四年級(jí)奧數(shù)詳解答案-第3講-數(shù)陣圖.doc

四年級(jí)奧數(shù)詳解答案 第3講 第三講 數(shù)陣圖一、知識(shí)概要 1. 數(shù)陣圖就是把一些數(shù)字填入圖形的某種位置上，并使數(shù)字滿足一定的條件。 2. 數(shù)陣圖的種類，大致分為三種：封閉型數(shù)陣圖；開(kāi)放型數(shù)陣圖；復(fù)合型數(shù)陣圖 3. 解數(shù)陣圖的一般方法： (1) 分析隱含的數(shù)量關(guān)系和數(shù)字的位置關(guān)系，以特殊的位置為突破口，一般選用使用次數(shù)多的數(shù)作為關(guān)健數(shù)。 (2) 依據(jù)圖中條件，建立所求的和與關(guān)健數(shù)的關(guān)系式，并通過(guò)討論最大值與最小值，以及試驗(yàn)的辦法確定關(guān)鍵數(shù)的數(shù)值及相等的和。 (3) 對(duì)其他部位上的數(shù)字一般都是作嘗試選填，直至符合題為止二、典型例題精講 1. 把16這6個(gè)數(shù)分別填在圖中的內(nèi)，使每多邊上三個(gè)內(nèi)的數(shù)字和相等。 分析指導(dǎo)： 21+(a+b+c)=(a+d+b)+(b+f+c)+(a+e+c)a+d+b=b+f+c=a+e+c,且設(shè)a+d+b=k有:21+(a+b+c)=3k當(dāng)a+b+c為最小值，即1+2+3=6時(shí)，k=9當(dāng)a+b+c為最大值，即6+5+4=15時(shí)，k=12這樣就可以確定，三角形每邊上的三個(gè)內(nèi)的數(shù)字和在912之間 解：(1)當(dāng)k=9時(shí)，a+b+c=6,令a=1,b=2,c=3則：d=9-(2+1)=6 e=9-1-3=5 f=9-2-3=4其結(jié)果如下圖所示： (2)當(dāng)k=10時(shí)，a+b+c=9, 則：a.b.c的取值有三種可能：a=1,b=2,c=6 a=1,b=3,c=5 a=2,b=3,c=4 -種情況，a=1,b=2,c=6,則d=10-1-2=7 (不合題意，舍去)-種情況，a=1,b=3,c=5,則d=10-1-3=6，e=10-1-5=4;f=10-3-5=2, 所以結(jié)果如圖所示。 -種情況，a=2,b=3,c=4,則d=10-2-3=5，e=10-2-4=6, f=10-3-4=3, 與b=3重復(fù)，不合題意，舍去。 (3) 當(dāng)k=11時(shí)，則a+b+c=12,這時(shí)a、b、c的取值，又有如下幾種情況： a=1,b=5,c=6,d=11-1-1=5與b=5矛盾，舍去。a=2,b=4,c=6,d=11-2-4=5,e=11-8=3,f=11-10=1結(jié)果如圖所示。a=3,b=4,c=5,d=11-7=4,與b=4矛盾，舍去。(4) 當(dāng)k=12時(shí)，則a+b+c=15,這時(shí)a、b、c的取值為a=4,b=5,c=6, d=12-9=3,e=12-11=1,f=12-10=2 結(jié)果如圖所示：綜合以上分析，本題有四種不同的填法。2. 112中的部分?jǐn)?shù)字已填入圖中，請(qǐng)將其余的數(shù)字補(bǔ)充填入，使得每條直線上的四個(gè)數(shù)的和都相等。 分析指導(dǎo)：求出112的和。每個(gè)內(nèi)的數(shù)都重復(fù)計(jì)算了一次，六條直線數(shù)字之和=112的和的2倍。求出每條直線上的數(shù)字之和。中間數(shù)嘗試幾次便可試出。解：112的和：(12+1)122=78每條直線數(shù)字之和：7826=1566=26 b+a=26-10-1=15,則a和b的取值為只能是8和7，這樣問(wèn)題就解決了。結(jié)果如圖所示： 3. 將110這十個(gè)數(shù)字填入圖中的10個(gè)內(nèi)，使每個(gè)四邊形四個(gè)頂點(diǎn)上各數(shù)的和等于24。 分析指導(dǎo)：這個(gè)數(shù)的突破口是：題中有3個(gè)“正方形”，兩個(gè)位置上的數(shù)字被重復(fù)使用。三個(gè)“正方形”的頂點(diǎn)上各數(shù)的總和應(yīng)是：243=72，而110這十個(gè)數(shù)字的總和是：(10+1)102=55，所以中間重復(fù)使用的兩個(gè)數(shù)之和應(yīng)是：72-55=17，重復(fù)使用的兩個(gè)數(shù)的取值范圍有10和7；9和8兩種情況，本題可能有兩種答案，先試第一種：當(dāng)中間數(shù)為10和7時(shí)，有：10+7+1+6=24，10+9+2+3=2，7+8+4+5=2，符合題意，結(jié)果如圖所示： 再試第二種：當(dāng)中間數(shù)為9和8時(shí)，有： 9+8+4+3=24，10+8+5+1=24 9+7+6+2=24，符合題意，結(jié)果如圖所示綜合上述分析，此題有2種填法。4. 把18各數(shù)填入圖中的內(nèi)，使每個(gè)面上四個(gè)數(shù)的和等于18。 分析指導(dǎo)：這是個(gè)立體圖形，四個(gè)頂點(diǎn)上的數(shù)字被重復(fù)使用，但沒(méi)有“關(guān)鍵數(shù)”，我們可以“1”這個(gè)特殊數(shù)填入任意一個(gè)位置，則和“1”組成18的情況有：1+2+7+8=18，1+3+6+8=18，1+4+5+8=18，1+7+6+4=18先將上述任意一組的四個(gè)數(shù)放入其中一個(gè)面的四個(gè)圓圈(大、小數(shù)間開(kāi))，以其為基礎(chǔ)進(jìn)行調(diào)整，可得到答案。結(jié)果如圖所示： 5. 20以內(nèi)共有10個(gè)奇數(shù)，去掉9和15還剩八個(gè)奇數(shù)，將這八個(gè)奇數(shù)填入圖中的內(nèi)，(“3”已填好) ，使得箭頭線連接的四數(shù)之和都相等。 分析指導(dǎo)：要填的七個(gè)數(shù)是：1、5、7、11、13、17、19。這七個(gè)數(shù)之和是：1+5+7+11+13+17+19=73。最后一個(gè)里的數(shù)是關(guān)鍵數(shù)。因?yàn)閮深^一去掉，中間只有6個(gè)字，(73-1)3=24，也就是說(shuō)，中間每組兩數(shù)之和是24。 當(dāng)最后一個(gè)內(nèi)填1時(shí)，則中間六個(gè)數(shù)為：5和19，7和17，11和13，結(jié)果如圖所示當(dāng)最后一個(gè)內(nèi)填5時(shí)，則中間六個(gè)數(shù)的和為73-5=68，不能被3整除，不合，舍去。當(dāng)最后一個(gè)內(nèi)填7時(shí)，則中間六個(gè)數(shù)的和為73-7=66，663=22，22-19=3，不合，舍去。當(dāng)最后一個(gè)內(nèi)填11時(shí)，則中間六個(gè)數(shù)之和為73-11=62，不能被3除，不合舍去。當(dāng)最后一個(gè)內(nèi)填13時(shí)，則73-13=60，603=20，20-17=3，超出可選范圍，不合，舍去。當(dāng)最后一個(gè)內(nèi)填17時(shí)，則73-17=56，不能被3整除，不合，舍去。當(dāng)最后一個(gè)內(nèi)填19時(shí)，則73-19=54，543=18，18-17=1，18-13=5，18-11=7。511119131775符合題意，結(jié)果如圖所示： 綜合上面分析，本題有兩種填法。6. 將112這十二個(gè)數(shù)分別填入圖中的內(nèi)，使每條線上五個(gè)數(shù)的和相等，并且兩個(gè)六邊形六個(gè)頂點(diǎn)上內(nèi)的數(shù)的和也相等。 分析指導(dǎo)：1.先考慮每條線上五個(gè)數(shù)和相等 2.再考慮六個(gè)頂點(diǎn)上的數(shù)的和相等。 1.112的和為：(12+1)122=78 每行四個(gè)內(nèi)的數(shù)之和應(yīng)該是783=26, 262=13則為兩個(gè)內(nèi)數(shù)之和，兩數(shù)之和為13的情況有：1和12，2和11，3和10，5和8，6和7如圖所示： 2.為滿足六個(gè)頂點(diǎn)數(shù)字之和相等，其數(shù)字之和應(yīng)該是26+13=39。將右圖適當(dāng)調(diào)整可得。結(jié)果如圖所示。 三、練習(xí)鞏固與拓展1. 將4、5、6、7、8、9六個(gè)數(shù)，填在圖中的“”里，使每條線上的三個(gè)數(shù)的和都是18。 2. 圖中有10個(gè)小三角形，4個(gè)大三角形，請(qǐng)把09填入小三角形內(nèi)，使4個(gè)大三角形內(nèi)的數(shù)字之和相等。 3. 把1-8個(gè)數(shù)分別填入圖中的里，使四邊形每條邊上三個(gè)數(shù)的和都等于12. 4. 把1019這十個(gè)數(shù)分別填入右圖中的內(nèi)，使三角形每條邊上四個(gè)數(shù)的和相等。 5. 在下圖中各圓的空含部分填上1、2、4、6，使每個(gè)圓中4個(gè)數(shù)的和都是156. 將數(shù)字17填入圖中圓錐的7個(gè)小圓圈內(nèi)，使三條線段上的3個(gè)數(shù)之和，兩圓周上3個(gè)數(shù)之和均相等。 7. 將1-7這七個(gè)數(shù)字填入圖中的內(nèi)，使每條線上三個(gè)數(shù)的和相等。8. 在圖中的幾個(gè)內(nèi)各填一個(gè)數(shù)，使每一條直線上的三個(gè)數(shù)中，當(dāng)中的數(shù)是兩邊兩個(gè)數(shù)的平均數(shù)，現(xiàn)在已經(jīng)填好兩個(gè)數(shù)，那么x = ( ) 9. 將1、3、5、719，這十個(gè)數(shù)分別填入圖中的內(nèi)，使每條線段上四個(gè)內(nèi)數(shù)的和相等，每個(gè)三角形三個(gè)頂點(diǎn)上的數(shù)的和也相等。10. 將18這八個(gè)數(shù)字分別填入圖中，使每個(gè)圓圈上五個(gè)數(shù)的和分別為20、21、22。 第三講 答案1. 每條線三個(gè)數(shù)的和是18，三條線九個(gè)數(shù)的和183=54，但三個(gè)頂點(diǎn)上的數(shù)已重復(fù)計(jì)算，所以應(yīng)用54(4+5+6+7+8+9)的和，即54-39=15這個(gè)“15”就是三個(gè)頂點(diǎn)上的數(shù)的和. 2. 解：中心那個(gè)特殊位置放“0” 09的和為：(9+0)102=45 453=15 即每個(gè)三角形里的數(shù)的和為15。下列三組數(shù)的和為15： 1、6、8；3、7、5；2、4、9 3. 解：18的和是：(8+1)82=36而四條邊的和則為124=48四角上的四個(gè)數(shù)之和應(yīng)為：48-36=12 12=1+2+3+6四角上要滿足填1、2、3、6 4. (提示：三個(gè)頂點(diǎn)上先填12、13、17這三個(gè)數(shù)。) 5. 已知三個(gè)圓中的兩數(shù)之和分別為8、12、10；而圓中的四數(shù)之和又為15。15-8=7 15-12=3 15-10=5為了不出現(xiàn)重復(fù)現(xiàn)象取7=1+6、3=1+2、5=1+4、“1”是共有的數(shù)，填入中心位置。 6. 設(shè)頂點(diǎn)數(shù)為a，則有：2(1+2+7)+a=56+a (7個(gè)圓圈的數(shù)字之和)。由于線段和圓圈的數(shù)字和相等，因而(56+a)應(yīng)能被5整除，那么，a只能為4，56+4=60 605=12即三個(gè)數(shù)的和為12。12-4=8(兩數(shù)之和)兩數(shù)之和等于8的情形有：3+5，2+6，1+7。 7. 此題要先