（基礎(chǔ)數(shù)學(xué)專業(yè)論文）fourier積分算子和marcinkiewicz積分算子的交換子的有界性.pdf

碩士學(xué)位淪文 摘要 本文主要研究了f o u r i e r 積分算子以及m a r c i n k i e w i c z 積分算子與l i p s c h i t z 函數(shù)生成的多線性交換子在h a r d y 型空間e 的有界性問題 本文分四章 第一章簡要介紹了f o u r i e r 積分算子和m a r c i n k i e w i c z 積分算子的歷史背景 及有界性問題的研究現(xiàn)狀 第二章主要討論了f o u r i e r 積分算子在h a r d y 型空間上的有界性 本章我 們證明了f o u r i e r 積分算子是日p 到l p 和 9 到上 的有界算子 第三章研究了m a r c i n k i e w i c z 積分算子與l i p s c h i t z 函數(shù)生成的多線性交換 子的有界性 我們在本章得到了該多線性交換子是妒到口和上p 到l q 有界 的 第四章我們在第三章的基礎(chǔ)上討論了m a r c i n k i e w i c z 積分算子與l i p s c h i t z 函數(shù)生成的多線性交換子在h e r z 型h a r d y 空間上的有界性 證明了它是從 h 積 一到職 有界的多線性算子 關(guān)鍵詞 f o u r i e r 積分算子 m a r c i n k i e w i c z 積分算子 h a r d y 型空 間 h e r z 型h a r d y 空間 l i p s c h i t z 函數(shù) 多線性交換子 原子 i i f o u r i e r 積分算子和m a r c i n k i e w i c z 積分算了的變換r 的有界勝 a b s t r a c t i nt h i st h e s i s w ei n v e s t i g a t et h eb o u n d e d n e s so ff o u r i e ri n t e g r a lo p e r a t o r a n dm u l t i l i n e a rc o m m u t a t o r so fm a r c i n k i e w i c zi n t e g r a lo p e r a t o rw i t hs m o o t h f u n c t i o n i ti sc o m p o s e do ff o u rc h a p t e r sa st h ef o l l o w i n g i nc h a p t e rl w es i m p l yi n t r o d u c et h eb a c k g r o u n da n dh i s t o r yo ff o u r i e r i n t e g r a lo p e r a t o ra n dm a r c i n k i e w i c zi n t e g r a lo p e r a t o r t h ec u r r e n ts i t u a t i o n si n t h ef i e l da r eg e n e r a l i z e dt o o i nc h a p t e r2 w ed i s c u s st h eb o u n d e d n e s so ff o u r i e ri n t e g r a lo p e r a t o ri nt h i s c h a p t e r w ep r o v et h a tt h eo p e r a t o ri sb o u n d e df r o mh pt opa n df r o mh t o l 口 i nc h a p t e r3 w ec o n s i d e rt h eb o u n d e d n e s so fm u l t i l i n e a rc o m m u t a t o r so f m a r c i n k i e w i c zi n t e g r a lo p e r a t o rr e l a t e dt ol i p s c h i t zf u n c t i o n sw eo b t a i nt h e p r o p e r t i e so ft h ec o m m u t a t o r so nh a r d ys p a c e s i nc h a p t e r4 w es t u d yt h eb o u n d e d n e s so ft h ec o m m u t a t o r sf u r t h e r m o r e w es h o wt h a tt h ec o m m u t a t o r si sb o u n d e df r o mh k 等t ok 翟 k e yw o r d s f o u r i e ri n t e g r a lo p e r a t o r m a r c i n k i e w i e zi n t e g r a lo p e r a t o r h a r d y s p a c e s h e r z h a r d ys p a c e s l i p s c h i t zf u n c t i o n s m u l t i l i n e a rc o m m u t a t o r s a t o m i l i 湖南大學(xué) 學(xué)位論文原創(chuàng)性聲明 本人鄭重聲明 此處所呈交的論文是本人在導(dǎo)師的指導(dǎo)下獨(dú)立進(jìn)行研究所取 得的成果 除了文中特別加以標(biāo)注引用的內(nèi)容外 本論文不包含任何其他個人或 集體已經(jīng)發(fā)表或撰寫的成果作品 對本文的研究做出重要貢獻(xiàn)的個人和集體 均 己在文中以明確方式標(biāo)明 本人完全意識到本聲明的法律后果由本人承擔(dān) 作者簽名 莎 基 日期 枷6 年r 月f f 日 學(xué)位論文版權(quán)使用授權(quán)書 本學(xué)位論文作者完全了解學(xué)校有關(guān)保留 使用學(xué)位論文的規(guī)定 同意學(xué)校保 留并向國家有關(guān)部門或機(jī)構(gòu)送交論文的復(fù)印件和電子版 允許論文被查閱和借 閱 本人授權(quán)湖南大學(xué)可以將本學(xué)位論文的全部或部分內(nèi)容編入有關(guān)數(shù)據(jù)庫進(jìn) 行檢索 可以采用影印 縮印或掃描等復(fù)制手段保存和匯編本學(xué)位論文 本學(xué)位論文屬于 1 保密口 在 年解密后試用本授權(quán)書 2 不保密剮 f 請?jiān)谝陨舷鄳?yīng)方框內(nèi)打 作者簽名 旁君娥日期 乃話年 月 f 日 導(dǎo)師簽名 烏 蚪 日期 2 6 年 月 2 日 碩士學(xué)位淪文 第1 章緒論 關(guān)于奇異積分的研究始于2 0 世紀(jì)5 0 年代 c a l d e r d n 與z y g m u n d 1 研究了 一類卷積型奇異積分算子并在一定條件下證明了其驢 黔 1 p 0 0 有界性 我們知道 f o u r i e r 變換在常系數(shù)線性偏微分方程理論中起著重要的作用 考察 波動方程的c a u c h y 問題 貉一c 2 0 扛 t r 0 o o u z 0 0 賽 t 0 x e 以及一般的高階常系數(shù)雙曲型方程的c a u e h y 問題 lp d 鼠 亂 l x t z e p 0 o o 鬻 z o 仍 z ze 礎(chǔ) j 0 1 m 一1 這類問題的解都能用某種形如 r a z e i s o z d j 的算子表出 我們把其定義為f o u r i e r 積分算子 即第三代奇異積分算子 此后 繼奇異積分算子 擬微分算子和f o u r i e r 積分算子的理論得以迅速發(fā)展 它為研 究線性偏微分方程中許多經(jīng)典問題 以及為研究一般線性微分算子理論提供了強(qiáng) 有力的工具 并且 這一理論經(jīng)進(jìn)一步發(fā)展 逐漸的被應(yīng)用到非線性偏微分方程 以及其他學(xué)科 1 9 7 0 年 g i e s k i n 2 l 討論了f o u r i e r 積分算子對于振幅函數(shù)為o z e 雹o 且a x 關(guān)于z 是緊支時的三2 的有界性 進(jìn)而把0 階f o u r i e r 積分算子 的有界性問題推廣到p 階 并證明了其l 舢到l 一 的有界性 其中瓏如 表示局部理階口一s o b e l o v 空間 后來 又驗(yàn)證了當(dāng)p 2 時 0 階f o u r i e r 積 分算子在擴(kuò)上并不是有界的 1 9 7 3 年 w l i t t m a n 3 1 使用穩(wěn)定位相法 證明 了位相函數(shù)為 在r n 中 時 階f o u r i e r 積分算子的p 有 界 其中 5 一 幾一1 l i p 一1 2 1 1 p 0 0 其后 許多學(xué)者開展了關(guān)于 f o u r i e r 積分算子的研究工作 主要有 p e r a 1 4 1 m b e e d s n 和m i y a c h i l 6 j 9 0 年 代初 a n d r e a s s e e g e r c h u r i s t o p h e rd s o g g e 和e m s t e i n 7 研究了與局部 典則圖像相關(guān)的一般的f o u r i e r 積分算子的p 估計(jì) 主要應(yīng)用了h s r m a n d e r 的 l 2 理論 8 f 和f e f f e r m a n 與s t e i n 的插值理論 9 1 e m s t e i n 1 0 1 對上述工作做 了進(jìn)一步的整理 f o u r i e r 積分算子和m a r c i n k i e w i c z 積分算子的交換子的有界 生 近幾年來 f o u r i e r 積分算子的研究更是活躍于數(shù)學(xué)領(lǐng)域 1 9 9 8 年 h a r t fs m i t h 定義了一類與f o u r i e r 積分算子相應(yīng)的h a r d y 空間 在其上建 立了原子和分子分解 使得對算子的研究不僅僅局限于經(jīng)典的距離空間 并解 決了當(dāng)振幅函數(shù)是0 階時的護(hù)估計(jì) 2 0 0 0 年mv r u z h a n s k y 1 2 還討論了 f o u r i e r 積分算子在各種空間上特別是l p 空間上的正則性以及在仿射纖維叢上 的奇異性問題 2 0 0 1 年 m r u z h a n s k y u 1 又研究了當(dāng)相函數(shù)為復(fù)數(shù)值時的護(hù)性 質(zhì) a n d r e a s s e e g e r 和s t e p h e nw a i n g e r 1 4 研究了分?jǐn)?shù)次積分和相關(guān)的f o u r i e r 積分算子的有界性問題 t e r e n c e t a o 1 5 證明了當(dāng)m 一 n 一1 2 時的弱l 1 有 界性 后來 mr u z h a n s k y 和m s u g i m o t o 8 l 1 7 又在e s k i n 和h 6 r m a n d e r 的 局部l 2 性質(zhì)的基礎(chǔ)上研究了一類f o u r i e r 積分算子在b e s o v 空間和全空間上的 全局l 2 有界性的性質(zhì) 而對于f o u r i e r 積分算子在h a r d y 空間三p 0 p 1 上的有界性問題還沒有研究 本文將在第二部分利用關(guān)于核的點(diǎn)態(tài)估計(jì)的方法 來研究此問題 m a r c i n k i e w i c z 積分最初是m a r c i n k i e w i c z f l s j 提出的 定義高階的m a r c i n k i e w i c z 積分如下 州 壚 z 剛 刮2 鏟2 1 1 其中 壚上 y l 等穢m 脅 1 2 j b l 山一日l 1 9 5 8 年 s t e i n 1 9 引進(jìn)了i 1 維m a r c i n l d e w i c z 積分的定義 并研究了其基本性 質(zhì) 證明了當(dāng)q 是連續(xù)函數(shù)且在單位球面上滿足l i p 0 o i 條件時算子是 p p 1 ps2 和弱 1 1 有界的 b e n e d e k c a l d e r 6 n 和p a n z o n e 2 0 1 證明了當(dāng) qec 1 鏟 鏟 為單位球面 時其 p p 有界性對1 p 都成立 2 0 0 0 年 丁勇等人 2 1 改進(jìn)了上述結(jié)果并證明了qeh 1 鏟 1 單位球面上的h a r d y 空間 2 2 時算子仍然是擴(kuò) 黔 1 p 上的有界算子 陳等人 2 3 用不同 的方法證明了與b e n e d e k 2 0 l 相同的結(jié)論 c h e n f a n 和p a n 2 4 1 與丁勇 2 5 l 等人 在1 9 9 9 年得到了一類粗糙m a r c i n k i e w i c z 積分的加權(quán)驢有界 1 9 9 0 年 t o r c h i n s k y 等人 2 6 考慮了由該算子與b m o 函數(shù)所生成的交換 子 設(shè)b b m o 定義交換子 nb 如下 腿燈 廳 1 2 秒2 1 3 其中 晶 燈 五吲 罟專器亙 a 州 枷 碩士學(xué)位論文 t o r c h i n s k y 等人 2 6 1 證明了當(dāng)q l i p s n 1 0 n 曼1 時 1 3 是 口 0 p a p 有界的算子 其后 丁勇 陸善鎮(zhèn)等人f 2 7 j 把 上述結(jié)論推廣到粗糙核的情形 2 0 0 4 年 丁勇 陸善鎮(zhèn) 張璞等人 2 8 l 研究了 m a r c i n k i e w i c z 積分交換子的雙權(quán)弱型估計(jì) 陸善鎮(zhèn)等人1 2 9 j 證明了該算子與 l i p 口 r n 函數(shù)生成的交換子的1 2 有界 張璞 胡曉敏俐介紹了m a r c i n k i e w i c z 積分交換子的發(fā)展研究狀況 2 0 0 2 年 p e r e z 和t r u j i l l o g o n z a l e e 3 1 l 引入了一類 多線性奇異積分交換子并證明了其護(hù)有界性 對于由該算子所生成的多線性交 換子 f l g 定義如下 剛刪班 z 烈列2 2 1 4 其中 酬 班l(xiāng) 掣鯽曠刪m 脅 是否有界還沒有涉足 本文將在第三章和第四章來討論m a r c i n k i e w i c z 積分算子 和l i p s c h t z 函數(shù)所生成的多線性交換子在h a r d y 空間和h e r z h a r d y 空間上是 有界的算子 3 一 f o u r i e r 積分算子和m a r c i n k i e w i c z 積分算子的交換子的有界勝 第2 章f o u r i e r 積分算子在h a r d y 空間上的 有界性 2 1 引言 隨著偏微分方程的發(fā)展 出現(xiàn)了擬微分算子和f o u r i e r 積分算子理論 在近 5 0 年內(nèi) f o u r i e r 積分算子已經(jīng)成為某些分析領(lǐng)域的重要7 具 特別是在偏微分 方程的研究中 定義f o u r i e r 積分算子如下 t z 上 e 2 州e 甜 z 氕 世 2 1 其中尹表示 的f o u r i e r 變換 a x 是標(biāo)準(zhǔn)的振幅函數(shù) 8 p 2 且關(guān)于z 具 有緊支集 位相函數(shù)中 c o z 是關(guān)于 的正齊一次實(shí)值函數(shù) 且圣 c o s u p p a 凰 o 設(shè)西滿足嚴(yán)格的非退化條件 即 當(dāng) 0 時 在u 的支 集上 d e d z o i 2 d i i 2 2 1 9 9 1 年 s e e g e r s o g g ea n ds t e i n 7 1 對e s k i n 和h 6 r m a n d e r 的工作做了總結(jié) 證 明了f o u r i e r 積分算子r 有如下的有界性 當(dāng)a s o l 0 時 t 是l 2 有界 的 當(dāng)p 2 n p 字 m 莖0 且i 一 l 而 m 時 算子t 是從l v 到 l v 有界的 本文研究算子t 在h a r d y 空間h 9 上的有界性當(dāng)尋 m 字且 0 口 1 2 2 主要結(jié)論 定理2 1 設(shè)t 是f o u r i e r 積分算子 如 2 1 其中振幅函數(shù)n 是m 階 的 且警 m i 1 互i 1 p 里一型 qp n 2 4 碩士學(xué)位論文 2 3定理的證明 定理2 1 的證明我們將利用h a r d y 空間 p 辯 的原子分解理論 3 圳來 證明之 首先我們給出原子的定義及函數(shù)在h a r d y 空間的分解的性質(zhì) 設(shè)0 1 我們有 f 艫i t b v g i i t b t l 臚 c t l b l lz c 礦 一鄯 第一個不等式成立是由于r 6 具有緊支集 并注意到幾 一 0 顯然在這 種情況下f 2 3 成立 當(dāng)d 1 時 我們首先定義與球日相關(guān)的集合b 如下 首先對于任意的正 整數(shù)j 選取單位向量 g v 1 x j 使其滿足 i l i 一 f 2 j 2 如果 i i 若 伊一 則存在g 使得l f g f 2 j 1 2 顯然 n j 1 e 2 j 加一1 2 5 f o u r i e r 積分算子和m a r c i n k i e w i c z 積分算f 的交換子的有界性 令 芎 婦 l g 一引 虧2 吲2 l 礙 一雪 l 0 2 一 其中硝是在g 方向上的正交投影且e 是不依賴于j 的任意大常數(shù)由于映射 z 一y 幣 z 有非退化的j a c o b i a n 矩陣對任意的f 有 我們?nèi)〉K是礙在嚷 g 下的逆 則 彤 z i 口一西f z g l 0 2 一 2 哼 雪一圣 z g l 0 2 一 令b uu 蟛 則 2 j 6 例 l 礙l 2 j 6 c 嘲 2 f 6 c r2 n 1 2 2 j n 1 2 2 i 6 cr 2 i 2 i 蔓d e 6 現(xiàn)在我們估計(jì) 2 3 當(dāng)6 莖1 時 而 上 j t 6 刪9 出至上 j 丁6 刮 如 厶 i t b 刮9 如 岬 刀 對 我們有 因?yàn)?加 臚d z v 9 曼 小 妒 崧酬 咕 c l i b l l c a l b l q 一鄞 j 互1 署 sc l s l 一 1 抄r 0 6 碩士學(xué)位論文 所以 曼c(diǎn) f 2 4 為了估計(jì)j 2 我們現(xiàn)作如下的工作 設(shè)弓表示在 空間中的相應(yīng)的錐 其 中心方向是g 也即 哆2 川青一g l 2 2 2 卜 固定光滑非負(fù)定的函數(shù)妒 妒 z 1 當(dāng)h 1 以及妒 z 0 當(dāng)h 2 令 形 2 妒 2 壚 青一鋤 并定義 蟛 硝 蟛 則函數(shù)蟛對于 是0 次齊次且支在哼 并滿足 f l 0 2 5 上式對于所有的j 成立 顯然 i 曙蟛 i c 2 i a l j 2 巾1 2 6 由此 我們做二次l i t t l e w o o d p a l e y 分解 l 如 f 也 j 1 這樣 定義巧為 丐m 上 e 2 m 勤 硪 瓜 必 其中 z 蟛 如 n z 并定義與之對應(yīng)的算子乃 其相應(yīng)的振幅函數(shù) 為a j x 也 o z 顯然有 弓 弓 2 7 令瑪 z 可 蟛 z 可 分別表示算子乃和弓的核 則巧 z 與蟛 z g 相差 一個因子2 一 礙 z 可以寫成 蟛 z e 2 郵 1 弛 濺 7 f o u r i e r 積分算子和m a r c i n k i e w i c z 積分算子的交換子的有界 生 下面我們給出核蟛 z y 的點(diǎn)態(tài)估計(jì) 設(shè)f g 在f 空間選擇方向使得 表 示成f 7 2 矗 是與f 垂直的方向 則 記 有 西 z 一y 西e z 0 一y 西 z 一西 z 危 圣 z 一西f z 自 殺 昧 p z j v e h i c2 1 j 2 以及 j 砉 刪蚓曠 我們改寫蟛如下面的形式 蟛 z e 2 陬 h k 啄 z 必 j i n 其中 哆 置 e 2 蟛 妨 z f 定義算子l 如下 l 一2 2 哥c 9 2 2 7 v f v f 因?yàn)?2 6 2 8 2 9 2 1 0 及事實(shí)a s 詈 m n 得到 i l 蟛 z l c r 1 l 1 c 2 i 又有 l v e 2 崢 8 一訃 1 4 7 r 2 2 2 l 西f z f 一y 1 1 2 4 7 r 2 2 j i 圣 園一可 7 1 2 e 2 r i 垂e 忙 o 一引 2 8 2 9 對蟛x y 利用分部積分得到 f 蟛 z y i c2 j f n 1 2 2 j l 2 j i 幣f z g 一可 l l 2 j 2 i 西d z g 一 一2 8 一 塒 m 州 州 捌 l l p 1 2 l 碩士學(xué)位論文 又由于 s u p p z c f 2 j 吲 2 我們可以看到對其利用微分中值定理 其差值與之只相差因子 而其被2 所 控制 所以 所以 蟛 z 一k f x 引莖c 2 3 7 2 2 j f 一y l 1 2 j i 圣 z g 一y 1 0 2 1 2 2 j 7 2 i 垂 z g 一v 7 i 一2 2 1 3 厶 i t b 刮 g 莩厶 i 乃 臚如 e 萎 厶 j 驢 刮 厶 j 勁 蚓 如 以 j 4 對 i t j b z d x 2 悉j o s 作變量代換 當(dāng)y b 雪 5 時 2 厶 l 碘 脅卜 2 量厶j f k a 刎卜 顧肭卜 劍 厶 f b 2 j n l m 曠鮒 2 j 啪鏟咖 2 7 7 2 i 圣 z g 一 7 1 一2 b y d v l d x l p 劍 萎 渺1 m 釅 厶 協(xié)刪毗鏟辦l 柑一 叫蝎 刊 2 6 州 卜 y 一可 6 n 則我們有 泌c z 2 j p n t m a p 厶 眇刪一珈l 2 一j 6 緲 一 曠z 6 洲 卜 e 2 j 咖 釅 b 1 一 如1 日 1 掣f z 一口 2 3 6 7 2 i x 一雪 7 i 2 p d z c 蔓二2 j p 6 9 1 一 1 2 一 1 2 l i z l 一2 n p d z 一 皇 j c b 一 2 j 6 s c 儼 1 一i 1 2 j t i 1 9 號圳 c 最后一個不等式成立是因?yàn)?等 m 一 一 百n 1 t n 1 一 對以 我們首先有下面的估計(jì) 令b d 2 則存在單位向量錢使得 以 b c 磁 又對z 聯(lián) b 于 6 且2 一 6 設(shè)整數(shù)k 滿足2 2 g 一 ls2 肛 由于b 4 uu 群 所 2 一l 6 2 七1 7 中f z 一雪 i i 2 k 2 l 圣fx 一雪i2e 21 4 如果目 b 則有l(wèi) y 一雪l j 2 一 且因?yàn)閑 是充分大的 所以 2 j 由f z g 一雪 1l 2 j 2 l 圣 z g 一口 7 i26 2 j 一 當(dāng)j 七時因此 蟛 z y 一蟛 雪 c l y 一雪1 2 2 扣 1 7 2 2 j m 1 2 j 壬 z g 一可 l f 2 j 7 2 l 圣 z g 一 7 i 1 2 c j y 一雪i j 一1 1 7 2 2 j 1 2 j i 垂d z g 一y 1 2 j 7 2 l 西f z g 一g 7 l 1 2 碩士學(xué)位論文 則對于以 我們有相似的估計(jì) 厶 i 乃 臚出2 要 厶 l 瑪c 砌姒 匆1 9 出 丘 舊碘 吲姍m 匆f 9 如 cf5 p s v 2 j v 1 1 2 j p 2 j v m j 一 厶 協(xié)俐吣鏟趴i 2 們i 哦 z g 一可 1 2 n b y d y ld x c1 r 掣p n 一1 2 2 2 趔芋生2 j p m i b l 9 1 一 2 一j 2 n i 2 一一 1 2 腳如 j o 口 s c 6 哪一 2 j v 1 i i 1 2 學(xué)制卻 2 6 結(jié)合 2 4 我們就有t 是f p 到 有界的 當(dāng)p 滿足i 2 i n j 2 p 1 注 我們不能斷言f o u r i e r 積分算子的有界性當(dāng)p 1 z t b 陋 v e b i c i b 一一 g 6 一 q 1 應(yīng)用算于明l 劍l 伺昴任 我制伺 上 i t b u 4 z t b z l 警如 者1 日 r 一暑 c l l b l l l i b i 1 一a q a c i b i 一i 1f i c 1 一殺 c n 一 十 一 一囂 因?yàn)? 1 且i 1 一 導(dǎo)一堡尹 所以 i u 對于毛的估計(jì) 我們應(yīng)用二次l i t t l e w o o d p e l a y 分解記f o u r i e r 積分算子 的核為k x y 即 z y e 2 螄刖1 o z 2 1 6 j r n 作分解如上 將k x 可 寫成k z o o z 瑪 z f 而塢 z y 蟛 z 口 其中 巧 z e 2 吣 z 武 j r 則有 t t j 2 1 7 j l 對于塢 z 9 我們有如f 性質(zhì) i 巧 z 一瑪 z 引 c 2 2 7 2 2 i i s 一 7 i 1 2 j i 垂 z g 一y if l 2 j 1 2 j 圣 z g 一 l 一2 1 2 碩士學(xué)位論文 下面估算厶 而對也 如 厶 俐陽z v c 莩 厶 阱小 枷 g 萎 c 厶 即c 圳4 出 l 筆c 厶 如 i t j b z i 如r i t j b z p d x 1 7 1 毛 厶 k j x y b y d y v 4 乏 厶 協(xié) 滬啪m d v v 4 c z 厶 滬咖耶血 馴曲 糾 萎 z2 j m j n 2 2 曠雪l 厶 1 吣 g 1 向 2 j 2 l 哦 z g 一 7 i 2 n q d x n y l d y c 2 j m 6 郵 1 俐2 刊時1 胞 c r 擴(kuò) 1 1 p 2 j n 1 1 p 2 j m n p 一 1 2 q 1 g 估計(jì) 時 我們用到下面的核的估計(jì) j 0 z y 一j 弓 茁 雪 l 莖 g l 可一口1 2 2 2 m 1 7 2 2 14 2 j l 圣 z g 一y l t 2 7 2 i 圣f z g 一9 j 1 2 c l u 一雪i d 一1 2 十1 7 2 2 j l 掣l 西e z g 一 l 2 脂j 圣f z g 一 7 1 2 廠k 一 彤 因此有 j 證畢 f o u r i e r 積分算子和m a r c i n k i e w i c z 積分算子的交換f 的有界性 加 d z v 9 邑 厶 1 k y x y b y d y 叫9 邑 厶 i 脅砌m 鰳啪m v g 上 厶 吲剮卜碘廁i 6 可 i d y e e 2 j m j n 2 卜峁 計(jì) 廟 厶 1 州叫喵 2 6 2 j 2 l 嚷 石 c 2 j 2 j d c g 一可 一 n 擴(kuò) 1 一l p 2 y i q zd g 珈 劃 一 出 圳 觚 2 一 顫士學(xué)位淪文 第3 章m a r c i n k i e w i c z 積分算子與l i p s c h i t z 函數(shù)所生成的多線性交換子在 h a r d y 空間上的有界性 3 1引言 對于由一類奇異積分算子與光滑函數(shù)所生成的交換子的研究已有很長的歷 史對于高維m a r c i n k i e w i c z 積分算子所生成的交換子已有很多學(xué)者作了很深入 的研究 設(shè)釅 1 表示即m 2 單位球面 日d 口表示l e b e s g u e 測度 令n l 1 伊 是零次齊次且滿足 n z 7 d z 7 0 其中z 7 對任意的z 0 成立 定義高維的m a r c i n k i e w i c z 積分 如式 11 算子 由s t e i n 1 9 1 所引入 并證明了當(dāng)q 是連續(xù)函數(shù)且在單位球面上 滿足l t p o 0 d 1 條件時 算子 是掃 p 1 p 蘭2 和弱 1 1 有界的 b e n e d e k 等人 證明了當(dāng)n c 鏟 時 算子腳是 p p 1 p 0 0 有 界的 最近 丁勇等證明了當(dāng)n 日1 p 1 時 算子 是 p p 1 p 0 l i p s c h i t z 空間 3 s l a 口是由滿足下列條件的函數(shù) 組成的 i l f l l 曠s 蚍餾 嗡掣 1 上的有界性 定理3 2 1 設(shè)p n i 是由 1 4 所定義的多線性交換子 i b h 一 b b a 凰 r 1 墨ism 0 胰 三鼠 p 1 若1 p 且i 1 1 一i 則 1 一 b b l k 是從驢到工a 有界的 推論3 2 1 設(shè)弘n i 是由 1 4 所定義的交換子 i b 一 6 晚 r 1 i m 0 口 1 若l p 號且 1 i 1 一 則i 6 1 一 k 是從口到弘有界的 定理3 2 1 的證明 為了定理的證明 首先來看一個引理 引理3 2 1 4 0 設(shè)f 臚 黔 0 凡 l p 凡 q 1 g l p 一 加 則 其中 l f l l sc l i s i z 厶f 殺m 匈 1 6 碩士學(xué)位論文 接下來 看定理證明的過程 恤 忙l al 器鯽壙均 駢可d t p 墨上 仁 l 窘 斜鯽壙姒馴i m v c 上 南警裂觚曠蚓i m c l l a l l 上 南 亟溉舴趴確筆蘭鏟卜卯i 尥 c 加兒 考絡(luò)咖 由分?jǐn)?shù)次積分婦的 p q 有界 即引理3 2 1 p n i 刪i 墨c 虬 l i b f 憶 c l l 6 1 1 s l l f l l 證畢 推論3 2 1 的證明 當(dāng)b i a o 豫 l m 0 口 l 由包含關(guān)系0 鼠 o i l 2 m 使得 屈 盧 再由定理3 2 1 即得 3 3 h a r d y 空間h v o p 1 1 上的有界性 定理3 3 1 設(shè)肛n i 是由 1 3 所定義的交換子 6 b l b 機(jī) a 島 r 1 i m 0 屈 屈 盧 l 如果者萬 p n 且 i 1 一 則 b b 6 m 是從霹到即有界的 推論3 3 1 設(shè) n i 是由 1 3 所定義的交換子 i b 玩 a n l i m 如果而n p n 且 i 一 則6 b l b 是從 哪到l 4 有界的 為了證明定理的結(jié)論 我們先給出一些預(yù)各知識 1 7 f o u r i e r 積分算子和m a r c i n k i e w i c z 積分算子的交換子的有界 生 定義3 3 1 3 6 3 8 對0 p 莖1 i b 1 6 非負(fù)整數(shù)s n 一1 b a n 豫 l 冬i 曼m 稱函數(shù) 為 p 2 兩原子若 i s u p pacb x o r z i l l a l l l b x o 蚓i 一 亂i f a x x 8 d x a x x 4 兀b l x d x 0 對任意盯 弩 0 蘆 s f o i m 定義3 3 2 3 6 3 8 1 對0 p 1 礙 坩 o 其中o j 為 p 2 6 原子 而且 忖 m 一i n f 躔 0 其中下確界取遍所有的表示 引理3 3 1 1 4 0 m i n k o w s k i 不等式 設(shè) x p 擴(kuò) 是兩個測度空間 f x y 在xxy 上是關(guān)于蘆x 的可測函數(shù) 若對幾乎處處的y y 函數(shù) y l x w 1 p 曼o 且 l y i i l x p 咖 a 3 0 則 峨 州山 卻 yi l l 齜怖炒 定理3 3 1 的證明 由上面的定義3 3 2 知 我們只要證明對任意的 p 2 b 原子n i l p ng a l l g 曼c(diǎn) 且常數(shù)c 與n 無關(guān)設(shè)s u p p acb b x o r ng a l l q 記b b z o 2 r 并假設(shè)1 p 1 m 譏 2 n 伊 且g l 滿足t q 1 1 p l 一 盧加由h s l d e r 不等式 肛ni 的 p g 有界性及原子的尺度條件我們有以下的估 1 8 向 zd q z 一 肛 r 獨(dú)如 一厄 向 zd 口 z 嚴(yán) p ro o q 如丘 h 型蘭墼一 計(jì) g z 州蚓 孚如 禱俐伊蜘 硎司u f b f 1 a 對于 2 我們做如下的估計(jì) 惻j 2j b j 1 p r m q q i b l l 2 1 i s 1 1 p 1 1 2 1 一 舯 o 忙1 2 記 罟需洳引 l b 掣黔z i i t 1 1 2 對 b 我們有 i z y l i 一 r o l 1 9 2 一z o l 2 r 因此 e 卜 艫罟號裂瞰訓(xùn)由 6 m z 一k 上 1 一m 西 q i z 擴(kuò)警裂1 1 咄 t 3 z 一 l n 一 3 7 1 9 b a y n y d y 2 b 洲掣 d y l 2 2 名 j 2 7 窘 1 7 2 j i i 犁j c y i d j 口 口 a a 叫 叫 酬 g g g 一 一 一 mn觸m 問 型 型 刮一一刮一爐 p 二 二 階一川艫一例 如一壚 出一廬 打 臥 卻 i 知 一 叫 扣 叫c 兒p氣厶厶 叼 觸 一 一 h f 孫 陌 曲 卜 協(xié) 壙 篙萇m妻 由于q l i p v 伊一1 c s o 1 且b l i p j 艘n 所以有 c 耍s 印訾裂卜蚓 z 豢 馴勘 c i lj 屯jj a i z x o l 一 n 一口 1 j r l 2 廠 n 口 i d f s e 嗍如r 1 7 2j z 一 p 廿1 1 2 1 1 刮2 i b l l 2 c l l 6 1 i f z z o f 一 一斛i 2 r n 1 1 1 p 1 1 2 同理 對于以 我們有 坯e 薹篆陬 j a 腑小x i j b 舌y 蔫 瞰訓(xùn)由j 1 口 o j z j 圳 e 三娶s印16 dz 蚓 秒lj ii 咱j 島口 o f 山 山u gs 叼紫裂z 虹i z y 進(jìn)b l 2 f 訓(xùn)由 如三三 臚 ii 11玩11鴨ix zoi小喝州2 t1j脅巳 從州匆i e 2 1 一 叩g b 一 c l l i l l b 妻 卜蚓七一品 1 2 7 1 2 州h p j ld c 尹 所以 z f j i f 9 i b 1 7 4 sg i j 司j 一 r 1 一l i 2 丘一 j j x x 0 1 n b 1 2 q d 2 9 1 c l i 云 i a 且 l 啪 出 淝 妻 嘞州一俐 1 口 g l 腳 j t x o i 小甜m s c l i b l i a 心 艮脂一 肪 卜 膽m 叼 州 一 馴 g 一 下面我們給出 屯的估計(jì) 蜴1 上掣垂i b j x b j y l l a y l 卜蚓 打擴(kuò)由 一上f i q z g o f t l1 倒hl 幻c z 一 c z l l k 一互 窘 v 2 幻 上 瞥掣撲 劃訓(xùn) 上面第一個等式成立是應(yīng)用了原子的消失矩條件 根據(jù)對以和如的估計(jì)我們可以估計(jì)k 1 和k 1 2 咖 鮑繃闖k 上掣怖 出 l 己物擴(kuò)卻 莖嘲 正南南 匆莖剛k 厶麗厴 圳舊y sc 1 1 酬如 l z x o l 一 l b l l 1 加 c i i i 1 1 7 曲 z z o l 一 在上述的估計(jì)中我們?nèi)匀挥玫搅藌 b 時 z y l i x z o 1 z z i 2 r 的 等價關(guān)系 因?yàn)閝 l i p 釅 1 所以有 罱y(tǒng) l 一焉卜c 磷 2 1 一 羚 卅 0 p 咖 m 觸掣掣 厶 2 r 硎圳 c i i b l l t r 1 1 7 9 1 f l z z l j i x x o l 2 r s c l l b l l a 而 所以 2 r 揖 揖 嘣 咖 廠幾廠止 f o u r i e r 積分算子和m a r c i n k i e w i c z 積分算子的交換f 的有界性 第4 章m a r c i n k i e w i c z 積分算子與l i p s c h i t z 函數(shù)所生成的多線性交換子在h e r z 型h a r d y 空間上的有界性 4 1引言 上一章中我們討論了m a x c i n k i e w i c z 積分算子與l i p s c h i t z 函數(shù)生成的交換 子在儼上的有界性 本章我們將接著上章的工作 研究該交換子在h e r z h a r d y 空間上的有界性 近年來 有關(guān)m a r c i n k i e w i c z 積分及其相應(yīng)問題的研究已經(jīng)受 到了廣泛的重視 取得了豐富的成果 關(guān)于該算子在h e r z 型h a r d y 空間上的 討論也己經(jīng)比較成熟 2 0 0 4 年 陳香東和張璞 4 2 證明了m a r c i n k i e w i c z 積分在 h e r z 型h a r d y 空間上的有界性 陸善鎮(zhèn) 2 9 也證明了下面的結(jié)論 引理4 1 1 設(shè)q l i 鞏 釅 1 o 7 蘭1 b l i p 口 r 0 臼冬7 2 若 0 p 1 q l q 2 且l q 2 1 q l p n n i l 9 1 莖 n 1 一q 1 p 則交換子p n t 6 是從日j 嗡 r 到j(luò) 咯9 r 有界的 本章我們將研究由m a r c i n k i e w i c z 積分算子與l i p s c h i t z 函數(shù)所生成的多線 性交換子是否也有類似的結(jié)論 我們先給出一些關(guān)于h e r z h a r d y 空間的預(yù)備知識 設(shè)玩 z l x l 冬2 k g 玩 b k 1 1 七 z x k x c k 其中拋是集合e 的特征函數(shù) 定義4 1 1 a 6 3 8 設(shè)凸 r 且0 p q o 齊次h e r z 空間蝣 研 定 義為 j 譬 l k r o f 船 一 其中 o o t l f l l g 2 觸9 慨e 憶 定義4 1 2 3 昏3 8 設(shè)0 q o 0 p o oa n d1 q o 齊次h e r z 型h a t d y 空間日叼 9 定義為 日k 苫 9 璉 s 7 r g k q 9 r 并且有 1 日籪 一 r n 2l l g 川膂唧r n 定義4 1 3 3 6 3 8 設(shè)0 q 1 q o 碩士學(xué)位論文 i r 上的函數(shù)a x 稱為一中心 q q 一u n i t 如果 1 s u p pacb o r 2 l i b i i i 渺上的函數(shù) z 稱為一限制性中心 o t q 原子 如果 1 s u p pacb o r r 1 2 惻l 吲 其中s o r z 辯 x i r 引理4 1 1 3 6 3 8 設(shè)0 o t 0 3 0 p o 1 q o 則 k 孑1 9 渺 當(dāng) 且僅當(dāng) 可被表示為 m n z z 其中a t 是一支集在b l 上的 g 一原子 且 芒 i a 1 9 o 并且有 j 籪一i n c o 坩 珈 其中下確界是關(guān)于 的一切分解 e a e a k 而取的 定義4 1 4 騶 3 8 設(shè)n 1 1 q o t 1 q 非負(fù)數(shù)s 滿足 s o t n 1 q 一1 j i r 上的函數(shù)口 z 稱為一中心 q q 一原子 如果 1 s u p pacb 0 r 2 i l a l l g l b l 一 其中b 0 r z r i x r 3 廠口 z z p d x 0 l p i s i i 黔上的函數(shù)o z 稱為一限制型中一1 1 a q 一原子 如果滿足上述 2 3 和 1 s u p pacb o r r 1 引理4 1 2 3 6 3 8 1 設(shè)億 1 1 q 0 p o o l q 0 0 則 日砑 p 當(dāng)且僅當(dāng) 可表示為 z 凡n z z 其中o f 是一支集在b k 上的中心 o t q 一原子 且 墨 o 1 9 o 并且有 i l f l l 啦 確 萎h 礦9 其中下確界是關(guān)于f 的一切分解f ka k 而取的 f o u r i e r 積分算子和m a r c i n k i e w i c z 積分算子的交換子的有界性 4 2主要結(jié)論及其證明 定理4 2 1 設(shè)p n i 是由 14 所定義的交換子 b h b m 反 a 風(fēng) r n 1 i 曼m 0 屈 e 胱 p r n i n 1 2 p 如果0 p 0 0 1 q 1 q 2 o 且擊 擊一 且n 1 1 q 1 莖o n 1 一吼 口則 i 6 l 一 6 m 是從日如 一 曠 到k 蠹9 r 有界的 定理的證明 分解 z 登 q z 其中a j 是限制型中心 n 9 1 原子 其支集為 s u p p a c 易 b 0 2 則有 枷嵫 2 恢g f z t 悒 c 妻2 t 董 惱 咖圳 9 1 廠2 f l a i 川盧 i o x k l i 一z 一 z 一 o k 一o j 一o o c 妻z 腳 妻 州咖圳 9 j 一2 墨c z 應(yīng)用p n i 的 l 工4 2 有界性即有 j 墨g 倆如 2 腳 k 一 j 一2 其中1 q 2 1 q t 一 i n 當(dāng)0 i c l t g l l 2 觸9 1 1 2 一 k 一o o j 一2 e 慨 2 a 9 k c o j k 一2 e 附2 m 2 p 加 咖 自2 一 j t 一2 j k 2 7 g 如 吲9 2 陋加 一 一 c l l g l l l i x j l 其中p 7 是指標(biāo)p 的共扼 所以 對于 的估計(jì) 我們先來估計(jì) i i isc l l a l l t 厶c 門l 掣觚曠坳 響 d y l 2 窘 v 厶 記險(xiǎn)群垂 b i x b 白f 2 巖 州2 如 v 啦 2 l 刊9 群酚壙坳 咖 姘窘 州2 d z v e 厶砰如 v 啦 e 上 謬如 v 堂于q i m 鏟一1 cl o s 一1 且魂 工i 阮 黔 l i m z 倪 可 馬 jsk 3 所以f z i 一 z g f 一2 所以 f o u r i e r 積分算子和m a r c i n k i e w i c z 積分算子的交換子的有界眭 上 佇 上 仨 f i 0 口 口 如 o 晚 o 也 i i q f d y 上面式子中的記號仍沿用前面的 只是這里令z 0 對于 u l a j y 一i x y t f d 可 j u j d y 陬 j 一厶l 弛 黔 l 婦 驢掣 砧娶s 卸學(xué)厶器z 們 i 由 6 l a 幾l i 一竹一肪 1 7 2 2 j 1 2 巳 i y l d y 口a 1 2 2 1 2 一a 巳 n i i 9 1 2 8 一 一 一 o z 馴 挑 阮 一p 等 甜 訓(xùn)石 馴i 札剖一 型 砜 扛f 陋f 旬徘一卜階一卜曬 膽 心 弋 j v m 出一p出一p u 一 一 f 型 黝t 鼉 枉勛 厶厶腳 一 百 k 耽 姒 荊 m 翌計(jì) 一 一一一 a k 加 捌筘 氍皚 e g 一 一 a g 一 一 h 鋤 z 唧 唧 凹 篡 嘲 試礬 g g e q 也 f v l v l 三 l l i t2 j 4 一 1 1 刪i z i f o u r i e r 積分算子和m a r c i n k i e w i c z 積分算子的交換子的有界性 耶厶 幫一器 器 j a r x l 觚i 1 壙 i 警j 匆 厶 剮一器 鼽壙 川掣f 匆 厶 齠一裂 黔曠蜮馴箐i 幻 k 1 鮑 凼為c k5 甘k b k 一1 z 飯 9 馬 js 七一3 我們有 i 茁i i z y i 一2 2 j q z 刊叫z t i 兩x y 一甜 一業(yè)i x l 所以有 酮b 上 群粵黔臀句 c i i g l b i z p 一4 掣 1 1 砂 同樣地 運(yùn)用i 南一晶 t c 器 扔 幻上 j q 刮糌川4 掣咖