（應(yīng)用數(shù)學(xué)專業(yè)論文）線性脈沖差分方程的振動性與穩(wěn)定性.pdf

摘要 本文由三章組成 第一章介紹問題的提出 并給出了關(guān)于穩(wěn) 定性的基本概念 第二章研究了煞佳黲沖差分方程的堡重 些 f 所 得結(jié)論改進(jìn)了文 8 的條件 第三章分別對不穩(wěn)定型 穩(wěn)定型及不 定型三種情況 利用不同技巧研究了線性脈沖差分方程的耋熊的 懿蛙及麴塹磐問題 給出了一系列在坌釜仕 這些工作都是 新的 一廠 h a b s t r a c t t h i sp a p e ri sc o m p o s e do ft h r e ec h a p t e r s i nc h a p t e r1 w ei n t r o d u c et h e p r o b l e m sw e w i l ls t u d yi nt h i sp a p e r a n ds o m eb a s i cn o t a t i o n so ns t a b i l i t y i n c h a p e r2 w eg i v e s u f f i c i e n tc o n d i t i o n sf o rt h eo s c i l l a t i o no fa l ls o l u t i o n so f l i n e a r i m p u l s i v e d i f f e r e n c e e q u a t i o n s w h i c h g r e a t l yi m p r o v e t h e c o r r e s p o n d i n gr e s u l t si n 8 i nc h a p t e r3 w ed i s c u s st h r e e c a s e s u n s t a b l e t y p e s t a b l et y p e a n di n d e t e r m i n a t et y p e a n di n v e s t i g a t er e s p e c t i v e l y t h e s t a b i l i t y a n da s y m p t o t i cs t a b i l i t yo ft h ez e r o s o l u t i o no fl i n e a ri m p u l s i v e d i f f e r e n c ee q u a t i o n s f o rt h e t h r e e t y p e s w e o b t a i nas e r i e so fs u f f i c i e n t c o n d i t i o n sf o rt h e s t a b i l i t y a n d a s y m p t o t i c b e h a v i o ro fs o l u t i o n so ft h e e q u a t i o nb yu s i n g d i f f e r e n t t e c h n i q u e s o u r r e s u l t sa r ea l ln e w e s t 第一章引言 1 1問題的提出 令z 為所有整數(shù)集合 對任意口 b z 口 b 定義 v 伽 口 1 n a 6 a a 1 b 考慮差分方程 f 缸 f n z n n o 且 j 1 1 雞 j e 1 其中 為向前差分算子 定義為血 x 一 f o 一 n j r r 島 是一個嚴(yán)格單調(diào)遞增的非負(fù)整數(shù)序列且 1 o o j c o 移 是一個實(shí)數(shù)序 列 k 是 個正整數(shù) 肖b 0 并令f n x 0 對 n 0 x r 時 i l 1 化為 1 1 2 5 x f n x 一t n n 0 這個方程已被許多作者所研究過 如看文獻(xiàn) 1 4 1 l 1 2 1 5 i8 方程 1 1 i 是脈沖微分方程 f x f t x t f f 0 f j 1 1 3 1 z j 一x r i z f 的離散形式 對方程 1 1 3 的穩(wěn)定性與振動性 已有許多作者研究過t 如見文 獻(xiàn) 5 7 9 1 0 1 3 但對方程 i 1 1 的研究卻十分少 儀見文 8 1 4 1 9 本文目的是較系統(tǒng)地研究方程 1 1 1 的一個線性形式 即f n x f x 時 解的穩(wěn)定性與振動性 大多數(shù)結(jié)論都是新的 第二章研究方程 1 1 1 的個線 性形式的解振動性 所得結(jié)論較好地改進(jìn)了文 8 的結(jié)果 第三章分別研究其不 穩(wěn)定型方程 穩(wěn)定型方程及不定型方程的零解的穩(wěn)定性 分別獲得了保證其零解 穩(wěn)定 漸近穩(wěn)定的一系列充分條件 其方法主要是反復(fù)利用迭代技巧 1 2 基本概念及約定 為敘述方便起見 在方程 1 i 1 中均令f n 0 0 以保證x 0 是方 程 1 1 1 的一個解 方程 1 1 1 的 個解是指個實(shí)數(shù)序列扛 它定義在n n 一女 上且在 n n 上滿足 1 1 1 對某個 o 對給定的初始點(diǎn) 0 及初始條 件 1 2 1 x 口 一k 0 1 方程 1 1 1 有唯一一個解x 定義在n n o t 上且滿足 1 2 1 記 x n n u q 1 為 l 1 1 滿足 1 2 1 的解 有時簡記為扛 顯然x s0 為 1 1 1 的一個解 稱之為零解 定義1 2 1如果對v 占 0 及 o j 占 占 n o o 使當(dāng) i l a l l m a x i d 小 n 一k o 萬時 1 1 1 與 1 2 1 的解滿足 x i o 使當(dāng) o n n n 定義1 2 6 1 1 1 的解扛 稱為振動的 是指它既不是最終正解 也 不是最終負(fù)解 對h o 讓i 表示 一k 一1 中含脈沖點(diǎn) t 的個數(shù) 令 k k i 顯然0 k 莖k 對玎 n o 全文均使用以下約定 j 只 0 只要 i 1 懸e 1 只要巾是一個空集 本文中出現(xiàn)的不等式 如沒指明n 的范圍 均指該不等式最終成立 第二章振動性 在本章t 1 我們討論脈沖線性差分方程 f a x 只x 一 0 r t n 0 且行 j 1 k 屯 1 其一 p h t 個實(shí)數(shù)序列 伽 是 個非負(fù)整數(shù)序列且滿足 一1 定理2 1 1 假設(shè)只 0 k 0 以及 泣 唧 妊叩州i i 一 1 b 1 i f 明若不然 則 2 1 有一個非振動解b 不妨設(shè)扛 最終為正 令 2 1 2 y n2 n 恐枷 1 6 則 y 也最終為正 當(dāng) o 且月 r j 時 峨 x n i 帆1 1 b j 一e 叩 1 7 一1 1 b j 4 即 2 1 3 思 1 b j 一 a x 1 6 y a y 只 n t 1 6 y 2 o o 且 胛 f 月時 有 2 1 4 a y a y 0 j n 0 從 2 1 3 與 21 4 知 y 是最終單調(diào)非增的 令 w n y n k 虬 貝u 由 2 1 3 x c n 0 胛 n 有 2 1 5 由此 知 0 叢 1 一只 兀 1 b j y n k n i 一 h h e 只 州 1 b j w n 1 o j 由 2 1 4 與 2 1 5 有 2 16 w 上生 y 一女 i y 一 ly n 一1 y h i 2y 月 黔 1 叩凰 u 1 w r 下面我們將證明 事實(shí)上所以從 2 1 1 知 的 o e n 一 t n 從而存在正常數(shù)m 使 萎 只v帆圳 1 6 2mren n i一 n 一1 一 這樣 c 寸允分大的正整數(shù)h 必存任整數(shù) 便滿足f n n k 以及 21 7 p n 1 b m f n i 二一n k 1 t k t i f h 磊川只叩以叫 1 猁 n 對 2 1 3 從 一k 到 求和并使用 2 1 7 以及注意到移 的遞減性 有 y n l y n k 一 篆 凡 t 兀 k t i 1 咿1 芻帆 f t 月t 類似地 對 2 1 3 從 到門求和 可得 t 礙一 磊 冊 9 m y t n 岡此 y m y 女 m2 y 一 即 岷 m 這就證明了 i m i n f w m 下面 令 丑2 1 i m i n f w r 顯然有 丑 0 有 w n 兄一s 0 代入 2 1 6 2 1 8 式的右邊 有 w n 1 衛(wèi) i 1 一 旯一s p 口 一 1 6 卅l 2 6 f 容易捩得r 列4 i 等式 2 1 9 x 1 一三 三 咖 m j 此外 還有 y 尸 n e 一n k n 1 j 5 卅 蕃 嘏 1 一 由此及 2 1 9 有 枷 善 嘏 即 2 1 1 0 7 只 川 1 屯 1 j 一 屯 一 兀卜 k r 厶咄耋 一峨 兀卜 只 寄 生k 南 葉lil m 生b 兀卜 卜 咄 o 型k 得 y m k n k 1 k l e 一 剮 已 o l b s 兩邊取下極限 得 三 i m i f 型 一s 一一 k 由十 0 的任意性 就有 i r ai n f 等產(chǎn) 善 p 這與 2 1 1 式矛盾 故 2 1 的每個解振動 證畢 現(xiàn)定義序列 只 如下 竹 胛j h 玎 則通過 2 1 2 2 1 3 與 2 1 4 容易證明下面的充分必要條件 定理2 1 2 2 1 的每個解振動的充分必要條件是方程 2 1 1 3 緲 只y 0 月 o 的每個解振動 2 2 附注與例子 附注蝴捌 等 1p 格遞妣從硐等產(chǎn)也c 半廣 于是 2 1 1 較好地改進(jìn)了文 8 中的條件 2 2 1 m i n 娶 肥 1 b s 1 南r f i i 例2 2 1考慮脈沖差分方程 l 兀 州 屯 0 o 兀 巴 l 一只 z 刃 溉譬 纛篇 肼1 3 加似 其中p o b 一1 由于 1 v 1 因此有k k 一 2 容易驗(yàn)證 掣 1 尸f i 1 6 3 2 p i 6 h 1 k e n 3 一ij i 3 e o 一3 1 一1 o 從而通過定理2 1 1 知 2 7 p 4 1 b 時 方程 2 2 2 的每個解振動 柏反 如果2 7 p 4 1 b 此時 有 蘆一j n l 3 j o 只 而 1 j 引 并且由文 4 知差分方程 2 刪 心一 南z 2 o o 有一個正解 z 現(xiàn)令 f z 2 3 i 兒 1 z 1 珂 3 i i n 3 i 2 則 是正的 且滿足 緲 只y 0 仃 n 0 應(yīng)用定理2 1 2 這意味著 2 2 2 也有一個正解 因此 女1 1 2 2 2 的每個解振動當(dāng)且僅當(dāng)2 7 p 4 1 b 9 第三章穩(wěn)定性 本章研究方程 2 i 的零解的穩(wěn)定性 分三種情況進(jìn)行討論 不穩(wěn)定型 只 o 穩(wěn)定型 只 o 不定型 只變號 通過不同的論證方式 對以上三利 情 況 分別給出了保證其零解穩(wěn)定 漸近穩(wěn)定的一系列充分條件 這些t 作也可以 較容易地推廣到非線性情形 整章對 只 均補(bǔ)充定義只 o 1 3 1 不穩(wěn)定型方程 本節(jié)討論不穩(wěn)定型 只 0 l n 0 一 胛 在這種情況下 我們假設(shè)一1 d 與月 0 假設(shè)n n o t 一 1 包含小個脈沖點(diǎn) 門o nj 玎 2 n f 玎o k 令 n 島 卜圳酬 其q b m a x 1 q c i 下面將證明如果 j 則 2 1 滿足初始條件 1 2 1 的解滿足 3 12 i p 卜ix i 占 對一切療e n n o 為此 我們先證明ix 1 占 對h f l n o 女 事實(shí)上 如果 則 i x m li 1 1 b x m i c 占 n o 則對門 x n o 玎 有 且 h 斟x i i p 一 月n i 占 1 1 只i 占 m 1 只i b 8 s 類似地 對n f l n l n m 有 n l 1 1 i i tn o 十t 1 i lx 一i l 尸i iz i 6 占 1 1 只i 占 尸 j n i li n oj n o k b f i 1 2 1 只i 以及 1 b 2 6 1 2 1 只i 般地 應(yīng)用歸納法有 n 0 i f x f 6 萬 1 1 f f f 療 n n f l 療 i n o 以及 有 n o i x li 占 1 f 1 1 只i i 1 2 m i f 8 如 r l o k 則證畢 下設(shè)n h k 此時對n n n l 月o h 蚓x 川i l p 憶一 6 占 1 聊 i 尸i 占 lf f 2 忙h n 女 6 8 1 1 i pi 占 這就證明了對h n n o 有ix i 女 使得萬一1 i0 i 險s 以及1x ni 0 顯然 i x 0 由 2 1 有 0 0 下面分三種情況討論 情況i i 0 設(shè) 何一 萬一1 c n n j l 1 則由 2 1 有 s x x 一只 x t c 川lx i i po x t 0 則x 0 又x i i k x 0 取舌 麗 薪 l 使 x i x i l x 孝一而 o 或x i l x i l x i 掌一而一1 0 從而 并且 從而 x 一只h 0 取 叩e 防 廚 1 使 從而 x i 1 麗 1 一r 1 6 x 轤珠 熟帆 礪 伽掣 磐n i 帆t l 嗉is 1 只p s 1 只 衙 l i 一面 l s s lp 1 i c j i i ln e f i i s i 一1 占 這也是不可能的 情況i i i i 2 i k n 川 j b 是 再一 萬一1 1 的 i 個脈沖點(diǎn) 如果 川 萬一1 則 c 叫 m 出 釤 r 掃 何 爿一 f 厶m k 防 尸 p 固 慨 一 怖 p r 厶一 占 一e 叩 只 一 c 1 6 h 鈾2 一c i 抽 i 2 c 川i i x n j t ii l 一只 札t i j 一 k l c 川 c 川一ix n l t i t li c 川 1 p p i s n j h i 這是不可能的 如果n 萬一1 則類似地有 i x n t im i 尸 f 2 n p i i l c 川 c 川一 c 川i e 1 竹量引 c 一 s i l s 這也是不可能的 故 2 1 的零解是穩(wěn)定的 通過類似的估計(jì)方法 可以證明下列的吸引性結(jié)論 定理3 1 2 假設(shè)存在常數(shù)a 0 1 使得對充分大的 3 1 3 s s a 貝i j 2 1 1 的零解是全局吸引的 3 2穩(wěn)定型方程 本節(jié)討論穩(wěn)定型 只 0 對h o 一 月 定理3 2 1 假設(shè)c 1 b 0 1 1 并且 占c n 晰 p h h c p c 一 占 p j c 島 一 一 c o 及 v o 假設(shè)n n o n o 女 l i 含有肌 m n o 個脈 沖點(diǎn) h os l n 2 n o k 令 占刊n 赤加 2c t c 州 其q 6 復(fù) c l 我們只需證明如果 i 6 則 2 1 滿足初始條件 1 2 1 的解滿 足 3 2 2 x l fx l s n n o 為此 我們先證明 3 2 3 i x i 6 1 j 3 1 占 n n n o n o k o 如果 l n o 貝 x 1l i x l li 1 1 6 l i lx i 占 o 貝0 對玎 n n o 一 l 1 有 x i lx i pix hi f i 占 p t t l nj n o 占 1 巧 p 6 1 曇 s 岡此 無論哪利 情況發(fā)生 總有 h j 6 6 1 j 3 對 n n l 1 n 2 有 從而 x l ix li jix i i l 6 占 1 j 3 6 s b 6 1 3 x 札 l1 6 2 萬 1 3 一般地 有 ix i 6 占 1 f 1 對h l 月 f l 2 i 一 一1 并且 對 n n m 1 女 有 恒皇 6 1 曇 竹 矗i 1x 川i 只h 女 月 1 i 6 1 8 1 j 3 m 1 占 已證明y 3 2 3 式成立 令 y x hc j x 閏y 閏x i 兀c i l n o 緲 只兀 q 1 y 0 n o 且h n n j f i n n i n 1 a y 0 j n o 這樣 我們只須證明 3 2 8 l y l s 仃 n n o 由 3 2 3 及占的定義 知 y i 占 但 兒j 0 從而y 一l 0 夕i 一l 0 且y 0 對n 瓦 萬 1 從 3 2 6 與 3 2 7 有 3 29 其 1 1 只 只 3 2 1 0 下面先證明 3 2 1 1 a a y s p 兀c i 只 n n o 萬一i e n n k 1 1 1 nc j l 由啊的選取 必有毒 l 一1 曩 使 y i i i l 毒一甄 1 o 一 i 耳 兩一毒 焉一 i 對n 焉 事實(shí)上 由 3 2 9 有 i i 一2 一只 善一瓦 1 一 緲 f 一 杠 列 篁 睇 占1 孝一羈 1 磊一 霉i s i 霉一 啊一毒 i fi n kff n kj 這就證明y 3 2 1 1 將 3 2 1 1 代入 3 2 6 并使用 3 2 7 有 f 3 2 1 2 邪s 只 娶娟瑚砩卜崛吐 緲 s 只i 露一 瓦一掌 磊一 f n 曩一1 萬一1 t 分兩種情況進(jìn)行討論 h 一1 情況i d 乒 j 一吉 耳一 蔓1 m 此時 使用 3 2 1 2 有 i li l y y i 緲 羈 毒 緲叫 緲 t f f j i 1 7 致 y i f 廿n 一 1 在這種情況下 必存在瓦 甄 萬 使得 i 一1i 一1 互s 1 且 私l n 而h 也一i 因此 必存在 7 玩 1 嘎 滿足 由 3 2 1 0 容易驗(yàn)證 c z y c 瓦一孝 v 一 薹a r c 叩一砭 r 凡一 c 吃一玎 a r 鞏一 莖a v 戍 j 3 2 9 有 3 2 1 4 玩一孝 緲弘 譬緲 叮一 2 1 a y 妒 月 i 8 一一斥 叩 一 一 p 一只 h 閫 應(yīng)用 3 2 1 i 有 ri 一2 扣啕焉一萎只砌 2 1 磊 一l l i ij 月一l 3 2 1 5 砭一r 1 a y 妒i 緲 e 斟塾咱瑚叫 e 只l 乒一 曩一掌 只 一 i 訇 y s c 甄一善 磊 一 薹n i z c 刁一瓦 焉一 蜘 s j 甄一善 磊 一 芝z 刁一瓦 1 焉一 f l 肛 j 吃一們露 一l 蔓蘆一 瓦一善 磊 一 1 占呈只l h 1 1 乒一 曩一 毛一 1 j i 一i kj r l h 2 l i 一 j 占 c 兩一毋飄一十篁n h t 只刪焉1 l l 篇j i l p l r 萬2 c 鞏一們毛一 1 i 占i 兩一孝 飄一十 只 1 焉一 厶一 鞏一叩 毛一 l ijl 2 占 嘸一印 露 一 i 篁乒一 羈一孝 露 一 i 芝只l 篁芽一 曩一善 露 一 i l f z 丑一i kj 凡l l n 一女 j 占芝ej 篁霉一 磚一卵 秀一l s 碗一叩 焉 j 蔓霉一 兄一 7 焉一 i n l j n k jl 吼 i j s 薹只l 三一姜再 n 2 即 焉 l 占c 碼一即 露 一 r 磊一 s 只l 曇一 再焉 l 占 碼一即 露 一 l 一 i 占1 一莖只婁于一 砭一叩 焉一t 莖乏一 羈一叩 2 愛一 s f 一百1 乞f i 1 一十 瓦一7 7 毛o2 一 呈露一 吃一 7 2 氣 2 一 i i n i 二 而 二 占c 一 占 噘 一 一只4 篁叫 l 一一島們 一 一他 一 這也是不可能的 至此 已證明了不等式 3 2 2 成立 從而 2 1 的零解是 穩(wěn)定的 證畢 定理3 2 2 假設(shè) 3 21 成立并且 3 2 1 6 薹只卟 脅 2 則f 2 1 的零解是全局吸引的 證州 設(shè)x 足 2 1 的f t 意個斛 須證f j 3 2 1 7 i m 矗2 o 讓 y 如 3 2 4 式所令 則 3 2 6 式成立 由 3 2 5 知 只需證明 3 2 1 8 j i m y 0 若 最終為正或最終為負(fù) 則由 3 2 6 知抄 最最終單調(diào)不增或單調(diào)不減的 再利用條件 3 2 1 6 可證 3 2 1 8 成立 下面假設(shè) 是振動的 由定理3 2 2 知秒 是有界的 現(xiàn)令 蘿 l i m s u p y y l i m i n f y 一 則一o o y 0 s 歹 0 存在 萬 n 2 k 1 使?jié)M足 3 2 1 9 以及 磐叩州h 七 c 一峋 3 2 2 0 y 一一s y 0 以及羈寸o o y 曩一歹 f j 從 3 2 6 式知蠔 女 0 且 y 0 匾 瓦 由嗣 的選取方式 存在乎 萬一1 曩 使 3 2 2 6 y 一增一 專一曩 e 1 0 2 如果 一k 茸 f 則y m 0 如果h k n o 一一1 則由 3 2 2 4 及 3 2 2 6 有 喘 咣 吣 吲 1 臥少 卜和喊 營卜 隆屯一鴝一 一羔 s i 孝 一只 1 只 一l 虧l 一 s i f 一 兩 一孝 乞j 一 j l lii 一 i 這就證明了 ff 1 羔 s i 弓一 瓦 一魯 焉一 只要n 瓦 一l 瓦一1 l 一 j 將此式代入 3 2 6 有 3 2 2 7 緲 一蘭 只f 窆虧一 一一魯 焉 l j 下面分兩種情況進(jìn)行討論 虎一l 情況1 虧 才一毒 焉一 蔓1 對此種情況 通過應(yīng)用 3 2 2 6 式并對 3 2 2 7 求和 得 y t 羈 一專 a y 叫 緲 c 一羔 s c 甄 一毒 f i i 籌一 巧一c 霄一繭 焉一 2 2 貌州 d 一 一一 l一 一一 e門 1 l j i 一lri 一i 掣曲委只fj 毛 nf 屯l 魯 引 一 一 l 一 j 一y 一 e 再 一言 名一 一 一一考 焉一 剝 一芝 弘劓叫 f1 一 n il c 一 占 蟊一c 曩 一直 2 露一 一委h 1 只嘉虧一c 霄一舌 磊一 箋只 s c 一 s 互一 瓦2 一j 1c 蕃只2 c 羈 一魯 2 髫一 午川 陟 爭南口j 2 1 一 2 k 一 占 l 二 7 瓦一l 情況2 瓦 巧 茸一參 焉一 1 此時 可以取月 瓦 一1 瓦一1 使得 厄一i 乏 1 但 從而可取礬 0 一i 使?jié)M足 厶小 易驗(yàn)證 3 2 2 8 虧 一吼 只 l y c 霄一亭 c y 一一 y 群一 驀 y c 玎 一 y 一 由 3 2 2 4 有 3 2 2 9 c 一叩 r 一 萎4 y 一一2 霄一善 緲和 乏緲 一 聃 r l 1 h y 一 h c 一蘭 s c 茸一亭 焉一 驀只 c 玎 一 乏 一 由 3 2 2 7 有 c c 一叩 a v 一 簍緲 sc 一羔 s c n 一叩 乏 一 薹一 巧一c 礦一 焉 一 少 芝e 窆 弘喜峨 一羔 占 引 虧一 曩i 喜 瓢f l j 一 l 將 3 2 2 9 與 3 2 3 0 代入 3 2 2 8 有 y s c 一上 s c 群一鼻 焉一 委n 2 只 c n 一 只 一 2 4 小少蛔 啊凡瞧 批叫 c 一 占 n 只 l 1 l n k 弓一c 霄一直 焉一 一 占 只 弓一 霄一直 焉一 l i 一y 甄 一孝 n 2 f i h只 一 1 只 篁只 一仉 只 七少 p i l n 乏 h t n 研 w q d 露 一jl 蚤 恥 l 仉城 lj l c 羔 s c 一叩 瓦 一 箋一 只一c 曩 一毒 焉一 y 十 一y 6 2 f f i 藝 i 虧 月 n i m i 一 一 一仉 只 f l y e c n 一r 少 篁只陲窆巧小 陬 l h 礦i j n j 一羔 占 一研 只 一 三一 一仉 只 一 一 占 l 三2 一n 摯 n 聲j 爭 n 弓一 一礬 只 y s r y 一i x t f 小 芝只呻 2 陬1 1 n n h 月 j h 一1 7 只 1 j 1 j 瓦 蘆 一 一一 一 州 1 l一 一一p 仇 一 療 一 一p 4 扣 一 j p o 1 j p 叩 一 十 打一 一只 1 1 j 一口h 吁 一 玎 一只 窆 1 j l l 一2 一 j 一p 1 一p 叫 m 掣向 l l 一2 一2 一 一 3 2 3 2 i l 月 i 卟羔 1 i f 品 卸一赤 c 掣s 因此 無論哪種情況 都有 y 1 一互i i 一 s 令i j0 0 并注意到占的任意性 有 3 2 3 1 歹 1 一互i i 一 類似地 可以證明 3 2 3 2 一 1 一i 刁 歹 由于1 志 o 使l 6 j 1 則 2 1 的零解是一致穩(wěn)定的 證明 若取m b h 則在定理3 2 1 的證明中萬與 的選取無關(guān) 但其余證明都是類似的 從而 2 1 的零解是一致穩(wěn)定的 由定理3 2 2 與定理3 2 3 立即可得 定理3 2 4假設(shè) 3 2 1 與 3 2 1 6 成立以及存在常數(shù)h 0 使 1 b j n 1 則 2 1 的零解是全局漸近穩(wěn)定的 3 3 不定型方程 本節(jié)討論不定型 即 2 1 的系數(shù)只或6 具有不確定的符號 也就是說只或 b 為變號的情形 定理3 3 1 假設(shè)存在一個正整數(shù)t n 使得 3 3 1 f 月 i 兀i l 6 f 芝1 只i 兀f 1 6 l l j v m i l m 竹一 l t i i 月j j 2 1 的零解是穩(wěn)定的 證明 對任意s o o 令占2 i 毛 下面將證明如果忙i i 萬 則 2 1 滿足初始條件 1 2 i 的解滿足 3 3 2 ix i 1x i s 對月 n n o 類似于定理3 1 1 的證明 可以證明 ix i 占 玎 n n o h 其中竹 玎o 這樣 如果 3 3 2 不成立 則存在萬 n n 1 使?jié)M足i 辟占且lki m 由 2 1 有 s 掣蓄爿 麓 磐穢枷j 對 3 3 3 式從肝m 到萬一1 求和 得 占 lz a x n l o 1 f 莓h i 缸 糾 e 凡l x s 萋 只i 軸氣i in l o 1 糾卜習(xí)f i i f f rn 一li 1 1 1 b j 1 1 1 6 一 i ix 一 i 占i i l b iz j 只i e f 鼻 l 1 1 b j 1 1 1 屯 ti x n 一 i e f 鼻i 兀i l 6 i 2 o i i j e i i 兀i l b ix n l t i i 占 i pi 兀1 1 0i r 乃一 l 馳1 岫卜 聊i 叩腳i n 劃 l 2 h 一 o 一 l e j o l 1 l 占 這導(dǎo)出了矛盾 于是 3 3 2 必成立 從而 2 1 的零解是穩(wěn)定的 證畢 下面的定理提供了一個保證 2 1 的零解是漸近穩(wěn)定的充分條件 其證明 是不難的 故省略 定理3 3 2 假設(shè)存在個正整數(shù)m 及 個常數(shù)口 0 1 使?jié)M足 3 3 4 血j 1 6 卜蘭吲i l l l b 肛口 e 毗 則 2 1 的零解漸近穩(wěn)定的 最后 我們定義判別式q 如下 q 如果 0 且 伽一七n c n n l l h n i 兀i l b ji i pi 兀i l b ji 如果l 1 定理3 3 3 假設(shè) 3 3 5 幺 1 對n n o 則 2 1 的零解是穩(wěn)定的 證明 對任意s 0 o 假設(shè)n n o t 中包含m 個脈沖點(diǎn) 令 b 卜 曾i 其中b m a x 1 1 1 6 卜 l b 卅m 我們將證明如果俐 占 則 2 1 滿足初始 條件 1 2 1 的解滿足 3 3 6 ix 刊x i 占 對打 n n o 根據(jù)定理3 1 1 的證明知 對門 n n o k 有jz l 占 這樣如果 3 3 6 不成立 則必存在亓 n n 1 使?jié)M足i i s 但ix i 占 對 h n n o 萬一1 由 2 1 式 有 3 3 7 f i 出 i 蚓只is 玎 n n o 亓 n j i h 凈1 1 b i i i j 1 一f 面分曲利 f 青況進(jìn)行論證 情況l i 0 假設(shè) 萬一 玎 c n n h l n 則通過 3 3 7 式 有 i 臥 h i i x i s e6 i 卅1 孵s 這是不可能的 情況2 i 1 在這種情況下 對 3 3 7 式從萬一女到萬一1 求和 得 喀兀i l b i i x i s 1 只i 兀i i b n j e n i k i 1 i i k 一1 r s l兀1 1 6 i i i i i l 啪 il l h j e i 一 i i i i k j 4 1 g 占 s 這也是不可能的 故 3 3 6 g 立 從i i 目 2 1 的零解是穩(wěn)定的 類似的 可得下列漸近穩(wěn)定性結(jié)論 定理3 3 4 假設(shè)存在常數(shù)口 0 1 使?jié)M足 3 3 8 五 口 玎 n o 貝i j 2 1 的零解是漸近穩(wěn)定的 3 4 附注與例子 附注3 4 1 如果n 一n 川s k n 0 則l 1 a 此時 通過定理3 1 1 可以證明 如果存在6 0 1 使得c s b j 1 以及 3 4 1 b 2 吲s 1 胛 女 n 2 1 1 的零解是穩(wěn)定的 例3 4 1 脈沖差分方程 3 4 2 瓴t 壺靠 療 o 療 3 o a x 吾x 3 o 通過定理3 i 2 可以證明方程 3 4 2 的零解是全局吸引的 但同時 我們 可以看到其相應(yīng)的差分方程 1 3 4 3 a x i x 一3 療 n 0 的零解不是吸引的 3 4 3 總有無界解 由此可見 這種漸近性是由于脈沖所 產(chǎn)生的 附注3 4 2對不穩(wěn)定型情況 我們還可類似地給出一致穩(wěn)定 全局漸近穩(wěn) 定的一系列條件 同時 也可以推廣到一般的非線性情形 1 1 1 附注3 4 3對穩(wěn)定型情況 可以將定理3 3 1 與3 3 2 的證明方法應(yīng)用于脈 沖離散人口動力學(xué)模型 3 川卜 只 8 1 2 o 療 o r r j j5 1 i a x b j x j n 0 參考文獻(xiàn) 1 r p a g a r w a l d i f f e r e n c ee q u a t i o n s a n di n e q u a l i t i e s m a r c e ld e k k e r n y1 9 9 8 2 g l a d a s c h g p h i l o sa n dy g s f i c a s s h a r pc o n d i t i o n sf o rt h eo s c i l l a t i o no f d e l a y d i f f e r e n c ee q u a t i o n s j a p p l m a t h s i m u l a t i o n 2 0 9 8 9 1 0 1 1 1 1 3 c h g p h i l o s o s c i l l a t i o n so fs o m ed i f f e r e n c e e q u a t i o n s f u n k e k v a c 3 4 1 9 9 1 1 5 7 1 7 2 4 i g y o r ia n dg l a d a s o s c i l l a t i o nt h e o r yo f d e l a yd i f f e r e n t i a le q u a t i o n s w i t h a p p l i c a t i o n s o x f o r d c l a r e n d o n 1 9 9 1 5 k g o p a l s a m ya n db o z h a n g o nd e l a y d i f f e r e n t i a le q u a t i o n sw i t h i m p u l s e s j m a t h a n a l a p p l 1 3 9 1 9 8 9 1 1 0 1 2 2 6 yz h a n g a z h a oa n dj y a n o s c i l l a t i o nc r i t e r i af o ri m p u l s i v e d e l a yd i f f e r e n t i a l e q u a t i o n s j m a t h a n a l a v 19 9 19 9 6 1 6 2 17 5 7 m c h e n j s y ua n dj h s h e n t h ep e r s i s t e n c eo f n o n o s c i l l a t o r ys o l u t i o n so f d e l a yd i f f e r e n t i a le q u a t i o n su n d e ri m p u l s i v ep e r t u r b a t i o n s c o m p u t e r sm a t h a p p l 2 7 8 1 9 9 4 1 6 8 g p w e i o s c i l l a t i o na n dn o n o s c i l l a t i o no fi m p u l s i v ed e l a yd i f f e r e n c e e q u a t i o n s j o f h u n a n u n i 2 6 6 1 9 9 9 9 1 3 9 a z h a oa n dj y a h a s y m p t o t i cb e h a v i o ro fs o l u t i o n so fi m p u l s i v ed e l a y d i f f e r e n t i a le q u a t i o n s j m a t h a n a l a p p l 2 0 1 1 9 9 6 9 4 3 9 5 4 1 0 j s y ua n db g z h a n g s t a b i l i t yt h e o r e mf o rd e l a yd i f f e r e n t i a le q u a t i o n s w i t hi m p u l s e s j m a t h a n a l a p p l 1 9 9 1 9 9 6 1 6 2 1 7 5 11 j s y u b g z h a n ga n d x z q i a n o s c i l l a t i o n so fd e l a yd i f f e r e n c ee q u a t i o n s w i t ho s c i l l a t i n g c o e f f i c i e n t s j m a t h a n a l a p p l 17 7 19 9 3 4 3 2 4 4 4 3 1 2 j s y u a s y m p t o t i cs t a b i l i t yf o ral i n e a rd i f f e r