函數(shù)及圖象學(xué)生導(dǎo)學(xué)案

函數(shù)及其圖象知識點整理高新育才 程獻(xiàn) 一、平面直角坐標(biāo)系1、在平面內(nèi)，有_的兩條數(shù)軸，組成平面直角坐標(biāo)系注意 1) 坐標(biāo)平面內(nèi)的點與_一一對應(yīng)2） 坐標(biāo)軸上的點不屬于任何象限。2、不同位置點的坐標(biāo)的特征： 1）坐標(biāo)軸上點的特征： x軸上點的縱坐標(biāo)為0，一般記為P（_，_）；x軸可寫成直線y=0， y軸上點的橫坐標(biāo)為0，一般記為Q（_，_）；y軸可寫成x=0，2）各象限內(nèi)點的坐標(biāo)的特征：第一象限：（_，_）； 第二象限：（_，_）； 第三象限：（_，_）； 第四象限 ：（_，_）；3 、點P（x，y）坐標(biāo)的幾何意義 ：1）點P（x，y）到x軸的距離是_；2）點P（x，y）到y(tǒng)軸的距離是_；3）點P（x，y）到原點的距離是_;4、關(guān)于坐標(biāo)軸、原點對稱的兩點坐標(biāo)的特征1）點P（a，b）關(guān)于x軸的對稱點P1（_，_）；2）點P（a，b）關(guān)于y軸的對稱點P2（_，_）；3）點P（a，b）關(guān)于原點的對稱點P3（_，_）；5、同一數(shù)軸上兩點間距離，（1）x軸上兩點A（x1，0），B（x2，0）則AB=|x1-x2|；（2）y軸上兩點C（0，y1），D（0，y2），則CD=|y1-y2|。6、過P（a，b）平行于x軸的直線可寫成y=b，平行于y軸的直線可寫成x=a，第一、三象限的兩軸角平分線y=x； 第二、四象限的夾角平分線y=-x。二、函數(shù)的概念1、常量 在某問題的研究過程中，保持不變的量叫做常量。變量 在某問題的研究過程中，可以取不同數(shù)值的量叫做變量。2、函數(shù) 一般地，設(shè)在某一變化過程中有兩個變量x與y，如果對于x的每一個值y都有唯一的值和它相對應(yīng)，那么說y是x的函數(shù)，x為自變量，y是因變量。函數(shù)值 如果變量y是自變量x的函數(shù)，即y=f（x），那么當(dāng)x在定義域內(nèi)取每一個確定的值，如x=a時，變量y都有惟一確定的值與它對應(yīng)，這個對應(yīng)值叫做自變量取確定值a時的函數(shù)值，通常用記號f（a）來表示函數(shù)的圖像 對于一個函數(shù)，如果把自變量x與函數(shù)y的每對對應(yīng)值分別作為點的橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)，在直角坐標(biāo)平面內(nèi)描出相應(yīng)的點，這些點所組成的圖形，就是這個函數(shù)的圖像。3、函數(shù)常用表示方法：解析式，列表法，圖像法4、函數(shù)圖像的畫法 由函數(shù)解析式畫函數(shù)的圖像，一般按下列步驟進(jìn)行。（1）列表：列表給出自變量與函數(shù)的一些對應(yīng)值；（2）描點：用表中的對應(yīng)值作為坐標(biāo)，在直角坐標(biāo)平面內(nèi)描出相應(yīng)的點；（3）連線：用光滑的曲線，按照自變量由小到大的順序，把所描的點連接起來。在描點時，描出的點越多，圖像越精確，實際上，一般不可能把所有的點都描出來，只能用光滑的曲線連接描出的一些點，從面得到函數(shù)的近似圖像。注意：畫圖象應(yīng)在自變量取值范圍內(nèi)畫5、自變量取值范圍：（1）整式時自變量取全體實數(shù)；（2）分式時分母不為零；（3）二次根式中被開方數(shù)是非負(fù)數(shù)；（4）a0，a-p中a0；（5）使實際問題有意義. 求自變量取值范圍時考慮應(yīng)周密：例如y=+x2中x0且x2幾個常見的函數(shù)（一）正比例函數(shù)1、函數(shù)_（k0的常數(shù)）叫做正比例函數(shù)2、正比例函數(shù)的圖像：正比例函數(shù)y=kx（k0的常數(shù)）的圖像是經(jīng)過坐標(biāo)原點和（1，_）的一條直線，也叫做直線y=kx根據(jù)兩點確定一條直線的規(guī)律，在畫正比例函數(shù)的圖像時，除了取原點以處，只需另外再取一個點就可以了，一般取符合解析式的整點（即橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)都是整數(shù)的點）描起來較方便。如畫函數(shù)的圖像時，分別取點（0，0）和（2，-1），然后描點、連線即可。3、正比例函數(shù)的性質(zhì)正比例函數(shù)y=kx（k0的常數(shù)）有如下的性質(zhì)：當(dāng)k0時，它的圖像在第_象限內(nèi)，y隨x的增大而_； 當(dāng)k0時，它的圖像在第_象限內(nèi)，y隨x的增大而_。4、函數(shù)的性質(zhì)應(yīng)結(jié)合它的圖像來理解（二）一次函數(shù)1、函數(shù)y=_ （_常數(shù)， _0）叫做一次函數(shù)當(dāng)b=0時，一次函數(shù)y=kx+b就成為y=kx（k是常數(shù) k0），這時y 是x的正比例函數(shù)，所以正比例函數(shù)是一次函數(shù)的特殊情況。2、一次函數(shù)的圖像一次函數(shù)的圖像是經(jīng)過點（0，_）且平行于直線y=kx的一條直線，一次函數(shù)y=kx+b的圖像也叫做直線y=kx+b。直線y=kx+b與y軸相交于點（0，b）兩條直線L1:y=k1x+b1，L2:y=k2x+b2，如果k1=k2，b1b2，那么L1 L2，反之也成立。由兩點確定一條直線可知，在畫一次函數(shù)的圖像時，只要先描出直線上的兩點，再過這兩點畫一條直線就可以了，當(dāng)b0時，一般取與坐標(biāo)軸相交的兩點（_，0）、（0，_）較好。3、直線位置與常數(shù)的關(guān)系k決定直線的方向 k0直線的方向向上；k0直線的方向向下b決定直線與y軸交點的位置： b0 直線與y軸交點在x軸的_；b=0 直線過_點；b0 直線與y軸交點在x軸的_；根據(jù)下列一次函數(shù)y=kx+b(k 0)的草圖回答出各圖中k、b的符號：4、一次函數(shù)的性質(zhì)：與正比例函數(shù)的性質(zhì)一樣，當(dāng)k0，y隨x的增大而_；當(dāng)k0，y隨x的增大而_。5、一次函數(shù)與一元一次方程的關(guān)系一次函數(shù)y=kx+b（k0），當(dāng)y=0時，即對應(yīng)一元一次方程y=kx+b（k0），也就是說一次函數(shù)y=kx+b（k0）的圖像與x軸的交點的橫坐標(biāo)x的值就是方程y=kx+b（k0）的根。6、求一次函數(shù)表達(dá)式：待定系數(shù)法由已知條件，先設(shè)一個式子中的未知系數(shù)，然后根據(jù)已知數(shù)據(jù)求出未知系數(shù)，從而法語出這個式子的方法叫待定系數(shù)法。說明：求正比例函數(shù)、反比例函數(shù)、一次函數(shù)、二次函數(shù)等一般都采用待定系數(shù)法。7、一次函數(shù)圖像與坐標(biāo)軸交點： 直線y=kx+b（k0）與x軸交點（_，0），與y軸交點（0，_），與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積_（三）反比例函數(shù)1、函數(shù)y=（k0的常數(shù)）叫做反比例函數(shù)，也可以說y與x成反比例，函數(shù)中的x0。 與正比例函數(shù)一樣，確定了k值，就可以確定一個反比例函數(shù)。反比例函數(shù)y=還可表示成y=kx-1的形式。2、反比例函數(shù)的性質(zhì) 當(dāng)k0時，它的圖像的兩個分支分別在第_限內(nèi)，在每個象限內(nèi)，y隨x的增大而_。當(dāng)k0時，它的圖像的兩個分支分別在第_象限內(nèi)，在每個象限內(nèi)，y隨x的增大而_。圖像的兩個分支都無限接近于x軸和y軸，但不會與x軸和y軸相交。注意：用性質(zhì)時，要注意“在每個象限內(nèi)”這個條件。3、k決定雙曲線的位置 k0 圖像的兩個分支分別在第_ 象限內(nèi)。k0 圖像的兩個分支分別在第_ 象限內(nèi)。4、k的幾何意義 過雙曲線y=（k0） 上任意一點P引x軸、y軸的垂線，垂足分別為B、A，則矩形PBOA的面積為 _ , POB的面積為_（四）二次函數(shù)1、 函數(shù)y=ax2+bx+c（其中a、b、c是常數(shù)，a0）叫做二次函數(shù)2、二次函數(shù)的圖像：二次函數(shù)的圖像是一條拋物線，它是一個軸對稱圖形，拋物線與它的對稱軸的交點叫做拋物線的頂點。3、二次函數(shù)常用的兩種表達(dá)形式二次函數(shù)的解折式有兩種常用的表達(dá)形式：一般式、頂點式。兩根式中x1、x2是拋物線與x軸相交的兩個交點的橫坐標(biāo)，即方程ax2+bx+c=0的兩個實根。 二次函數(shù)解析式的兩種常用表達(dá)形式各有其優(yōu)點，可以根據(jù)不同需要互相轉(zhuǎn)化，如一般式通過配方可化為頂點式。4、二次函數(shù)的性質(zhì) a0時，拋物線的開口向_，頂點是它的最_點；a0時，拋物線的開口向_，頂點是它的最_點；a決定拋物線的開口_和開口_。越大，開口越_。拋物線的對稱軸是直線x=_，頂點坐標(biāo)是（_，_） 如果拋物線用頂點式y(tǒng)= a（xh）2+k表示時，那么對稱軸是直線x=_，頂點坐標(biāo)是（_，_） 當(dāng)b=c=0時，二次函數(shù)為最簡單的二次函數(shù)y=ax2。當(dāng)b、c不全為0時，二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖像與y=ax2的圖像的形狀相同，位置不同，可以通過適當(dāng)?shù)钠揭?，使兩個圖形重合，如把二次函數(shù)y=(x1)24的圖像，向左平移一個單位，向上平移四個單位，即與y=3x2的圖像重合。畫二次函數(shù)的圖像時，應(yīng)先求出它的對稱軸和頂點坐標(biāo)，然后利用它的對稱性列表取點，如取與y軸的交點及基本對稱點，如果圖像與x軸有兩個交點，取這兩個交點等，最后描點連接，就可畫出二次函數(shù)的圖像。5、拋物線中間由a、b、c決定： a0 開口向_ a決定拋物線的開口方向 a0 開口向_ c決定拋物線與y軸交點的位置：c0 圖像與y軸交點在x軸的_方；c=0 圖像過_點； c0 圖像與x軸交點在x軸的_方。a、b決定拋物線對稱軸的位置： （對稱軸：x=）a、b同號 對稱軸在y軸_ 側(cè)； b=0 對稱軸是y軸；a、b異號對稱軸在y軸_ 側(cè)。=b24ac決定拋物線與x軸交點情況：0 拋物線與x軸有兩個不同交點；=0拋物線與x軸有惟一公共點（相切）；0拋物線與x軸有無公共點。6、二次函數(shù)的最值二次函數(shù)y=ax2+bx+c（其中a、b、c是常數(shù)，a0）中，如果a0，那么當(dāng)x=時，函數(shù)y有最小值，記作y最小值；如果a0，那么當(dāng)x=時，函數(shù)y有最大值，記作y最大值；所謂最值就是最大值或最小值，二次函數(shù)取最大值或最小值是與決定圖像開口方向的a有關(guān)。二次函數(shù)的最值反映到圖像上，就是最高點或最低點，也就是頂點的縱坐標(biāo)。7、二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系二次函數(shù)y=ax2+bx+c（其中a、b、c是常數(shù)，a0），當(dāng)y0時，即對應(yīng)一元二次方程ax2+bx+c0（a0），也就是說，二次函數(shù)y=ax2+bx+c（其中a、b、c是常數(shù)，a0）的圖像與x軸的交點的橫坐標(biāo)x的值就是方程ax2+bx+c0（a0）的根。當(dāng)=b24ac0時，由于一元二次方程ax2+bx+c0有兩個不相等的實數(shù)根，所以拋物線y=ax2+bx+c與x軸有兩個交點。當(dāng)=b24ac0時，由于一元二次方程ax2+bx+c0有兩個相等的實數(shù)根，所以拋物線y=ax2+bx+c與x軸只有一交點，即拋物線的頂點；當(dāng)=b24ac0時，由于一元二次方程ax2+bx+c0沒有實數(shù)根，所以拋物線y=ax2+bx+c與x軸沒有交點。8、會利用二次函數(shù)的圖象求一元二次方程的近似解。9、會用二次函數(shù)來解決有關(guān)實際問題（五）分段函數(shù)自變量的取值范圍分成幾段，函數(shù)在每段上都用相應(yīng)的函數(shù)解析式表示，這樣的函數(shù)叫做分段函數(shù)。（六）常見題解法及思路1、直角坐標(biāo)系問題其實就是各特殊點、象限點的坐標(biāo)問題，只要掌握各點坐標(biāo)特征，問題就可迎刃而解。2、對于函數(shù)問題，其概念理解應(yīng)全面，應(yīng)注意三點：1）兩個變量x與y；2）變量y的值隨變量x的值變化而變化；3）對于x的每一個值，y都有惟一的值與它對應(yīng)。3、畫函數(shù)圖像的一般方法是：列表、描點、連線4、靈活掌握各特殊函數(shù)本身的定義、表達(dá)式特征、圖象、性質(zhì)，其中也包括函數(shù)的對稱性和增減性，并且由數(shù)形結(jié)合思想將表達(dá)式、圖象、性質(zhì)三位一體。如：會由函數(shù)圖象來判斷解析式的系數(shù)符號，或由一些對圖象的描述性語言來判斷解析式的系數(shù)符號。5、求兩個函數(shù)的交點問題，把兩個解析式組成方程組，方程組若有解，則為交點坐標(biāo)6、用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式的方法1）有幾個待定的系數(shù)，就要有幾個條件來列出相應(yīng)的方程（組）計算。2）由了解各特殊函數(shù)中系數(shù)的作用來進(jìn)行計算，如：一次函數(shù)y=kx+b1與y=kx+b2（k0），由于x的系數(shù)相同而知兩直線平行，反之亦然。又如：二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a 0），與y=x2的圖像形狀相同，則意味著a=等，這些也可作為用待定系數(shù)法時使用的條件。3）在二次函數(shù)中，其待定系數(shù)法可用解析式不只是標(biāo)準(zhǔn)式y(tǒng)=ax2+bx+c（a0）還有其他在特殊條件下使用的可使運(yùn)算簡便的解析式。如：頂點式y(tǒng)=a(x-h)2+k，（a0）當(dāng)給定函數(shù)的頂點為p(h , k)時使用。7、一次函數(shù)圖像與x,y軸所圍成三角形與四邊形的面積問題8、拋物線與x軸兩交點（x1，0），（x2，0）則對稱軸，又P(-1,5),Q（3,5）在拋物線上，則對稱軸x=19、有些求線段和、差的最值常常是利用點的對稱來解決.例：已知A（1，3），B(2,1)在x軸上求一點, P1使AP1+BP1最小； P2使最大 已知C(3,3),D(,-1)在x軸上求一點, Q1使最大； Q2使CQ2+DQ2最小；解：如圖B（2，1）關(guān)于x軸對稱B(2,-1),直線AB與x軸交點即為所求AP1+BP1最小點P1（,0）； 直線AB與x軸交點即為P2（）如圖 D關(guān)于x軸對稱點D（）直線CD與x軸的交點即為所Q1（）；直線CD與x軸的交點Q2（）讓復(fù)習(xí)不走彎路的四個小竅門 常常看到在大大小小的數(shù)學(xué)考試后，一些同學(xué)大呼小叫：這道題我本來會做的，可惜不是這里看錯了，就是那里算錯了；還有一些同學(xué)在考試過程中，對于“難題”百思不得其解，可是交卷之后，并沒有得到別人的任何幫助，便想出了解題的方法。上述這些現(xiàn)象我們將如何面對，爭取不走彎路或少走彎路？對此我向大家提出幾點建議，希望對同學(xué)們的學(xué)習(xí)有所幫助。1、鉆研課本，打好基礎(chǔ)在數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)中，首先應(yīng)將課本中的基本概念、法則、公式、性質(zhì)、公理、定理及解答問題中常用的一些基本數(shù)學(xué)思想方法進(jìn)行梳理，注意挖掘和發(fā)揮課本中例題、習(xí)題的潛在功能，歸納整理基礎(chǔ)知識、基本技能。2、練習(xí)重效率，切忌好高騖遠(yuǎn)。做練習(xí)題若不注意消化吸收，只是一味地貪多求快，輕易重難，則會勞而無功。復(fù)習(xí)時，一要落實課本中練習(xí)、習(xí)題以及讀一讀、想一想、做一做等探索性內(nèi)容，二要精選近年來各地中考試題中的優(yōu)秀試題，進(jìn)行強(qiáng)化訓(xùn)練，不能貪多求快，要注意練習(xí)的效率3、注重反思解題的思維過程，提高思維能力。平時