小學(xué)六年級數(shù)學(xué)求陰影面積與周長（含詳細(xì)的解析） .doc

求陰影面積的常用方法 計算平面圖形的面積問題是常見題型，求平面陰影部分的面積是這類問題的難點。不規(guī)則陰影面積常常由三角形、四邊形、弓形、扇形和圓、圓弧等基本圖形組合而成的，在解此類問題時，要注意觀察和分析圖形，會分解和組合圖形或平移旋轉(zhuǎn)或割補。現(xiàn)介紹幾種常用的方法。 一、轉(zhuǎn)化法此法就是通過等積變換、平移、旋轉(zhuǎn)、割補等方法將不規(guī)則的圖形轉(zhuǎn)化成面積相等的規(guī)則圖形，再利用規(guī)則圖形的面積公式，計算出所求的不規(guī)則圖形的面積。 例1. 如圖1，點c、d是以ab為直徑的半圓o上的三等分點，ab=12，則圖中由弦ac、ad和圍成的陰影部分圖形的面積為_。 分析：連結(jié)cd、oc、od，如圖2。易證ab/cd，則的面積相等，所以圖中陰影部分的面積就等于扇形ocd的面積。易得，故。 二、和差法 有一些圖形結(jié)構(gòu)復(fù)雜，通過觀察，分析出不規(guī)則圖形的面積是由哪些規(guī)則圖形組合而成的，再利用這些規(guī)則圖形的面積的和或差來求，從而達到化繁為簡的目的。 例2. 如圖3是一個商標(biāo)的設(shè)計圖案，ab=2bc=8，為圓，求陰影部分面積。 分析：經(jīng)觀察圖3可以分解出以下規(guī)則圖形：矩形abcd、扇形ade、。所以，。 三、重疊法 就是把所求陰影部分的面積問題轉(zhuǎn)化為可求面積的規(guī)則圖形的重疊部分的方法。這類題陰影一般是由幾個圖形疊加而成。要準(zhǔn)確認(rèn)清其結(jié)構(gòu)，理順圖形間的大小關(guān)系。 例3. 如圖4，正方形的邊長為a，以各邊為直徑在正方形內(nèi)作半圓，求所圍成陰影部分圖形的面積。 解：因為4個半圓覆蓋了正方形，而且陰影部分重疊了兩次，所以陰影部分的面積等于4個半圓的面積和與正方形面積的差。故。 四、補形法 將不規(guī)則圖形補成特殊圖形，利用特殊圖形的面積求出原不規(guī)則圖形的面積。 例4. 如圖5，在四邊形abcd中，ab=2，cd=1，求四邊形abcd所在陰影部分的面積。 解：延長bc、ad，交于點e，因為，所以，又，易求得，所以。 五、拼接法 例5. 如圖6，在一塊長為a、寬為b的矩形草地上，有一條彎曲的柏油小路（小路任何地方的水平寬都是c個單位），求陰影部分草地的面積。 解：（1）將“小路”沿著左右兩個邊界“剪去”；（2）將左側(cè)的草地向右平移c個單位；（3）得到一個新的矩形（如圖7）。由于新矩形的縱向?qū)捜匀粸閎，水平方向的長變成了，所以草地的面積為。 六、特殊位置法 例6. 如圖8，已知兩個半圓中長為4的弦ab與直徑cd平行，且與小半圓相切，那么圖中陰影部分的面積等于_。 分析：在大半圓中，任意移動小半圓的位置，陰影部分面積都保持不變，所以可將小半圓移動至兩個半圓同圓心位置（如圖9）。 解：移動小半圓至兩半圓同圓心位置，如圖9。設(shè)切點為h，連結(jié)oh、ob，由垂徑定理，知。又ab切小半圓于點h，故，故 七、代數(shù)法 將圖形按形狀、大小分類，并設(shè)其面積為未知數(shù)，通過建立方程或方程組來解出陰影部分面積的方法。 例7. 如圖10，正方形的邊長為a，分別以兩個對角頂點為圓心、以a為半徑畫弧，求圖中陰影部分的面積。 解：設(shè)陰影部分的面積為x，剩下的兩塊形狀、大小相同的每塊面積為y，則圖中正方形的面積是，而是以半徑為a的圓面積的。故有，。解得。即陰影部分的面積是。 需要說明的是，在求陰影部分圖形的面積問題時，要具體問題具體分析，從而選取一種合理、簡捷的方法。 思考吧 如圖11，正方形的邊長為1，以cd為直徑在正方形內(nèi)畫半圓，再以點c為圓心、1為半徑畫弧bd，則圖中陰影部分的面積為_。求陰影部分的面積21.計算圖19-1中陰影部分面積是多少平方厘米？（圓的半徑r=10厘米，取3.14） 分析：要計算圖19-1中陰影部分的面積，關(guān)鍵在于處理圖中空白部分的面積。利用割補進行轉(zhuǎn)化，把空白部分轉(zhuǎn)移到圓的邊緣。如圖19-2所示，這樣陰影部分面積就可以轉(zhuǎn)化為圓面積加上兩個正方形的面積來計算。解 102+1022=25+200=78.5+200=278.52.圖19-3大小兩圓相交部分面積是大圓面積的，是小圓面積的，量得小圓的半徑是5厘米，問大圓的半徑是多少厘米？分析：因為已知陰影部分與大圓，小圓的面積比，所以可以先求出兩圓面積的比，繼而求出它們的半徑比。解 設(shè)陰影部分的面積為1.則小圓面積是，小圓面積是。于是：大圓面積：小圓面積=：=（）2 5=7.5厘米3.如圖19-4，正方形面積是8平方厘米。求陰影部分的面積是多少平方厘米？分析：這道題按常規(guī)思路是：要求陰影部分的面積，用正方形的面積減去一個四分之一圓的面積。因此，只要知道圓的半徑，問題就得到解決了。但是，從題中的已知條件知道，圓的半徑是不可能求出的，問題難以得解。這時，就必須改變解題思路，重新審題和分析圖形，從圖中不難看到，正方形的邊長等于圓的半徑，進而可以推出aa=rr=8平方厘米。所以，在求四分之一圓的面積時，就不必按常規(guī)的方法，去求解圓的半徑，而直接用8平方厘米代替rr的面積，四分之一圓的面積是3.148=6.28平方厘米，則陰影部分的面積就是8-3.148=1.72平方厘米。4.如圖19-7，求空白部分的面積是正方形面積的幾分之幾？分析：因為圓和正方形它們的對稱性，可以先畫出兩條輔助線幫助分析，即將正方形分成4個全等的小正方形。先看上面的兩個小正方形，從圓中可知，a=b，c=d。故有a+d=b+c。這樣，可以得到陰影部分的面積與空白部分的面積是正方形面積的二分之一。5.求圖19-8中陰影部分的面積。分析：陰影部分的面積是以邊長為20的正方形與半徑為20的圓面積差減去邊長為10的正方形與半徑為10的圓面積差的2倍。s陰影=2020-3.14202-1010-3.141022=（86-21.5）2=1296.如圖19-9，a，b是兩個圓的圓心，那么兩個陰影部分的面積差是多少？分析：兩個陰影部分面積都難以直接求得，要計算它們面積的差需要轉(zhuǎn)化。1- 乙=（甲+丙+?。?（乙+丙+丁），甲丙丁的面積之和是大圓面積的四分之一，3.1444；乙丙丁的面積，乙加丙是一個長方形，24，丁的面積可以直接求，3.1422。這樣兩個陰影部分的面積差可以求得。3.1444-（42+3.1422）=1.427.求圖19-10陰影部分的面積。 分析：這道題的陰影部分可以從半徑為6的圓面積中減去其中的空白部分的面積。3.1466-（64-3.1444）=28.26-11.44=16.828.如圖19-12，abcg和cdef都是正方形，dc等于12厘米，cb等于10厘米。求陰影的面積。分析： 要運用求積公式直接求出陰影部分的面積是行不通的，因為陰影部分的面積是不規(guī)則圖形。可以運用轉(zhuǎn)化的方法，先求出直角梯形abcf的面積和圓心角為fcd的扇形面積，所得的差就是陰影部分的面積。直角梯形的面積為：（10+12）102=110平方厘米。圓的面積：3.141224=3.141444=113.04 直角三角形的面積為：10（10+12）2=225=110 陰影部分的面積為110+113.04-110=113.04平方厘米。9.求圖19-15中的陰影部分的面積。（ob=4厘米）分析： 如圖19-16，首先可以用虛線連接ac、bc、oc，并標(biāo)出s1、s2、s3、s4，則陰影部分s1與空白部分s3面積相等。陰影部分s2與空白部分s4面積相等，所以陰影部分的面積等于圓面積減去1個直角三角形的面積。3.1442-44=3.144-8=4.56平方厘米10.如圖19-17，以小正方形4角的頂點為圓心，邊長的一半為半徑，作4個圓，在4個圓外作一正方形，每邊都與其中兩個圓各有一個接觸點，求陰影部分的面積s。單位厘米。分析：仔細(xì)分析觀察后，便可看出陰影部分的面積s等于大正方形面積s減去小正方形的面積和4個小圓面積的和。解：s=4040-（402）23.14（4022）24=1600-400+942=1600-1432=258平方厘米 求陰影部分面積3例1.求陰影部分的面積。(單位:厘米)解：這是最基本的方法： 圓面積減去等腰直角三角形的面積， -21=1.14（平方厘米）例2.正方形面積是7平方厘米，求陰影部分的面積。(單位:厘米)解：這也是一種最基本的方法用正方形的面積減去 圓的面積。設(shè)圓的半徑為 r，因為正方形的面積為7平方厘米，所以 =7，所以陰影部分的面積為：7-=7-7=1.505平方厘米例3.求圖中陰影部分的面積。(單位:厘米)解：最基本的方法之一。用四個 圓組成一個圓，用正方形的面積減去圓的面積，所以陰影部分的面積：22-0.86平方厘米。例4.求陰影部分的面積。(單位:厘米)解：同上，正方形面積減去圓面積，16-()=16-4 =3.44平方厘米例5.求陰影部分的面積。(單位:厘米)解：這是一個用最常用的方法解最常見的題，為方便起見，我們把陰影部分的每一個小部分稱為“葉形”，是用兩個圓減去一個正方形，()2-16=8-16=9.12平方厘米另外：此題還可以看成是1題中陰影部分的8倍。例6.如圖：已知小圓半徑為2厘米，大圓半徑是小圓的3倍，問：空白部分甲比乙的面積多多少厘米？解：兩個空白部分面積之差就是兩圓面積之差（全加上陰影部分）-()=100.48平方厘米 （注：這和兩個圓是否相交、交的情況如何無關(guān)）例7.求陰影部分的面積。(單位:厘米)解：正方形面積可用(對角線長對角線長2，求)正方形面積為：552=12.5所以陰影面積為：4-12.5=7.125平方厘米 (注:以上幾個題都可以直接用圖形的差來求,無需割、補、增、減變形) 例8.求陰影部分的面積。(單位:厘米)解：右面正方形上部陰影部分的面積，等于左面正方形下部空白部分面積，割補以后為圓，所以陰影部分面積為：()=3.14平方厘米例9.求陰影部分的面積。(單位:厘米) 解：把右面的正方形平移至左邊的正方形部分，則陰影部分合成一個長方形，所以陰影部分面積為：23=6平方厘米例10.求陰影部分的面積。(單位:厘米)解：同上，平移左右兩部分至中間部分，則合成一個長方形，所以陰影部分面積為21=2平方厘米(注: 8、9、10三題是簡單割、補或平移)例11.求陰影部分的面積。(單位:厘米)解：這種圖形稱為環(huán)形，可以用兩個同心圓的面積差或差的一部分來求。（ -）=3.14=3.66平方厘米例12.每個扇形半徑為3，求陰影部分的面積。(單位:厘米)解：三個部分拼成一個半圓面積()14.13平方厘米例13.求陰影部分的面積。(單位:厘米) 解: 連對角線后將葉形剪開移到右上面的空白部分,湊成正方形的一半.所以陰影部分面積為：882=32平方厘米例14.求陰影部分的面積。(單位:厘米)解：梯形面積減去圓面積，(4+10)4-=28-4=15.44平方厘米 . 例15.已知直角三角形面積是12平方厘米，求陰影部分的面積。分析: 此題比上面的題有一定難度,這是葉形的一個半.解: 設(shè)三角形的直角邊長為r，則=12，=6圓面積為：2=3。圓內(nèi)三角形的面積為122=6，陰影部分面積為：(3-6)=5.13平方厘米例16.求陰影部分的面積。(單位:厘米) 解： =(116-36)=40=125.6平方厘米例17.圖中圓的半徑為5厘米,求陰影部分的面積。(單位:厘米)解：上面的陰影部分以ab為軸翻轉(zhuǎn)后，整個陰影部分成為梯形減去直角三角形，或兩個小直角三角形aed、bcd面積和。所以陰影部分面積為：552+5102=37.5平方厘米例18.如圖，在邊長為6厘米的等邊三角形中挖去三個同樣的扇形,求陰影部分的周長。解：陰影部分的周長為三個扇形弧，拼在一起為一個半圓弧，所以圓弧周長為：23.1432=9.42厘米例19.正方形邊長為2厘米，求陰影部分的面積。解：右半部分上面部分逆時針，下面部分順時針旋轉(zhuǎn)到左半部分，組成一個矩形。所以面積為：12=2平方厘米 例20.如圖，正方形abcd的面積是36平方厘米，求陰影部分的面積。解：設(shè)小圓半徑為r，4=36, r=3，大圓半徑為r，=2=18,將陰影部分通過轉(zhuǎn)動移在一起構(gòu)成半個圓環(huán),所以面積為:(-)2=4.5=14.13平方厘米例21.圖中四個圓的半徑都是1厘米，求陰影部分的面積。解：把中間部分分成四等分，分別放在上面圓的四個角上，補成一個正方形，邊長為2厘米，所以面積為：22=4平方厘米例22. 如圖，正方形邊長為8厘米，求陰影部分的面積。解法一: 將左邊上面一塊移至右邊上面,補上空白,則左邊為一三角形,右邊一個半圓.陰影部分為一個三角形和一個半圓面積之和. ()2+44=8+16=41.12平方厘米解法二: 補上兩個空白為一個完整的圓. 所以陰影部分面積為一個圓減去一個葉形,葉形面積為:()2-44=8-16所以陰影部分的面積為:()-8+16=41.12平方厘米例23.圖中的4個圓的圓心是正方形的4個頂點，它們的公共點是該正方形的中心，如果每個圓的半徑都是1厘米，那么陰影部分的面積是多少？解：面積為個圓減去個葉形，葉形面積為：-11=-1所以陰影部分的面積為:4-8(-1)=8平方厘米例24.如圖，有8個半徑為1厘米的小圓，用他們的圓周的一部分連成一個花瓣圖形，圖中的黑點是這些圓的圓心。如果圓周率取3.1416，那么花瓣圖形的的面積是多少平方厘米？分析：連接角上四個小圓的圓心構(gòu)成一個正方形，各個小圓被切去個圓，這四個部分正好合成個整圓，而正方形中的空白部分合成兩個小圓解：陰影部分為大正方形面積與一個小圓面積之和為：44+=19.1416平方厘米例25.如圖，四個扇形的半徑相等，求陰影部分的面積。(單位:厘米)分析：四個空白部分可以拼成一個以為半徑的圓所以陰影部分的面積為梯形面積減去圓的面積，4(4+7)2-=22-4=9.44平方厘米 例26.如圖，等腰直角三角形abc和四分之一圓deb，ab=5厘米，be=2厘米，求圖中陰影部分的面積。解: 將三角形ceb以b為圓心，逆時針轉(zhuǎn)動90度，到三角形abd位置,陰影部分成為三角形acb面積減去個小圓面積,為: 552-4=12.25-3.14=9.36平方厘米例27.如圖，正方形abcd的對角線ac=2厘米，扇形acb是以ac為直徑的半圓，扇形dac是以d為圓心，ad為半徑的圓的一部分，求陰影部分的面積。解: 因為2=4，所以=2 以ac為直徑的圓面積減去三角形abc面積加上弓形ac面積， -224+4-2 =-1+(-1) =-2=1.14平方厘米例28.求陰影部分的面積。(單位:厘米)解法一：設(shè)ac中點為b,陰影面積為三角形abd面積加弓形bd的面積, 三角形abd的面積為:552=12.5弓形面積為:2-552=7.125所以陰影面積為:12.5+7.125=19.625平方厘米解法二：右上面空白部分為小正方形面積減去小圓面積，其值為：55-=25-陰影面積為三角形adc減去空白部分面積，為：1052-（25-）=19.625平方厘米例29.圖中直角三角形abc的直角三角形的直角邊ab=4厘米，bc=6厘米，扇形bcd所在圓是以b為圓心，半徑為bc的圓，cbd=，問：陰影部分甲比乙面積小多少？解: 甲、乙兩個部分同補上空白部分的三角形后合成一個扇形bcd，一個成為三角形abc，此兩部分差即為：465-12=3.7平方厘米例30.如圖，三角形abc是直角三角形，陰影部分甲比陰影部分乙面積大28平方厘米，ab=40厘米。求bc的長度。解：兩部分同補上空白部分后為直角三角形abc，一個為半圓，設(shè)bc長為x，則40x2-2=28 所以40x-400=56 則x=32.8厘米 例31.如圖是一個正方形和半圓所組成的圖形，其中p為半圓周的中點，q為正方形一邊上的中點，求陰影部分的面積。解：連pd、pc轉(zhuǎn)換為兩個三角形和兩個弓形，兩三角形面積為：apd面積+qpc面積=（510+55）=37.5兩弓形pc、pd面積為：-55所以陰影部分的面積為：37.5+-25=51.75平方厘米 例32.如圖，大正方形的邊長為6厘米，小正方形的邊長為4厘米。求陰影部分的面積。解：三角形dce的面積為:410=20平方厘米梯形abcd的面積為:(4+6)4=20平方厘米 從而知道它們面積相等,則三角形adf面積等于三角形ebf面積，陰影部分可補成圓abe的面積，其面積為：4=9=28.26平方厘米例33.求陰影部分的面積。(單位:厘米)解:用大圓的面積減去長方形面積再加上一個以2為半徑的圓abe面積