河南省范縣白衣閣鄉(xiāng)二中八年級數學下冊 數學活動（三）導學案 新人教版.doc

數學活動（三） 【導學目標】1.展示與研究勾股定理的證明方法.2.設計一個測量風箏高度的方案.【導學重點】進行兩個活動.【導學難點】活動1.【學法指導】合作探究.【課前準備】搜集勾股定理的證明方法.【導學流程】一、呈現目標、明確任務研究一些勾股定理的證明方法和勾股定理的應用.二、教師引導活動一、證明勾股定理的方法很多.大家把自己搜集來的方法展示給小組成員，并進行研究與交流.（見附.）活動二、小紅和小軍周日去郊外放風箏，風箏飛得又高又遠，他倆很想知道風箏離地面到底有多高，你能幫幫他們嗎？四、點撥升華、當堂達標活動二，可以構造直角三角形，風箏的豎直高度、放風箏的點到風箏正下方之間的距離為直角邊，風箏線為斜邊.附：勾股定理的證明【證法1】（課本的證明）做8個全等的直角三角形，設它們的兩條直角邊長分別為、，斜邊長為，再做三個邊長分別為、的正方形，把它們像上圖那樣拼成兩個正方形.從圖上可以看到，這兩個正方形的邊長都是+，所以面積相等. 即，整理得.【證法2】（鄒元治證明）以、為直角邊，以為斜邊做四個全等的直角三角形，則每個直角三角形的面積等于. 把這四個直角三角形拼成如圖所示形狀，使a、e、b三點在一條直線上，b、f、c三點在一條直線上，c、g、d三點在一條直線上. rthae rtebf, ahe = bef. aeh + ahe = 90, aeh + bef = 90. hef = 18090= 90. 四邊形efgh是一個邊長為的正方形. 它的面積等于2. rtgdh rthae, hgd = eha. hgd + ghd = 90, eha + ghd = 90.又 ghe = 90, dha = 90+ 90= 180. abcd是一個邊長為+的正方形，它的面積等于. . .【證法3】（趙爽證明）以、為直角邊（）， 以為斜邊作四個全等的直角三角形，則每個直角三角形的面積等于. 把這四個直角三角形拼成如圖所示形狀. rtdah rtabe, hda = eab. had + had = 90， eab + had = 90， abcd是一個邊長為c的正方形，它的面積等于c2. ef = fg =gh =he = ba ,hef = 90. efgh是一個邊長為ba的正方形，它的面積等于. . .【證法4】（1876年美國總統garfield證明）以a、b 為直角邊，以為斜邊作兩個全等的直角三角形，則每個直角三角形的面積等于. 把這兩個直角三角形拼成如圖所示形狀，使a、e、b三點在一條直線上. rtead rtcbe, ade = bec. aed + ade = 90, aed + bec = 90. dec = 18090= 90. dec是一個等腰直角三角形，它的面積等于.又 dae = 90, ebc = 90, adbc. abcd是一個直角梯形，它的面積等于. . .【證法5】（梅文鼎證明）做四個全等的直角三角形，設它們的兩條直角邊長分別為a、b ，斜邊長為c. 把它們拼成如圖那樣的一個多邊形，使d、e、f在一條直線上. 過c作ac的延長線交df于點p. d、e、f在一條直線上, 且rtgef rtebd, egf = bed， egf + gef = 90， bed + gef = 90， beg =18090= 90.又 ab = be = eg = ga = c， abeg是一個邊長為c的正方形. abc + cbe = 90. rtabc rtebd, abc = ebd. ebd + cbe = 90. 即 cbd= 90.又 bde = 90，bcp = 90，bc = bd = a. bdpc是一個邊長為a的正方形.【證法6】（項明達證明）做兩個全等的直角三角形，設它們的兩條直角邊長分別為a、b（ba） ，斜邊長為c. 再做一個邊長為c的正方形. 把它們拼成如圖所示的多邊形，使e、a、c三點在一條直線上.過點q作qpbc，交ac于點p. 過點b作bmpq，垂足為m；再過點f作fnpq，垂足為n. bca = 90，qpbc， mpc = 90， bmpq， bmp = 90， bcpm是一個矩形，即mbc = 90. qbm + mba = qba = 90，abc + mba = mbc = 90， qbm = abc，又 bmp = 90，bca = 90，bq = ba = c， rtbmq rtbca.同理可證rtqnf rtaef.從而將問題轉化為【證法4】（梅文鼎證明）.【證法7】（歐幾里得證明）做三個邊長分別為a、b、c的正方形，把它們拼成如圖所示形狀，使h、c、b三點在一條直線上，連結bf、cd. 過c作clde，交ab于點m，交de于點l. af = ac，ab = ad，fab = gad， fab gad， fab的面積等于，gad的面積等于矩形adlm的面積的一半， 矩形adlm的面積 =.同理可證，矩形mleb的面積 =. 正方形adeb的面積 = 矩形adlm的面積 + 矩形mleb的面積 ，即 .【證法8】（利用相似三角形性質證明）如圖，在rtabc中，設直角邊ac、bc的長度分別為a、b，斜邊ab的長為c，過點c作cdab，垂足是d. 在adc和acb中， adc = acb = 90，cad = bac， adc acb.adac = ac ab，即 .同理可證，cdb acb，從而有 . ，即 .【證法9】（楊作玫證明）做兩個全等的直角三角形，設它們的兩條直角邊長分別為a、b（ba），斜邊長為c. 再做一個邊長為c的正方形. 把它們拼成如圖所示的多邊形. 過a作afac，af交gt于f，af交dt于r. 過b作bpaf，垂足為p. 過d作de與cb的延長線垂直，垂足為e，de交af于h. bad = 90，pac = 90， dah = bac.又 dha = 90，bca = 90，ad = ab = c， rtdha rtbca. dh = bc = a，ah = ac = b.由作法可知， pbca 是一個矩形，所以 rtapb rtbca. 即pb = ca = b，ap= a，從而ph = ba. rtdgt rtbca ,rtdha rtbca. rtdgt rtdha . dh = dg = a，gdt = hda . 又 dgt = 90，dhf = 90，gdh = gdt + tdh = hda+ tdh = 90， dgfh是一個邊長為a的正方形. gf = fh = a . tfaf，tf = gtgf = ba . tfpb是一個直角梯形，上底tf=ba，下底bp= b，高fp=a +（ba）.【證法10】（李銳證明）設直角三角形兩直角邊的長分別為a、b（ba），斜邊的長為c. 做三個邊長分別為a、b、c的正方形，把它們拼成如圖所示形狀，使a、e、g三點在一條直線上. 用數字表示面積的編號（如圖）. tbe = abh = 90， tbh = abe.又 bth = bea = 90，bt = be = b， rthbt rtabe. ht = ae = a. gh = gtht = ba.又 ghf + bht = 90，dbc + bht = tbh + bht = 90， ghf = dbc. db = ebed = ba，hgf = bdc = 90， rthgf rtbdc. 即 .過q作qmag，垂足是m. 由baq = bea = 90，可知 abe= qam，而ab = aq = c，所以rtabe rtqam . 又rthbt rtabe. 所以rthbt rtqam . 即 . 由rtabe rtqam，又得qm = ae = a，aqm = bae. aqm + fqm = 90，bae + car = 90，aqm = bae， fqm = car.又 qmf = arc = 90，qm = ar = a， rtqmf rtarc. 即. ，又 ， =，即 .【證法11】（利用切割線定理證明）在rtabc中，設直角邊bc = a，ac = b，斜邊ab = c. 如圖，以b為圓心a為半徑作圓，交ab及ab的延長線分別于d、e，則bd = be = bc = a. 因為bca = 90，點c在b上，所以ac是b 的切線. 由切割線定理，得= ，即， .【證法12】（利用多列米定理證明）在rtabc中，設直角邊bc = a，ac = b，斜邊ab = c（如圖）. 過點a作adcb，過點b作bdca，則acbd為矩形，矩形acbd內接于一個圓. 根據多列米定理，圓內接四邊形對角線的乘積等于兩對邊乘積之和，有， ab = dc = c，ad = bc = a，ac = bd = b， ，即 ， .【證法13】（作直角三角形的內切圓證明）在rtabc中，設直角邊bc = a，ac = b，斜邊ab = c. 作rtabc的內切圓o，切點分別為d、e、f（如圖），設o的半徑為r. ae = af，bf = bd，cd = ce， = = r + r = 2r,即 ， . ， ， ， ， .【證法14】（利用反證法證明）如圖，在rtabc中，設直角邊ac、bc的長度分別為a、b，斜邊ab的長為c，過點c作cdab，垂足是d. 假設，即假設 ，則由=可知 ，或者 . 即 ad：acac：ab，或者 bd：bcbc：ab.在adc和acb中， a = a， 若 ad：acac：ab，則adcacb.在cdb和acb中， b = b， 若bd：bcbc：ab，則cdbacb.又 acb = 90， adc90，cdb90.這與作法cdab矛盾. 所以，的假設不能成立. .【證法15】（辛卜松證明）設直角三角形兩直角邊的長分別為a、b，斜邊的長為c. 作邊長是a+b的正方形abcd. 把正方形abcd劃分成上方左圖所示的幾個部分，則正方形abcd的面積為 ；把正方形abcd劃分成上方右圖所示的幾個部分，則正方形abcd的面積為 =. , .【證法16】（陳杰證明）設直角三角形兩直角邊的長分別為a、b（ba），斜邊的長為c. 做兩個邊長分別為a、b的正方形（ba），把它們拼成如圖所示形狀，使e、h、m三點在一條直線上. 用數字表示面積的編號（如圖）.在eh = b上截取ed = a，連結da、dc，則 ad = c. em = eh + hm = b + a , ed = a， dm = emed = a = b.又 cmd = 90，cm = a，aed = 90， ae = b， rtaed rtdmc. ead = mdc，dc