高考數(shù)學(xué) 6.3二元一次不等式（組）與簡單的線性規(guī)劃問題配套課件 理 新人教A版.ppt

第三節(jié)二元一次不等式 組 與簡單的線性規(guī)劃問題 三年19考高考指數(shù) 1 會從實(shí)際情境中抽象出二元一次不等式組 2 了解二元一次不等式的幾何意義 能用平面區(qū)域表示二元一次不等式組 3 會從實(shí)際情境中抽象出一些簡單的二元線性規(guī)劃問題 并能加以解決 1 以考查線性目標(biāo)函數(shù)的最值為重點(diǎn) 兼顧考查代數(shù)式的幾何意義 如斜率 距離 面積等 2 多在選擇題 填空題中出現(xiàn) 有時也會在解答題中出現(xiàn) 常與實(shí)際問題相聯(lián)系 列出線性約束條件 求出最優(yōu)解 1 二元一次不等式 組 的解集滿足二元一次不等式 組 的x和y的取值構(gòu)成的 叫做二元一次不等式 組 的解 所有這樣的 構(gòu)成的集合稱為二元一次不等式 組 的解集 有序數(shù)對 數(shù)對 x y x y 有序 即時應(yīng)用 1 思考 二元一次不等式 組 的解集與平面直角坐標(biāo)系內(nèi)的點(diǎn)有何關(guān)系 提示 二元一次不等式 組 的解集可以看成平面直角坐標(biāo)系內(nèi)的點(diǎn)構(gòu)成的集合 所有以不等式 組 的解為坐標(biāo)的點(diǎn)都在平面直角坐標(biāo)系內(nèi) 就構(gòu)成了一個平面區(qū)域 2 設(shè)點(diǎn)p x y 其中x y n 滿足x y 3的點(diǎn)p的個數(shù)為 解析 當(dāng)x 0時 y可取0 1 2 3 有4個點(diǎn) 當(dāng)x 1時 y可取0 1 2 有3個點(diǎn) 當(dāng)x 2時 y可取0 1 有2個點(diǎn) 當(dāng)x 3時 y可取0 有1個點(diǎn) 故共有10個點(diǎn) 答案 10 2 二元一次不等式 組 表示的平面區(qū)域 1 在平面直角坐標(biāo)系中二元一次不等式 組 表示的平面區(qū)域 邊界直線 邊界直線 公共部分 2 二元一次不等式表示的平面區(qū)域的確定二元一次不等式所表示的平面區(qū)域的確定 一般是取不在直線上的點(diǎn) x0 y0 作為測試點(diǎn)來進(jìn)行判定 滿足不等式的 則平面區(qū)域在測試點(diǎn)位于直線的一側(cè) 反之在直線的另一側(cè) 即時應(yīng)用 1 如圖所表示的平面區(qū)域 陰影部分 用不等式表示為 2 以下各點(diǎn) 0 0 1 1 1 3 2 3 2 2 在x y 1 0所表示的平面區(qū)域內(nèi)的是 3 如果點(diǎn) 1 b 在兩條平行直線6x 8y 1 0和3x 4y 5 0之間 則b應(yīng)取的整數(shù)值為 解析 1 由圖可知邊界直線過 1 0 和 0 2 點(diǎn) 故直線方程為2x y 2 0 又 0 0 在區(qū)域內(nèi) 故區(qū)域應(yīng)用不等式表示為2x y 2 0 2 將各點(diǎn)代入不等式可知 0 0 1 1 2 3 滿足不等式 故 在平面區(qū)域內(nèi) 3 令x 1 代入6x 8y 1 0 解得代入3x 4y 5 0 解得y 2 由題意得 b 2 又b為整數(shù) b 1 答案 1 2x y 2 0 2 3 1 3 線性規(guī)劃的有關(guān)概念 不等式 組 不等式 組 最大值 一次 x y 可行解 最大值或最小值 解析式 最小值 即時應(yīng)用 1 思考 可行解和最優(yōu)解有何關(guān)系 最優(yōu)解是否唯一 提示 最優(yōu)解必定是可行解 但可行解不一定是最優(yōu)解 最優(yōu)解不一定唯一 有時只有一個 有時有多個 2 已知變量x y滿足條件則z x y的最小值為 最大值為 解析 不等式組所表示的平面區(qū)域如圖所示 作出直線x y 0 可觀察知當(dāng)直線過a點(diǎn)時z最小 由得a 1 1 此時zmin 1 1 2 當(dāng)直線過b點(diǎn)時z最大 由得b 2 2 此時zmax 2 2 4 答案 24 3 若變量x y滿足約束條件則z x 2y的最大值為 解析 不等式組所表示的平面區(qū)域如圖所示 作出直線x 2y 0 可觀察出當(dāng)直線過a點(diǎn)時z取得最大值 由得此時zmax 1 2 3 答案 3 二元一次不等式 組 表示的平面區(qū)域 方法點(diǎn)睛 1 二元一次不等式表示的平面區(qū)域的畫法在平面直角坐標(biāo)系中 設(shè)有直線ax by c 0 b不為0 及點(diǎn)p x0 y0 則 1 若b 0 ax0 by0 c 0 則點(diǎn)p在直線的上方 此時不等式ax by c 0表示直線ax by c 0的上方的區(qū)域 2 若b 0 ax0 by0 c 0 則點(diǎn)p在直線的下方 此時不等式ax by c 0表示直線ax by c 0的下方的區(qū)域 注 若b為負(fù) 則可先將其變?yōu)檎?3 若是二元一次不等式組 則其平面區(qū)域是所有平面區(qū)域的公共部分 2 求平面區(qū)域的面積求平面區(qū)域的面積 要先畫出不等式組表示的平面區(qū)域 然后根據(jù)區(qū)域的形狀求面積 提醒 在畫平面區(qū)域時 當(dāng)不等式中有等號時畫實(shí)線 無等號時畫虛線 例1 已知不等式組 1 畫出該不等式組所表示的平面區(qū)域 2 設(shè)該平面區(qū)域?yàn)閟 求當(dāng)a從 3到6連續(xù)變化時 x y a掃過s中的那部分區(qū)域的面積 解題指南 1 先畫出各個不等式對應(yīng)的直線 畫成實(shí)線 再通過測試點(diǎn)確定區(qū)域 2 通過直線變動確定掃過的圖形形狀再求面積 規(guī)范解答 1 不等式x y 5 0表示直線x y 5 0上的點(diǎn)及右下方的點(diǎn)的集合 x y 0表示直線x y 0上的點(diǎn)及右上方的點(diǎn)的集合 x 3表示直線x 3上及其左方的點(diǎn)的集合 不等式組表示的平面區(qū)域即為圖示的三角形區(qū)域 o c 3 3 a 3 8 b 2 由題意可知x y a掃過s的部分區(qū)域如圖所示 dc 9 cde的邊cd上的高為 所求區(qū)域的面積 反思 感悟 1 作平面區(qū)域時要 直線定界 測試點(diǎn)定域 當(dāng)不等式無等號時直線畫成虛線 有等號時直線畫成實(shí)線 若直線不過原點(diǎn) 測試點(diǎn)常選取原點(diǎn) 2 求平面區(qū)域的面積 要先確定區(qū)域 若是規(guī)則圖形可直接求 若不規(guī)則可通過分割求解 變式訓(xùn)練 如圖 在平面直角坐標(biāo)系中 已知 abc三個頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為a 0 1 b 2 2 c 2 6 試寫出 abc及其內(nèi)部區(qū)域所對應(yīng)的二元一次不等式組 并求出該區(qū)域的面積 解析 由已知得直線ab bc ca的方程 直線ab x 2y 2 0 直線bc x y 4 0 直線ca 5x 2y 2 0 原點(diǎn) 0 0 不在各直線上 將原點(diǎn)坐標(biāo)代入到各直線方程左端 結(jié)合式子的符號可得不等式組為 由題圖可知 直線bc與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為d 0 4 s abc s bad s cad 3 3 6 簡單的線性規(guī)劃問題 方法點(diǎn)睛 1 利用線性規(guī)劃求目標(biāo)函數(shù)最值的步驟 1 畫出約束條件對應(yīng)的可行域 2 將目標(biāo)函數(shù)視為動直線 并將其平移經(jīng)過可行域 找到最優(yōu)解對應(yīng)的點(diǎn) 3 將最優(yōu)解代入目標(biāo)函數(shù) 求出最大值或最小值 2 目標(biāo)函數(shù)最值問題分析 1 線性目標(biāo)函數(shù)的最值一般在可行域的頂點(diǎn)處或邊界上取得 特別地對最優(yōu)整數(shù)解可視情況而定 2 目標(biāo)函數(shù)通常具有相應(yīng)的幾何意義 如截距 斜率 距離等 例2 已知實(shí)數(shù)x y滿足 1 若z x 2y 求z的最大值和最小值 2 若z x2 y2 求z的最大值和最小值 3 若求z的最大值和最小值 解題指南 1 作出可行域與直線x 2y 0 觀察確定最優(yōu)解 2 由幾何意義可確定z x2 y2為可行域內(nèi)的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離的平方 以此求解 3 由幾何意義可知所求為可行域內(nèi)的點(diǎn)與原點(diǎn)連線的斜率的最值 以此求解 規(guī)范解答 不等式組表示的平面區(qū)域如圖所示 圖中的陰影部分即為可行域 由得a 1 2 由得b 2 1 由得m 2 3 1 由z x 2y得由圖可知 當(dāng)直線經(jīng)過點(diǎn)b 2 1 時 z取得最大值 經(jīng)過點(diǎn)m 2 3 時 z取得最小值 zmax 2 2 1 0 zmin 2 2 3 4 2 過原點(diǎn) 0 0 作直線l垂直于直線x y 3 0 垂足為n 則直線l的方程為y x 由得點(diǎn)在線段ab上 也在可行域內(nèi) 觀察圖可知 可行域內(nèi)點(diǎn)m到原點(diǎn)的距離最大 點(diǎn)n到原點(diǎn)的距離最小 又 om on 即 z的最大值為13 最小值為 3 由圖可得 原點(diǎn)與可行域內(nèi)的點(diǎn)a的連線的斜率值最大 與點(diǎn)b的連線的斜率值最小 又koa 2 kob z的最大值為2 最小值為 互動探究 若將本例中第 3 問目標(biāo)函數(shù)修改為則z的最大值和最小值又將如何求 解析 由本例圖可知 目標(biāo)函數(shù)的幾何意義是可行域內(nèi)的點(diǎn)與p 4 3 點(diǎn)連線的斜率 由圖可知 點(diǎn)p 4 3 與a連線時斜率最大 與m連線時斜率最小 又故z的最大值為z的最小值為 3 反思 感悟 1 求目標(biāo)函數(shù)的最值 關(guān)鍵是確定可行域 將目標(biāo)函數(shù)對應(yīng)的直線平行移動 最先通過或最后通過的點(diǎn)便是最優(yōu)解 2 對于目標(biāo)函數(shù)具有明確的幾何意義時 其關(guān)鍵是確定其幾何意義是什么 如本例 2 中是與原點(diǎn)距離的平方而非距離 忽視這一點(diǎn)則極易錯解 變式備選 已知平面區(qū)域d由以a 1 3 b 5 2 c 3 1 為頂點(diǎn)的三角形內(nèi)部和邊界組成 若在區(qū)域d上有無窮多個點(diǎn) x y 可使目標(biāo)函數(shù)z x my m 0 取得最小值 則m a b c 1 d 4 解析 選c 方法一 由a 1 3 b 5 2 c 3 1 的坐標(biāo)位置知 abc所在的區(qū)域在第一象限 故x 0 y 0 由z x my得它表示斜率為在y軸上的截距為的直線 因?yàn)閙 0 則要使z x my取得最小值 必須使最小 此時需即m 1 方法二 把m的值逐一代入檢驗(yàn) 只有m 1符合題意 故選c 線性規(guī)劃的實(shí)際應(yīng)用 方法點(diǎn)睛 1 線性規(guī)劃的實(shí)際應(yīng)用問題的解法線性規(guī)劃的實(shí)際應(yīng)用問題 需要通過審題理解題意 找出各量之間的關(guān)系 最好是列成表格 找出線性約束條件 寫出所研究的目標(biāo)函數(shù) 轉(zhuǎn)化為簡單的線性規(guī)劃問題 2 求解步驟 1 作圖 畫出約束條件所確定的平面區(qū)域和目標(biāo)函數(shù)所表示的平行直線系中過原點(diǎn)的那一條直線l 2 平移 將l平行移動 以確定最優(yōu)解的對應(yīng)點(diǎn)a的位置 3 求值 解方程組求出a點(diǎn)的坐標(biāo) 即最優(yōu)解 代入目標(biāo)函數(shù) 即可求出最值 例3 某營養(yǎng)師要為某個兒童預(yù)訂午餐和晚餐 已知一個單位的午餐含12個單位的碳水化合物 6個單位的蛋白質(zhì)和6個單位的維生素c 一個單位的晚餐含8個單位的碳水化合物 6個單位的蛋白質(zhì)和10個單位的維生素c 另外 該兒童這兩餐需要的營養(yǎng)中至少含64個單位的碳水化合物 42個單位的蛋白質(zhì)和54個單位的維生素c 如果一個單位的午餐 晚餐的費(fèi)用分別是2 5元和4元 那么要滿足上述的營養(yǎng)要求 并且花費(fèi)最少 應(yīng)當(dāng)為該兒童分別預(yù)訂多少個單位的午餐和晚餐 解題指南 設(shè)出午餐和晚餐的單位個數(shù) 列出不等式組和費(fèi)用關(guān)系式 利用線性規(guī)劃求解 規(guī)范解答 方法一 設(shè)需要預(yù)訂滿足要求的午餐和晚餐分別為x個單位和y個單位 所花的費(fèi)用為z元 則依題意得z 2 5x 4y 且x y滿足即 作出線性約束條件所表示的可行域 如圖中陰影部分的整數(shù)點(diǎn) 讓目標(biāo)函數(shù)表示的直線2 5x 4y z在可行域上平移 由此可知z 2 5x 4y在b 4 3 處取得最小值 因此 應(yīng)當(dāng)為該兒童預(yù)訂4個單位的午餐和3個單位的晚餐 就可滿足要求 方法二 設(shè)需要預(yù)訂滿足要求的午餐和晚餐分別為x個單位和y個單位 所花的費(fèi)用為z元 則依題意得z 2 5x 4y 且x y滿足即 作出線性約束條件所表示的可行域 如圖中陰影部分的整數(shù)點(diǎn) z在可行域的四個頂點(diǎn)a 9 0 b 4 3 c 2 5 d 0 8 處的值分別是za 2 5 9 4 0 22 5 zb 2 5 4 4 3 22 zc 2 5 2 4 5 25 zd 2 5 0 4 8 32 經(jīng)比較得zb最小 因此 應(yīng)當(dāng)為該兒童預(yù)訂4個單位的午餐和3個單位的晚餐 就可滿足要求 反思 感悟 解線性規(guī)劃的實(shí)際應(yīng)用問題 關(guān)鍵是正確理解題意 最好將題目中的已知條件用表格形式呈現(xiàn) 來明確它們之間的關(guān)系 這樣能方便寫出線性約束條件及目標(biāo)函數(shù) 變式訓(xùn)練 鐵礦石a和b的含鐵率a 冶煉每萬噸鐵礦石的co2的排放量b及每萬噸鐵礦石的價格c如表 某冶煉廠至少要生產(chǎn)1 9萬噸鐵 若要求co2的排放量不超過2萬噸 則購買鐵礦石的最少費(fèi)用為百萬元 解析 設(shè)購買鐵礦石a b分別為x萬噸 y萬噸 購買鐵礦石的費(fèi)用為z百萬元 則目標(biāo)函數(shù)z 3x 6y 由得記p 1 2 畫出可行域可知 當(dāng)目標(biāo)函數(shù)z 3x 6y過點(diǎn)p 1 2 時 z取到最小值15 答案 15 易錯誤區(qū) 忽視題目中的個別約束條件致誤 典例 2011 湖南高考 設(shè)m 1 在約束條件下 目標(biāo)函數(shù)z x my的最大值小于2 則m的取值范圍為 a 1 1 b 1 c 1 3 d 3 解題指南 由已知條件作出可行域 注意已知中m 1的條件準(zhǔn)確作出平面區(qū)域 而后作出目標(biāo)函數(shù)直線 求解 規(guī)范解答 選a 由約束條件畫出可行域如圖所示 變換目標(biāo)函數(shù)為由于m 1 所以 1 0 不等式組表示的平面區(qū)域如圖中的陰影部分所示 根據(jù)目標(biāo)函數(shù)的幾何意義 只有直線在y軸上的截距最大時 目標(biāo)函數(shù)取得最大值 顯然在點(diǎn)a處取得最大值 由y mx x y 1 得所以目標(biāo)函數(shù)的最大值是即m2 2m 1 0 解得1 m 1 又m 1 故m的取值范圍是 1 1 閱卷人點(diǎn)撥 通過高考中的閱卷數(shù)據(jù)分析與總結(jié) 我們可以得到以下誤區(qū)警示與備考建議 1 2011 安徽高考 設(shè)變量x y滿足則x 2y的最大值和最小值分別為 a 1 1 b 2 2 c 1 2 d 2 1 解析 選b x y 1 x y 1 x 0三條直線兩兩相交的交點(diǎn)分別為 0 1 0 1 1 0 畫出可行域 圖略 可知 分別在點(diǎn) 0 1 0 1 得到最大值2 最小值 2 2 2011 山東高考 設(shè)變量x y滿足約束條件則目標(biāo)函數(shù)z 2x 3y 1的最大值為 a 11 b 10 c 9 d 8 5 解析 選b 畫出平面區(qū)域表示的可行域如圖所示 由目標(biāo)函數(shù)z 2x 3y 1得直線當(dāng)直線平移至點(diǎn)a 3 1 時 目標(biāo)函數(shù)z 2x 3y 1取得最大值10 3 2011 福建高考 已知o是坐標(biāo)原點(diǎn) 點(diǎn)a 1 1 若點(diǎn)m x y 為平面區(qū)域上的一個動點(diǎn) 則的取值范圍是 a 1 0 b 0 1 c 0 2 d 1 2 解析 選c 由題意 不等式組表示的