（應(yīng)用數(shù)學(xué)專業(yè)論文）逆非中心wishart分布.pdf

摘要 本文首先介紹了w i s h a r t 分布定義的背景 然后根據(jù)中 b w i s h a r t 分布和逆 w i s h a r t 分布的關(guān)系及非中 b w i s h a r t 分布的定義這兩部分內(nèi)容給出了逆非中心 w i s h a r t 分布的定義 接著討論了該分布的某些專題 主要分兩部分 第一部分首先繼續(xù)討論了非中 b w i s h a r t 分布的一些線性變換的性質(zhì) 然后 提出了逆非中 b w i s h a r t 分布在一定的線性變換下具有封閉性 主對(duì)角線上的分 塊陣在一定條件下服從逆w i s h a r t 分布 某些分塊陣服從逆非中 b w i s h a r t 分布 并討論了分塊陣的獨(dú)立性 最后研究了該分布的二次型和一階矩 第二部分討論中心和非中 b w i s h a r t 矩陣在不同條件下的相對(duì)特征值的分 布 關(guān)鍵詞 非中一o w is h a r t 分布逆非中一o w is h a r t 分布 超幾何函數(shù) a b s t r a c t i nt h i sp a p e r w ef i r s ti n t r o d u c et h eb a c k g r o u n do ft h ed e f i n i t i o no ft h ew i s h a r t d i s t r i b u t i o n n e x t w ep r o v i d et h ed e f i n i t i o no ft h ei n v e r s en o n c e n t r a lw i s h a r t d i s t r i b u t i o nb a s e do nt h er e l a t i o n s h i po ft h ec e n t r a lw i s h a r td i s t r i b u t i o na n dt h e i n v e r s ew i s h a r td i s t r i b u t i o na n dt h ed e f i n i t i o no ft h en o n c e n t r a lw i s h a r td i s t r i b u t i o n t h e nw es t u d ys o m es p e c i a lp r o b l e m so ft h ei n v e r s en o n c e n t r a lw i s h a r td i s t r i b u t i o n t h e p a p e r i so r g a n i z e di n t ot w op a r t s i np a r to n ew ef i r s td i s c u s ss o m ep r o p e r t i e so fl i n e a rt r a n s f o r n l a t i o nf o rt h e n o n t e n 仃a lw i s h a r td i s t r i b u t i o n t h e nw es h o wt h a tt h ei n v e r s en o n c e n t r a lw i s h a r t d i s t r i b u t i o ni si n v a r i a n tu n d e rc e r t a i nl i n e a rt r a n s f o r m a t i o n a n dt h eb l o c km a t r i c e so n t h em a i nd i a g o n a lh a st h ei n v e r s ew i s h a r td i s t r i b u t i o na n dt h eo t h e rb l o c km a t r i c e s h a st h ei n v e r s en o n c e r l 仃a lw i s h a f td i s t r i b u t i o nu n d e rs o m em i l dc o n d i t i o n s w ea l s o c o n s i d e rt h ei n d e p e n d e n c eo ft h eb l o c km a t r i c e s f i n a l l y w es t u d yt h eq u a d r a t i cf o r m a n dt h ef i r s tm o m e n to ft h ei n v e r s en o n c e n t r a lw i s h a r td i s t r i b u t i o n h lp 鋤t w ow ei n v e s t i g a t et h ed i s t r i b u t i o n so ft h eo p p o s i t ec h a r a c t e r i s t i cv a l u e so f t h ec e n t r a la n dn o n c e n t r a lw i s h a r tm a t r i xu n d e rd i f f e r e n tc i r c u m s t a n c e s k e y w o r d s n o n c e n t r a lw i s h a r td i s t r i b u t i o n i n v e r s en o n c e n t r a lw i s h a r t d i s t r i b u t i o n i i 東南大學(xué)學(xué)位論文獨(dú)創(chuàng)性聲明 本人聲明所呈交的學(xué)位論文是我個(gè)人在導(dǎo)師指導(dǎo)下進(jìn)行的研究工作及取得的研究成果 盡我所知 除了文中特別加以標(biāo)注和致謝的地方外 論文中不包含其他人已經(jīng)發(fā)表或撰寫過 的研究成果 也不包含為獲得東南火學(xué)或其它教育機(jī)構(gòu)的學(xué)位或證書而使用過的材料 與我 一同工作的同志對(duì)本研究所做的任何貢獻(xiàn)均已在論文中作了明確的說明并表示了謝意 研究生簽名 塵壺 j 址日期 堂乎 掣 東南大學(xué)學(xué)位論文使用授權(quán)聲明 東南大學(xué) 中國科學(xué)技術(shù)信息研究所 國家圖書館有權(quán)保留本人所送交學(xué)位論文的復(fù)印 件和電子文檔 可以采用影印 縮印或其他復(fù)制手段保存論文 本人電子文檔的內(nèi)容和紙質(zhì) 論文的內(nèi)容相一致 除在保密期內(nèi)的保密論文外 允許論文被查閱和借閱 可以公布 包括 以電子信息形式刊登 論文的全部內(nèi)容或中 英文摘要等部分內(nèi)容 論文的公布 包括以電 子信息形式刊登 授權(quán)東南大學(xué)研究生院辦理 研究生簽名 趁熔導(dǎo)師簽名 日期 童盟z 1 2 礦 h 蜀 氛 第一章引言 多元正態(tài)分布族 對(duì)于多元統(tǒng)計(jì)分析而言 無論在理論還是應(yīng)用 一直為 統(tǒng)計(jì)學(xué)研究的中心 歷時(shí)數(shù)百年 幾經(jīng)眾多學(xué)者的不斷努力 至今已得到多方 面的重要進(jìn)展 它是多元統(tǒng)計(jì)分析理論中最為成熟的重要分支 而w i s h a r t 分 布是w i s h a r t 在研究一類與多元正態(tài)分布族關(guān)系密切的統(tǒng)計(jì)量時(shí)發(fā)現(xiàn)的重要分 布 在計(jì)量經(jīng)濟(jì) 工業(yè) 生物等領(lǐng)域都有廣泛的應(yīng)用 w i s h a r t 分布密度的推導(dǎo) 是多元分析發(fā)展史上的一個(gè)重要突破點(diǎn) f i s h e r 1 9 1 5 首先求出了二維w i s h a r t 分布的密度函數(shù) w i s h a r t 于1 9 2 8 年定義了實(shí)對(duì)稱非負(fù)定矩陣上一種分布 得到 了多維w i s h a r t 分布的密度函數(shù) 現(xiàn)稱為w i s h a r t 分布 隨后出現(xiàn)了各種各樣的推 導(dǎo)方法 首先在矩陣正態(tài)分布的基礎(chǔ)上定義w i s h a r t 分布 當(dāng)乙 n m lo 0 則稱a z z 服從自由度為 l 協(xié)方差陣為 非中心參數(shù)為q 1 m m 的 非中心w i s h a r t 分布 記作彳 既 忍 q 當(dāng)m 0 時(shí) 稱a 服從中心w i s h a r t 分布 記作彳 既 z 然后定義非中心w i s h a r t 分布的逆矩陣服從逆非中心w i s h a r t 分布 即 彳 既 甩 q 則4 既o m 1 一 q 在此基礎(chǔ)上討論是否和逆 w i s h a r t 分布有類似的性質(zhì)如 矩 線性變換是否有封閉性 分塊陣的分布及獨(dú) 立性 二次型等等 最后討論和w is h a r t 分布有關(guān)的特征值的分布 本文的主要突破在于建立逆非中 b w i s h a r t 分布的定義 并在此基礎(chǔ)上進(jìn)行 研究 在本文的基礎(chǔ)上也可以進(jìn)行更深入的研究 比如逆非中一b w i s h a r t 分布的 特征函數(shù) 矩量 b a r t l e t t 分解等等 這些都有待研究 當(dāng)然也更加困難 對(duì)于前人的部分結(jié)果在本文中均能得到 當(dāng)然 本文也存在不足地方 以后將 繼續(xù)改進(jìn) 東南大學(xué)碩上學(xué)位論文 第二章逆非中心w is h a r t 分布 2 1 用密度函數(shù)定義逆非中心w i s h a r t 分布 w i s h a r t 分布在多兀分析中有很重要的地位 本文根據(jù)中心w i s h a r t 分布推導(dǎo) 逆w i s h a r t 分布的思想 在非中心w i s h a r t 分布的基礎(chǔ)上推導(dǎo)逆非中心w i s h a r t 分布 并研究相關(guān)性質(zhì) 定義2 1 1 1 1 若么 z z 其中矩陣z m m 圓 則稱彳服從自由度 為n 協(xié)方差為 0 非中心參數(shù)為q 1 m m 的非中心w i s h a r t 分布 記為 彳 既 以 q 引理2 1 1 1 1 設(shè)a 既 z q n m 則a 的密度為 纛州一 炒吒1 吼砸n 以 2 1 1 定義2 1 2 t 1 i 矩陣變量超幾何函數(shù)定義為 肭 煒 姜 蒜等等 曉比 其中 表示關(guān)于尼的所有劃分f 向 露 求和 這里毛 k 2 k 0 k k a t x 是m m 對(duì)稱矩陣x 的相對(duì)于劃分f 的帶狀多項(xiàng)式 而廣義超 幾何系數(shù) 為 口 兀 口一去 f 1 t f l 其中 口 t 口 口 1 口 包一1 口 o 1 引理2 1 2 1 1v 2 x 是 n x m 實(shí)矩陣 m 以 h 日l h 2 d 1 這里日l 是n x m 矩陣 則 e t r x 島i 媚 丘 三咒 i 1x x 其中 d h 表示o n 上的標(biāo)準(zhǔn)不變測度 定義2 1 3 設(shè)m x m 隨機(jī)矩陣b 0 如果它具有密度 2 第二章逆非中心w i s h a r t 分布 一酬甲1 1 州中1 m 一n m 1 妒加 0 其中 l 2 m v 0 稱b 服從自由度為 z 參數(shù)矩陣為v 非中心參數(shù)為 q 聊m 的逆非中心w i s h a r t 分布 記作b 既 z v 2 當(dāng)m 0 時(shí) 曰一 既 以 礦 稱b 為服從自由度為n 參數(shù)矩陣為v 的逆 w i s h a r t 分布 2 2 非中心w i s h a r t 分布和逆非中心w i s h a r t 分布的關(guān)系 引理2 2 1 2 設(shè)彳y gm m 的矩陣 l a i 0 對(duì)彳作分割 肚l 如a l lh i2a l 么2 l2 2 j 若i 彳 l 0 則 r 鼉舞2 矧卅鼉砭1 其中a 圳 如 a 2 l 氟1 4 2 若1 4 l 0 則 l 蘢i 毹 其中a i 地 4 l a 1 2 么丟么2 l 一彳 4 彳丟1 彳丟 趔彳2 l 么i 2 a 1 2j 弓f 理2 2 2 2 若y 1 廠 五 x y f 廠 y l 少卜l t x i 2 櫛一1 y 廠 y l 一 y 川 x 其中x i y f 是g f 維向量 i 1 n 則 彤 一以川礦外冉胤 3 東南人學(xué)碩上學(xué)位論文 表示的絕對(duì)值 定理2 2 1 設(shè)x y 一 匕 對(duì)稱 則 x i d e t y l 一 1 證明 對(duì)矩陣的階數(shù)用數(shù)學(xué)歸納法 當(dāng)m 1 時(shí)x y y x 專y y 之 y 一 1 1 設(shè) l k 1 時(shí) j x 一 吲 叫卜1 當(dāng)m k 時(shí) 對(duì)x y 一分塊 則 x x t x l x 2 1 一 二y 贏療 x 1 i 都是七 1 階方陣 k 己 x l 是k 1 階方陣 由假設(shè) 墨 專z 己 i e 2 i 彳 一i 記k j 1 一五 k j 1 2 2 1 2 2 2 j x 哼x 弦x l l y r d l 1 以 y 1 y i l z f 2 1 2 x 2 y 1 y 1 y 1 x 1 2 由 2 2 2 式 i 2 y x i x l 2 又因?yàn)樨?對(duì)稱 所以k r 2 且x 也對(duì)稱 故有 少 1 k y 1 r 1 2 7 一工i l x l 2 2 3 一k 列 一矗 x 一x 2 x 0 4 識(shí)一 辨一奶 挑 援囂 第二章逆非中心w i s h a r t 分布 以 棘1 x 厶x 1 j x k 專j i i y i 2 符合引理2 2 2 的條件 所以 2 2 4 j x l j x i l k 記 置2 專 2 j x k 專y i i j i f y i 一1 i l j i 1i j i 2 l k i 1 i y i 1 l r l 1 歸納法證明完成 下面定理2 2 2 和定理2 2 3 給出非中心w i s h a r t 分布和逆非中心w i s h a r t 分布的關(guān)系 定理2 2 2 若彳 既 咒 q 以 m 則彳一 j 既 刀 m l z l q 證明 令曰 a a z z a7 z z z z a a 為對(duì)稱矩陣 b a 1 a a b b 為對(duì)稱矩陣 由定理2 1 1j a b i b i 一 肼 1 所以當(dāng)b 0 時(shí)b a 1 的密度為 e 護(hù) 一z 1 b i p 護(hù) 一i n 互 蘭 4 q x i 曰一1 l b i 一 m 1 黑e驢 一三x lb i etr mn n m i 圭q 互 三 丟q 卅b 2 了l t 2 2 川1 2 4 從而有彳 既0 聊 1 z 1 q 推論2 2 1 若彳 侈乙 l 則彳 陟二 行 川 1 一1 i i e 明 因?yàn)閍 既 刀 所以朋 t 卅一i 1 一 刪宇 2 刪2 l 去刀 陣4 z 5 一h k r 三爭 些i 口 一廠 東南大學(xué)碩十學(xué)位論文 令口 a 一 其雅可比為 似一b 俐一伽 f b 黑e 驢 一圭1 口一 b i 1 孝 i 5 云f e 驢 一三 1 口一 b i u h 所以么一 以 m l 一1 注 此結(jié)論即為 1 p 1 2 0 定理3 7 1 1 定理2 2 3 若b 阿乙 以 v q 則曰 阿 卅 咒一m 一1 v i q 證明 令彳 b 一 nj bj a i a 一 1 歹 彳 2 亟虧一p護(hù) 一j1瑚弦驢 一j1 q 們 字 m 1 三n v a i a 嘲 1 2 再巖舞咖卜 v a e t r 尹12 竿l 掣 川宇 八 2 一 峭 字 f l v 1 1 柳 所以b w m n m 1 v i q 推論2 2 2 若曰 j 既 l 礦 nb 一既 n 一聊一l 礦 證明 因?yàn)閎 既 z v p t r 1 b 1 y 吲丁 i 刪八功2 蘆一令彳 曰 則 b 哼彳 i a 一 臃 1 第二章逆非中心w i s h a r t 分布 夕c彳 2 亟乏三一e護(hù) 一互1蹦 f糾1m 1 2 t l 竺巖 j z p f i 以b 一 阡乙 刀一m 一1 v 酬一妒 l 剛佃掣 2 3 非中心w i s h a r t 矩陣分塊陣的分布 定理2 3 1 設(shè)甩 m 矩陣z m m i no 這里刀 m 于是 4 z z 既 刀 q 其中q 一1 肘m 將腓分割 4 f a 2 14 a t 2 j 類似地 可分割成 f z 邑2 1 1 至 其中4 1 1 m l xm i 彳 m 2xm 2 m m i m 2 再對(duì)m 作分割m m lm 2 其中m l l m 1 m 2 l m 2 當(dāng) 1 2 0 m l 0 時(shí) 4 1 2 既 0 一m 2 1 1 a 1 2 i a 2 2 帆m o l l a 2 2 彳2 2 既 l 2 2 q 其中q 2 2 1 朋2 t m 2 證明 因?yàn)閦 m i o 則a 既 z q 從而a 的密度函數(shù)為 刑 2 蒜州一x a e t r 尹i 夯n 舾 n m i 彳2 2 i 丁 獅 p 驢 一1 2y 1 彳 e 護(hù) 一1 2x 一1 m m 互 互n 1 4z 一1 m m x 一1 彳 當(dāng)z 1 2 0 m l 0 時(shí) 上式可化簡為 7 一 字一l 東南大學(xué)碩士學(xué)位論文 f a h 一 對(duì)一l矗一朋一l a 1 1 2 i 丁心i 丁 2 m 了nl 弘摔 l j n e 加 一芝1 矗a l t e 驢 一i 1 2 a 2 2 p 驢 一j 1 1 朋 r m 互 三 i 1 1 朋 r 鋤 i 彳 n m in m i i a t l 2 f t k r 2 了r a n l 獅 陬 卜n p 驢 一互1 t a l l 2 p 護(hù) 一j 1 矗a 1 2 a 2 2 i a 2 1 e 護(hù) 一l x 2 1 2 a 2 2 p 驢 一i 1 2 2 m 2 m 互 j n 百1 2 2 i 朋2 r m 2 2 i 鋤 h m 2 一m i 一1 a 1 1 2i r 一 m 1 n m 2 2 2 l i m 2 2 m l m 2m 2 萬 2j z l l 2 i a i n m 2 i a 2 2 i 2 了nm22 l i 悸 2 l i l z l l l n 丁 m 2 p 紗 一l a 1 2 墮2 e t r 一2 z i a a a 2 1 鉚 丟如 州 丟m m 以上證明用到事實(shí) r m 三班 1 4 兀r l n i l 耐 1 4 垂r 扣m 耐加2 l 尊r 三 r 塒 n 一研2 2 一f 1 l j e 三 百1 鋤 1 朋 t m 丟彳 川 卜佗 1 業(yè)1 k i 珂 萬2 2 3 1 由 2 3 1 式表示的密度因子分解形式可知 其中第一行是a 1 1 2 的密度函數(shù) 第二行是給 定4 2 下4 2 的條件密度函數(shù) 最后一行是彳2 2 的密度函數(shù) 8 第二章逆非中 t l w i s h a r t 分布 從而根據(jù) 2 3 1 分別有 其中q 2 2 1 坦2 t m 2 4 1 2 仰一所2 1 1 4 2 1 4 2 一n m 砸 o 圓彳2 2 彳2 2 既 以 2 2 q 推論2 3 1v 2 n 聊矩陣z m m lo 這里以 m m 0 0 u 1 于 是a z z 既 珂 q 其中q d f a g o o u l u l 將a 分塊為 匕a l a 1 2 其中口2 2 是1 1 的 記彳1 1 2 4 l 一口1 2 口2 2 1 口2 l 因此 h 口 1 4 i 則有 1 a t l 2 既一l o 一1 l 1 2 給定a 2 2 時(shí) a 1 2 的條件分布為 塒一l 0 a 2 2 i m 1 3 a 2 2 z 萬 萬 u l u l 證明 因?yàn)閦 虬 m i o 則a 既 刀 l q 從而么 0 時(shí)么的密度函 刑 岳酬一1a e t r 三1 圳嘴n 石1 m 呦 2 2r m 曇 z n 一 h 一1 一m l 2 i t 口2 t 2 2 l 爭 e t r 一互1 屹 州 m m 呦 9 亂 m 1 2 1 4 卜 擰一2 擴(kuò) p f o 東南大學(xué)碩 l 學(xué)位論文 4 1 2 1 一肘一1 n j 一l 2 a 2 2 2 2 2l 三 e 護(hù) 一互1a l l g 護(hù) 一互1 口 2 口2 2 口 e 護(hù) 一三1 口2 2 p 驢 一1 m 2 i 互 蘭 丟m 呦 4 他i 2 竹塤2 n 字 r 三二 l m 1 一1 2 萬 2 a 2 2 下 計(jì) 一芝1a n e x p 一a 1 2 a 2 2 1 a 2 1 p 一 l m 互 三 z 丟 口 以上證明用到事實(shí) l 三 z 1 4 7 1 i i 4 兀 i l 兀 i 1 一 1 4 2 21 h l e a 2 2 2 i 三c 以一z r 三c z z 2 3 2 u r n 丁n 1 r l 字 由 2 3 2 式表示的密度因子分解形式可知 其中第一行是a 1 1 2 的密度函數(shù) 即 4 1 2 既一l 伽一1 l 1 的密度函數(shù) 第二行是給定a 2 2 下a 1 2 的條件密度函數(shù) 最后一行 是口2 2 的密度函數(shù)即a 2 2 z 萬 從而根據(jù) 2 3 2 式有 4 1 2既一l 刀一1 i 一1 a 1 2l a 2 2 m l o 口2 2 一1 a 2 2 z 萬 萬 u u l 1 0 第二章逆非中心w i s h a r t 分布 定理2 3 2 條件同定理2 3 1 當(dāng) 1 2 0 m 2 0 時(shí) 有如下結(jié)論 么2 2 1 既 萬一m l 2 2 a 2n l a 帆 m o p4 4 l 既 玎 1 1 q 其中q 矗m i m l 證明 方法類似定理2 3 1 當(dāng) 1 2 0 m 2 0 時(shí) f a 可化簡為 廠c彳 2 夏一p驢c一三 丟4互p 2 萬 一警 2 2 i m i l 警e 護(hù) 一丟 施a i l l a i 2 萬 2 i i i 1 4 l 彳e 護(hù) 一寺 丟彳 器 e驢c一主x矗al etr 丟 矗m mj 互c三 丟 矗m 冶t l彳 l 三 l 丁n m 2 r m 云1 z 萬丁m i r a 2 由 2 3 3 式表示的密度因子分解形式可知 其中第一行是a 2 2 1 的密度函數(shù) 第二行是給 定彳l l 下彳2 l 的條件密度函數(shù) 最后一行是4 1 的密度函數(shù) 從而根據(jù) 2 3 3 分別有 其中q 矗m m 4 2 1 一m l 2 2 a 2 1 i a l l n m 獅 o 2 2 a 1 1 彳l l 一既 z l l q 推論2 3 2 設(shè) z m 矩陣z 眠 m i i 所 這里 l m m u 1 0 9 o0 0 于是 東南火學(xué)碩 l 學(xué)位論文 a z z 既 l q 其中q 講昭 l o o 將a 分塊為 彳 卜 口2 l彳2 2 j 其中a l l 是l 1 的 記彳2 2 1 a 2 2 一口2 l 口 1 a 1 2 則有 1 a 2 2 1 一既一1 0 一l i 一1 1 n n 2 給定口l l 時(shí) a 2 l 的條件分布為帆一l o a l l i m 1 3 a l i z 萬 6 甜 l 證明 因?yàn)閦 虬 m i 0 i 則么 既 z l q 從而a 的密度函數(shù)為 f a 竺 22 e 驢 一互1 么 p 驢 一m t v l e 三n 百1m 物 n 一 一1 n m l l 彳2 2 1 l t 口1 1 亨 2 i f 2 p 擴(kuò) 一三1 口 p 驢 一互1a p 加 一1 m 2 i i 互 n i m p n m i n m i l a 2 2 1 i2 a l l t 2 警l 爭 p 護(hù) 一i 1 口l e 護(hù) 一五1 彳 2 e 護(hù) 一l a 2 1 a l l l a l 2 p 印 一m t 矧三 三m 呦 2 精p 驢c 一三1 彳挖 p 1 b e x p 一曇口1 2 1 瓣酬 q 1 啦 1 2 蘭噬 第二章逆非中心w i s h a r t 分布 e 一 均 m e 三 z 三 口 以上證明用到事實(shí) 1 一 唧l p l 爭r m l 孚 r l 字 一1 a l l 2 2 3 4 由 2 3 4 式表示的密度岡子分解形式可知 其中第一行是a 2 2 1 的密度函數(shù) 第二行 是給定a l l 下a 2 l 的條件密度函數(shù) 最后一行是口l i 的密度函數(shù) 從而根據(jù) 2 3 4 式有 彳2 2 1 既一l 以一l i 一1 a 2 1 i a l l 虬一l o 口1 i 一1 a 1 1 z 萬 萬 u u 1 2 4 非中心w i s h a r t 矩陣主對(duì)角線上方陣的分布及獨(dú)立性 定理2 4 1 設(shè)z m m i o 對(duì)z 和m 作相同的分割 z z iz 2 誓 c m m z t n xk m 刀 尼 再對(duì) 作分割 z 1 1 2 1 至 1 l k k 則z l 與z 2 獨(dú)立的充要條件是 1 2 0 證明 充分性 因?yàn)閦 虬 m i 因?yàn)楫?dāng) o i l i 1 i i z l 0o 1 0 丟 州 z m z 1 z 一馴 l1 z 2 萬 n k 2 2 萬 1 坨l l l l j i 2 2 l 一 三 糟 l 一2 2肼 p 萬2 i z i 以所 東南大學(xué)碩十學(xué)位論文 p 護(hù) 一三 z z 一似 肘 蠆曼 z z 一 m 2 萬 n k 2 2 萬 1 圳2i 1 1p 2 2p 酬之 z 2 萬 一破心 2 萬 1 以 他i i j 4i 2 2 一j p 驢 一言 z 一m 矗 z 一m z 一m 丟 z 一m 2 萬 一稚 2 i i j 1 p 護(hù) 一l z i m i z 一m 7 2 萬 n m k 2 羅 p e 打 一互1 z 一m 丟 z 一m f z 廠 z 2 所以當(dāng) 1 2 0 時(shí) z l 與z 2 獨(dú)立 必要性 叫 蚴沖l z 2 z l z l m l 坳i i o q 凹 虬 m 厶圓 1 1 z 2 萬 一時(shí) 2l l ll j 1 e 加 一l z i m 1 矗 z l m 叫也卜z d 億z 仨 z 2 z 2 n m d 2 j o d 2 凹 m 樅 m 2 j o 2 2 f z 2 2 刀 t i n k 2l 一p 護(hù) 一 z 2 m 2 2 1 z 2 m 7 z 廠 z 2 萬 制2 l 1 1 l j 1 p 護(hù) 一芝1 z 一m 矗 z 一m 1 4 第二章逆非中心w i s h a r t 分布 2 萬 n m k 2 z 2 2 p ie 護(hù) 一l z 2 m 2 2 2 1 z 2 m 2 e 護(hù) 一三 z 一m 矗 z 一m z 一m 丟 z 一m 2 萬 n m 2i l j i i j g 護(hù)c 一三c z m 絮 ol c z m 而們 2 萬 刊2 l i 一奴p 護(hù) 一互1 z m 一1 z m 7 當(dāng)f z f z f z 比較左右兩邊則有 1 2 0 引理2 4 1 u 設(shè)彳 既 以 q 其中q z i m m 并設(shè)p 是一個(gè)已知尼 m 矩陣 其秩為k 則 剛尸 z p p 尸 p 1p m m p 定理2 4 2 設(shè)彳一既 刀 q 將a q 作同樣分割 彳 r 4 l 彳2 l 其中a l l l l q 1 1 k xk 則 f yz v i l l 一1 2 厶一i 甲 p l 厶2 l2 2 q f i q 2 l 嘸 刀 1 l z t z l l q l l 1 2 q 2 1 既一 刀 2 2 z t z 2 l q l 2 2 2 q 2 2 且當(dāng) 1 2 0 時(shí) 4 l 與么2 2 獨(dú)立a 證明 令只 ki o 只么鼻 c i 芝 乏 乞 捌叱功臣 1 5 2 4 1 耳 l 一2 一 絲 玎 l 一2 一 l 2 槲一 萬 l 屹 鴕 c c 2 2 氣4 k 0 一 2 2 l 因?yàn)?所以 q 一1 必必 m m q 鼻m 懈 i i 東南大學(xué)碩士學(xué)位論文 弛 1 只m 姒e 0 q l q 2 由引理2 4 1 同理 鼻彳只7 刀 z l l 0 l l q l l 1 2 q 2 1 故有 嘸 以 l l 0 t t q l l 1 2 q 2 i 令只 o 一t 則有 芝瓔鄧k 攝瓢 砣 p 2 m t p 2 由引理2 4 1 故有 艇 靳t k 厶2 i l l q l l4 1 2 q 2 i 意也卜 峨 最彳爿 既一t l 2 2 丟 z 2 l q l 2 2 2 q 2 2 既一女 刀 2 2 丟 2 l q l 2 下面證明當(dāng) 1 2 0 時(shí) 4 l 與a 2 2 獨(dú)立 因?yàn)閍 既 托 q 4 2 2 q 2 2 所以j z n 肘 i o 使得4 z z 其中q z 一1 必m t o v 0 0 八 u 勉 q q l 2 2 r r j v 0 0 八 屹 砣 l 2 l 0 d 胗 o o o 蟹吖從 k 掣 如如d 惶 一 所 m o x 企 露 肛 蟛 o 4 印 只 4 只 n 越 c c v 0 0 八 挖 弳 第二章逆非中心w i s h a r t 分布 對(duì)z 作分割 z z lz 2 當(dāng) 1 2 0 時(shí) 由定理2 4 1z l 與z 2 獨(dú)立 由于么 z z 所以a i i z z l a 2 2 z z 2 又因?yàn)閍 1 1 a 2 2 分別為關(guān)于z l z 2 的函數(shù) 所以a 1 l 與彳2 2 獨(dú)立 2 5 逆非中心w i s h a r t 矩陣線性變換的性質(zhì) 引理2 5 1 設(shè)么 既 z m 是一個(gè)k xm 常數(shù)矩陣 r k m k 則 m a m 吸 z m z m 2 5 1 定理2 5 1 若b z y q q v m m p 為k m 階矩陣 r k p k 有 p 8 1 p 7 哌 玎 m 1 p 礦 1 p 7 p v 1 p 7 1 p m t 坯p 證明 b 既 玎 y q b 既 n m 1 v l t a 由引理2 4 1 p 口 1 p 0 一m 一1 j p 礦一1 p p v 一1 p 1 p m m p 定理2 5 2 設(shè)彳 既 z q 刀 m 1 p 是七 m 階矩陣 r k p k 對(duì)m 作 分割 m lm 2 其中m 1 n xk 當(dāng)m l o 時(shí) 有 c a 一1 p 吸 l 一所 后i 尸 1 p 7 1 證明 令k 2 a z 2 因?yàn)閍 既q q 所以根據(jù)引理2 4 1 k 一既 z l 2 m g i z2 1 令r p z2 則r k r r k p k 且 以 1 p 7 一 r z 2 a 一 2 r7 r k 1 r 7 1 p z 1 p r r 1 r 需證n r k 1 r 哌 n m k r r 1 下面證明r 有如下分解 r l z 女i o h 其中三 kxk l l i 0 h m m 正交矩陣 1 7 2 5 2 東南人學(xué)碩士學(xué)位論文 ll 因?yàn)閞 r 挖2 2 p p z 一1 p p 行滿秩 v0 x r 0 x p r 0 一1 0 x p x 尸k 0 即x p z 一1 p 7 石 0 p z 一1 p 0 即艘7 0 111 則存在 艘 2 0使得r r r r 2 r r7 2 1 令l r r7 2 1 歙 2 0 l 0 i l i 0 且 即r r r l l 7l k k 所以存在尼 m 的行正交陣日l 使得 r l h l l 1 h l 凼為h lk 行之i 司相互正交 構(gòu)成一組標(biāo)準(zhǔn)正交向量 因而司擴(kuò)充成為r 的標(biāo) 準(zhǔn)正交基構(gòu)成正交陣 三 i k i o 惻 叢k o 坤 l kxk l l i 0 h mxm 正交矩陣 所以 r k 一1 r 7 一l c 三c j h k 一1 j 7 三7 一l 1 8 第二章逆非中心w i s h a r t 分布 c 7 一1c c i h k 一1 j 7 一1 1 記c h k h 則c h k 一1 h 令c f c l f 易 c 一 f 復(fù) d 復(fù) 其中q q 尼 尼 l d 2 l2 2 一 1 因?yàn)閔 k 一1 h c 一 d 所以c c h k q h 7 乞 一 c c i 爰 d 1 1 一n 一1 1 2 1 1 d l z 1 而c 1 1 2 d l l 1 故 麒一1 r 三 一1d 1 1 1 l 1 7 一1q 1 2 l 1 因?yàn)閗 既 z 2 m t z2 所以由引理2 4 1 一 一 c h k h 既 z l z2 m t z2 h 再根據(jù)定理2 3 1 的第一個(gè)結(jié)論 i 1 2 0 一 一 一 朋l 2 h 0m 2 2 h 7 0m 2 2 h 左邊為零 故有c 1 1 2 毗 刀一m 后 i k 所以由引理2 5 1 r k 1 r 三 1c 1 1 2 l 1 吸 n m 尼 兒7 一 即 p a p r k 1 r 吸 n m k r r 一 哌 行一 l 七 p z 1 p 1 得證 定理2 5 3 條件同定理2 5 2 當(dāng)m 2 0 時(shí) 有 p a q p 既一i 以一七 p z 1 p 7 卅 1 9 一d 0 0 0 八 2 2 歷仍 東南大學(xué)碩 學(xué)位論文 證明 方法類似定理2 5 2 其中尺有如下分解 r l o i 一t 日 其中 m k x m k i l i 0 h m xm 正交矩陣 最后根據(jù)定理2 3 2 的第一個(gè)結(jié)論得證 定理2 5 4 若b 既 礦 q q v m m p 為 i n 階矩陣 r k p 尼 m m 1m 2 m l 以 尼 當(dāng)m l 0 以 2 m 一2 尼時(shí) 有 尸曰尸 哌 z 一2 m 2 k p v p 7 證明 b 陟二 咒 礦 q jb 玢乙 刀一m 一1 礦 q 根據(jù)定理2 5 2 有 尸 即 一 哌 挖一2 m k 1 尸形p 7 一1 所以 戶 8 p 哌 玎一2 m 2 k p v p 2 6 逆非中心w i s h a r t 矩陣分塊陣的分布及獨(dú)立性 推論2 6 1 設(shè)b n 吃0 v q q 蹦m 對(duì)召 v m 作分割 占 降 l 曰2 l y f k l 其中 b l l v l l 后 后 m l r t 七 則 證明 m m lm 2 當(dāng)m l 0 時(shí)局l 暇o 一2 m 2 k 巧i 當(dāng)m 2 0 時(shí)b 2 2 既一t 0 2 尼 2 令尸 i o 則有 堅(jiān) p 尼 k p v p 后 七 御 厶 召b l l 召b 2 八1 i i 曰 刪叫瑚 暖以分k 2 2k 屹 2 2b 第二章逆非中心w i s h a r t 分布 若m l 0 由定理2 5 4 尸1 8 p 一j 刀 2 m 2 尼 p 胗 所以 b l l n 一2 m 2 k k 1 同理 令p o 一 則有 尸卯7 m 一后 m k p 形p m 一尼 m 一尼 腳7 鄧 叫2 默n 1 2 玢 刪 o 叫乏v 挖1 f 0 j t 6 j 鞏 若m 2 0 b 陟 m 刀一m 一1 v iq 由定理2 5 2 尸即7 既一t n m k 1 儼即 1 由推論2 2 2 由定理2 5 4 有 p 即7 j 既一t 珂 2 k p 阡7 島 既一t 一2 尼 砭2 定理 2 6 1 設(shè)b 既 z 礦 q q 聊m 對(duì)曰 v m 作分割 b f t b 墨2 b 甜j 礦 暖黔m 地蚴 l t 糾 其中 b i l k l k x 尼 m l m k 則 馬1 2 1 m j k 1 2 k 1 2 m m 1 b 2 2 1 一 乙一i 療一j 圪2 1 2 1 m 2 m 2 且當(dāng)k 2 0 時(shí) b 1 1 2 與b 2 2 1 獨(dú)立 證明 b 既 以 y q 2 1 東南大學(xué)碩上學(xué)位論文 由定理2 2 3 b 一 既 珂一m 1 v l q 令c b 形 v 對(duì)c 形作分割 c f c l l c 2 形 f 彤z l z 即c 陟 卅 n m 一1 w q 在引理2 4 1 中 令丘 i ki 0 則 所以 所以 p i c p c 1 l量舊7 形 p w p l 5 叫p l m 3 p 1 7 i 1 m m l p l c p l 一哌 療一m 1 v i i l 彤i 1 m m 1 同理 令最 o i l 一女 則 只c p c 2 最唰 2 罡惻 一p 2 m t i p 2 1 m m 2 c 2 2 p 2 c p 既一t n m 1 2 嵫1 m 2 m 2 根據(jù)引理2 2 1 有 所以根據(jù)定理2 2 2 有 召差 馬1 2 礬o 一所 l k 1 i 1 彬i 1 m m 1 b 2 2 1 礬一i n m l m k l w 2 2 1 1 m 2 m 2 因?yàn)?i 1 k 嵫1 匕 所以 馬1 2 萬一m 后 巧1 2 v 1 1 2 m m 1 1 陟 一t 咒一后 2 1 2 1 m m 2 下面證明b 1 1 2 和b 2 2 1 獨(dú)立 因?yàn)?b 一 阡 m 以 v q b 一 陟 m 甩一m 一1 v 1 q 且記c b w v 一1 2 2 q 第二章逆非中心w i s h a r t 分布 由定理2 4 2 當(dāng)緲一1 1 2 o 時(shí) c 1 l 與g 獨(dú)立 而由引理2 2 1 緲一1l 一k 巧 1 故當(dāng)巧 o 時(shí)緲一1 l o既而c 與c 獨(dú)立 又因?yàn)閏 l l b 1 2 c 2 2 b l l 所以c f i b 1 1 2 與c 丟 b 2 2 1 相互獨(dú)立 其中i b l l i 0 i b l 0 推論2 6 2 設(shè)b j 既c 行 y b 復(fù) 乏 礦 籠 籠 其中b k 均為k k 階方陣 則 b 1 1 2 哌 l 一 尼 k 1 2 b 2 2 1 既一 n k 2 1 且當(dāng)巧2 0 時(shí) 且他與b 2 2 1 獨(dú)立 證明 定理當(dāng)中令m 0 即得 2 7 逆非中心w i s h a r t 矩陣的二次型 引理2 7 1 若彳一 咒 萬2 貝 ja 8 2 z 定理2 7 l 若曰 形 l 以q 則歹b 歷1 其中萬 m t t i y 證明 b i 形l n v q b n 2 v 1q 因?yàn)閷?duì)于a 既 q 當(dāng)朋 1 時(shí) 記 盯2 則a o 2 z 萬 其中萬 m m 為非中心參數(shù) 仃 所以尹b 靠 萬 東南大學(xué)碩士學(xué)位論文 b 麗1 其中萬 m 緲為抻 參數(shù) 定理2 7 2 設(shè)a 既0 礦 q 其中 z 為正整數(shù) 口是任意非零的m 1 向量 則 舞 屯 1 趴其中州a v l 口 l 口m 證明 a 既 以 y q 彳 既 雄一m 一1 v lq 由引理2 4 1 令p 口 口 m l 則有口么一1 口 嵋 n m 1 口 v 一1 口 口7 v 一1 口 一1 口m 妣 所以瓣嘻州 其中萬 口7 v 1 口 一1a m m a 定理2 7 3 若a w 10 e q q 1 m m 萬 m 1 任取少 l 與a 獨(dú)立 p y 0 0 對(duì)m 作分割 m m lm 2 m l 刀 1 當(dāng)m 1 0 時(shí) 有 為嘻洲 且與j 獨(dú)立 證明 在定理2 5 2 中 任取j 的一個(gè)樣本己 l 則有 y 么 1 y 以一m l y 一y 1 再由引理2 7 1 纂籍 擘 z 州 y e 1 j 1y a 1 y 加1 1 此時(shí)條件分布與y 無關(guān) 所以該分布也是無條件分布 并與y 獨(dú)立 定理2 7 4 設(shè)彳 既伽 v q q e 1 m d 甩 m 1 口 l 與a 獨(dú)立 p a o 0 對(duì)m 作分割 m 似lm 2 m 1 n x l 當(dāng)m l o 時(shí) 有 口 隱 一 a a a z n 2 m 2 證明 a 朋乙 以 v q a 既 胛一m l 礦一 q 第二章逆非中心w i s h a r t 分布 由定理2 7 3 絲 z o a a a 7 一2 一2 2 8 逆非中心w i s h a r t 矩陣的一階矩 定理2 8 1 若b 既 z y q q v m m r t 2 m 2 對(duì)m 作分割 m m 1m 2 m l r l x1 當(dāng)m l 0 時(shí) 有 v e b 2 贏以一z 竹一z 證明 由定理2 2 3 b 既 z 礦 q jb 既 n m 1 v l q 由定理2 5 8v 口 0 有 口 隱 一 a b a c n 2 m a 留口1 因?yàn)?所以 下面證明 一口 v e t z 三2 口 隱是常數(shù) 口留口 a v e t 三一 z 2 m 即e 口留口 口 v a e 一 z 二 2 e 石1 麗1 z 二 2 m 以一z 聊一z 才1 囂南t 字1 出 令f 考 l j x 2 f 出 2 d t 上式 南 南 東南火學(xué)碩 1 學(xué)位論文 1 刀一2 聊一2 故有e 石1 n 2 l m 2z 0 2 所以對(duì)任意的口有 從而有 h 一2 r a t 月一2 m 2 丁一i e f 廠 出 e 口留口 口7 隱 志 口芑 曰 口 口7 i 豪口 口 e b 一i 磊 口 o以一z 竹一z e 曰 2 南刀一z 行一z 字 南 第三章特征值和特征向量的分布 第三章特征值和特征向量的分布 3 1 中心和非中心w i s h a r t 矩陣相對(duì)特征值的分布 為 在多元統(tǒng)計(jì)中經(jīng)常遇到特征值的分布問題 若彳 眠0 n m 則a 的密度函數(shù) 刑 2 碡1 2 心r 一 三以 l p卅一i 2 r a 坩一1 2 若 n 蔓jt r a 以 i a l 兀丑 其中以o 1 聊 是么的特征值 則 i l i l 么的密度函數(shù)就成了彳的特征值的函數(shù) 其次 在主成分分析 典型相關(guān)分析和不變檢 驗(yàn)中都要遇到求a b 1 的特征值分布問題 因此特征值的分布問題是多元分布理論中的重要 內(nèi)容 引理3 1 1 1 設(shè)彳 既 j q b 既 刀一p g a 與b 獨(dú)立 這里 m 1 1 n p m 則矩陣f a ba 的密度為 p 加 一主壺 f i i n r p 三 三6 聲 j q l 芝1 以 一p d e t 砂刪 l 三 l 三 刀一p 1d c t i 聲戶一川2 f 0 3 1 1 引理3 1 2 1 1 設(shè)彳是一個(gè)掰 m 隨機(jī)正定矩陣 其密度為f a 則么的特征值厶 乙 巧 r m 2 1 2p m l 1 0 3 1 2 其中日 o m 滿足彳 h l h7 而 a i a g t l l m 且 與日獨(dú)立 引理3 1 3 1 1 i 設(shè)x 是一個(gè)m m 正定矩陣 y 是一個(gè)m m 對(duì)稱矩陣 則 b 口l 一 口p 6 l 吃 x h r h 掰 腳 口l 口p 島 b q x y 3 1 3 其中 d h 表示d m 上的標(biāo)準(zhǔn)化不變測度 2 7 東南大學(xué)碩士學(xué)位論文 引理3 1 4 1 1 i 以m m 矩陣x 和l 作為變量的超幾何函數(shù)定義為 a lt b 1 c f x c f 后 c f 3 1 4 定理3 1 1 設(shè)4 廠 t a q q m m l b 既 z p 這里廠 m n p m 且彳與b 獨(dú)立 則a b 1 的特征值石 厶的聯(lián)合密度為 p 護(hù) 一三q 互 m 1 n r p 三1 1 2q f f 一1 番一再茄 l 三 l 三 以一p l 三聊 j 1 彳 佃 一們坨 兀 z 一乃 z 厶 厶 0 3 1 5 i 厶 厶 0 3 2 r m 條件下特征值的密度函數(shù) 下面考慮定理3 1 1 中條件為 m 的情況 此時(shí) r k y b 1 k 而 z f o 是矩陣 b 1 i 的特征值 或等價(jià)的是彳b 1 的非零特征值 這里 a k k 仍服從非中心w i s h a r t 分布 但此時(shí)它不存在密度函數(shù) 石 厶的分布由下 面定理給出 2 9 東南火學(xué)碩l 學(xué)位論文 引理3 2 1 2 1 設(shè)彳 既 療 療 m 1 m 是后 m 階矩陣 r k m k 則 m a m 一 刀一m 尼 誣一m 引理3