快樂課堂學數(shù)學-多余老師趣講“平面向量”-高中數(shù)學必修4.doc

9ebd70e6a3d45c50452083fb2a90b9fe.pdfPage 5 of 5快樂課堂學數(shù)學-多余老師趣講“平面向量”-高中數(shù)學必修4 一、本單元概述向量，最初被應用于物理學。很多物理量如力、速度、位移以及將要學習到的電場強度、磁感應強度等都是向量。大約公元前350年前，古希臘著名學者亞里士多德就知道了力可以表示成向量，兩個力的組合作用可用著名的平行四邊形法則來得到?！跋蛄俊币辉~來自力學、解析幾何中的有向線段。最先使用有向線段表示向量的是英國大科學家牛頓。從數(shù)學發(fā)展史來看，歷史上很長一段時間，空間的向量結構并未被數(shù)學家們所認識，直到19世紀末20世紀初，人們才把空間的性質與向量運算聯(lián)系起來，使向量成為具有一套優(yōu)良運算通性的數(shù)學體系。向量能夠進入數(shù)學并得到發(fā)展，首先應從復數(shù)的幾何表示談起。18世紀末期，挪威測量學家威塞爾首次利用坐標平面上的點來表示復數(shù)a+bi，并利用具有幾何意義的復數(shù)運算來定義向量的運算。把坐標平面上的點用向量表示出來，并把向量的幾何表示用于研究幾何問題與三角問題。人們逐步接受了復數(shù)，也學會了利用復數(shù)來表示和研究平面中的向量，向量就這樣平靜地進入了數(shù)學。但復數(shù)的利用是受限制的，因為它僅能用于表示平面，若有不在同一平面上的力作用于同一物體，則需要尋找所謂三維“復數(shù)”以及相應的運算體系。向量的方法經過逐步完善，成為了一套優(yōu)良的數(shù)學工具。向量，是一個非常好的數(shù)學工具，使用向量解決問題的方法稱為“向量法”。向量法的數(shù)學思想，仍然是“數(shù)形結合思想”。要使用好這個工具，就要：1、知道工具的構造原理。2、工具的操作規(guī)則。3、工具的使用范圍。二、向量的有關概念 在數(shù)學與物理中，既有大小又有方向且遵循平行四邊形法則的量叫做向量（亦稱矢量），在數(shù)學中與之相對的是數(shù)量，在物理中與之相對的是標量。向量有方向與大小，分為自由向量（可平移）與固定向量（不可平移）。數(shù)學中，把只有大小但沒有方向的量叫做數(shù)量，物理中常稱為標量。例如距離、質量、密度、溫度等。向量的表示：1代數(shù)表示：一般印刷用黑體小寫字母、或a、b、c 等來表示，手寫用在a、b、c等字母上加一箭頭表示。2幾何表示：向量可以用有向線段來表示。具有方向的線段叫做有向線段，以A為起點，B為終點的有向線段記作AB。（AB是印刷體，也就是粗體字母，書寫體是上面加個）有向線段包含3個因素：起點、方向、長度。有向線段AB的長度叫做向量的模，記作|AB|。向量的大小也就是向量的長度。長度為0的向量叫做零向量，記作0。長度等于1個單位的向量，叫做單位向量。箭頭所指的方向表示向量的方向。3坐標表示（數(shù)形結合）：在平面直角坐標系中，分別取與x軸、y軸方向相同的兩個單位向量i、j作為一組基底。a為平面直角坐標系內的任意向量，以坐標原點O為起點作向量OP=a。有且只有一對實數(shù)（x，y），使得a=向量OP=xi+yj，因此把實數(shù)對（x，y）叫做向量a的坐標，記作a=（x，y）。這就是向量a的坐標表示。其中（x，y）就是點P的坐標。向量OP稱為點P的位置向量。在平面直角坐標系內，每一個平面向量都可以用一對實數(shù)唯一表示。注意：平面向量的坐標與點的坐標不一樣，平面向量的坐標是相對的。而點的坐標是絕對的。若一向量的起點在原點，例如該向量為（1，2）那么該向量上的所有點都可以用（a，2a）表示。即，該向量上的任意一點的橫縱坐標比例關系與向量坐標的比例關系是一樣的。模和數(shù)量向量的大小，也就是向量的長度(或稱模)。向量a的模記作|a|。注意：1向量的模是非負實數(shù)，是可以比較大小的。向量a=(x,y)， |a|=根號下（x2+y2）。2因為方向不能比較大小，所以向量也就不能比較大小。對于向量來說“大于”和“小于”的概念是沒有意義的。例如，“向量AB向量CD”是沒有意義的。各種向量零向量：長度等于0的向量叫做零向量，記作0。（注意粗體格式，實數(shù)“0”和向量“0”是有區(qū)別的）零向量的方向是任意的；且零向量與任何向量都平行且垂直。單位向量：長度為一個單位（即模為1）的向量，叫做單位向量。某方向上的單位向量：與向量a同向或反向，且長度為單位1的向量，叫做a方向上的單位向量，記作a0，a0=a/|a|。負向量：如果向量AB與向量CD的模相等且方向相反，那么我們把向量AB叫做向量CD的負向量零向量：長度為0的向量叫做零向量，記作0。零向量的始點和終點重合，所以零向量沒有確定的方向，或說零向量的方向是任意的。相等向量：長度相等且方向相同的向量叫做相等向量向量a與b相等，記作a=b。特別規(guī)定：所有的零向量都相等。當用有向線段表示向量時，起點可以任意選取。任意兩個相等的非零向量，都可用同一條有向線段來表示，并且與有向線段的起點無關。同向且等長的有向線段都表示同一向量。自由向量：始點不固定的向量，它可以任意的平行移動，而且移動后的向量仍然代表原來的向量。在自由向量的意義下，相等的向量都看作是同一個向量。數(shù)學中只研究自由向量?；瑒酉蛄浚貉刂本€作用的向量稱為滑動向量。固定向量：作用于一點的向量稱為固定向量（亦稱膠著向量）。位置向量：對于坐標平面內的任意一點P，我們把向量OP叫做點P的位置向量，記作：向量P。方向向量：直線l上的向量a以及與向量a共線的向量叫做直線l上的方向向量。相反向量：與a長度相等、方向相反的向量叫做a的相反向量，記作-a。有 -（-a）=a，零向量的相反向量仍是零向量。平行（或共線）向量：方向相同或相反的非零向量叫做平行（或共線）向量。向量a、b平行（共線），記作ab。零向量長度為零，是起點與終點重合的向量，其方向不確定，我們規(guī)定：零向量與任一向量平行，即0/a。平行于同一直線的一組向量是共線向量。若a=(x,y)b=(m，n)。a/b=ab=xn-ym=0。在向量中共線向量就是平行向量，（這和直線不同，直線共線就是同一條直線了，而向量共線就是指兩條是平行向量） 共面向量：平行于同一平面的三個（或多于三個）向量叫做共面向量?？臻g中的向量有且只有以下兩種位置關系：共面；不共面。注意：只有三個或三個以上向量才談共面不共面。法向量：直線l，取直線l的方向向量a，則向量a叫做平面的法向量。三、向量運算1、向量的加法向量加法的定義已知向量a、b，在平面上任意取一點A，作AB=a，BC=b，再作向量AC，則向量AC叫做a與b的和，記做a+b，即a+b=AB+BC=AC。向量的加法滿足平行四邊形法則和三角形法則。AB+BC=AC，這種計算法則叫做向量加法的三角形法則。（首尾相連，連接首尾，指向終點） 同樣，作AB=a,且AD=BC,再作平行AD的BC=b，連接DC，因為ADBC，且AD=BC，所以四邊形ABCD為平行四邊形，AC叫做a與b的和，表示為：AC=a+b.這種方法叫做向量加法的平行四邊形法則。（共起點，對角連）。對于零向量和任意向量a，有：0+a=a+0=a。|a|-|b|a+b|a|+|b|。（即：三角形中，兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊，當共線時，取等號）向量的加法滿足所有的加法運算定律。（加法交換律、加法結合律）2、向量的減法AB-AC=CB,這種計算法則叫做向量減法的三角形法則。（共起點，連終點，指向被減） c=a-b以b的結束為起點，a的結束為終點。如果a、b是互為相反的向量，那么a=-b，b=-a，a+b=0，(a)=a，a+(a)=(a)+a=0，ab=a+(b)。0的反向量為0。3、向量的數(shù)乘實數(shù)和向量a的乘積是一個向量，記作a，且a=a。當0時，a與a同方向；當1時，表示向量a的有向線段在原方向（0）或反方向（0）上伸長為原來的倍當0）或反方向（0）上縮短為原來的倍。數(shù)與向量的乘法滿足乘法運算定律：結合律：(a)b=(ab)=(ab)。向量對于數(shù)的分配律（第一分配律）：(+)a=a+a.數(shù)對于向量的分配律（第二分配律）：(a+b)=a+b.數(shù)乘向量的消去律： 如果實數(shù)0且a=b，那么a=b。 如果a0且a=a，那么=。4、坐標運算已知a=（x1，y1），b=（x2，y2），則a+b=（x1+x2,y1+y2）a-b=（x1-x2，y1-y2）這就是說， 兩個向量和與差的坐標分別等于這兩個向量相應坐標的和與差。由此可以得到：一個向量的坐標等于表示此向量的有向線段的終點坐標減去始點的坐標。根據(jù)上面的結論又可得若a=(x,y),則a=(x,y)這就是說，實數(shù)與向量的積的坐標等于用這個實數(shù)乘原來向量的相應坐標。由坐標運算可知：向量的加法、減法、數(shù)乘，屬于“線性運算”，即符合實數(shù)的運算法則。4、向量的數(shù)量積（1）向量a與向量b的夾角：已知兩個非零向量，過O點做向量OA=a，向量OB=b，則角AOB=叫做向量a與b的夾角。并規(guī)定0 （2）數(shù)量積的定義：已知兩個非零向量a、b，那么|a|b|cos 叫做a與b的數(shù)量積或內積，兩個向量的數(shù)量積（內積、點積）是一個數(shù)量（沒有方向），記作ab，是a與b的夾角，|a|cos （|b|cos ）叫做向量a在b方向上（b在a方向上）的投影。零向量與任意向量的數(shù)量積為0。若a、b不共線，則ab=|a|b|cos（依定義有：cos=ab / |a|b|）；若a、b共線，則ab=ab。（3）數(shù)量積幾何意義：數(shù)量積ab等于a的長度|a|與b在a的方向上的投影|b|cos 的乘積。兩個向量的數(shù)量積等于它們對應坐標的乘積的和。即：若a=(x1,y1),b=(x2,y2),則ab=x1x2+y1y2（4）向量的數(shù)量積的性質：aa=a20ab=ba（交換律）k(ab)=(ka)b=a(kb) (關于數(shù)乘法的結合律)a(b+c)=ab+ac（分配律）ab=0aba=kba/be1e2=|e1|e2|cos| ab|a|b|。（該公式證明如下：|ab|=|a|b|cos| 因為0|cos|1，所以|ab|a|b|）向量的數(shù)量積與實數(shù)運算的主要不同點1向量的數(shù)量積不滿足結合律，即：(ab)ca(bc)；例如：(ab)2a2b2。2向量的數(shù)量積不滿足消去律，即：由ab=ac (a0)，推不出b=c。3|ab|與|a|b|不等價4由 |a|=|b| ，推不出a=b或a=-b。說明：向量的數(shù)量積，是專為物理的矢量積定義的，物理中，兩個矢量的積，是標量（即數(shù)量）。所以，向量的數(shù)量積與向量的其它運算，不完全不同類型的運算，在做有關數(shù)量積的判斷時，要用物理的角度來進行。相關練習1若a =0，則對任一向量b ，有a b=0. 2若a 0，則對任一非零向量b ,有a b0 錯（當ab時，a b=0）3若a 0，a b =0，則b=0錯（當a和b都不為零，且ab時，a b=0）4若a b=0，則a b中至少有一個為0. 錯（可以都不為0，當ab時，a b=0成立）5若a0，a b= b c，則a=c錯（當b=0時）6若a b = a c ,則bc,當且僅當a= 0時成立 錯（a0且同時垂直于b，c時也成立）注：向量沒有除法，“向量AB/向量CD”是沒有意義的。四、向量的應用三角形不等式1、a-ba+ba+b 當且僅當a、b反向時，左邊取等號 當且僅當a、b同向時，右邊取等號。2a-ba-ba+b。 當且僅當a、b同向時，左邊取等號 當且僅當a、b反向時，右邊取等號。定比分點定比分點公式（向量P1P=向量PP2）設P1、P2是直線上的兩點，P是l上不同于P1、P2的任意一點。則存在一個任意實數(shù)且不等于-1，使 向量P1P=向量PP2，叫做點P分有向線段P1P2所成的比。若P1（x1,y1），P2(x2,y2)，P(x,y)，則有OP=(OP1+OP2)/(1+)；（定比分點向量公式）x=(x1+x2)/(1+), y=(y1+y2)/(1+)。（定比分點坐標公式）我們把上面的式子叫做有向線段P1P2的定比分點公式三點共線定理：已知0是AB所在直線外一點,若OC=OA +OB ,且+=1 ,則A、B、C三點共線三角形重心判斷式：在ABC中，若GA +GB +GC=O,則G為ABC的重心向量共線的條件若b0，則a/b的重要條件是存在唯一實數(shù)，使a=b。若設a=（x1，y1），b=（x2，y2），則有x1y2=x2y1。零向量0平行于任何向量。向量垂直的充要條件：ab的充要條件是ab=0，即x1x2+y1y2=0。平面向量分解定理：如果e1、e2是同一平面內的兩個不平行向量，那么對于這一平面內的任一向量，有且只有一對實數(shù)1，2使a=1e1+2e2我們把不平行向量e1、e2叫做這一平面內所有向量的一基底五、向量法解題平面向量是新教材改革增加的內容之一，近幾年的全國使用新教材的高考試題逐漸加大了對這部分內容的考查力度，主要是運用向量法來分析，解決一些相關問題.解決關于向量問題時，一要善于運用向量的平移、伸縮、合成、分解等變換，正確地進行向量的各種運算，加深對向量的本質的認識。二是向量的坐標運算體現(xiàn)了數(shù)與形互相轉化和密切結合的思想.向量的數(shù)量積常用于有關向量相等，兩向