畢業(yè)設(shè)計(jì)（論文）-離散混沌系統(tǒng)的Q-S同步控制方法.doc

目錄目錄第一章 緒論11.1 離散混沌系統(tǒng)概述11.2 混沌的發(fā)展21.3 混沌同步控制方法31.4 本文的主要研究成果和內(nèi)容安排4第二章 二維logistic的混沌同步控制與Q-S同步控制72.1 二維logistic映射的混沌同步控制72.2 二維logistic映射的Q-S同步9第三章 二維Hnon的混沌同步控制與Q-S同步控制133.1 二維Hnon映射的混沌同步控制133.2 二維Hnon映射的Q-S同步15第四章 總結(jié)19致謝21參考文獻(xiàn)235緒論第一章 緒論1.1 離散混沌系統(tǒng)概述混沌是非線性動(dòng)力學(xué)中一個(gè)非常重要的概念，與日常人們提及的混沌有別。在非線性動(dòng)力學(xué)中，混沌是服從確定性規(guī)律但具有隨機(jī)性的運(yùn)動(dòng)。所謂服從確定性規(guī)律，是指系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)（或演化，evolution）可以用確定的動(dòng)力學(xué)方程(即使有時(shí)這類方程還沒有被找到)表述，而不是像噪聲那樣不附送任何動(dòng)力學(xué)方程。所謂運(yùn)動(dòng)具有隨機(jī)性，是指不能像經(jīng)典動(dòng)力學(xué)的機(jī)械運(yùn)動(dòng)那樣由某時(shí)刻狀態(tài)可以預(yù)言（或預(yù)測(cè)）以后任何時(shí)刻的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)，混沌運(yùn)動(dòng)倒是像其他隨機(jī)運(yùn)動(dòng)或噪聲那樣，其運(yùn)動(dòng)狀態(tài)時(shí)不可預(yù)言的，換言之，混沌運(yùn)動(dòng)在像空間中沒有確定的軌道。混沌運(yùn)動(dòng)這種在確定性系統(tǒng)中出現(xiàn)的隨機(jī)性被稱為“貌似隨機(jī)”?；煦邕\(yùn)動(dòng)的一些特點(diǎn)：(1)混沌運(yùn)動(dòng)是決定性和隨機(jī)性的對(duì)立統(tǒng)一，即它具有隨機(jī)性但又不是真正的或完全的隨機(jī)運(yùn)動(dòng)。(2)對(duì)初始狀態(tài)的敏感依賴，即蝴蝶效應(yīng)。蝴蝶效應(yīng)是區(qū)別混沌同其他確定性運(yùn)動(dòng)的最重要標(biāo)志。(3)連續(xù)動(dòng)力系統(tǒng)中，只有非線性系統(tǒng)才可能做混沌運(yùn)動(dòng)。離散混沌系統(tǒng)是指混沌系統(tǒng)中，研究對(duì)象不連續(xù)，而是以離散映射形式出現(xiàn)的混沌系統(tǒng)。以為離散映射可寫成如下形式：但是，同樣的問題也可能用連續(xù)過程的微分方程表示：就是實(shí)際上，這不過表示微分方程是離散映射取極限的結(jié)果。由此可見，離散映射與微分方程并不一定是分別表示兩種截然不同的動(dòng)力系統(tǒng)。也可以說，它們可能是從不同條件或角度分析同一動(dòng)力系統(tǒng)而得出的不同形式的動(dòng)力學(xué)方程。還可以看出，既然低維離散映射可能反映高維微分動(dòng)力系統(tǒng)的部分規(guī)律，因此離散映射所代表的動(dòng)力系統(tǒng)要比相同維數(shù)（狀態(tài)變量數(shù)目相同）的微分動(dòng)力系統(tǒng)復(fù)雜。實(shí)際上，微分動(dòng)力系統(tǒng)受到其狀態(tài)變量應(yīng)是連續(xù)變化的要求，這種連續(xù)性使其運(yùn)動(dòng)要受到較嚴(yán)格的限制。而在離散映射中，狀態(tài)變量的變化時(shí)不連續(xù)的，從而它不存在連續(xù)性對(duì)運(yùn)動(dòng)的限制，這就使離散系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)可以更豐富多彩。因此總的說，離散系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)比之相同維數(shù)的微分動(dòng)力系統(tǒng)要復(fù)雜得多，或者說所蘊(yùn)含的信息量要多。比如，一維或二維的微分動(dòng)力系統(tǒng)不可能做混沌，但是一維離散映射卻可能出現(xiàn)混沌。1.2 混沌的發(fā)展混沌運(yùn)動(dòng)史1963年由美國(guó)氣象學(xué)家洛倫茲（E.Lorenz）在研究區(qū)域小氣候，求解他所提出的模型方程時(shí)首先發(fā)現(xiàn)的1。在研究區(qū)域小氣候時(shí)可以認(rèn)為，受日光加熱的地標(biāo)和同溫層構(gòu)成溫度分別為和的平行板，空氣在這兩塊平行板之間進(jìn)行對(duì)流和熱傳導(dǎo)，這就是所謂瑞利-柏納德對(duì)流（Rayleigh-Bnard convection）.這樣的一個(gè)小氣候系統(tǒng)要用一組偏微分方程描述。此系統(tǒng)有以平衡態(tài)：流體（空氣，在小型實(shí)驗(yàn)室中是某些液體）靜止，熱量考熱傳導(dǎo)由下層到上層。瑞利研究了此平衡態(tài)的線性穩(wěn)定性。他發(fā)現(xiàn)，當(dāng)超過某一臨界值時(shí)，此平衡態(tài)不穩(wěn)定，并開始出現(xiàn)環(huán)形對(duì)流。當(dāng)與差別不大時(shí)，這種環(huán)形流還是穩(wěn)定的。但當(dāng)較大時(shí)，此環(huán)形流就不穩(wěn)定了，流體的流動(dòng)變得不規(guī)則。為了進(jìn)一步求解描述上述系統(tǒng)方程的解，通常的方法是講解寫成傅里葉級(jí)數(shù)形式1。這樣，原偏微分方程可化為一些列關(guān)于傅里葉系數(shù)的一系列常微分方程組。求其近似解（所謂Galerkin approximation）是只截取級(jí)數(shù)的有限項(xiàng)。這樣，原偏微分方程組便化為有限個(gè)常微分方程組。1963年洛倫茲截取傅里葉級(jí)數(shù)的前三項(xiàng)，得到下列方程組 (1.2.1)式中表示對(duì)流運(yùn)動(dòng)的振幅（流速，對(duì)于環(huán)流，表示順時(shí)針方向，表示逆時(shí)針方向），表示對(duì)流時(shí)上升與下降流體的水平方向溫差，表示對(duì)流引起的垂直方向溫差對(duì)線性情形（無對(duì)流的平衡態(tài)）的偏離。和都是量綱為1（無量綱）的正的參量，他們分別是普朗特（Prandtl）數(shù)、瑞利數(shù)（或雷諾數(shù)）和與容器（小氣候區(qū)域范圍）大小形狀有關(guān)的量，方程中的求導(dǎo)也是對(duì)無量綱時(shí)間進(jìn)行的。方程(1.2.1)就是有名的洛倫茲方程。1963年洛倫茲利用計(jì)算機(jī)（McBeeLGP-30機(jī)子，內(nèi)存60KB，每秒60次乘法運(yùn)算）求解此方程1。發(fā)現(xiàn)，當(dāng)時(shí)，只要超過24.74，解便變得混論不規(guī)則（隨機(jī)的或非周期的），且解很不穩(wěn)定而敏感地與初始條件有關(guān)。實(shí)際上，這樣的解就是現(xiàn)在所說的混沌。20世紀(jì)90年代之前，人們雖然認(rèn)識(shí)到了混沌存在的客觀性，但由于它的不穩(wěn)定性和長(zhǎng)時(shí)間發(fā)展趨勢(shì)的不可預(yù)報(bào)性，又認(rèn)為為它是一種“有害”的現(xiàn)象，在許多實(shí)際應(yīng)用相關(guān)的工程技術(shù)領(lǐng)域內(nèi)，人們想盡辦法回避這類“有害”現(xiàn)象1。如何利用混沌研究成果服務(wù)于人類已成為非線性科學(xué)發(fā)展提出的新的重要課題。利用混沌的惡前提是駕馭它，也就是控制混沌。1989年胡伯勒（A.Hubler）在他發(fā)表的一篇文章中首次提出混沌可以被控制的現(xiàn)象。次年，奧特（E.Ott）、格里波基（G.Grebogi）和約克（J.Yorke）提出控制混沌的思想，并基于混沌軌道是由無窮多不穩(wěn)定周期軌道構(gòu)成的基本性質(zhì)，提出一種參數(shù)微擾法控制混沌運(yùn)動(dòng)的具體實(shí)施辦法，即現(xiàn)在稱之為的OGY方法（Ott, Grebogi and Yorke）。很快他們提出的控制混沌的思想和方法被迪托（W.L.Ditto ）等人在一個(gè)力學(xué)實(shí)驗(yàn)中證實(shí)2，稍后也被羅意（R.Roy）等人在一個(gè)激光系統(tǒng)中加以利用和拓展3。隨后的10多年中，有關(guān)混沌控制的研究得到了蓬勃的發(fā)展。這期間人們提出各式各樣控制混沌的方法及其理論，并在自然科學(xué)的眾多實(shí)際領(lǐng)域內(nèi)的實(shí)驗(yàn)和應(yīng)用中得到證實(shí)。近年來，這一研究方向的理論實(shí)驗(yàn)以及應(yīng)用上的工作進(jìn)展異常迅猛。1.3 混沌同步控制方法同步是自然界中的一種基本現(xiàn)象，它通常指：至少在兩個(gè)振動(dòng)系統(tǒng)相位間的協(xié)調(diào)一致現(xiàn)象。關(guān)于同步現(xiàn)象最早的研究可以追溯到1673年惠更斯(C.Huygens)關(guān)于耦合單擺的同步現(xiàn)象的觀察?；煦缤浆F(xiàn)象則是指兩個(gè)混沌系統(tǒng)相位間達(dá)到協(xié)調(diào)一致的現(xiàn)象。在20世紀(jì)90年，Pecora和Carroll提出相同混沌子系統(tǒng)間，在不同的初始條件下，通過某種驅(qū)動(dòng)（或耦合），仍然可以實(shí)現(xiàn)混沌軌道的同步化 4。他們提出了一種混沌同步的方法（簡(jiǎn)稱P-C方法），并在電子線路上首次觀察到混沌同步現(xiàn)象。這項(xiàng)發(fā)現(xiàn)極大地推動(dòng)了混沌同步的理論研究，拉開了利用混沌的序幕。常用的混沌同步方法有：1、驅(qū)動(dòng)-響應(yīng)同步方法，Pecora和Carroll提出的正是此方法。2、主動(dòng)-被動(dòng)同步方法，是驅(qū)動(dòng)-響應(yīng)同步方法的改進(jìn)，由L.Kocarev和U.Parlitz提出。3、變量反饋同步控制方法，此方法是由Pyragas5借鑒非線性連續(xù)混沌系統(tǒng)反饋控制法的思想所設(shè)計(jì)出來的方法。Q-S同步方法6，有別于一般的混沌同步方法，只需要簡(jiǎn)單的幾個(gè)步驟或重復(fù)，就可以有效地控制混沌，并且階數(shù)比以往的方法更低。因此Q-S同步控制方法是離散動(dòng)力系統(tǒng)中非常重要的方法。下面給出離散動(dòng)力系統(tǒng)中的Q-S同步的定義6。定義：對(duì)兩個(gè)離散動(dòng)力系統(tǒng)：(i) (ii) 其中令，是有界向量方程。如果存在合適的控制變量使得，則系統(tǒng)(i)和系統(tǒng)(ii)是Q-S同步。可見，Q-S同步控制方法的關(guān)鍵是找到合適的標(biāo)量控制器。1.4 反步法反步法，即Backstepping （逐步后推，反推）設(shè)計(jì)方法，是針對(duì)不確定性系統(tǒng)的一種系統(tǒng)化的控制器綜合方法，是將Lyapunov 函數(shù)的選取與控制器的設(shè)計(jì)相結(jié)合的一種回歸設(shè)計(jì)方法7。它通過從系統(tǒng)的最低階次微分方程開始，引入虛擬控制的概念，一步一步設(shè)計(jì)滿足要求的虛擬控制，最終設(shè)計(jì)出真正的控制律. Backstepping自適應(yīng)控制是當(dāng)前自適應(yīng)控制理論和應(yīng)用的前沿課題之一,近年來, 在處理線性和某些非線性系統(tǒng)時(shí), 該方法在改善過渡過程品質(zhì)方面展現(xiàn)出較大的潛力,除航空航天領(lǐng)域外, 在液壓控制、電機(jī)控制、機(jī)器人控制、船舶控制等許多工業(yè)控制領(lǐng)域, 反推自適應(yīng)控制的應(yīng)用在國(guó)內(nèi)外均有大量報(bào)道.1.5 本文的主要研究成果和內(nèi)容安排Logistic映射和Hnon映射都是混沌系統(tǒng)中經(jīng)典的動(dòng)力學(xué)方程，通過對(duì)這兩個(gè)映射的研究，更容易描述混沌系統(tǒng)的特性。二維映射起著從一維到高維的銜接作用，對(duì)二維映射中混沌現(xiàn)象和混沌控制的研究有助于認(rèn)識(shí)和控制更復(fù)雜的高維動(dòng)力系統(tǒng)的性態(tài)。本文將用混沌同步和Q-S同步分別研究二維Logistic映射和二維Hnon映射，并通過符號(hào)計(jì)算，繪出混沌運(yùn)動(dòng)的奇怪吸引子。本文中，第二章將會(huì)介紹二維Logistic映射的混沌同步和Q-S同步；第三章將會(huì)介紹二維Hnon映射的混沌同步和Q-S同步，作為二維Logistic映射的對(duì)比；第四章將會(huì)總結(jié)二維Logistic映射和二維Hnon映射的對(duì)比結(jié)果，以及混沌同步和Q-S同步兩種同步方法分別在二維Logistic映射、二維Hnon映射中的作用。- 7 -二維logistic的混沌同步控制與Q-S同步控制11二維logistic的混沌同步控制與Q-S同步控制第二章 二維logistic的混沌同步控制與Q-S同步控制2.1 二維logistic映射的混沌同步控制首先，給出二維logistic映射8： (2.1.1)顯然，這是一個(gè)具有耦合項(xiàng)的二維logistic映射。以映射(2.1.1)為驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)，那么受控的二維logistic映射 (2.1.2)就是響應(yīng)系統(tǒng)。其中就是待定標(biāo)量控制器。當(dāng)參數(shù)取，初始值取時(shí)，其混沌吸引子如圖2-1所示：令誤差記為：，那么由(2.1.1)和(2.1.2)可以得到離散誤差動(dòng)力系統(tǒng)： (2.1.3)接下來，引用文獻(xiàn)6的方法：第一步：引入第一個(gè)誤差變量，令第一個(gè)Lyapunov為，令第二個(gè)誤差變量為 (2.1.4)其中。然后可得的導(dǎo)數(shù) (2.1.5)第二步：令 (2.1.6)通過符號(hào)計(jì)算，由(2.1.4)和(2.1.6)可得標(biāo)量控制器 (2.1.7)因此 (2.1.8)令第二部分Lyapunov函數(shù)為，其中。所以的導(dǎo)數(shù)為 (2.1.9)由此可見，式(2.1.9)右邊將是負(fù)定的如果以下條件成立： (2.1.10)顯然，存在多種情況滿足(2.1.10)，例如。由(2.1.4)和(2.1.6)，可得含有的閉環(huán)離散動(dòng)力系統(tǒng)： (2.1.11)因此，對(duì)于給定的正實(shí)數(shù)，如果參數(shù)滿足(2.1.10)，那么系統(tǒng)(2.1.11)全局漸近穩(wěn)定且。由和(2.1.8)可得圖2-1。接下來用數(shù)值模擬驗(yàn)證上述同步方法的有效性。參數(shù)取 滿足(2.1.10)。當(dāng)未施加變量控制器時(shí)分別以，作為系統(tǒng)(2.1.1)和(2.1.2)的初始值。因此可得系統(tǒng)(2.1.3)的初始值。圖2-2為混沌同步誤差示意圖。圖2-2 2.2 二維logistic映射的Q-S同步接下來,考慮Q-S同步方法研究上述二維logistic映射8。驅(qū)動(dòng)系統(tǒng) (2.2.1)受控系統(tǒng) (2.2.2)這里將會(huì)用到廣義反步法5來探討(2.2.1)和(2.2.2)的Q-S同步。第一步：令第一個(gè)誤差變量，由(2.2.1)和(2.2.2)可得 (2.2.3)令第一部分Lyapunov函數(shù)為，第二個(gè)誤差變量為 (2.2.4)其中且由此可得的導(dǎo)數(shù) (2.2.5)第二步：利用符號(hào)計(jì)算，從等式 (2.2.6)和(2.2.4)可得標(biāo)量控制器 (2.2.7)因此 (2.2.8)令Lyapunov函數(shù)為，其中，那么的導(dǎo)數(shù)為 (2.2.9)由此可見，式(2.2.9)右邊將是負(fù)定的如果以下條件成立： (2.2.10)顯然，存在多種情況滿足(2.2.10)，例如。由(2.2.4)和(2.2.6)，可得含有的閉環(huán)離散動(dòng)力系統(tǒng)： (2.2.11)接下來用數(shù)值模擬驗(yàn)證上述同步方法的有效性。參數(shù)取 滿足(2.2.10)。當(dāng)未施加變量控制器時(shí)分別以，作為系統(tǒng)(2.2.1)和(2.2.2)的初始值。因此可得系統(tǒng)(2.1.3)的初始值。圖2-3為其Q-S同步誤差示意圖。圖2-3 13二維Hnon的混沌同步控制與Q-S同步控制17二維Hnon的混沌同步控制與Q-S同步控制第三章 二維Hnon的混沌同步控制與Q-S同步控制3.1 二維Hnon映射的混沌同步控制研究Hnon映射是為了通過和logistic映射的比較，更容易理解混沌系統(tǒng)的特性。下面是二維Hnon映射9： (3.1.1)這是一個(gè)簡(jiǎn)單的二維Hnon映射。接下來，我們用第二章的方法研究其混沌同步控制特性。以映射(3.1.1)為驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)，那么受控的二維Hnon映射 (3.1.2)就是響應(yīng)系統(tǒng)。其中就是待定標(biāo)量控制器。當(dāng)參數(shù)取，初始值取時(shí)，其混沌吸引子如圖3-1所示：圖3-1 令誤差記為：，那么由(3.1.1)和(3.1.2)可以得到離散誤差動(dòng)力系統(tǒng)： (3.1.3)第一步：引入第一個(gè)誤差變量，令第一個(gè)Lyapunov為，令第二個(gè)誤差變量為 (3.1.4)其中。然后可得的導(dǎo)數(shù) (3.1.5)第二步：令 (3.1.6)通過符號(hào)計(jì)算，由(3.1.6)和(3.1.4)可得標(biāo)量控制器 (3.1.7)因此 (3.1.8)令第二部分Lyapunov函數(shù)為，其中。所以的導(dǎo)數(shù)為 (3.1.9)由此可見，式(3.1.9)右邊將是負(fù)定的如果以下條件成立： (3.1.10)顯然，存在多種情況滿足(3.1.10)，例如。由(3.1.4)和(3.1.6)，可得含有的閉環(huán)離散動(dòng)力系統(tǒng)： (3.1.11)因此，對(duì)于給定的正實(shí)數(shù)，如果參數(shù)滿足(3.1.10)，那么系統(tǒng)(3.1.11)全局漸近穩(wěn)定且。由和(3.1.8)可得圖3-1。接下來用數(shù)值模擬驗(yàn)證上述同步方法的有效性。參數(shù)取 滿足(3.1.10)。當(dāng)未施加變量控制器時(shí)分別以，作為系統(tǒng)(3.1.1)和(3.1.2)的初始值。因此可得系統(tǒng)(3.1.3)的初始值。圖3-2為混沌同步誤差示意圖。圖3-2 3.2 二維Hnon映射的Q-S同步這里直接使用上述二維Hnon映射9驅(qū)動(dòng)系統(tǒng) (3.2.1)受控系統(tǒng) (3.2.2)使用廣義反步法6來探討(3.2.1)和(3.2.2)的Q-S同步。第一步：令第一個(gè)誤差變量，再由(3.2.1)和(3.2.2)可得 (3.2.3)令第一部分Lyapunov函數(shù)為，第二個(gè)誤差變量為 (3.2.4)其中且由此可得的導(dǎo)數(shù) (3.2.5)第二步：利用符號(hào)計(jì)算，從等式 (3.2.6)和(3.2.6)可得標(biāo)量控制器 (3.2.7)因此 (3.2.8)令Lyapunov函數(shù)為，其中，那么的導(dǎo)數(shù)為 (3.2.9)由此可見，式(3.2.9)右邊將是負(fù)定的如果以下條件成立： (3.2.10)顯然，存在多種情況滿足(3.2.10)，例如。由(3.2.4)和(3.2.6)，可得含有的閉環(huán)離散動(dòng)力系統(tǒng)： (3.2.11)接下來用數(shù)值模擬驗(yàn)證上述同步方法的有效性。參數(shù)取 滿足(3.2.10)。當(dāng)未施加變量控制器時(shí)分別以，作為系統(tǒng)(3.2.1)和(3.2.2)的初始值。因此可得系統(tǒng)(3.1.3)的初始值。圖3-3為其Q-S同步誤差示意圖。圖3-3 19總結(jié)19總結(jié)第四章 總結(jié)通過第二章和第三章，可以看到，混沌同步方法和Q-S同步方法都能使離散混沌系統(tǒng)達(dá)到同步。而Q-S同步方法較混沌同步方法更具有一般性，在不要求系統(tǒng)狀態(tài)達(dá)到完全一致（）的情況下，也能使混沌系統(tǒng)達(dá)到同步狀態(tài)。在不可避免干擾的保密通信應(yīng)用中，更具有使用價(jià)值。并且發(fā)現(xiàn)，無論是混沌同步方法還是Q-S同步控制方法，最終得到的判定條件都是那么，可以得到一個(gè)推論：在參數(shù)取值恰當(dāng)情況下，二維混沌系統(tǒng)都可以達(dá)到同步狀態(tài)。推論可以推廣到高維的混沌系統(tǒng)：在參數(shù)取值恰當(dāng)情況下，混沌系統(tǒng)都可以達(dá)到同步狀態(tài)。21致謝致謝一起走過的四年，我學(xué)業(yè)上的成績(jī)和生活中的快樂是很多人在經(jīng)意與不經(jīng)意間所賜予的。這種賜予尤其集中的突顯于撰寫畢業(yè)論文的這段時(shí)間，我衷心地感謝陪伴我度過這段時(shí)間的老師，朋友們。此時(shí)此刻，我最想感謝的就是我的導(dǎo)師李瑞紅老師，從選題到論文結(jié)構(gòu)再到表述規(guī)范，她都一一給予了非常悉心的指導(dǎo)。李老師是一個(gè)非常嚴(yán)謹(jǐn)?shù)植皇вH切的人，我很感激她對(duì)我要求上的嚴(yán)格與認(rèn)真以及能力上的肯定與信任。從李老師身上，我所領(lǐng)受到的不僅僅是她治學(xué)上的嚴(yán)謹(jǐn)，更重要的是她對(duì)學(xué)生赤誠(chéng)的愛與關(guān)心。她所做的一切總是能在讓我感到感動(dòng)的同時(shí)，拾得非常有益的人生智慧。另外，我還要感謝李小南老師，這四年若沒有李老師在各方面的關(guān)心，我不會(huì)這么無憂無慮的學(xué)習(xí)、工作和生活。他在工作中的嚴(yán)肅、全面、細(xì)致以及生活中的親切，讓我受到了太多太多的影響。最后，還要感謝我身邊一直支持我并且從生活上給予無微不至照顧的朋友們。在他們的疼愛與呵護(hù)中，我度過了非常快樂、幸福、充實(shí)的大學(xué)四年，讓我收獲了活潑、自信、善良、寬容的品格。他們無處不在的問候和信任是我永遠(yuǎn)堅(jiān)持下去的不竭動(dòng)力。再次感謝所有關(guān)心，幫助我的老師、朋友和親人。23參考文獻(xiàn)23參考文獻(xiàn)參考文獻(xiàn)1 劉秉正, 彭建華, 非線性動(dòng)力學(xué), 北京: 高等教育出版社, 2004.2 Ditto W L, Rauseo S N, Spano M L. 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