數(shù)字邏輯基礎(chǔ).ppt

上海第二工業(yè)大學(xué)楊潔 數(shù)字電路基礎(chǔ) 第5章邏輯代數(shù)基礎(chǔ) 學(xué)習(xí)要點(diǎn) 二進(jìn)制 二進(jìn)制與十進(jìn)制的相互轉(zhuǎn)換邏輯代數(shù)的基本概念邏輯代數(shù)的公式與定理 邏輯函數(shù)化簡(jiǎn) 第5章邏輯代數(shù)基礎(chǔ) 5 1數(shù)制與編碼 5 2邏輯函數(shù) 5 3布爾代數(shù) 5 4具有約束的邏輯函數(shù) 5 1數(shù)制與編碼 5 1 1進(jìn)位計(jì)數(shù)制 5 1 2進(jìn)位計(jì)數(shù)制轉(zhuǎn)換 5 1 3二進(jìn)制編碼 退出 1 進(jìn)位制 表示數(shù)時(shí) 僅用一位數(shù)碼往往不夠用 必須用進(jìn)位計(jì)數(shù)的方法組成多位數(shù)碼 多位數(shù)碼每一位的構(gòu)成以及從低位到高位的進(jìn)位規(guī)則稱為進(jìn)位計(jì)數(shù)制 簡(jiǎn)稱進(jìn)位制 數(shù)制 2 基數(shù) 進(jìn)位制的基數(shù) 就是在該進(jìn)位制中可能用到的數(shù)碼個(gè)數(shù) 3 位權(quán) 位的權(quán)數(shù) 在某一進(jìn)位制的數(shù)中 每一位的大小都對(duì)應(yīng)著該位上的數(shù)碼乘上一個(gè)固定的數(shù) 這個(gè)固定的數(shù)就是這一位的權(quán)數(shù) 權(quán)數(shù)是一個(gè)冪 數(shù)碼為 0 9 基數(shù)是10 Decimal 十進(jìn)制運(yùn)算規(guī)律 逢十進(jìn)一 即 9 1 10 十進(jìn)制數(shù)的權(quán)展開式 1 十進(jìn)制 103 102 101 100稱為十進(jìn)制的權(quán) 各數(shù)位的權(quán)是10的冪 同樣的數(shù)碼在不同的數(shù)位上代表的數(shù)值不同 任意一個(gè)十進(jìn)制數(shù)都可以表示為各個(gè)數(shù)位上的數(shù)碼與其對(duì)應(yīng)的權(quán)的乘積之和 稱權(quán)展開式 即 5555 D 5 103 5 102 5 101 5 100 又如 209 04 10 2 102 0 101 9 100 0 10 1 4 10 2 2 二進(jìn)制 數(shù)碼為 0 1 基數(shù)是2 Binary 二進(jìn)制運(yùn)算規(guī)律 逢二進(jìn)一 即 1 1 10 二進(jìn)制數(shù)的權(quán)展開式 如 101 01 B 1 22 0 21 1 20 0 2 1 1 2 2 5 25 10 加法規(guī)則 0 0 0 0 1 1 1 0 1 1 1 10乘法規(guī)則 0 0 0 0 1 0 1 0 0 1 1 1 運(yùn)算規(guī)則 各數(shù)位的權(quán)是 的冪 二進(jìn)制數(shù)只有0和1兩個(gè)數(shù)碼 它的每一位都可以用電子元件來實(shí)現(xiàn) 且運(yùn)算規(guī)則簡(jiǎn)單 相應(yīng)的運(yùn)算電路也容易實(shí)現(xiàn) 數(shù)碼為 0 7 基數(shù)是8 O 八進(jìn)制運(yùn)算規(guī)律 逢八進(jìn)一 即 7 1 10 八進(jìn)制數(shù)的權(quán)展開式 如 207 04 8 2 82 0 81 7 80 0 8 1 4 8 2 135 0625 10 3 八進(jìn)制 4 十六進(jìn)制 數(shù)碼為 0 9 A F 基數(shù)是16 Hexadecimal 十六進(jìn)制運(yùn)算規(guī)律 逢十六進(jìn)一 即 F 1 10 十六進(jìn)制數(shù)的權(quán)展開式 如 D8 A H 13 161 8 160 10 16 1 216 625 10 各數(shù)位的權(quán)是8的冪 各數(shù)位的權(quán)是16的冪 結(jié)論 一般地 N進(jìn)制需要用到N個(gè)數(shù)碼 基數(shù)是N 運(yùn)算規(guī)律為逢N進(jìn)一 如果一個(gè)N進(jìn)制數(shù)M包含 位整數(shù)和 位小數(shù) 即 an 1an 2 a1a0 a 1a 2 a m N則該數(shù)的權(quán)展開式為 M N an 1 Nn 1 an 2 Nn 2 a1 N1 a0 N0 a 1 N 1 a 2 N 2 a m N m 由權(quán)展開式很容易將一個(gè)N進(jìn)制數(shù)轉(zhuǎn)換為十進(jìn)制數(shù) 數(shù)制轉(zhuǎn)換 1 二進(jìn)制數(shù)轉(zhuǎn)換為八進(jìn)制數(shù) 將二進(jìn)制數(shù)由小數(shù)點(diǎn)開始 整數(shù)部分向左 小數(shù)部分向右 每3位分成一組 不夠3位補(bǔ)零 則每組二進(jìn)制數(shù)便是一位八進(jìn)制數(shù) 將N進(jìn)制數(shù)按權(quán)展開 即可以轉(zhuǎn)換為十進(jìn)制數(shù) 1 二進(jìn)制數(shù)與八進(jìn)制數(shù)的相互轉(zhuǎn)換 1101010 01 00 0 152 2 8 2 八進(jìn)制數(shù)轉(zhuǎn)換為二進(jìn)制數(shù) 將每位八進(jìn)制數(shù)用3位二進(jìn)制數(shù)表示 011111100 010110 374 26 8 2 二進(jìn)制數(shù)與十六進(jìn)制數(shù)的相互轉(zhuǎn)換 111010100 011 000 0 1D4 6 16 101011110100 01110110 AF4 76 16 二進(jìn)制數(shù)與十六進(jìn)制數(shù)的相互轉(zhuǎn)換 按照每4位二進(jìn)制數(shù)對(duì)應(yīng)于一位十六進(jìn)制數(shù)進(jìn)行轉(zhuǎn)換 3 十進(jìn)制數(shù)轉(zhuǎn)換為二進(jìn)制數(shù) 采用的方法 基數(shù)連除 連乘法原理 將整數(shù)部分和小數(shù)部分分別進(jìn)行轉(zhuǎn)換 整數(shù)部分采用基數(shù)連除法 小數(shù)部分采用基數(shù)連乘法 轉(zhuǎn)換后再合并 整數(shù)部分采用基數(shù)連除法 先得到的余數(shù)為低位 后得到的余數(shù)為高位 小數(shù)部分采用基數(shù)連乘法 先得到的整數(shù)為高位 后得到的整數(shù)為低位 所以 0 375 10 0 011 2 采用基數(shù)連除 連乘法 可將十進(jìn)制數(shù)轉(zhuǎn)換為任意的N進(jìn)制數(shù) 25 D 11001 B 用一定位數(shù)的二進(jìn)制數(shù)來表示十進(jìn)制數(shù)碼 字母 符號(hào)等信息稱為編碼 用以表示十進(jìn)制數(shù)碼 字母 符號(hào)等信息的一定位數(shù)的二進(jìn)制數(shù)稱為代碼 編碼 數(shù)字系統(tǒng)只能識(shí)別0和1 怎樣才能表示更多的數(shù)碼 符號(hào) 字母呢 用編碼可以解決此問題 二 十進(jìn)制代碼 用4位二進(jìn)制數(shù)b3b2b1b0來表示十進(jìn)制數(shù)中的0 9十個(gè)數(shù)碼 簡(jiǎn)稱BCD碼 8421碼的權(quán)值依次為8 4 2 1 余3碼由8421碼加0011得到 格雷碼是一種循環(huán)碼 其特點(diǎn)是任何相鄰的兩個(gè)碼字 僅有一位代碼不同 其它位相同 用四位自然二進(jìn)制碼中的前十個(gè)碼字來表示十進(jìn)制數(shù)碼 因各位的權(quán)值依次為8 4 2 1 故稱8421BCD碼 本節(jié)小結(jié) 日常生活中使用十進(jìn)制 但在計(jì)算機(jī)中基本上使用二進(jìn)制 有時(shí)也使用八進(jìn)制或十六進(jìn)制 利用權(quán)展開式可將任意進(jìn)制數(shù)轉(zhuǎn)換為十進(jìn)制數(shù) 將十進(jìn)制數(shù)轉(zhuǎn)換為其它進(jìn)制數(shù)時(shí) 整數(shù)部分采用基數(shù)除法 小數(shù)部分采用基數(shù)乘法 利用1位八進(jìn)制數(shù)由3位二進(jìn)制數(shù)構(gòu)成 1位十六進(jìn)制數(shù)由4位二進(jìn)制數(shù)構(gòu)成 可以實(shí)現(xiàn)二進(jìn)制數(shù)與八進(jìn)制數(shù)以及二進(jìn)制數(shù)與十六進(jìn)制數(shù)之間的相互轉(zhuǎn)換 二進(jìn)制代碼不僅可以表示數(shù)值 而且可以表示符號(hào)及文字 使信息交換靈活方便 BCD碼是用4位二進(jìn)制代碼代表1位十進(jìn)制數(shù)的編碼 有多種BCD碼形式 最常用的是8421BCD碼 5 2邏輯函數(shù) 5 2 1邏輯函數(shù)的基本概念 5 2 2邏輯代數(shù)的公式 定理和規(guī)則 5 2 3邏輯函數(shù)的表達(dá)式 事物往往存在兩種對(duì)立的狀態(tài) 在邏輯代數(shù)中可以抽象地表示為0和1 稱為邏輯0狀態(tài)和邏輯1狀態(tài) 邏輯函數(shù)是按一定的邏輯關(guān)系進(jìn)行運(yùn)算的函數(shù) 是分析和設(shè)計(jì)數(shù)字電路的數(shù)學(xué)工具 在邏輯代數(shù) 只有 和 兩種邏輯值 有與 或 非三種基本邏輯運(yùn)算 還有與或 與非 與或非 異或幾種導(dǎo)出邏輯運(yùn)算 邏輯代數(shù)中的變量稱為邏輯變量 用大寫字母表示 邏輯變量的取值只有兩種 即邏輯0和邏輯1 0和1稱為邏輯常量 并不表示數(shù)量的大小 而是表示兩種對(duì)立的邏輯狀態(tài) 邏輯是指事物的因果關(guān)系 或者說條件和結(jié)果的關(guān)系 這些因果關(guān)系可以用邏輯運(yùn)算來表示 也就是用邏輯代數(shù)來描述 1 與邏輯 與運(yùn)算 與邏輯的定義 僅當(dāng)決定事件 Y 發(fā)生的所有條件 A B C 均滿足時(shí) 事件 Y 才能發(fā)生 表達(dá)式為 開關(guān)A B串聯(lián)控制燈泡Y 兩個(gè)開關(guān)必須同時(shí)接通 燈才亮 邏輯表達(dá)式為 A B都斷開 燈不亮 A斷開 B接通 燈不亮 A接通 B斷開 燈不亮 A B都接通 燈亮 這種把所有可能的條件組合及其對(duì)應(yīng)結(jié)果一一列出來的表格叫做真值表 將開關(guān)接通記作1 斷開記作0 燈亮記作1 燈滅記作0 可以作出如下表格來描述與邏輯關(guān)系 功能表 實(shí)現(xiàn)與邏輯的電路稱為與門 與門的邏輯符號(hào) 真值表 邏輯符號(hào) 2 或邏輯 或運(yùn)算 或邏輯的定義 當(dāng)決定事件 Y 發(fā)生的各種條件 A B C 中 只要有一個(gè)或多個(gè)條件具備 事件 Y 就發(fā)生 表達(dá)式為 開關(guān)A B并聯(lián)控制燈泡Y 兩個(gè)開關(guān)只要有一個(gè)接通 燈就會(huì)亮 邏輯表達(dá)式為 A B都斷開 燈不亮 A斷開 B接通 燈亮 A接通 B斷開 燈亮 A B都接通 燈亮 實(shí)現(xiàn)或邏輯的電路稱為或門 或門的邏輯符號(hào) Y A B 真值表 功能表 邏輯符號(hào) 3 非邏輯 非運(yùn)算 非邏輯指的是邏輯的否定 當(dāng)決定事件 Y 發(fā)生的條件 A 滿足時(shí) 事件不發(fā)生 條件不滿足 事件反而發(fā)生 表達(dá)式為 開關(guān)A控制燈泡Y 實(shí)現(xiàn)非邏輯的電路稱為非門 非門的邏輯符號(hào) A斷開 燈亮 A接通 燈滅 真值表 功能表 邏輯符號(hào) 4 常用的邏輯運(yùn)算 1 與非運(yùn)算 邏輯表達(dá)式為 2 或非運(yùn)算 邏輯表達(dá)式為 3 異或運(yùn)算 邏輯表達(dá)式為 4 與或非運(yùn)算 邏輯表達(dá)式為 基本邏輯關(guān)系小結(jié) 5 邏輯函數(shù)及其相等概念 1 邏輯表達(dá)式 由邏輯變量和與 或 非3種運(yùn)算符連接起來所構(gòu)成的式子 在邏輯表達(dá)式中 等式右邊的字母A B C D等稱為輸入邏輯變量 等式左邊的字母Y稱為輸出邏輯變量 字母上面沒有非運(yùn)算符的叫做原變量 有非運(yùn)算符的叫做反變量 2 邏輯函數(shù) 如果對(duì)應(yīng)于輸入邏輯變量A B C 的每一組確定值 輸出邏輯變量Y就有唯一確定的值 則稱Y是A B C 的邏輯函數(shù) 記為 注意 與普通代數(shù)不同的是 在邏輯代數(shù)中 不管是變量還是函數(shù) 其取值都只能是0或1 并且這里的0和1只表示兩種不同的狀態(tài) 沒有數(shù)量的含義 3 邏輯函數(shù)相等的概念 設(shè)有兩個(gè)邏輯函數(shù) 它們的變量都是A B C 如果對(duì)應(yīng)于變量A B C 的任何一組變量取值 Y1和Y2的值都相同 則稱Y1和Y2是相等的 記為Y1 Y2 若兩個(gè)邏輯函數(shù)相等 則它們的真值表一定相同 反之 若兩個(gè)函數(shù)的真值表完全相同 則這兩個(gè)函數(shù)一定相等 因此 要證明兩個(gè)邏輯函數(shù)是否相等 只要分別列出它們的真值表 看看它們的真值表是否相同即可 證明等式 邏輯函數(shù)的表示方法 1 真值表 真值表 是由變量的所有可能取值組合及其對(duì)應(yīng)的函數(shù)值所構(gòu)成的表格 真值表列寫方法 每一個(gè)變量均有0 1兩種取值 n個(gè)變量共有2i種不同的取值 將這2i種不同的取值按順序 一般按二進(jìn)制遞增規(guī)律 排列起來 同時(shí)在相應(yīng)位置上填入函數(shù)的值 便可得到邏輯函數(shù)的真值表 例如 當(dāng)A B 1 或則B C 1時(shí) 函數(shù)Y 1 否則Y 0 2 邏輯表達(dá)式 邏輯表達(dá)式 是由邏輯變量和與 或 非3種運(yùn)算符連接起來所構(gòu)成的式子 函數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)與或表達(dá)式的列寫方法 將函數(shù)的真值表中那些使函數(shù)值為1的最小項(xiàng)相加 便得到函數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)與或表達(dá)式 3 卡諾圖 卡諾圖 是由表示變量的所有可能取值組合的小方格所構(gòu)成的圖形 邏輯函數(shù)卡諾圖的填寫方法 在那些使函數(shù)值為1的變量取值組合所對(duì)應(yīng)的小方格內(nèi)填入1 其余的方格內(nèi)填入0 便得到該函數(shù)的卡諾圖 4 邏輯圖 邏輯圖 是由表示邏輯運(yùn)算的邏輯符號(hào)所構(gòu)成的圖形 波形圖 波形圖 是由輸入變量的所有可能取值組合的高 低電平及其對(duì)應(yīng)的輸出函數(shù)值的高 低電平所構(gòu)成的圖形 邏輯函數(shù)表示方法之間的轉(zhuǎn)換 1 由真值表到邏輯圖的轉(zhuǎn)換 真值表 邏輯表達(dá)式或卡諾圖 1 1 最簡(jiǎn)與或表達(dá)式 化簡(jiǎn) 2 或 2 畫邏輯圖 3 最簡(jiǎn)與或表達(dá)式 B A A C AC Y B A A C Y 若用與非門實(shí)現(xiàn) 將最簡(jiǎn)與或表達(dá)式變換乘最簡(jiǎn)與非 與非表達(dá)式 3 2 由邏輯圖到真值表的轉(zhuǎn)換 邏輯圖 邏輯表達(dá)式 1 1 最簡(jiǎn)與或表達(dá)式 化簡(jiǎn) 2 2 從輸入到輸出逐級(jí)寫出 最簡(jiǎn)與或表達(dá)式 3 真值表 3 本節(jié)小結(jié) 邏輯函數(shù)可用真值表 邏輯表達(dá)式 卡諾圖 邏輯圖和波形圖5種方式表示 它們各具特點(diǎn) 但本質(zhì)相通 可以互相轉(zhuǎn)換 對(duì)于一個(gè)具體的邏輯函數(shù) 究竟采用哪種表示方式應(yīng)視實(shí)際需要而定 在使用時(shí)應(yīng)充分利用每一種表示方式的優(yōu)點(diǎn) 由于由真值表到邏輯圖和由邏輯圖到真值表的轉(zhuǎn)換 直接涉及到數(shù)字電路的分析和設(shè)計(jì)問題 因此顯得更為重要 正負(fù)邏輯的概念 1 基本概念正邏輯 用高電平表示邏輯1 低電平表示邏輯0 負(fù)邏輯 用高電平表示邏輯0 低電平表示邏輯1 2 正邏輯與負(fù)邏輯的關(guān)系 按正邏輯規(guī)定 可得到表3 5所示真值表 由真值表可知 該電路是一個(gè)正邏輯的 與 門 按負(fù)邏輯規(guī)定 可得到表3 6所示真值表 由真值表可知 該電路是一個(gè)負(fù)邏輯的 或 門 即正邏輯與門等價(jià)于負(fù)邏輯或門 前面討論各種邏輯門電路時(shí) 都是按照正邏輯規(guī)定來定義其邏輯功能的 在本課程中 若無特殊說明 約定按正邏輯討論問題 所有門電路的符號(hào)均按正邏輯表示 布爾代數(shù)邏輯代數(shù)最初是由英國數(shù)學(xué)家布爾 G Boole 首先提出來的 被稱為布爾代數(shù) 邏輯代數(shù)的變量稱為邏輯變量 邏輯變量與一般代數(shù)變量不同 邏輯變量的取值只有0和1 就是說邏輯電路中只有兩種邏輯狀態(tài) 這里的1和0可以由數(shù)字系統(tǒng)中的電平的高低 開關(guān)的斷通和信號(hào)的有無來表示 1 布爾代數(shù)的公式和定理 1 常量之間的關(guān)系 2 基本公式 分別令A(yù) 0及A 1代入這些公式 即可證明它們的正確性 3 基本定理 利用真值表很容易證明這些公式的正確性 如證明A B B A A B A C AA BA AC BC 分配率A B C AB AC A AB AC BC 等冪率AA A A 1 B C BC 分配率A B C AB AC A BC 0 1率A 1 1 證明分配律 A BC A B A C 證明 4 常用公式 分配率A BC A B A C 0 1率A 1 1 吸收規(guī)則 1 原變量的吸收 A AB A 證明 A AB A 1 B A 1 A 利用運(yùn)算規(guī)則可以對(duì)邏輯式進(jìn)行化簡(jiǎn) 例如 吸收是指吸收多余 冗余 項(xiàng) 多余 冗余 因子被取消 去掉 被消化了 長(zhǎng)中含短 留下短 2 反變量的吸收 證明 例如 長(zhǎng)中含反 去掉反 3 混合變量的吸收 證明 例如 正負(fù)相對(duì) 余全完 分配率A B C AB AC 0 1率A 1 1 例如 已知等式 用函數(shù)Y AC代替等式中的A 根據(jù)代入規(guī)則 等式仍然成立 即有 2 布爾代數(shù)運(yùn)算的基本規(guī)則 1 代入規(guī)則 任何一個(gè)含有變量A的等式 如果將所有出現(xiàn)A的位置都用同一個(gè)邏輯函數(shù)代替 則等式仍然成立 這個(gè)規(guī)則稱為代入規(guī)則 2 反演規(guī)則 對(duì)于任何一個(gè)邏輯表達(dá)式Y(jié) 如果將表達(dá)式中的所有 換成 換成 0 換成 1 1 換成 0 原變量換成反變量 反變量換成原變量 那么所得到的表達(dá)式就是函數(shù)Y的反函數(shù)Y 或稱補(bǔ)函數(shù) 這個(gè)規(guī)則稱為反演規(guī)則 例如 反演定理內(nèi)容 將函數(shù)式F中所有的 變量與常數(shù)均取反 互補(bǔ)運(yùn)算 2 不是一個(gè)變量上的反號(hào)不動(dòng) 注意 用處 實(shí)現(xiàn)互補(bǔ)運(yùn)算 求反運(yùn)算 新表達(dá)式 F 顯然 變換時(shí) 原函數(shù)運(yùn)算的先后順序不變 例1 與或式 注意括號(hào) 注意括號(hào) 例2 與或式 反號(hào)不動(dòng) 反號(hào)不動(dòng) 3 對(duì)偶規(guī)則 對(duì)于任何一個(gè)邏輯表達(dá)式Y(jié) 如果將表達(dá)式中的所有 換成 換成 0 換成 1 1 換成 0 而變量保持不變 則可得到的一個(gè)新的函數(shù)表達(dá)式Y(jié) Y 稱為函Y的對(duì)偶函數(shù) 這個(gè)規(guī)則稱為對(duì)偶規(guī)則 例如 對(duì)偶規(guī)則的意義在于 如果兩個(gè)函數(shù)相等 則它們的對(duì)偶函數(shù)也相等 利用對(duì)偶規(guī)則 可以使要證明及要記憶的公式數(shù)目減少一半 例如 注意 在運(yùn)用反演規(guī)則和對(duì)偶規(guī)則時(shí) 必須按照邏輯運(yùn)算的優(yōu)先順序進(jìn)行 先算括號(hào) 接著與運(yùn)算 然后或運(yùn)算 最后非運(yùn)算 否則容易出錯(cuò) 邏輯函數(shù)的表達(dá)式 一個(gè)邏輯函數(shù)的表達(dá)式可以有與或表達(dá)式 或與表達(dá)式 與非 與非表達(dá)式 或非 或非表達(dá)式 與或非表達(dá)式5種表示形式 一種形式的函數(shù)表達(dá)式相應(yīng)于一種邏輯電路 盡管一個(gè)邏輯函數(shù)表達(dá)式的各種表示形式不同 但邏輯功能是相同的 1 邏輯函數(shù)的最小項(xiàng)及其性質(zhì) 1 最小項(xiàng) 如果一個(gè)函數(shù)的某個(gè)乘積項(xiàng)包含了函數(shù)的全部變量 其中每個(gè)變量都以原變量或反變量的形式出現(xiàn) 且僅出現(xiàn)一次 則這個(gè)乘積項(xiàng)稱為該函數(shù)的一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)積項(xiàng) 通常稱為最小項(xiàng) 3個(gè)變量A B C可組成8個(gè)最小項(xiàng) 2 最小項(xiàng)的表示方法 通常用符號(hào)mi來表示最小項(xiàng) 下標(biāo)i的確定 把最小項(xiàng)中的原變量記為1 反變量記為0 當(dāng)變量順序確定后 可以按順序排列成一個(gè)二進(jìn)制數(shù) 則與這個(gè)二進(jìn)制數(shù)相對(duì)應(yīng)的十進(jìn)制數(shù) 就是這個(gè)最小項(xiàng)的下標(biāo)i 3個(gè)變量A B C的8個(gè)最小項(xiàng)可以分別表示為 3 最小項(xiàng)的性質(zhì) 任意一個(gè)最小項(xiàng) 只有一組變量取值使其值為1 全部最小項(xiàng)的和必為1 任意兩個(gè)不同的最小項(xiàng)的乘積必為0 2 邏輯函數(shù)的最小項(xiàng)表達(dá)式 任何一個(gè)邏輯函數(shù)都可以表示成唯一的一組最小項(xiàng)之和 稱為標(biāo)準(zhǔn)與或表達(dá)式 也稱為最小項(xiàng)表達(dá)式 如果列出了函數(shù)的真值表 則只要將函數(shù)值為1的那些最小項(xiàng)相加 便是函數(shù)的最小項(xiàng)表達(dá)式 將真值表中函數(shù)值為0的那些最小項(xiàng)相加 便可得到反函數(shù)的最小項(xiàng)表達(dá)式 邏輯相鄰 若兩個(gè)最小項(xiàng)只有一個(gè)變量以原 反區(qū)別 其他變量均相同 則稱這兩個(gè)最小項(xiàng)邏輯相鄰 邏輯相鄰的項(xiàng)可以合并 消去一個(gè)因子 本節(jié)小結(jié) 邏輯代數(shù)是分析和設(shè)計(jì)數(shù)字電路的重要工具 利用邏輯代數(shù) 可以把實(shí)際邏輯問題抽象為邏輯函數(shù)來描述 并且可以用邏輯運(yùn)算的方法 解決邏輯電路的分析和設(shè)計(jì)問題 與 或 非是3種基本邏輯關(guān)系 也是3種基本邏輯運(yùn)算 與非 或非 與或非 異或則是由與 或 非3種基本邏輯運(yùn)算復(fù)合而成的4種常用邏輯運(yùn)算 邏輯代數(shù)的公式和定理是推演 變換及化簡(jiǎn)邏輯函數(shù)的依據(jù) 邏輯函數(shù)的化簡(jiǎn) 邏輯函數(shù)的最簡(jiǎn)表達(dá)式 邏輯函數(shù)的公式化簡(jiǎn)法 邏輯函數(shù)的圖形化簡(jiǎn)法 含隨意項(xiàng)的邏輯函數(shù)的化簡(jiǎn) 邏輯函數(shù)化簡(jiǎn)的意義 邏輯表達(dá)式越簡(jiǎn)單 實(shí)現(xiàn)它的電路越簡(jiǎn)單 電路工作越穩(wěn)定可靠 邏輯函數(shù)的最簡(jiǎn)表達(dá)式 1 最簡(jiǎn)與或表達(dá)式 乘積項(xiàng)最少 并且每個(gè)乘積項(xiàng)中的變量也最少的與或表達(dá)式 最簡(jiǎn)與或表達(dá)式 2 最簡(jiǎn)與非 與非表達(dá)式 非號(hào)最少 并且每個(gè)非號(hào)下面乘積項(xiàng)中的變量也最少的與非 與非表達(dá)式 在最簡(jiǎn)與或表達(dá)式的基礎(chǔ)上兩次取反 用摩根定律去掉下面的非號(hào) 3 最簡(jiǎn)或與表達(dá)式 括號(hào)最少 并且每個(gè)括號(hào)內(nèi)相加的變量也最少的或與表達(dá)式 求出反函數(shù)的最簡(jiǎn)與或表達(dá)式 利用反演規(guī)則寫出函數(shù)的最簡(jiǎn)或與表達(dá)式 4 最簡(jiǎn)或非 或非表達(dá)式 非號(hào)最少 并且每個(gè)非號(hào)下面相加的變量也最少的或非 或非表達(dá)式 求最簡(jiǎn)或非 或非表達(dá)式 兩次取反 最簡(jiǎn)與或非表達(dá)式 非號(hào)下面相加的乘積項(xiàng)最少 并且每個(gè)乘積項(xiàng)中相乘的變量也最少的與或非表達(dá)式 求最簡(jiǎn)或非 或非表達(dá)式 用摩根定律去掉下面的非號(hào) 用摩根定律去掉大非號(hào)下面的非號(hào) 邏輯函數(shù)的公式化簡(jiǎn)法 1 并項(xiàng)法 邏輯函數(shù)的公式化簡(jiǎn)法就是運(yùn)用邏輯代數(shù)的基本公式 定理和規(guī)則來化簡(jiǎn)邏輯函數(shù) 若兩個(gè)乘積項(xiàng)中分別包含同一個(gè)因子的原變量和反變量 而其他因子都相同時(shí) 則這兩項(xiàng)可以合并成一項(xiàng) 并消去互為反變量的因子 運(yùn)用摩根定律 運(yùn)用分配律 運(yùn)用分配律 2 吸收法 如果乘積項(xiàng)是另外一個(gè)乘積項(xiàng)的因子 則這另外一個(gè)乘積項(xiàng)是多余的 運(yùn)用摩根定律 利用公式 消去多余的項(xiàng) 如果一個(gè)乘積項(xiàng)的反是另一個(gè)乘積項(xiàng)的因子 則這個(gè)因子是多余的 配項(xiàng)法 利用公式 為某項(xiàng)配上其所能合并的項(xiàng) 消去冗余項(xiàng)法 例 化簡(jiǎn)函數(shù) 解 先求出Y的對(duì)偶函數(shù)Y 并對(duì)其進(jìn)行化簡(jiǎn) 求Y 的對(duì)偶函數(shù) 便得 的最簡(jiǎn)或與表達(dá)式 例1 例2 反演 結(jié)論 異或門可以用4個(gè)與非門實(shí)現(xiàn) 例3 證明 AB A B 展開 例4 化簡(jiǎn)為最簡(jiǎn)邏輯代數(shù)式 例5 將Y化簡(jiǎn)為最簡(jiǎn)邏輯代數(shù)式 利用反演定理 邏輯函數(shù)的圖形化簡(jiǎn)法 卡諾圖 1 卡諾圖的構(gòu)成 邏輯函數(shù)的圖形化簡(jiǎn)法是將邏輯函數(shù)用卡諾圖來表示 利用卡諾圖來化簡(jiǎn)邏輯函數(shù) 將邏輯函數(shù)真值表中的最小項(xiàng)重新排列成矩陣形式 并且使矩陣的橫方向和縱方向的邏輯變量的取值按照格雷碼的順序排列 這樣構(gòu)成的圖形就是卡諾圖 卡諾圖的特點(diǎn)是任意兩個(gè)相鄰的最小項(xiàng)在圖中也是相鄰的 相鄰項(xiàng)是指兩個(gè)最小項(xiàng)只有一個(gè)因子互為反變量 其余因子均相同 又稱為邏輯相鄰項(xiàng) 每個(gè)2變量的最小項(xiàng)有兩個(gè)最小項(xiàng)與它相鄰 每個(gè)3變量的最小項(xiàng)有3個(gè)最小項(xiàng)與它相鄰 每個(gè)4變量的最小項(xiàng)有4個(gè)最小項(xiàng)與它相鄰 最左列的最小項(xiàng)與最右列的相應(yīng)最小項(xiàng)也是相鄰的 最上面一行的最小項(xiàng)與最下面一行的相應(yīng)最小項(xiàng)也是相鄰的 兩個(gè)相鄰最小項(xiàng)可以合并消去一個(gè)變量 邏輯函數(shù)化簡(jiǎn)的實(shí)質(zhì)就是相鄰最小項(xiàng)的合并 2 邏輯函數(shù)在卡諾圖中的表示 1 邏輯函數(shù)是以真值表或者以最小項(xiàng)表達(dá)式給出 在卡諾圖上那些與給定邏輯函數(shù)的最小項(xiàng)相對(duì)應(yīng)的方格內(nèi)填入1 其余的方格內(nèi)填入0 m1 m3 m4 m6 m7 m11 m14 m15 2 邏輯函數(shù)以一般的邏輯表達(dá)式給出 先將函數(shù)變換為與或表達(dá)式 不必變換為最小項(xiàng)之和的形式 然后在卡諾圖上與每一個(gè)乘積項(xiàng)所包含的那些最小項(xiàng) 該乘積項(xiàng)就是這些最小項(xiàng)的公因子 相對(duì)應(yīng)的方格內(nèi)填入1 其余的方格內(nèi)填入0 變換為與或表達(dá)式 3 卡諾圖的性質(zhì) 1 任何兩個(gè) 21個(gè) 標(biāo)1的相鄰最小項(xiàng) 可以合并為一項(xiàng) 并消去一個(gè)變量 消去互為反變量的因子 保留公因子 2 任何4個(gè) 22個(gè) 標(biāo)1的相鄰最小項(xiàng) 可以合并為一項(xiàng) 并消去2個(gè)變量 3 任何8個(gè) 23個(gè) 標(biāo)1的相鄰最小項(xiàng) 可以合并為一項(xiàng) 并消去3個(gè)變量 小結(jié) 相鄰最小項(xiàng)的數(shù)目必須為個(gè)才能合并為一項(xiàng) 并消去個(gè)變量 包含的最小項(xiàng)數(shù)目越多 即由這些最小項(xiàng)所形成的圈越大 消去的變量也就越多 從而所得到的邏輯表達(dá)式就越簡(jiǎn)單 這就是利用卡諾圖化簡(jiǎn)邏輯函數(shù)的基本原理 4 圖形法化簡(jiǎn)的基本步驟 邏輯表達(dá)式或真值表 卡諾圖 1 1 合并