點()證明：平面bdc1平面bdc（）平面bdc1分此棱柱為兩部分，求這兩部分體積的比?！敬鸢浮拷猓?)證明：由題設(shè)，三棱柱abca1b1c1中，側(cè)棱垂直底面，acb=90，bccc1，bcac，cc1ac=c，bc平面acc1a1。 又dc1平面acc1a1，dc1bc。 由題設(shè)，ac=bc，=aa1，d是棱aa1的中點，a1dc1=adc=450，cdc=900，即dc1dc。又dcbc=c，dc1平面bdc。又dc1平面bdc1，平面bdc1平面bdc。（）設(shè)棱錐bdacc1的體積為v1，則。 又三棱柱abca1b1c1的體積， 。 平面bdc1分此棱柱為兩部分體積的比為1：1。【考點】直三棱柱的性質(zhì)，平面和平面的位置關(guān)系，棱柱和棱錐的體積?！窘馕觥?)要證明平面bdc1平面bdc，只要證一個平面的一條直線垂直于另一個平面即可。由由題設(shè)可證得dc1bc，dc1dc，由dcbc=c得dc1平面bdc，而dc1平面bdc1，因此平面bdc1平面bdc。 （）求出三棱柱abca1b1c1的體積和棱錐bdacc1的體積即可求得結(jié)果。例3. （2012年北京市理14分）如圖1，在rtabc中，c=90，bc=3，ac=6，d，e分別是ac，ab上的點，且debc，de=2，將ade沿de折起到a1de的位置，使a1ccd，如圖2.（1）求證：a1c平面bcde；（2）若m是a1d的中點，求cm與平面a1be所成角的大??；（3）線段bc上是否存在點p，使平面a1dp與平面a1be垂直？說明理由【答案】解：（1）cdde，a1ede，de平面a1cd。又a1c平面a1cd ，a1cde。又a1ccd，a1c平面bcde。（2）如圖建立空間直角坐標(biāo)系，則b（0，3，0），c（0，0，0），d（2，0，0），e（2。2。0），a1（0，0，）。設(shè)平面a1be法向量為，則，即，。又m是a1d的中點，m（1，0，）。設(shè)cm與平面a1be法向量所成角為，則。cm與平面a1be所成角為。（3）設(shè)線段bc上點p，設(shè)p點坐標(biāo)為，則。則設(shè)平面a1dp法向量為則 。假設(shè)平面a1dp與平面a1be垂直，則，即，解得。與不符。線段bc上不存在點p，使平面a1dp與平面a1be垂直?！究键c】線面垂直的判定，線面角的計算，兩平面垂直的條件?！窘馕觥浚?）根據(jù)線面垂直的判定進行判定。 （2）建立空間直角坐標(biāo)系可易解決。 （3）用反證法，假設(shè)平面a1dp與平面a1be垂直，得出與已知相矛盾的結(jié)論即可。例4. （2012年北京市文14分）如圖1，在rtabc中，c=90，d，e分別為ac，ab的中點，點f為線段cd上的一點，將ade沿de折起到a1de的位置，使a1fcd，如圖2。（1） 求證：de平面a1cb；（2） 求證：a1fbe；（3） 線段a1b上是否存在點q，使a1c平面deq？說明理由?！敬鸢浮拷猓海?）證明：在圖1 rtabc中，c=90，d，e分別為ac，ab的中點， debc。 在圖2中，de平面a1cb，de平面a1cb。 （2）證明：dea1d，decd，a1dcd=d，de平面a1cd。a1f平面a1cb，dea1f。 又a1fcd，cdde=d，cd平面bedc，de平面bedc，a1f平面bedc。 又be平面bedc，a1fbe， （3）線段a1b上存在點q，使a1c平面deq，點q為a1b的中點。理由如下： 取a1c中點p，連接dp，qp。 pdcb，decb ，pdde。 deqp是平行四邊形，d、e、q、p四點共面。 由（2）知，de平面a1cd，又a1c平面a1cd，dea1c。 p，q是a1b和a1c的中點，pqcbde。pq a1c。又ad=cd，a1p=cp，pda1c 。又pqpd=p， a1c平面pqd，即a1c平面deq?！究键c】線面平行，線線垂直，線面垂直的判定，三角形中位線的性質(zhì)，平行四邊形的判定和性質(zhì)?！窘馕觥浚?）由線面平行的判定理直接證出。 （2）要證兩異面直線垂直，就要證一條直線垂直于另一條直線所在的平面。因此考慮證明a1f平面bedc即可。 （3）在線段a1b上找出使a1c平面deq的點q，進行證明。例5. （2012年安徽省文12分） 如圖，長方體中，底面是正方形，是的中點，是棱上任意一點。（）證明： ；（）如果=2,=, , 求 的長?！敬鸢浮拷?；（i）連接。，共面。長方體中，底面是正方形，。面。（）連接。在矩形中，。 。，解得?！究键c】兩直線的位置，相似三角形的判定和性質(zhì)。【解析】（i）要證，只要面即可。一方面，由正方形的性質(zhì)有，另一方面由長方體的性質(zhì)有，且和是相交的，從而面。 （）由，根據(jù)角的轉(zhuǎn)換可知，從而根據(jù)相似三角形的性質(zhì)可由對應(yīng)邊比求出 的長。例6. （2012年江西省文12分）如圖，在梯形abcd中，abcd，e，f是線段ab上的兩點，且deab，cfab，ab=12，ad=5，bc=4，de=4.現(xiàn)將ade，cfb分別沿de，cf折起，使a，b兩點重合與點g，得到多面體cdefg.（1）求證：平面deg平面cfg；（2）求多面體cdefg的體積?！敬鸢浮拷猓海?）證明：在平面圖中，abcd，deef，cfef，四邊形cdef為矩形。deab，ad=5，de=4，bc=4，ae=3，bf=4。ab=12，ef=5。將ade，cfb分別沿de，cf折起，使a，b兩點重合與點g，得到多面體cdefg，ge=ae=3，gf=bf=4。在efg中，有，eggf。又cfef，cffg，effg=f，cf平面efg。又eg平面efg，cfeg。eg平面cfg，即平面deg平面cfg。（2）在平面egf中，過點g作ghef于h，則。平面cdef平面efg，gh平面cdef，.?！究键c】平面與平面垂直的判定，棱錐的體積。【解析】（1）判斷四邊形cdef為矩形，然后證明eggf，推出cfeg，然后證明平面deg平面cfg。（2）在平面egf中，過點g作ghef于h，求出gh，說明gh平面cdef，利用求出體積。例7. （2012年湖北省文12分）某個實心零部件的形狀是如圖所示的幾何體，其下部是底面均是正方形，側(cè)面是全等的等腰梯形的四棱臺a1b1c1d1abcd，上部是一個底面與四棱臺的上底面重合，側(cè)面是全等的矩形的四棱柱abcda2b2c2d2.（）證明：直線b1d1平面acc2a2；（）現(xiàn)需要對該零部件表面進行防腐處理已知ab10，a1b120，aa230，aa113(單位：cm)，每平方厘米的加工處理費為0.20元，需加工處理費多少元？【答案】解：（）四棱柱abcda2b2c2d2的側(cè)面是全等的矩形，aa2ab，aa2ad。又abada，aa2平面abcd。連接bd，bd平面abcd，aa2bd。底面abcd是正方形，acbd。根據(jù)棱臺的定義可知，bd與b1d1共面，又已知平面abcd平面a1b1c1d1，且平面bb1d1d平面abcdbd，平面bb1d1d平面a1b1c1d1b1d1，b1d1bd。由aa2bd，acbd，b1d1bd，可得aa2b1d1，acb1d1。又aa2aca，b1d1平面acc2a2。（）四棱柱abcda2b2c2d2的底面是正方形，側(cè)面是全等的矩形，s1s四棱柱上底面s四棱柱側(cè)面(a2b2)24abaa2102410301 300(cm2)。又四棱臺a1b1c1d1abcd的上下底面均是正方形，側(cè)面是全等的等腰梯形，s2s四棱臺下底面s四棱臺側(cè)面(a1b1)24(aba1b1)h等腰梯形的高2024(1020)1 120(cm2)該實心零部件的表面積為ss1s21 3001 1202 420(cm2)。所需加工處理費為0.2s0.22 420484(元)?！究键c】直線與平面垂直的判定，棱柱、棱臺的側(cè)面積和表面積?！窘馕觥浚ǎ┮李}意易證acb1d1，aa2b1d1，由線面垂直的判定定理可證直線b1d1平面acc2a2。（）需計算上面四棱柱abcd-a2b2c2d2的表面積（除去下底面的面積）s1，四棱臺a1b1c1d1-abcd的表面積（除去下底面的面積）s2即可。例8. （2012年福建省文12分） 如圖所示，在長方體abcda1b1c1d1中，abad1，aa12，m為棱dd1上的一點（i）求三棱錐amcc1的體積；（ii）當(dāng)a1mmc取得最小值時，求證：b1m平面mac. 【答案】解：（i）由長方體abcda1b1c1d1知，ad平面cdd1c1，點a到平面cdd1c1的距離等于ad1。又=21=1， 。（ii）將側(cè)面cdd1c1繞dd1逆時針轉(zhuǎn)90展開，與側(cè)面add1a1共面(如圖)，當(dāng)a1，m，c共線時，a1mmc取得最小值。由adcd1，aa12，得m為dd1中點連接c1m，在c1mc中，mc1，mc，cc12，ccmcmc2，得cmc190，即cmmc1。又由長方體abcda1b1c1d1知，b1c1平面cdd1c1，b1c1cm。又b1c1c1mc1，cm平面b1c1m，得cmb1m。同理可證，b1mam。又ammcm，b1m平面mac?！究键c】棱錐的體積，直線與直線、直線與平面的位置關(guān)系?！窘馕觥浚╥）由題意可知，a到平面cdd1c1的距離等于ad=1，易求=1，從而可求。（ii）側(cè)面cdd1c1繞dd1逆時針轉(zhuǎn)90展開，與側(cè)面add1a1共面，當(dāng)a1，m，c共線時，a1mmc取得最小值易證cm平面b1c1m，從而cmb1m，同理可證，b1mam，問題得到解決。例13. （2012年陜西省文12分）直三棱柱abc- a1b1c1中，ab=a a1 ， （）證明; （）已知ab=2，bc=，求三棱錐的體積 【答案】解：（i）連接ab1，abc-a1b1c1是直三棱柱，平面abc平面abb1a1。又平面abc平面abb1a1=ab，acab，ac平面abb1a1。ba1平面abb1a1，acba1。矩形abb1a1中，ab=aa1，四邊形abb1a1是正方形。ab1ba1。又ab1、ca是平面acb1內(nèi)的相交直線，ba1平面acb1。cb1平面acb1，cb1ba1。（ii）ab=2，bc=rtabc中，。直三棱柱abc-a1b1c1中，a1c1=ac=1。又aca1c1，ac平面abb1a1，a1c1是三棱錐c1-aba1的高。aba1的面積等于正方形abb1a1面積的一半，saba1=ab2=2。三棱錐c1-aba1的體積為v=saba1a1c1=?！究键c】直線與平面垂直的性質(zhì)，三棱錐的體積?！窘馕觥浚╥）連接ab1，根據(jù)abc- a1b