高中數(shù)學(xué) 第二章 概率 3 條件概率與獨(dú)立事件導(dǎo)學(xué)案 北師大版選修2-3.doc

3 條件概率與獨(dú)立事件自主整理1.已知_的條件下a發(fā)生的概率，稱為b發(fā)生時(shí)a發(fā)生的條件概率，記為p(a|b)，當(dāng)p(b)0時(shí)，我們有p(a|b)=_(其中，ab也可以記成ab).類似地，當(dāng)p(a)0時(shí)，a發(fā)生時(shí)b發(fā)生的條件概率p(b|a)=_.2.一般地，對兩個(gè)事件a，b，如果p(ab)=_，則稱a，b相互獨(dú)立.可以證明，如果a，b相互獨(dú)立，則a與b，a與b，a與b也相互獨(dú)立.如果a1，a2，an相互獨(dú)立，則有p(a1a2an)= _.高手筆記1.p(b|a)是指在事件a發(fā)生的前提下事件b發(fā)生的概率；p(b)是指事件b發(fā)生的概率.例如：3張獎(jiǎng)券中只有1張能中獎(jiǎng)，現(xiàn)分別由3名同學(xué)無放回地抽取.用b表示最后一名同學(xué)抽到中獎(jiǎng)獎(jiǎng)券的事件，則p(b)=.若已經(jīng)知道第1名同學(xué)沒有抽到獎(jiǎng)券(設(shè)該事件為a)，則這時(shí)最后一名同學(xué)抽到中獎(jiǎng)獎(jiǎng)券的概率p(b|a)=.故p(b|a)p(b)，特別地，當(dāng)p(b|a)=p(b)時(shí)，可以斷定a、b兩個(gè)事件一定相互獨(dú)立.2.p(ab)表示在基本事件空間中，計(jì)算ab發(fā)生的概率，而p(b|a)表示在縮小的基本事件空間a中，計(jì)算b發(fā)生的概率，用古典概型公式則有：p(b|a)=p(ab)=a中基本事件數(shù)中基本事件數(shù)，故有p(b|a)p(ab).3.條件概率具有概率的性質(zhì)，任何事件的條件概率都在0和1之間，即0p(b|a)1；如果b和c是兩個(gè)互斥事件，則p(bc|a)=p(b|a)+p(c|a).名師解惑1.條件概率的求解策略是什么？剖析：求條件概率一般有兩種方法，一是對于古典概型類題目，可采用縮減基本事件總數(shù)的辦法來計(jì)算，p(b|a)=，其中n(ab)表示事件ab包含的基本事件個(gè)數(shù)，n(a)表示事件a包含的基本事件個(gè)數(shù).二是直接根據(jù)定義計(jì)算，p(b|a)=，特別要注意p(ab)的求法.2.常見事件的關(guān)鍵詞與概率間的關(guān)系.剖析：關(guān)鍵詞表述事件符號概率a、b互斥a、b相互獨(dú)立a、b中至少有一個(gè)發(fā)生abp(ab)p(a)+p(b)1-p()p()a、b同時(shí)都發(fā)生abp(ab)0p(a)p(b)a、b都不發(fā)生p()1-p()+p()p()p()a、b中恰有一個(gè)發(fā)生abp(ab)p(a)+p(b)p(a)p()+p()p(b)a、b至多有一個(gè)發(fā)生aa p(ab )11-p(a)p(b)3.相互獨(dú)立事件與互斥事件的區(qū)別與聯(lián)系剖析：(1)事件的“互斥”與“相互獨(dú)立”是兩個(gè)不同的概念，兩個(gè)事件互斥是指兩個(gè)事件不可能同時(shí)發(fā)生；兩事件相互獨(dú)立是指一個(gè)事件的發(fā)生對另一個(gè)事件是否發(fā)生沒有影響.(2)事件的獨(dú)立性是對兩個(gè)任意事件而言，而事件的對立是對一個(gè)試驗(yàn)中的兩個(gè)事件而言.(3)獨(dú)立事件不是對立事件，一般情況下必定不是互斥事件；對立事件是互斥事件，不能是獨(dú)立事件；互斥事件一般不是對立事件，一定不是獨(dú)立事件.(4)在實(shí)際應(yīng)用中，事件的獨(dú)立性常常不是根據(jù)定義判斷，而是根據(jù)實(shí)際問題(意義)來加以判斷，如一部儀器上工作的兩個(gè)元器件，它們各自的工作狀況是互相獨(dú)立的；兩個(gè)人同時(shí)射擊一個(gè)目標(biāo)，各自命中狀況也是互相獨(dú)立的.講練互動(dòng)【例1】在5道題中有3道理科題和2道文科題，如果不放回地依次抽取2道題，求：(1)第1次抽到理科題的概率；(2)第1次和第2次都抽到理科題的概率；(3)在第1次抽到理科題的條件下，第2次抽到理科題的概率.分析：(1)(2)屬于古典概型，(3)利用條件概率公式p(b|a)=求解.解：設(shè)第1次抽到理科題為事件a，第2次抽到理科題為事件b，則第1次和第2次都抽到理科題為事件ab.(1)從5道題中不放回地依次抽取2道題的事件數(shù)為n()=20.根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理，n(a)=a=12，于是p(a)=.(2)因?yàn)閚(ab)=a=6，所以p(ab)=(3)方法1：由(1)(2)可得，在第1次抽到理科題的條件下，第2次抽到理科題的概率為p(b|a)=.方法2：因?yàn)閚(ab)=6，n(a)=12，所以p(b|a)=.綠色通道:利用條件概率公式求解時(shí)，求事件ab的概率(或其基本事件個(gè)數(shù))是解決問題的關(guān)鍵.變式訓(xùn)練1擲兩顆均勻的骰子，已知第一顆骰子擲出6點(diǎn)，問“擲出的點(diǎn)數(shù)之和大于等于10”的概率是多少？解：設(shè)“第一顆骰子擲出6點(diǎn)”為事件a，“擲出的點(diǎn)數(shù)之和大于等于10”為事件b.則p(b|a)=.【例2】一只盒子裝有4只產(chǎn)品，其中3只一等品，1只二等品，從中取產(chǎn)品兩次，每次任取一只，作不放回抽樣.設(shè)事件a為“第一次取到的是一等品”，事件b為“第二次取到的是二等品”，試求條件概率p(b|a).分析：本題屬古典概型條件概率問題，可用公式p(b|a)=來解決.解：將產(chǎn)品編號，1,2，3為一等品，4號為二等品，以(i，j)表示第一次，第二次分別取到第i號，第j號產(chǎn)品，則試驗(yàn)的基本事件空間為=(1,2)(1,3)(1,4)(2,1)(2,3)(2,4)(3,1)(3,2)(3,4)(4,1)(4,2)(4,3).事件a有9個(gè)基本事件，ab有6個(gè)基本事件.所以p(b|a)= =.綠色通道:本題的解法是求條件概率的常用方法，當(dāng)基本事件空間容易列出時(shí)，可考慮此法.變式訓(xùn)練2盒中有5個(gè)紅球，11個(gè)藍(lán)球，紅球中有2個(gè)玻璃球，3個(gè)木質(zhì)球；藍(lán)球中有4個(gè)玻璃球，7個(gè)木質(zhì)球，現(xiàn)從中任取一球，假設(shè)每個(gè)球摸到的可能性都相同，若已知取到的球是玻璃球，問它是藍(lán)球的概率是多少？解：記a=取得藍(lán)球，b=取得玻璃球，根據(jù)題意引出圖表如下：玻璃木質(zhì)總計(jì)紅235藍(lán)4711總計(jì)61016已知取到的球是玻璃球，求它是藍(lán)球的概率，這就是求b發(fā)生的條件下a發(fā)生的概率，記作p(a|b)，由上表可知，n(b)=6，n(ab)=4，p(a|b)=.【例3】從混有5張假鈔的20張百元鈔票中任意抽取2張，將它們放在驗(yàn)鈔機(jī)上檢驗(yàn)，結(jié)果提示其中有假鈔，求2張都是假鈔的概率.分析：由題意知，驗(yàn)鈔機(jī)提示抽出的兩張鈔票中至少有一張為假鈔，從而問題轉(zhuǎn)化為在“抽到的兩張中至少有1張為假鈔”的前提下，求“抽到的兩張都是假鈔”的概率.解：若a表示“抽到的兩張都為假鈔”，b表示“抽到的兩張中至少有1張為假鈔”，所求概率為p(a|b)，又p(ab)=p(a)=p(b)=，由條件概率公式得p(a|b)=.綠色通道:準(zhǔn)確理解題意，弄清楚在什么條件下發(fā)生的事件是求解條件概率的關(guān)鍵.變式訓(xùn)練3一張儲(chǔ)蓄卡的密碼共有6位數(shù)字，每位數(shù)字都可從09中任選一個(gè).某人在銀行自動(dòng)提款機(jī)上取錢時(shí)，忘記了密碼的最后一位數(shù)字，求：(1)任意按最后一位數(shù)字，不超過2次就按對的概率.(2)如果他記得密碼的最后一位是偶數(shù)，不超過2次就按對的概率.解：設(shè)第i次按對密碼為事件ai(i=1,2)，則a=a1(1a2)表示不超過2次就按對密碼.(1)因?yàn)槭录1與事件a1a2互斥，由概率的加法公式得p(a)=p(a1)+p(1a2)=.(2)用b表示最后一位按偶數(shù)的事件，則p(a|b)=p(a1|b)+p(1a2|b)=+=.【例4】甲、乙兩地都位于長江下游，根據(jù)一百多年的氣象記錄，知道甲、乙兩地一年中雨天所占的比例分別為20%和18%，兩地同時(shí)下雨的比例為12%，問：(1)乙地為雨天時(shí)甲地也為雨天的概率是多少？(2)甲地為雨天時(shí)乙地也為雨天的概率是多少？分析：設(shè)“甲地為雨天”為事件a，“乙地為雨天”為事件b，由題意p(a)、p(b)、p(ab)已知，故可直接由條件概率公式求解.解：設(shè)“甲地為雨天”為事件a，“乙地為雨天”為事件b，由題意得p(a)=0.20，p(b)=0.18，p(ab)=0.12，所以(1)乙地為雨天時(shí)甲地也為雨天的概率是p(a|b)=0.67.(2)甲地為雨天時(shí)乙地也為雨天的概率是p(b|a)=0.60.綠色通道:本題直接利用條件概率公式求解，要注意分清誰是條件.變式訓(xùn)練4設(shè)某種動(dòng)物由出生算起活到20歲的概率為0.8，活到25歲的概率為0.4，現(xiàn)有一個(gè)20歲的這種動(dòng)物，問它能活到25歲的概率是多少？解：設(shè)a=“能活到20歲”，b=“能活到25歲”，則p(a)=0.8，p(b)=0.4，而所求概率為p(b|a)，由于ba,故ab=b,于是p(b|a)=0.5.所以這個(gè)動(dòng)物能活到25歲的概率是0.5.【例5】設(shè)甲、乙兩射手獨(dú)立地射擊同一目標(biāo)，他們擊中目標(biāo)的概率分別為0.8、0.9，求：(1)兩人都擊中目標(biāo)的概率；(2)兩人中有1人擊中目標(biāo)的概率；(3)在一次射擊中，目標(biāo)被擊中的概率；(4)兩人中，至多有1人擊中目標(biāo)的概率.分析：設(shè)出已知事件，然后利用互斥事件、對立事件、獨(dú)立事件將所求事件分解成已知事件的和或積，從而得出相應(yīng)的事件等式，最后利用有關(guān)概率公式求解即可.解：設(shè)事件a=甲射擊一次，擊中目標(biāo)，事件b=乙射擊一次，擊中目標(biāo)，a與b相互獨(dú)立，則p(a)=0.8，p(b)=0.9.(1)兩人都擊中目標(biāo)的事件為ab，p(ab)=p(a)p(b)=0.80.9=0.72.即兩人都擊中目標(biāo)的概率為0.72.(2)設(shè)事件c=兩人中有1人擊中目標(biāo)，則c=a+b，a與ba互斥，且a與b獨(dú)立，p(c)=p(a+b)=p(a)+p(b)=p(a)p()+p(b)p()=p(a)1-p(b)+p(b)1-p(a)=0.80.1+0.90.2=0.26.即兩人中有1人擊中目標(biāo)的概率為0.26.(3)設(shè)d=目標(biāo)被擊中=兩人中至少有1人擊中目標(biāo)，本問有三種解題思路.方法一：d=a+b+b，則a與，b與，a與b相互獨(dú)立，a、b、ab彼此互斥，p(d)=p(a+b+ab)=p(a)+p(b)+p(ab)=p(a)p()+p(b)p(a)+p()p(b)=p(a)1-p(b)+p(b)1-p(a)+p(a)p(b)=0.80.1+0.90.2+0.80.9=0.98.即目標(biāo)被擊中的概率是0.98.方法二：利用求對立事件概率的方法.兩人中至少有1人擊中的對立事件為兩人都未擊中，所以兩人中至少有1人擊中的概率為p(d)=1-p()=1-p()p()=1-0.20.1=0.98.即目標(biāo)被擊中的概率是0.98.方法三：d=a+b，且a與b獨(dú)立，p(d)=p(a+b)=p(a)+p(b)-p(ab)=0.8+0.9-0.80.9=0.98.故目標(biāo)被擊中的概率是0.98.(4)設(shè)e=至多有1人擊中目標(biāo)，則本問有兩種思路：方法一：e=a+b+，且a與、b與、與b獨(dú)立，且a、彼此互斥，p(e)=p(a+b+b)=p(a)+p(b)+p()=p(a)p()+p(b)p()+p()p()=0.80.1+0.90.2+0.10.2=0.28.故至多有1人擊中目標(biāo)的概率為0.28.方法二：=“兩人都擊中”，=ab，且a與b獨(dú)立.p()=p(ab)=p(a)p(b)=0.80.9=0.72.d與對立，p(d)=1-p()=1-0.72=0.28.故至多有1人擊中目標(biāo)的概率為0.28.綠色通道:由上述解法可以看出，靈活、有效地將一些比較復(fù)雜的事件分解成為互斥事件和相互獨(dú)立事件的和或積，列出事件等式，是求解概率問題的關(guān)鍵所在.變式訓(xùn)練5某商場推出二次開獎(jiǎng)活動(dòng)，凡購買一定價(jià)值的商品可以獲得一張獎(jiǎng)券，獎(jiǎng)券上有一個(gè)兌獎(jiǎng)號碼，可以分別參加兩次抽獎(jiǎng)方式相同的兌獎(jiǎng)活動(dòng).如果兩次兌獎(jiǎng)活動(dòng)的中獎(jiǎng)概率都是0.05，求兩次抽獎(jiǎng)中以下事件的概率：(1)都抽到某一指定號碼；(2)恰有一次抽到某一指定號碼；(3)至少有一次抽到某一指定號碼.解：(1)記“第1次抽獎(jiǎng)抽到某一指定號碼”為事件a，“第2次抽獎(jiǎng)抽到某一指定號碼”為事件b，則“兩次抽獎(jiǎng)都抽到某一指定號碼”就是事件ab.由于兩次抽獎(jiǎng)結(jié)果互不影響，因此a與b相互獨(dú)立，于是由獨(dú)立性可得，兩次抽獎(jiǎng)都抽到某一指定號碼的概率p(ab)=p(a)p(b)=0.050.05=0.002 5.(2)“兩次抽獎(jiǎng)恰有一次抽到某一指定號碼”可以用(a)(b)表示，由于事件ab與ab互斥，根據(jù)概率的加法公式和相互獨(dú)立事件的定義，所求得的概率為p(a)+p(b)=p(a)p()+p()p(b)=0.05(1-0.05)+(1-0.05)0.05=0.095.(3)“兩次抽獎(jiǎng)至少有一次抽到某一指定號碼”可以用(ab)(ab)(ab)表示.由于事件ab，a，b兩兩互斥，根據(jù)概率的加法公式和相互獨(dú)立事件定義，所求的概率為p(ab)+p(a)+p(b)=0.002 5+0.095=0.097 5.教材鏈接p45思考交流有人以為，把一枚均勻硬幣擲4次，事件“第一次出現(xiàn)正面，第2次出現(xiàn)反面