（新課標）高考數(shù)學大一輪復習 第六章 不等式、推理與證明精品講義 理（含解析）.doc

第六章不等式、推理與證明第一節(jié) 不等關系與不等式基礎盤查一兩個實數(shù)比較大小的方法(一)循綱憶知1了解現(xiàn)實世界和日常生活中的不等關系；2了解不等式(組)的實際背景(二)小題查驗判斷正誤(1)不等關系是通過不等式來體現(xiàn)的，離開了不等式，不等關系就無從體現(xiàn)()(2)兩個實數(shù)a，b之間，有且只有ab，ab，ab三種關系中的一種()(3)若1，則ab()答案：(1)(2)(3)基礎盤查二不等式的基本性質(一)循綱憶知掌握不等式的性質及應用(二)小題查驗1判斷正誤(1)一個不等式的兩邊同加上或同乘以同一個數(shù)，不等號方向不變()(2)一個非零實數(shù)越大，則其倒數(shù)就越小()(3)同向不等式具有可加和可乘性()(4)ab0，cd0()(5)若ab0，則ab答案：(1)(2)(3)(4)(5)2(人教a版教材習題改編)用不等號“”或“”填空：(1)ab，cdac_bd；(2)ab0，cd0ac_bd；(3)ab0_；(4)ab0_.答案：(1)(2)(3)(4)|(基礎送分型考點自主練透)必備知識兩個實數(shù)比較大小的法則關系法則作差法則作商法則abab01(a，b0)或1(a，b0)abab01(b0)abab01(a，b0)或1(a，b0)題組練透1已知a1，a2(0,1)，記ma1a2，na1a21，則m與n的大小關系是()amncmn d不確定解析：選bmna1a2(a1a21)a1a2a1a21a1(a21)(a21)(a11)(a21)，又a1(0,1)，a2(0,1)，a110，a210，即mn0.m n.2若a，b，則a_b(填“”或“”)解析：易知a，b都是正數(shù)，log891，所以ba.答案：3若實數(shù)a1，比較a2與的大小解：a2.當a1時，a2；當a1時，a2bbb，bcac.(3)可加性：abacbc.(4)可乘性：ab，c0acbc；ab，c0acb，cdacbd.(6)乘法法則：ab0，cd0acbd.(7)乘方法則：ab0anbn(nn，n2)(8)開方法則：ab0(nn，n2)2不等式的倒數(shù)性質(1)ab，ab0.(2)a0bb0,0c.提醒不等式兩邊同乘數(shù)c時，要特別注意“乘數(shù)c的符號”典題例析1(2013天津高考)設a，br則“(ab)a20”是“ab0，則下列不等式不成立的是()a.|b|cab2 d.ab0，|b|，ab2，又2a2b，ab，選c.2若a0ba，cd0，則下列結論：adbc；0；acbd；a(dc)b(dc)中成立的個數(shù)是()a1 b2c3 d4解析：選c法一：a0b，cd0，ad0，bc0，adbc，故錯誤a0ba，ab0，cd0，cd0，a(c)(b)(d)，acbd0，0，故正確cd，cd，ab，a(c)b(d)，acbd，故正確ab，dc0，a(dc)b(dc)，故正確，故選c.法二：取特殊值|(題點多變型考點全面發(fā)掘)一題多變典型母題已知函數(shù)f(x)ax2bx，且1f(1)2，2f(1)4.求f(2)的取值范圍解f(1)ab，f(1)ab.f(2)4a2b.設m(ab)n(ab)4a2b.則解得f(2)(ab)3(ab)f(1)3f(1)1f(1)2,2f(1)4，5f(2)10.即f(2)的取值范圍為5,10.題點發(fā)散1若本例中條件變?yōu)椋阂阎瘮?shù)f(x)ax2bx，且1f(1)2,2f(1)4，求f(2)的取值范圍解：由本例知f(2)f(1)3f(1)又1f(1)2,2f(1)4，53f(1)f(1)10，故5f(2)0a；0ab；a0b；ab0中，能推出成立的有()a1個 b2個c3個 d4個解析：選c成立，即0成立，逐個驗證可得，滿足題意5若0，則下列結論不正確的是()aa2b2 babb2cab|ab|解析：選dab.a2b2，abb2，abb，則ac2bc2；若ac2bc2，則ab；若ab，則a2cb2c.其中正確命題的序號是_解析：若c0則命題不成立正確中由2c0知成立答案：8若13，4 2，則|的取值范圍是_解析：4 2，0|4.4|0.3|3.答案：(3,3)9已知ab0，則與的大小關系是_解析：(ab).ab0，(ab)20，0.答案：10已知存在實數(shù)a滿足ab2aab，則實數(shù)b的取值范圍是_解析：ab2aab，a0，當a0時，有b21b，即解得b1；當a0時，有b21b，即無解綜上可得b1.答案：(，1)三、解答題11若ab0，cd0，e0.求證：.證明：cd0，cd0.又ab0，acbd0.(ac)2(bd)20.0.又e0，.12某單位組織職工去某地參觀學習需包車前往甲車隊說：“如果領隊買一張全票，其余人可享受7.5折優(yōu)惠”乙車隊說：“你們屬團體票，按原價的8折優(yōu)惠”這兩個車隊的原價、車型都是一樣的，試根據(jù)單位去的人數(shù)比較兩車隊的收費哪家更優(yōu)惠解：設該單位職工有n人(nn*)，全票價為x元，坐甲車需花y1元，坐乙車需花y2元，則y1xx(n1)xxn，y2nx.所以y1y2xxnnxxnxx.當n5時，y1y2；當n5時，y1y2；當n5時，y1y2.因此當單位去的人數(shù)為5人時，兩車隊收費相同；多于5人時，甲車隊更優(yōu)惠；少于5人時，乙車隊更優(yōu)惠第二節(jié)一元二次不等式及其解法基礎盤查一元二次不等式(一)循綱憶知1會從實際情境中抽象出一元二次不等式模型；2通過函數(shù)圖象了解一元二次不等式與相應的二次函數(shù)、一元二次方程的聯(lián)系；3會解一元二次不等式，對給定的一元二次不等式，會設計求解的程序框圖(二)小題查驗1判斷正誤(1)不等式ax2x10一定是一元二次不等式()(2)一元二次不等式ax2bxc0(a0)的解集就是二次函數(shù)yax2bxc(a0)的圖象在x軸上方時點的橫坐標x的集合()(3)一元二次不等式ax2bxc0(a0)的解集為r時，ax2bxc0恒成立()(4)若一元二次方程ax2bxc0的解是x1，x2，且x1x2，則ax2bxc0的解集為()答案：(1)(2)(3)(4)2不等式組的解集是()a(2,3)b.(2,3)c.(3，) d(，1)(2，)解析：選bx24x30，1x0，(x2)(2x3)0，x2，原不等式組的解集為(2,3)3(人教a版教材例題改編)不等式x22x30的解集為_答案：4已知集合a，集合bxr|(xm)(x2)0，且ab(1，n)，則m_，n_.答案：11|(基礎送分型考點自主練透)必備知識設一元二次不等式為ax2bxc0(a0)，其中b24ac，x1，x2是方程ax2bxc0(a0)的兩個根且x1x2.(1)當a0時，若0，則不等式的解集為x|xx1，或xx2；若0，則不等式的解集為；若0，則不等式的解集為r.(2)當a0時，若0，則不等式的解集為x|x1xx2；若0，則不等式的解集為；若0，則不等式的解集為.題組練透1已知不等式x22x30的解集為a，不等式x2x60的解集為b，不等式x2axb0的解集為ab，則ab等于()a3b1c1 d3解析：選a由題意得，ax|1x3，bx|3x2，abx|1x2，由根與系數(shù)的關系可知，a1，b2，則ab3，故選a.2解下列不等式：(1)3x22x80；(2)0x2x24；(3)ax2(a1)x10(a0)解：(1)原不等式可化為3x22x80，即(3x4)(x2)0.解得2x，所以原不等式的解集為.(2)原不等式等價于借助于數(shù)軸，如圖所示，原不等式的解集為.(3)原不等式變?yōu)?ax1)(x1)0，因為a0，所以a(x1)0.所以當a1時，解為x1；當a1時，解集為；當0a1時，解為1x.綜上，當0a1時，不等式的解集為；當a1時，不等式的解集為；當a1時，不等式的解集為.類題通法1解一元二次不等式的一般步驟(1)化：把不等式變形為二次項系數(shù)大于零的標準形式(2)判：計算對應方程的判別式(3)求：求出對應的一元二次方程的根，或根據(jù)判別式說明方程有沒有實根(4)寫：利用“大于取兩邊，小于取中間”寫出不等式的解集2解含參數(shù)的一元二次不等式時分類討論的依據(jù)(1)二次項中若含有參數(shù)應討論是等于0，小于0，還是大于0，然后將不等式轉化為一次不等式或二次項系數(shù)為正的形式(2)當不等式對應方程的根的個數(shù)不確定時，討論判別式與0的關系(3)確定無根時可直接寫出解集，確定方程有兩個根時，要討論兩根的大小關系，從而確定解集形式提醒當不等式中二次項的系數(shù)含有參數(shù)時，不要忘記討論其等于0的情況|(常考常新型考點多角探明)必備知識一元二次不等式恒成立的條件(1)不等式ax2bxc0對任意實數(shù)x恒成立或(2)不等式ax2bxc0對任意實數(shù)x恒成立或多角探明一元二次不等式與其對應的函數(shù)與方程之間存在著密切的聯(lián)系在解決具體的數(shù)學問題時，要注意三者之間的相互聯(lián)系，并在一定條件下相互轉換對于一元二次不等式恒成立問題，常根據(jù)二次函數(shù)圖象與x軸的交點情況確定判別式的符號，進而求出參數(shù)的取值范圍.歸納起來常見的命題角度有：(1)形如f(x)0(xr)確定參數(shù)的范圍；(2)形如f(x)0(xa，b)確定參數(shù)范圍；(3)形如f(x)0(參數(shù)ma，b)確定x的范圍.角度一：形如f(x)0(xr)確定參數(shù)的范圍1已知不等式mx22xm10，是否存在實數(shù)m對所有的實數(shù)x，不等式恒成立？若存在，求出m的取值范圍；若不存在，請說明理由解：不等式mx22xm10恒成立，即函數(shù)f(x)mx22xm1的圖象全部在x軸下方當m0時，12x0，則x，不滿足題意；當m0時，函數(shù)f(x)mx22xm1為二次函數(shù)，需滿足開口向下且方程mx22xm10無解，即不等式組的解集為空集，即m無解綜上可知不存在這樣的m.角度二：形如f(x)0(xa，b)確定參數(shù)范圍2設函數(shù)f(x)mx2mx1(m0)，若對于x1,3，f(x)m5恒成立，求m的取值范圍解：要使f(x)m5在1,3上恒成立，則mx2mxm60，即m2m60在x1,3上恒成立有以下兩種方法：法一：令g(x)m2m6，x1,3當m0時，g(x)在1,3上是增函數(shù)，所以g(x)maxg(3)7m60.所以m，則0m.當m0時，g(x)在1,3上是減函數(shù)，所以g(x)maxg(1)m60.所以m6.所以m0.綜上所述，m的取值范圍是.法二：因為x2x120，又因為m(x2x1)60，所以m.因為函數(shù)y在1,3上的最小值為，所以只需m即可因為m0，所以m的取值范圍是.角度三：形如f(x)0(參數(shù)ma，b)確定x的范圍3對任意m1,1，函數(shù)f(x)x2(m4)x42m的值恒大于零，求x的取值范圍解：由f(x)x2(m4)x42m(x2)mx24x4，令g(m)(x2)mx24x4.由題意知在1,1上，g(m)的值恒大于零，解得x3.故當x3時，對任意的m1,1，函數(shù)f(x)的值恒大于零類題通法恒成立問題及二次不等式恒成立的條件(1)解決恒成立問題一定要清楚選誰為主元，誰是參數(shù)一般地，知道誰的范圍，就選誰當主元，求誰的范圍，誰就是參數(shù)(2)對于二次不等式恒成立問題，恒大于0就是相應的二次函數(shù)的圖象在給定的區(qū)間上全部在x軸上方；恒小于0就是相應的二次函數(shù)的圖象在給定的區(qū)間上全部在x軸下方|(重點保分型考點師生共研)典題例析甲廠以x千克/小時的速度勻速生產(chǎn)某種產(chǎn)品(生產(chǎn)條件要求1x10)，每小時可獲得利潤是100元(1)要使生產(chǎn)該產(chǎn)品2小時獲得的利潤不低于3 000元，求x的取值范圍；(2)要使生產(chǎn)900千克該產(chǎn)品獲得的利潤最大，問：甲廠應該選取何種生產(chǎn)速度？并求最大利潤解：(1)根據(jù)題意，2003 000，整理得5x140，即5x214x30，又1x10，可解得3x10.即要使生產(chǎn)該產(chǎn)品2小時獲得的利潤不低于3 000元，x的取值范圍是3,10(2)設利潤為y元，則y10091049104，故x6時，ymax457 500元即甲廠以6千克/小時的生產(chǎn)速度生產(chǎn)900千克該產(chǎn)品獲得的利潤最大，最大利潤為457 500元類題通法求解不等式應用題的四個步驟(1)閱讀理解，認真審題，把握問題中的關鍵量，找準不等關系(2)引進數(shù)學符號，將文字信息轉化為符號語言，用不等式表示不等關系，建立相應的數(shù)學模型(3)解不等式，得出數(shù)學結論，要注意數(shù)學模型中自變量的實際意義(4)回歸實際問題，將數(shù)學結論還原為實際問題的結果演練沖關某商品每件成本價為80元，售價為100元，每天售出100件若售價降低x成(1成10%)，售出商品數(shù)量就增加x成(要求售價不能低于成本價)(1)設該商店一天的營業(yè)額為y，試求y與x之間的函數(shù)關系式y(tǒng)f(x)，并寫出定義域；(2)若要求該商品一天營業(yè)額至少為10 260元，求x的取值范圍解：(1)由題意得y10010020(10x)(508x)因為售價不能低于成本價，所以100800，解得x2.所以yf(x)20(10x)(508x)，定義域為0,2(2)由題意得20(10x)(508x)10 260，化簡得8x230x130.解得x.所以x的取值范圍是.一、選擇題1(2014大綱卷)不等式組的解集為()ax|2x1bx|1x0cx|0x1解析：選c解x(x2)0，得x0；解|x|1，得1x1.因為不等式組的解集為兩個不等式解集的交集，即解集為x|0x0，即x2時，不等式可化為(x2)24，x4；當x20，即x2時，不等式可化為(x2)24，0x0在區(qū)間1,5上有解，則a的取值范圍是()a. b.c(1，) d.解析：選a由a280，知方程恒有兩個不等實根，又知兩根之積為負，所以方程必有一正根、一負根于是不等式在區(qū)間1,5上有解的充要條件是f(5)0，解得a，故a的取值范圍為，二、填空題7不等式|x(x2)|x(x2)的解集是_解析：不等式|x(x2)|x(x2)的解集即x(x2)0的解集，解得0x2.答案：x|0xzc或zazczb或zbzcza，解得a1或a2.法二：目標函數(shù)zyax可化為yaxz，令l0：yax，平移l0，則當l0ab或l0ac時符合題意，故a1或a2.類題通法1求目標函數(shù)的最值的一般步驟為：一畫二移三求其關鍵是準確作出可行域，理解目標函數(shù)的意義2常見的目標函數(shù)有：(1)截距型：形如zaxby.求這類目標函數(shù)的最值常將函數(shù)zaxby轉化為直線的斜截式：yx，通過求直線的截距的最值間接求出z的最值(2)距離型：形如z(xa)2(yb)2.(3)斜率型：形如z.提醒注意轉化的等價性及幾何意義|(重點保分型考點師生共研)典題例析(2013湖北高考)某旅行社租用a，b兩種型號的客車安排900名客人旅行，a，b兩種車輛的載客量分別為36人和60人，租金分別為1 600元/輛和2 400元/輛，旅行社要求租車總數(shù)不超過21輛，且b型車不多于a型車7輛，則租金最少為()a31 200元b36 000元c36 800元d38 400元解析：選c設租用a型車x輛，b型車y輛，目標函數(shù)為z1 600x2 400y，則約束條件為作出可行域，如圖中陰影部分所示，可知目標函數(shù)過點(5,12)時，有最小值zmin 36 800(元)類題通法1解線性規(guī)劃應用題的步驟(1)轉化設元，寫出約束條件和目標函數(shù)，從而將實際問題轉化為線性規(guī)劃問題；(2)求解解這個純數(shù)學的線性規(guī)劃問題；(3)作答將數(shù)學問題的答案還原為實際問題的答案2求解線性規(guī)劃應用題的三個注意點(1)明確問題中的所有約束條件，并根據(jù)題意判斷約束條件是否能夠取到等號(2)注意結合實際問題的實際意義，判斷所設未知數(shù)x，y的取值范圍，特別注意分析x，y是否是整數(shù)、是否是非負數(shù)等(3)正確地寫出目標函數(shù)，一般地，目標函數(shù)是等式的形式演練沖關a，b兩種規(guī)格的產(chǎn)品需要在甲、乙兩臺機器上各自加工一道工序才能成為成品已知a產(chǎn)品需要在甲機器上加工3小時，在乙機器上加工1小時；b產(chǎn)品需要在甲機器上加工1小時，在乙機器上加工3小時在一個工作日內(nèi)，甲機器至多只能使用11小時，乙機器至多只能使用9小時a產(chǎn)品每件利潤300元，b產(chǎn)品每件利潤400元，則這兩臺機器在一個工作日內(nèi)創(chuàng)造的最大利潤是_元解析：設生產(chǎn)a產(chǎn)品x件，b產(chǎn)品y件，則x，y滿足約束條件生產(chǎn)利潤為z300x400y.畫出可行域，如圖中陰影部分(包含邊界)內(nèi)的整點，顯然z300x400y在點a處取得最大值，由方程組解得則zmax 300340021 700.故最大利潤是1 700元答案：1 700一、選擇題1已知點(3，1)和點(4，6)在直線3x2ya0的兩側，則a的取值范圍為()a(24,7)b(7,24)c(，7)(24，) d(，24)(7，)解析：選b根據(jù)題意知(92a)(1212a)0.即(a7)(a24)0，解得7a24.2(2015臨沂檢測)若x，y滿足約束條件則zxy的最小值是()a3 b0c. d3解析：選a作出不等式組表示的可行域(如圖所示的abc的邊界及內(nèi)部)平移直線zxy，易知當直線zxy經(jīng)過點c(0,3)時，目標函數(shù)zxy取得最小值，即zmin 3.3(2015泉州質檢)已知o為坐標原點，a(1,2)，點p的坐標(x，y)滿足約束條件則z的最大值為()a2 b1c1 d2解析：選d如圖作可行域，zx2y，顯然在b(0,1)處zmax2.故選d.4設動點p(x，y)在區(qū)域：上，過點p任作直線l，設直線l與區(qū)域的公共部分為線段ab，則以ab為直徑的圓的面積的最大值為()a b2c3 d4解析：選d作出不等式組所表示的可行域如圖中陰影部分所示，則根據(jù)圖形可知，以ab為直徑的圓的面積的最大值s24，故選d.5(2015東北三校聯(lián)考)變量x，y滿足約束條件若使zaxy取得最大值的最優(yōu)解有無窮多個，則實數(shù)a的取值集合是()a3,0 b3，1c0,1 d3,0,1解析：選b作出不等式組所表示的平面區(qū)域，如圖所示易知直線zaxy與xy2或3xy14平行時取得最大值的最優(yōu)解有無窮多個，即a1或a3，a1或a3.故選b.6(2014新課標全國卷)設x，y滿足約束條件且zxay的最小值為7，則a()a5 b3c5或3 d5或3解析：選b法一：聯(lián)立方程解得代入xay7中，解得a3或5，當a5時，zxay的最大值是7；當a3時，zxay的最小值是7，故選b.法二：先畫出可行域，然后根據(jù)圖形結合選項求解當a5時，作出不等式組表示的可行域，如圖(1)(陰影部分)圖(1)由得交點a(3，2)，則目標函數(shù)zx5y過a點時取得最大值zmax35(2)7，不滿足題意，排除a，c選項當a3時，作出不等式組表示的可行域，如圖(2)(陰影部分)圖(2)由得交點b(1,2)，則目標函數(shù)zx3y過b點時取得最小值zmin1327，滿足題意二、填空題7(2014安徽高考)不等式組 表示的平面區(qū)域的面積為_解析：作出不等式組表示的平面區(qū)域如圖中陰影部分所示，可知sabc2(22)4.答案：48(2015重慶一診)設變量x，y滿足約束條件則目標函數(shù)z3xy的最大值為_解析：根據(jù)約束條件作出可行域，如圖中陰影部分所示，z3xy，y3xz，當該直線經(jīng)過點a(2,2)時，z取得最大值，即zmax 3224.答案：49(2013北京高考)設d為不等式組所表示的平面區(qū)域，區(qū)域d上的點與點(1,0)之間的距離的最小值為_解析：作出可行域，如圖中陰影部分所示，則根據(jù)圖形可知，點b(1,0)到直線2xy0的距離最小，d，故最小距離為.答案：10(2015通化一模)設x，y滿足約束條件若z的最小值為，則a的值為_解析：1，而表示過點(x，y)與(1，1)連線的斜率，易知a0，可作出可行域，由題意知的最小值是，即mina1.答案：1三、解答題11若x，y滿足約束條件(1)求目標函數(shù)zxy的最值；(2)若目標函數(shù)zax2y僅在點(1,0)處取得最小值，求a的取值范圍解：(1)作出可行域如圖，可求得a(3,4)，b(0,1)，c(1,0)平移初始直線xy0，過a(3,4)取最小值2，過c(1,0)取最大值1.所以z的最大值為1，最小值為2.(2)直線ax2yz僅在點(1,0)處取得最小值，由圖象可知12，解得4a2.故所求a的取值范圍為(4,2)12某玩具生產(chǎn)公司每天計劃生產(chǎn)衛(wèi)兵、騎兵、傘兵這三種玩具共100個，生產(chǎn)一個衛(wèi)兵需5分鐘，生產(chǎn)一個騎兵需7分鐘，生產(chǎn)一個傘兵需4分鐘，已知總生產(chǎn)時間不超過10小時若生產(chǎn)一個衛(wèi)兵可獲利潤5元，生產(chǎn)一個騎兵可獲利潤6元，生產(chǎn)一個傘兵可獲利潤3元(1)試用每天生產(chǎn)的衛(wèi)兵個數(shù)x與騎兵個數(shù)y表示每天的利潤w(元)；(2)怎樣分配生產(chǎn)任務才能使每天的利潤最大，最大利潤是多少？解：(1)依題意每天生產(chǎn)的傘兵個數(shù)為100xy，所以利潤w5x6y3(100xy)2x3y300.(2)約束條件為整理得目標函數(shù)為w2x3y300.作出可行域如圖所示：初始直線l0：2x3y0，平移初始直線經(jīng)過點a時，w有最大值由得最優(yōu)解為a(50,50)，所以wmax550元所以每天生產(chǎn)衛(wèi)兵50個，騎兵50個，傘兵0個時利潤最大，最大利潤為550元第四節(jié)基本不等式基礎盤查一基本不等式、算術平均數(shù)與幾何平均數(shù)的概念(一)循綱憶知1了解基本不等