利用向量法求空間角.ppt

用向量法求空間角 3 2 3立體幾何中的向量方法 一 復習引入 用空間向量解決立體幾何問題的 三步曲 1 建立立體圖形與空間向量的聯(lián)系 用空間向量表示問題中涉及的點 直線 平面 把立體幾何問題轉(zhuǎn)化為向量問題 化為向量問題 2 通過向量運算 研究點 直線 平面之間的位置關(guān)系以及它們之間距離和夾角等問題 進行向量運算 3 把向量的運算結(jié)果 翻譯 成相應的幾何意義 回到圖形 向量的有關(guān)知識 3 平面的法向量 1 兩向量數(shù)量積的定義 a b 2 兩向量夾角公式 cos a b 與平面垂直的向量 例1 在Rt AOB中 AOB 90 現(xiàn)將 AOB沿著平面AOB的法向量方向平移到 A1O1B1的位置 已知OA OB Oo1 取A1B1 A1O1的中點D1 F1 求異面直線BD1與AF1所成的角的余弦值 A B O F1 B1 O1 A1 D1 二 知識講解與典例分析 A B O F1 B1 O1 A1 D1 解 以點O為坐標原點建立空間直角坐標系 如圖所示 并設OA 1 則 A 1 0 0 B 0 1 0 F1 0 1 D1 1 所以 異面直線BD1與AF1所成的角的余弦值為 例1 在Rt AOB中 AOB 90 現(xiàn)將 AOB沿著平面AOB的法向量方向平移到 A1O1B1的位置 已知OA OB Oo1 取A1B1 A1O1的中點D1 F1 求異面直線BD1與AF1所成的角的余弦值 x y z 點評 向量法求異面直線所成角的余弦值的一般步驟 建系 求兩異面直線的方向向量 求兩方向向量的夾角的余弦值 得兩異面直線所成角的余弦值 例2 正方體ABCD A1B1C1D1的棱長為1 點E F分別為CD DD1的中點 1 求直線B1C1與平面AB1C所成的角的正弦值 2 求二面角F AE D的余弦值 A A1 C1 B1 D C B D1 E F 例2 1 求直線B1C1與平面AB1C所成的角的正弦值 x y z A D B A1 D1 C1 B1 解 1 以點A為坐標原點建立空間直角坐標系 如圖所示 則 A 0 0 0 B1 1 0 1 C 1 1 0 C1 1 1 1 X1 z1 0 X1 y1 0 取x1 1 得y1 z1 1 C 故所求直線B1C1與平面AB1C所成的角的正弦值為 點評 向量法求直線與平面所成角的正弦值的一般步驟 建系 求直線的方向向量 求直線的方向向量與平面的法向量的夾角的余弦值 得直線與平面所成角的正弦值 求平面的法向量 x y z A D C A1 D1 C1 B1 B F E 例2 2 點E F分別為CD DD1的中點 求二面角F AE D的余弦值 取y2 1 得x2 z2 2 2 由題意知 觀察圖形知 二面角F AE D為銳角 所以所求二面角F AE D的余弦值為 點評 法向量法求二面角的余弦值的一般步驟 建系 求兩平面的法向量 求兩法向量的夾角的余弦值 得二面角的余弦值 a b 過空間任意一點o分別作異面直線a與b的平行線a 與b 那么直線a 與b 所成的不大于90 的角 叫做異面直線a與b所成的角 異面直線所成的角 范圍 1 當與的夾角不大于90 時 異面直線a b所成的角與和的夾角 a b a b o 相等 互補 a b a b o 所以 異面直線a b所成的角的余弦值為 用向量法求異面直線所成角 設兩異面直線a b的方向向量分別為和 直線與平面所成的角 范圍 相等 互補 所以 直線與平面所成的角的正弦值為 二面角 范圍 n1 n2 例3如圖 甲站在水庫底面上的點A處 乙站在水壩斜面上的點B處 從A B到直線 庫底與水壩的交線 的距離AC和BD分別為和 CD的長為 AB的長為 求庫底與水壩所成二面角的余弦值 解 如圖 化為向量問題 根據(jù)向量的加法法則 進行向量運算 于是 得 設向量與的夾角為 就是庫底與水壩所成的二面角 因此 所以 回到圖形問題 庫底與水壩所成二面角的余弦值為 如圖 已知 直角梯形OABC中 OA BC AOC 90 直線SO 平面OABC 且OS OC BC 1 OA 2 求 異面直線SA和OB所成的角的余弦值 直線OS與平面SAB所成角 的正弦值 二面角B AS O的余弦值 三 鞏固練習 如圖 已知 直角梯形OABC中 OA BC AOC 90 SO 平面OABC 且OS OC BC 1 OA 2 求 異面直線SA和OB所成的角的余弦值 OS與平面SAB所成角 的正弦值 二面角B AS O的余弦值 A 2 0 0 于是我們有 2 0 1 1 1 0 1 1 0 0 0 1 B 1 1 0 S 0 0 1 則O 0 0 0 解 以o為坐標原點建立空間直角坐標系 如圖所示 x y z C 0 1 0 所以異面直線SA與OB所成的角的余弦值為 3 由 2 知面SAB的法向量 1 1 2 又 OC 平面AOS 是平面AOS的法向量 令 則有 二面角B AS O的余弦值為 2 設