5年高考題_3年模擬題專項(xiàng)練習(xí)之等差數(shù)列、等比數(shù)列的概念及求和部分.doc

1 第六章第六章 數(shù)列數(shù)列 第一節(jié)第一節(jié) 等差數(shù)列 等比數(shù)列的概念及求和等差數(shù)列 等比數(shù)列的概念及求和 第一部分第一部分 五年高考體題薈萃五年高考體題薈萃 2009 年高考題年高考題 一 選擇題 1 2009 年廣東卷文 已知等比數(shù)列 n a的公比為正數(shù) 且 3 a 9 a 2 2 5 a 2 a 1 則 1 a A 2 1 B 2 2 C 2 D 2 答案 B 解析 設(shè)公比為q 由已知得 2 284 111 2a qa qa q 即 2 2q 又因?yàn)榈缺葦?shù)列 n a的公比為正數(shù) 所以2q 故 2 1 12 22 a a q 選 B 2 2009 安徽卷文 已知為等差數(shù)列 則等于 A 1 B 1 C 3 D 7 解析 135 105aaa 即 3 3105a 3 35a 同理可得 4 33a 公差 43 2daa 204 204 1aad 選 B 答案 B 3 2009 江西卷文 公差不為零的等差數(shù)列 n a的前n項(xiàng)和為 n S 若 4 a是 37 aa與的等比中項(xiàng) 8 32S 則 10 S等于 A 18 B 24 C 60 D 90 答案 C 解析 由 2 437 aa a 得 2 111 3 2 6 adad ad 得 1 230ad 再由 81 56 832 2 Sad 得 1 278ad 則 1 2 3da 所以 101 90 1060 2 Sad 故選 C 4 2009 湖南卷文 設(shè) n S是等差數(shù)列 n a的前 n 項(xiàng)和 已知 2 3a 6 11a 則 7 S等于 A 13 B 35 C 49 D 63 解析 1726 7 7 7 7 3 11 49 222 aaaa S 故選 C 或由 211 61 31 5112 aada aadd 7 1 6 213 a 2 所以 17 7 7 7 1 13 49 22 aa S 故選 C 5 2009 福建卷理 等差數(shù)列 n a的前 n 項(xiàng)和為 n S 且 3 S 6 1 a 4 則公差 d 等于 A 1 B 5 3 C 2 D 3 答案 C 解析 313 3 6 2 Saa 且 311 2 4 d 2aad a 故選 C 6 2009 遼寧卷文 已知 n a為等差數(shù)列 且 7 a 2 4 a 1 3 a 0 則公差 d A 2 B 1 2 C 1 2 D 2 解析 a7 2a4 a3 4d 2 a3 d 2d 1 d 1 2 答案 B 7 2009 四川卷文 等差數(shù)列 n a 的公差不為零 首項(xiàng) 1 a 1 2 a是 1 a和 5 a的等比中項(xiàng) 則數(shù)列的前 10 項(xiàng)之和 是 A 90 B 100 C 145 D 190 答案答案 B B 解析解析 設(shè)公差為d 則 41 1 1 2 dd d 0 解得d 2 10 S 100 8 2009 寧夏海南卷文 等差數(shù)列 n a的前 n 項(xiàng)和為 n S 已知 2 11 0 mmm aaa 21 38 m S 則m A 38 B 20 C 10 D 9 答案 C 解析 因?yàn)?n a是等差數(shù)列 所以 11 2 mmm aaa 由 2 11 0 mmm aaa 得 2 m a 2 m a 0 所以 m a 2 又 21 38 m S 即 2 12 121 m aam 38 即 2m 1 2 38 解得 m 10 故選 C 9 2009 重慶卷文 設(shè) n a是公差不為 0 的等差數(shù)列 1 2a 且 136 a a a成等比數(shù)列 則 n a的前n項(xiàng)和 n S A 2 7 44 nn B 2 5 33 nn C 2 3 24 nn D 2 nn 答案 A 解析 設(shè)數(shù)列 n a的公差為d 則根據(jù)題意得 22 22 25 dd 解得 1 2 d 或0d 舍去 所以數(shù)列 n a的前n項(xiàng)和 2 1 17 2 2244 n n nnn Sn 3 二 填空題 10 2009 全國卷 理 設(shè)等差數(shù)列 n a的前n項(xiàng)和為 n S 若 9 72S 則 249 aaa 答案 24 解析 n a 是等差數(shù)列 由 9 72S 得 59 9 Sa 5 8a 2492945645 324aaaaaaaaaa 11 2009 浙江理 設(shè)等比數(shù)列 n a的公比 1 2 q 前n項(xiàng)和為 n S 則 4 4 S a 答案 15 解析 對于 44 3 14 441 3 4 1 1 15 1 1 aqsq saa q qaqq 12 2009 北京文 若數(shù)列 n a滿足 11 1 2 nn aaa nN 則 5 a 前 8 項(xiàng)的和 8 S 用數(shù)字作答 答案 225 解析 本題主要考查簡單的遞推數(shù)列以及數(shù)列的求和問題 屬于基礎(chǔ)知識 基本運(yùn)算的考查 121324354 1 22 24 28 216aaaaaaaaa 易知 8 8 21 255 2 1 S 應(yīng)填 255 13 2009 全國卷 文 設(shè)等比數(shù)列 n a 的前 n 項(xiàng)和為 n s 若 361 4 1ssa 則 4 a 答案 3 3 解析 本題考查等比數(shù)列的性質(zhì)及求和運(yùn)算 由由 361 4 1ssa 得 q3 3 故 a4 a1q3 3 14 2009 全國卷 理 設(shè)等差數(shù)列 n a的前n項(xiàng)和為 n S 若 53 5aa 則 9 5 S S 解解析 n a 為等差數(shù)列 95 53 9 9 5 Sa Sa 答案 9 15 2009 遼寧卷理 等差數(shù)列 n a的前n項(xiàng)和為 n S 且 53 655 SS 則 4 a 解析 Sn na1 1 2 n n 1 d S5 5a1 10d S3 3a1 3d 6S5 5S3 30a1 60d 15a1 15d 15a1 45d 15 a1 3d 15a4 4 答案 3 1 三 解答題 16 2009 浙江文 設(shè) n S為數(shù)列 n a的前n項(xiàng)和 2 n Sknn nN 其中k是常數(shù) I 求 1 a及 n a II 若對于任意的 mN m a 2m a 4m a成等比數(shù)列 求k的值 解 當(dāng)1 1 11 kSan 12 1 1 2 22 1 kknnnknknSSan nnn 經(jīng)驗(yàn) 1 n 式成立 12 kknan mmm aaa 42 成等比數(shù)列 mmm aaa 4 2 2 即 18 12 14 2 kkmkkmkkm 整理得 0 1 kmk 對任意的 Nm成立 10 kk或 17 2009 北京文 設(shè)數(shù)列 n a的通項(xiàng)公式為 0 n apnq nNP 數(shù)列 n b定義如下 對于正整數(shù)m m b是使得不等式 n am 成立的所有n中的最小值 若 11 23 pq 求 3 b 若2 1pq 求數(shù)列 m b的前 2m項(xiàng)和公式 是否存在p和q 使得32 m bmmN 如果存在 求p和q的取值范圍 如果不存在 請說明理由 解析解析 本題主要考查數(shù)列的概念 數(shù)列的基本性質(zhì) 考查運(yùn)算能力 推理論證能力 分類討論等數(shù)學(xué)思想方法 本題是數(shù)列與不等式綜合的較難層次題 解 由題意 得 11 23 n an 解 11 3 23 n 得 20 3 n 11 3 23 n 成立的所有n中的最小整數(shù)為 7 即 3 7b 由題意 得21 n an 對于正整數(shù) 由 n am 得 1 2 m n 根據(jù) m b的定義可知 當(dāng)21mk 時(shí) m bk kN 當(dāng)2mk 時(shí) 1 m bkkN 1221321242mmm bbbbbbbbb 1232341mm 5 2 13 2 22 m mm m mm 假設(shè)存在p和q滿足條件 由不等式pnqm 及0p 得 mq n p 32 m bmmN 根據(jù) m b的定義可知 對于任意的正整數(shù)m 都有 3132 mq mm p 即 231pqpmpq 對任意的正整數(shù)m都成立 當(dāng)310p 或310p 時(shí) 得 31 pq m p 或 2 31 pq m p 這與上述結(jié)論矛盾 當(dāng)310p 即 1 3 p 時(shí) 得 21 0 33 qq 解得 21 33 q 存在p和q 使得32 m bmmN p和q的取值范圍分別是 1 3 p 21 33 q 18 2009 山東卷文 等比數(shù)列 n a 的前 n 項(xiàng)和為 n S 已知對任意的nN 點(diǎn) n n S 均在函數(shù) 0 x ybr b 且1 bb r 均為常數(shù) 的圖像上 1 求 r 的值 11 當(dāng) b 2 時(shí) 記 1 4 n n n bnN a 求數(shù)列 n b的前n項(xiàng)和 n T 解 因?yàn)閷θ我獾膎N 點(diǎn) n n S 均在函數(shù) 0 x ybr b 且1 bb r 均為常數(shù) 的圖像上 所以得 n n Sbr 當(dāng)1n 時(shí) 11 aSbr 當(dāng)2n 時(shí) 111 1 1 nnnnn nnn aSSbrbrbbbb 又因?yàn)?n a 為等比數(shù)列 所以1r 公比為b 所以 1 1 n n abb 2 當(dāng) b 2 時(shí) 11 1 2 nn n abb 11 111 44 22 n nn n nnn b a 則 2341 2341 2222 n n n T 34512 12341 222222 n nn nn T 相減 得 234512 1211111 2222222 n nn n T 6 31 2 11 1 11 22 1 22 1 2 n n n 12 311 422 nn n 所以 11 31133 22222 n nnn nn T 命題立意 本題主要考查了等比數(shù)列的定義 通項(xiàng)公式 以及已知 n S求 n a的基本題型 并運(yùn)用錯(cuò)位相減法求出一等 比數(shù)列與一等差數(shù)列對應(yīng)項(xiàng)乘積所得新數(shù)列的前n項(xiàng)和 n T 19 2009 全國卷 文 已知等差數(shù)列 n a 中 0 16 6473 aaaa求 n a 前 n 項(xiàng)和 n s 解析 本題考查等差數(shù)列的基本性質(zhì)及求和公式運(yùn)用能力 利用方程的思想可求解 解析 本題考查等差數(shù)列的基本性質(zhì)及求和公式運(yùn)用能力 利用方程的思想可求解 解 設(shè) n a的公差為d 則 11 11 2616 350 adad adad 即 22 11 1 81216 4 adad ad 解得 11 8 8 2 2 aa dd 或 因此 819819 nn Snn nn nSnn nn n 或 20 2009 安徽卷文 已知數(shù)列 的前 n 項(xiàng)和 數(shù)列 的前 n 項(xiàng)和 求數(shù)列 與 的通項(xiàng)公式 設(shè) 證明 當(dāng)且僅當(dāng) n 3 時(shí) 思路 由 1 1 1 2 nn an a ssn 可求出 nn ab和 和 這是數(shù)列中求通項(xiàng)的常用方法之一 在求出 nn ab和 和后 進(jìn)而得到 n c 接下來用作差法來比較大小 這也是一常用方法 解析 1 由于 11 4as 當(dāng)2n 時(shí) 22 1 22 2 1 2 1 4 nnn assnnnnn 4 m an nN 又當(dāng)xn 時(shí) 11 26 2 nnnmm bTTb 1 2 nn bb 數(shù)列 n b項(xiàng)與等比數(shù)列 其首項(xiàng)為 1 公比為 1 2 1 1 2 n n b 7 2 由 1 知 221 11 1 16 2 n n Cabn 2 1 1 2 1 2 21 1 16 1 1 2 1 2 16 2 n n n n n Cn Cn n 由 2 1 1 11 2 n n Cn Cn 得即 2 21012nnn 即3n 又3n 時(shí) 2 1 2 1 2 n n 成立 即 1 1 n n C C 由于0 n C 恒成立 因此 當(dāng)且僅當(dāng)3n 時(shí) 1nn CC 21 2009 江西卷文 數(shù)列 n a的通項(xiàng) 222 cossin 33 n nn an 其前n項(xiàng)和為 n S 1 求 n S 2 3 4 n n n S b n 求數(shù)列 n b 的前 n 項(xiàng)和 n T 解 1 由于 22 2 cossincos 333 nnn 故 312345632313 222222 222 1245 32 31 3 6 3 222 kkkk Saaaaaaaaa kk k 1331185 94 2222 kkk 3133 49 2 kkk kk SSa 2 323131 49 31 1321 22236 kkk kkkk SSak 故 1 32 36 1 1 3 31 6 34 3 6 n n nk nn Snk nn nk kN 2 3 94 42 4 n n nn Sn b n 2 1 132294 2 444 n n n T 1 12294 4 13 244 n n n T 兩式相減得 8 12321 99 1999419419 44 3 13 13 8 1 24442422 1 4 n n nnnnn nnn T 故 2321 813 33 22 n nn n T 22 2009 天津卷文 已知等差數(shù)列 n a的公差 d 不為 0 設(shè) 1 21 n nn qaqaaS 11 21 0 1 NnqqaqaaT n n n n 若15 1 1 31 Saq 求數(shù)列 n a的通項(xiàng)公式 若 3211 SSSda且 成等比數(shù)列 求 q 的值 若 2 2 22 1 1 2 1 1 1Nn q qdq TqSqq n nn 證明 1 解 由題設(shè) 15 1 1 2 31 2 1113 SaqqdaqdaaS將 代入解得4 d 所以34 nan Nn 2 解 當(dāng) 321 2 3211 32 2 SSSdqdqdSdqdSdSda 成等比數(shù)列 所以 31 2 2 SSS 即 322 22 dqdqdddqd 注意到0 d 整理得2 q 3 證明 由題設(shè) 可得 1 n n qb 則 12 2 2 3212 n nn qaqaqaaS 12 2 2 3212 n nn qaqaqaaT 得 2 12 2 3 4222 n nnn qaqaqaTS 得 2 22 12 2 3122 n nnn qaqaqaTS 式兩邊同乘以 q 得 2 22 12 2 3122 n nnn qaqaqaTSq 所以 2 2 123 22 1 1 2 2 1 1 q qdq qqqdTqSq n n nn 3 證明 nlklklk baabaabaacc nn 2121 2 12 11 1 1122111 n nn qdblkqdblkdblk 9 因?yàn)? 0 1 bd 所以 1 2211 1 21 n nn qlkqlklk db cc 若 nn lk 取 i n 若 nn lk 取 i 滿足 ii lk 且 jj lk nji 1 由 1 2 及題設(shè)知 ni 1 且 1 2211 1 21 n nn qlkqlklk db cc 當(dāng) ii lk 時(shí) 1 ii lk 由nq 1 2 1 1 iiqlk ii 即1 11 qlk 1 22 qqqlk 22 11 1 ii ii qqqlk 所以1 1 1 1 1 1 1 1 1 12 1 21 i i ii q q q qqqqqqq db cc 因此0 21 cc 當(dāng) ii lk 時(shí) 同理可得 1 1 21 db cc 因此0 21 cc 綜上 21 cc 考點(diǎn)定位 本小題主要考查了等差數(shù)列的通項(xiàng)公式 等比數(shù)列通項(xiàng)公式與前 n 項(xiàng)和等基本知識 考查運(yùn)算能力和推 理論證能力和綜合分析解決問題的能力 23 2009 全國卷 理 設(shè)數(shù)列 n a的前n項(xiàng)和為 n S 已知 1 1 a 1 42 nn Sa I 設(shè) 1 2 nnn baa 證明數(shù)列 n b是等比數(shù)列 II 求數(shù)列 n a的通項(xiàng)公式 解 I 由 1 1 a 及 1 42 nn Sa 有 121 42 aaa 21121 325 23aabaa 由 1 42 nn Sa 則當(dāng)2n 時(shí) 有 1 42 nn Sa 得 1111 44 22 2 nnnnnnn aaaaaaa 又 1 2 nnn baa 1 2 nn bb n b 是首項(xiàng) 1 3b 公比為 的等比數(shù)列 II 由 I 可得 1 1 23 2n nnn baa 1 1 3 224 nn nn aa 10 數(shù)列 2 n n a 是首項(xiàng)為 1 2 公差為 3 4 的等比數(shù)列 1331 1 22444 n n a nn 2 31 2n n an 評析 第 I 問思路明確 只需利用已知條件尋找 1nn bb 與的關(guān)系即可 第 II 問中由 I 易得 1 1 23 2n nn aa 這個(gè)遞推式明顯是一個(gè)構(gòu)造新數(shù)列的模型 1 n nn apaqp q 為常數(shù) 主要的處理手段是兩邊除以 1n q 總體來說 09 年高考理科數(shù)學(xué)全國 I I 這兩套試題都將數(shù)列題前置 主要考查構(gòu)造新數(shù)列 全國 I I 還考查了利用錯(cuò) 位相減法求前 n 項(xiàng)和的方法 一改往年的將數(shù)列結(jié)合不等式放縮法問題作為押軸題的命題模式 具有讓考生和一線 教師重視教材和基礎(chǔ)知識 基本方法基本技能 重視兩綱的導(dǎo)向作用 也可看出命題人在有意識降低難度和求變的良 苦用心 24 2009 遼寧卷文 等比數(shù)列 n a 的前 n 項(xiàng)和為 n s 已知 1 S 3 S 2 S成等差數(shù)列 1 求 n a 的公比 q 2 求 1 a 3 a 3 求 n s 解 依題意有 2 2 111111 qaqaaqaaa 由于 0 1 a 故 02 2 qq 又0 q 從而 2 1 q 5 分 由已知可得3 2 1 2 11 aa 故4 1 a 從而 n n n 2 1 1 3 8 2 1 1 2 1 14 S 10 分 25 2009 陜西卷文 已知數(shù)列 n a滿足 1 12 12 2 nn n aa aaanN 2 令 1nnn baa 證明 n b是等比數(shù)列 求 n a的通項(xiàng)公式 1 證 121 1 baa 11 當(dāng)2n 時(shí) 1 111 11 222 nn nnnnnnn aa baaaaab 所以 n b是以 1 為首項(xiàng) 1 2 為公比的等比數(shù)列 2 解由 1 知 1 1 1 2 n nnn baa 當(dāng)2n 時(shí) 121321 nnn aaaaaaaa 2 11 1 1 22 n 1 1 1 2 1 1 1 2 n 2 21 1 1 32 n 1 521 332 n 當(dāng)1n 時(shí) 1 1 1 521 1 332 a 所以 1 521 332 n n anN 26 2009 湖北卷文 已知 an 是一個(gè)公差大于 0 的等差數(shù)列 且滿足 a3a6 55 a2 a7 16 求數(shù)列 an 的通項(xiàng)公式 若數(shù)列 an 和數(shù)列 bn 滿足等式 an 2 222 n 3 3 2 21 為正整數(shù)n bbbb n 求數(shù)列 bn 的前 n 項(xiàng)和 Sn 解 1 解 設(shè)等差數(shù)列 n a的公差為 d 則依題設(shè) d 0 由 a2 a7 16 得 1 2716ad 由 36 55 aa 得 11 2 5 55ad ad 由 得 1 2167ad 將其代入 得 163 163 220dd 即 2 2569220d 2 4 0 2 1 1 1 221 n ddd ann 1 又代入得a 2 令 121121 2 n nnnnn n b caccc accc 則有 兩式相減得 1111 1 111 1 1 1 2 2 2 2 2222 2 1 2 2 nnnnn n nnn n n aacaaa ccnnbba n b n 由得 即當(dāng)時(shí) 又當(dāng)n 1時(shí) 于是 341 123 2222n nn Sbbbb 2341 22222n 4 1 22 2 21 426 26 2 1 n nn n S 即 27 2009 福建卷文 等比數(shù)列 n a中 已知 14 2 16aa 12 I 求數(shù)列 n a的通項(xiàng)公式 若 35 a a分別為等差數(shù)列 n b的第 3 項(xiàng)和第 5 項(xiàng) 試求數(shù)列 n b的通項(xiàng)公式及前n項(xiàng)和 n S 解 I 設(shè) n a的公比為q 由已知得 3 162q 解得2q 由 I 得 2 8a 5 32a 則 3 8b 5 32b 設(shè) n b的公差為d 則有 1 1 28 432 bd bd 解得 1 16 12 b d 從而16 12 1 1228 n bnn 所以數(shù)列 n b的前n項(xiàng)和 2 16 1228 622 2 n nn Snn 28 2009 重慶卷文 本小題滿分 12 分 問 3 分 問 4 分 問 5 分 已知 1 1221 1 4 4 n nnnn n a aaaaa bnN a 求 123 b b b的值 設(shè) 1 nnnn cb bS 為數(shù)列 n c的前n項(xiàng)和 求證 17 n Sn 求證 2 2 11 64 17 nn n bb A 解 234 4 17 72aaa 所以 123 1772 4 417 bbb 由 21 4 nnn aaa 得 2 11 4 nn nn aa aa 即 1 1 4 n n b b 所以當(dāng)2n 時(shí) 4 n b 于是 1121 17 4117 2 nnnn cb bcb bbn 所以 12 17 nn Scccn 當(dāng)1n 時(shí) 結(jié)論 21 117 464 bb 成立 當(dāng)2n 時(shí) 有 1 11 11 111 44 17 nn nnnn nnnn bb bbbb bbb b 1221 212 1111 2 171764 17 nn nn bbbbn A 所以 2121221nnnnnnnn bbbbbbbb 13 1 122 2 11 1 1111111 1717 1 4171717464 17 1 17 n n nnn n nN AA 2005 2008 年高考題年高考題 一 選擇題 1 2008 天津 若等差數(shù)列 n a的前 5 項(xiàng)和 5 25S 且 2 3a 則 7 a A 12 B 13 C 14 D 15 答案 B 2 2008 陜西 已知 n a是等差數(shù)列 12 4aa 78 28aa 則該數(shù)列前 10 項(xiàng)和 10 S等于 A 64 B 100 C 110 D 120 答案 B 3 2008 廣東 記等差數(shù)列 n a的前n項(xiàng)和為 n S 若 1 1 2 a 4 20S 則 6 S A 16 B 24 C 36 D 48 答案 D 4 2008 浙江 已知 n a是等比數(shù)列 4 1 2 52 aa 則 13221 nna aaaaa A 16 n 41 B 6 n 21 C 3 32 n 41 D 3 32 n 21 答案 C 5 2008 四川 已知等比數(shù)列 n a中 2 1a 則其前 3 項(xiàng)的和 3 S的取值范圍是 A 1 B 01 C 3 D 13 答案 D 6 2008 福建 設(shè) an 是公比為正數(shù)的等比數(shù)列 若n1 7 a5 16 則數(shù)列 an 前 7 項(xiàng)的和為 A 63B 64C 127D 128 答案 C 7 2007 重慶 在等比數(shù)列 an 中 a2 8 a5 64 則公比 q 為 A 2 B 3 C 4 D 8 答案 A 8 2007 安徽 等差數(shù)列 n a的前n項(xiàng)和為 x S若 則 432 3 1Saa 14 A 12 B 10 C 8 D 6 答案 B 9 2007 遼寧 設(shè)等差數(shù)列 n a的前n項(xiàng)和為 n S 若 3 9S 6 36S 則 789 aaa A 63 B 45 C 36 D 27 答案 B 10 2007 湖南 在等比數(shù)列 n a n N 中 若 1 1a 4 1 8 a 則該數(shù)列的前 10 項(xiàng)和為 A 4 1 2 2 B 2 1 2 2 C 10 1 2 2 D 11 1 2 2 答案 B 11 2007 湖北 已知兩個(gè)等差數(shù)列 n a和 n b的前n項(xiàng)和分別為An和 n B 且 745 3 n n An Bn 則使得 n n a b 為整數(shù)的正 整數(shù)n的個(gè)數(shù)是 A 2 B 3 C 4 D 5 答案 D 12 2007 寧夏 已知abcd和和和成等比數(shù)列 且曲線 2 23yxx 的頂點(diǎn)是 bc和 則ad等于 A 3 B 2 C 1 D 2 答案 D 13 2007 四川 等差數(shù)列 an 中 a1 1 a3 a5 14 其前n項(xiàng)和Sn 100 則n A 9 B 10 C 11 D 12 答案 B 14 2006湖北 若互不相等的實(shí)數(shù) 成等差數(shù)列 成等比數(shù)列 且 310abc 則a A 4 B 2 C 2 D 4 答案 D 解析 由互不相等的實(shí)數(shù) a b c 成等差數(shù)列可設(shè)a b d c b d 由 310abc 可得b 2 所以 a 2 d c 2 d 又 c a b 成等比數(shù)列可得d 6 所以a 4 選D 15 2005福建 已知等差數(shù)列 n a中 12497 1 16aaaa則 的值是 A 15B 30C 31D 64 答案 A 16 2005 江蘇卷 在各項(xiàng)都為正數(shù)的等比數(shù)列 an 中 首項(xiàng)a1 3 前三項(xiàng)和為 21 則a3 a4 a5 A 33 B 72 C 84 D 189 答案 C a b c c a b 15 二 填空題 17 2008 四川 設(shè)等差數(shù)列 n a的前n項(xiàng)和為 n S 若 45 10 15SS 則 4 a的最大值為 答案 4 18 2008 重慶 設(shè)Sn 是等差數(shù)列 an 的前n項(xiàng)和 a12 8 S9 9 則S16 答案 72 19 2007 全國 I 等比數(shù)列 n a的前n項(xiàng)和為 n S 已知 1 S 2 2S 3 3S成等差數(shù)列 則 n a的公比為 答案 1 3 20 2007 江西 已知等差數(shù)列 n a的前n項(xiàng)和為 n S 若 12 21S 則 25811 aaaa 答案 7 21 2007 北京 若數(shù)列 n a的前n項(xiàng)和 2 10 12 3 n Snn n 則此數(shù)列的通項(xiàng)公式為 數(shù)列 n na中數(shù)值最小的項(xiàng)是第項(xiàng) 答案 211n 22 2006 湖南 數(shù)列 n a滿足 1 2 1 11 naaa nn 2 3 則 n aaa 21 答案 12 n 解析 數(shù)列 n a 滿足 11 1 2 1 nn aaan 2 3 該數(shù)列為公比為 2 的等比數(shù)列 n aaa 21 三 解答題 23 2008 四川卷 設(shè)數(shù)列 n a的前n項(xiàng)和為 n S 已知 21 n nn babS 證明 當(dāng)2b 時(shí) 1 2n n an 是等比數(shù)列 求 n a的通項(xiàng)公式 解 由題意知 1 2a 且 21 n nn babS 1 11 21 n nn babS 兩式相減得 11 21 n nnn b aaba 即 1 2n nn aba 當(dāng)2b 時(shí) 由 知 1 22n nn aa 21 21 2 1 n n 16 于是 1 1 2221 2 nnn nn anan 1 22n n an 又 1 1 1 210 n a 所以 1 2n n an 是首項(xiàng)為 1 公比為 2 的等比數(shù)列 當(dāng)2b 時(shí) 由 知 11 22 nn n an 即 1 1 2n n an 當(dāng)2b 時(shí) 由由 得 11 1 11 222 22 nnn nn aba bb 2 2 n n b ba b 1 2 2 n n b a b 因此 1 1 11 22 22 nn nn ab a bb 2 1 2 n b b b 得 1 21 1 2222 2 n nn n a b bn b 24 2008 江西卷 數(shù)列 n a為等差數(shù)列 n a為正整數(shù) 其前n項(xiàng)和為 n S 數(shù)列 n b為等比數(shù)列 且 11 3 1ab 數(shù)列 n a b是公比為 64 的等比數(shù)列 22 64b S 1 求 nn a b 2 求證 12 1113 4 n SSS 解 1 設(shè) n a的公差為d n b的公比為q 則d為正整數(shù) 3 1 n and 1n n bq 依題意有 1 3 6 3 1 22 642 6 64 n n nd a d nd a b q q bq S bd q 由 6 64d q 知q為正有理數(shù) 故d為6的因子1 2 3 6之一 解 得2 8dq 17 故 1 32 1 21 8n nn annb 2 35 21 2 n Snn n 12 1111111 1 32 43 5 2 n SSSn n 11111111 1 2324352nn 11113 1 22124nn 25 2008 湖北 已知數(shù)列 n a和 n b滿足 1 a 1 2 4 1 321 3 n nnnn aanban 其中 為實(shí)數(shù) n為正整數(shù) 對任意實(shí)數(shù) 證明數(shù)列 n a不是等比數(shù)列 試判斷數(shù)列 n b是否為等比數(shù)列 并證明你的結(jié)論 設(shè)0ab n S為數(shù)列 n b的前n項(xiàng)和 是否存在實(shí)數(shù) 使得對任意正整數(shù)n 都有 n aSb 若存在 求 的取值范圍 若不存在 說明理由 本小題主要考查等比數(shù)列的定義 數(shù)列求和 不等式等基礎(chǔ)知識和分類討論的思想 考查綜合分析問題的能 力和推理認(rèn)證能力 滿分 14 分 證明 假設(shè)存在一個(gè)實(shí)數(shù) 使 an 是等比數(shù)列 則有a22 a1a3 即 094 9 4 94 9 4 4 9 4 3 3 2 222 矛盾 所以 an 不是等比數(shù)列 解 因?yàn)閎n 1 1 n 1 an 1 3 n 1 21 1 n 1 3 2 an 2n 14 3 2 1 n an 3n 21 3 2 bn 又b1x 18 所以 當(dāng) 18 bn 0 n N 此時(shí) bn 不是等比數(shù)列 當(dāng) 18 時(shí) b1 18 0 由上可知bn 0 3 2 1 n a b b n N 故當(dāng) 18 時(shí) 數(shù)列 bn 是以 18 為首項(xiàng) 3 2 為公比的等比數(shù)列 由 知 當(dāng) 18 bn 0 Sn 0 不滿足題目要求 18 故知bn 18 3 2 n 1 于是可得 18 Sn 3 2 1 18 5 3 n 要使a Sn b對任意正整數(shù)n成立 即a 5 3 18 1 3 2 n b n N 則令 得 2 1 3 2 1 18 5 3 3 2 1 nf ba nn 當(dāng)n為正奇數(shù)時(shí) 1 f n 1 9 5 3 5 nfn為正偶數(shù)時(shí) 當(dāng) f n 的最大值為f 1 3 5 f n 的最小值為f 2 9 5 于是 由 式得 9 5 a 5 3 18 18318 5 3 abb 當(dāng)a3a存在實(shí)數(shù) 使得對任意正整數(shù)n 都有a Sn 2 26 2005 北京 數(shù)列 an 的前n項(xiàng)和為Sn 且a1 1 1 1 3 nn aS n 1 2 3 求 I a2 a3 a4的值及數(shù)列 an 的通項(xiàng)公式 II 2462n aaaa 的值 解 I 由a1 1 1 1 3 nn aS n 1 2 3 得 211 111 333 aSa 3212 114 339 aSaa 43123 1116 3327 aSaaa 由 11 11 33 nnnnn aaSSa n 2 得 1 4 3 nn aa n 2 又a2 3 1 所以an 2 1 4 3 3 n n 2 數(shù)列 an 的通項(xiàng)公式為 2 11 1 4 2 3 3 n n n a n 27 2005 福建 已知 n a 是公比為 q 的等比數(shù)列 且 231 aaa成等差數(shù)列 求 q 的值 設(shè) n b 是以 2 為首項(xiàng) q 為公差的等差數(shù)列 其前 n 項(xiàng)和為 Sn 當(dāng) n 2 時(shí) 比較 Sn與 bn的大小 并說明 理由 解 由題設(shè) 2 2 11 2 1213 qaaqaaaa 即 0 12 0 2 1 qqa 19 2 1 1 或q 若 2 3 1 2 1 2 1 2 nnnn nSq n 則 當(dāng) 0 2 2 1 2 1 nn SbSn nnn 時(shí) 故 nn bS 若 4 9 2 1 2 1 2 2 1 2 nnnn nSq n 則 當(dāng) 4 10 1 2 1 nn SbSn nnn 時(shí) 故對于 11 10 92 nnnnnn bSnbSnbSnNn 時(shí)當(dāng)時(shí)當(dāng)時(shí)當(dāng) 第二部分第二部分 三年聯(lián)考題匯編三年聯(lián)考題匯編 20092009 年聯(lián)考題年聯(lián)考題 一 選擇題 1 北京市朝陽區(qū) 2009 年 4 月高三一模理 各項(xiàng)均不為零的等差數(shù)列 n a中 若 2 11 0 2 nnn aaann N 則 2009 S等于 A 0 B 2 C 2009 D 4018 答案 D 2 北京市西城區(qū) 2009 年 4 月高三一模抽樣測試?yán)?若數(shù)列 n a是公比為 4 的等比數(shù)列 且 1 2a 則數(shù)列 2 log n a是 A 公差為 2 的等差數(shù)列 B 公差為lg2的等差數(shù)列 C 公比為 2 的等比數(shù)列 D 公比為lg2的等比數(shù)列 答案 A 3 2009 福州三中 已知等差數(shù)列 an 的前 n 項(xiàng)和為 Sn 若 7 14S 則 35 aa 的值為 A 2B 4C 7D 8 答案 B 4 2009 廈門一中文 在等差數(shù)列 n a中 28 4aa 則 其前 9 項(xiàng)的和 S9等于 A 18 B 27 C 36 D 9 答案 A 5 2009 長沙一中期末 各項(xiàng)不為零的等差數(shù)列 n a中 022 11 2 73 aaa 則 7 a的值為 20 A 0B 4C 04或D 2 答案 B 6 2009 宜春 在等差數(shù)列 n a中 39 741 aaa 27 963 aaa 則數(shù)列 n a的前 9 項(xiàng)之和 9 S等于 A 66 B 99 C 144 D 297 答案 B 7 遼寧省部分重點(diǎn)中學(xué)協(xié)作體 2008 年高考模擬 設(shè)等差數(shù)列 n a的前 n 項(xiàng)和為 1413121184 20 8 aaaaSSSn則若 A 18B 17C 16D 15 答案 C 二 填空題 8 北京市東城區(qū) 2009 年 3 月高中示范校高三質(zhì)量檢測理 已知等差數(shù)列 n a的公差0 d 且 931 aaa成等比數(shù)列 則 1042 931 aaa aaa 的值為 答案 13 16 9 2009 福州八中 已知數(shù)列 1 n nn a n n 為奇數(shù) 為偶數(shù) 則 1100 aa 123499100 aaaaaa 答案 100 5000 10 2009 寧鄉(xiāng)一中第三次月考 11 等差數(shù)列 n a中 129 81aaa 且 2310 171aaa 則公差d 答案 10 11 2009 南京一模 已知等比數(shù)列 n a的各項(xiàng)均為正數(shù) 若3 1 a 前三項(xiàng)的和為 21 則 654 aaa 答案 168 12 2009 上海九校聯(lián)考 已知數(shù)列 n a的前n項(xiàng)和為 n S 若21 n n S 則 8 a 答案 128 三 解答題 21 13 2009 龍巖一中 設(shè)正整數(shù)數(shù)列 n a滿足 12 2 6aa 當(dāng)2n 時(shí) 有 2 111 1 2 nnnn aaaa I 求 3 a 4 a的值 求數(shù)列 n a的通項(xiàng) 記 2222 123 123 n n n T aaaa 證明 對任意 nN 9 4 n T 解 2n 時(shí) 2 2131 1 2 aa aa 由已知 12 2 6aa 得 3 362 1a 因?yàn)?3 a為正整數(shù) 所以 3 18a 同理54 4 a 2 分 由 可猜想 1 2 3n n a 3 分 證明 1 2n 時(shí) 命題成立 假設(shè)當(dāng)1 kn與nk 時(shí)成立 即 1 2 3k k a 2 1 2 3k k a 4 分 于是 2 111 1 2 kkkk aaaa 整理得 2 1 1 1 2 k k k a a a 5 分 由歸納假設(shè)得 11 111 2 3 2 32 3 222 kkk kk aa 6 分 因?yàn)?1k a 為正整數(shù) 所以 1 2 3k k a 即當(dāng)1nk 時(shí)命題仍成立 綜上 由知 知對于 nN 有 1 2 3n n a 成立 7 分 證明 由 222 21 23 21 333 n n n T 得 2222 21 212 1 33333 n nn nn T 式減 式得 2 21 43521 1 33333 n nn nn T 9 分 2 211 4132321 933333 n nnn nnn T 式減 式得 22 211 8222 1 1 933333 n nnn nn T 11 分 22 2222 2111 1 1 111 1 1 3 12 1 12 1 3333333 1 3 n nnnnn nnnn 22 11 1 1 1 3 333 nnn nn 2 1 2 36 22 3n nn 13 分 則 9 4 n T 14 分 14 2009 常德期末 已知數(shù)列 n a的前 n 項(xiàng)和為 1 1 4 n Sa 且 11 1 2 nnn SSa 數(shù)列 n b滿足 1 119 4 b 且 1 3 nn bbn 2 nnN 且 求 n a的通項(xiàng)公式 求證 數(shù)列 nn ba 為等比數(shù)列 求 n b前n項(xiàng)和的最小值 解 1 由 11 2221 nnn SSa 得 1 221 nn aa 1 1 2 nn aa 2 2 分分 1 11 1 24 n aandn 4 4 分分 2 1 3 nn bbn 1 11 33 nn bbn 111 1111111113 3324364324 nnnnn babnnbnbn 1111 1113 1 2424 nnnn babnbn 由上面兩式得 11 1 3 nn nn ba ba 又 11 1191 30 44 ba 數(shù)列 nn ba 是以 30 為首項(xiàng) 1 3 為公比的等比數(shù)列 8 8 分分 3 由 2 得 1 1 30 3 n nn ba 11 1111 30 30 3243 nn nn ban 12 1 111111 30 1 30 243243 nn nn bbnn 22 11111 30 1 20 0 23323 nn n b是遞增數(shù)列 1111 分分 當(dāng)n 1 時(shí) 1 119 4 b 0 當(dāng)n 2 時(shí) 2 3 10 4 b 0 當(dāng)n 3 時(shí) 3 510 43 b 0 所以 從 第 4 項(xiàng)起的各項(xiàng)均大于 0 故前 3 項(xiàng)之和最小 且 3 1101 1 35 30 1041 4312 S 1313 分分 9 9 月份更新月份更新 23 一 選擇題 1 2009 濱州一模 等差數(shù)列 n a中 511 30aa 4 7a 則 12 a的值為 A 15 B 23 C 25 D 37 答案 B 2 2009 上海十四校聯(lián)考 無窮等比數(shù)列 4 2 2 1 2 2 1 各項(xiàng)的和等于 A 22 B 22 C 12 D 12 答案 B 3 2009 聊城一模 兩個(gè)正數(shù) a b 的等差中項(xiàng)是 5 等比例中項(xiàng)是 4 若 a b 則雙曲線1 22 b y a x 的離心率 e 等 于 A 2 3 B 2 5 C 50 17 D 3 答案 B 二 填空題 1 2009 上海十四校聯(lián)考 若數(shù)列 2 2 1 n n n n aNnpp a a a則稱為正常數(shù)滿足 為 等方比數(shù)列 則 數(shù)列 n a是等方比數(shù)列 是 數(shù)列 n a是等方比數(shù)列 的 條件 2 2009 上海八校聯(lián)考 在數(shù)列 n a中 12 02aa 且 1 1 2 Nnaa n nn 100 S 答案 2550 三 解答題 1 2009 濱州一模 已知曲線 1 C xy 過C上一點(diǎn) nnn A xy作一斜率為 1 2 n n k x 的直線交曲線C于另一 點(diǎn) 111 nnn Axy 點(diǎn)列 n A的橫坐標(biāo)構(gòu)成數(shù)列 n x 其中 1 11 7 x I 求 n x與 1n x 的關(guān)系式 II 令 n b 11 23 n x 求證 數(shù)列 n b是等比數(shù)列 III 若3n nn cb 為非零整數(shù) n N 試確定 的值 使得對任意 n N 都有 cn 1 cn成立 1 解 過 nnn A xy的直線方程為 1 2 nn n yyxx x 24 聯(lián)立方程 1 2 1 nn n yyxx x xy 消去y得 2 1 10 22 n n nn x xy xx 1 2 nnn x xx 即 1 2 n n n x x x 2 11 11 232111 3 2 23233 2 2 11111132 2323233 2 nnnn nnnnn n n nnnn xxxx bxxxx x b xxxx n b是等比數(shù)列 1 1 11 2 23 b x 2q III 由 II 知 2 n n b 要使 1nn cc 恒成立由 11 1 3 2 nn nn cc 3 2 nn 2 33 2 nn 0 恒成立 即 1 n 2 3 n 1恒成立 當(dāng)n為奇數(shù)時(shí) 即 2 3 n 1恒成立 又 2 3 n 1的最小值為 1 2 3 n 1恒成立 又 2 3 n 1的最大值為 2 3 2 3 11 分 即 2 3 1 又 0 為整數(shù) 1 使得對任意 n N 都有 1nn cc 12 分 2 2009 上海青浦區(qū) 設(shè)數(shù)列 n a的前n和為 n S 已知 3 1 1 S 3 13 2 S 3 16 3 S 3 64 4 S 一般地 12 3 4 12 12 3 4 12 1 2 1 2 為偶數(shù)時(shí)當(dāng) 為奇數(shù)時(shí)當(dāng) n n n n S n n n Nn 25 1 求 4 a 2 求 n a2 3 求和 nn aaaaaaaa 212654321 1 16 4 a 3 分 2 當(dāng)kn2 時(shí) Nk kkk kkk kk SSa 222 2 2 2 1222 2 12 3 4 12 2 12 3 4 12 2 6 分 所以 n n a4 2 Nn 8 分 3 與 2 同理可求得 12 3 1 12 na n 10 分 設(shè) nn aaaaaaaa 212654321 n T 則 4 12 45434 3 1 32n n nT 用等比數(shù)列前 n 項(xiàng)和公式的推導(dǎo)方法 4 12 45434 3 1 4 1432 n n nT 相減得 4 12 444 24 3 1 3 132 nn n nT 所以 9 4 14 27 32 4 9 12 11 nn n n T 14 分 3 2009 上海八校聯(lián)考 已知點(diǎn)列 1122 1 2 nn ByByB n y nN 順次為直線 4 x y 上的點(diǎn) 點(diǎn)列 1122 0 0 0 nn A xA xA x nN 順次為x軸上的點(diǎn) 其中 1 xa 01 a 對任意的 nN 點(diǎn) n A n B 1 n A構(gòu)成以 n B為頂點(diǎn)的等腰三角形 1 證明 數(shù)列 n y是等差數(shù)列 2 求證 對任意的 nN nn xx 2 是常數(shù) 并求數(shù)列 n x的通項(xiàng)公式 3 對上述等腰三角形 1 nnn ABA添加適當(dāng)條件 提出一個(gè)問題 并做出解答 根據(jù)所提問題及解答的完整程度 分檔次給分 解 1 依題意有 n n y 4 于是 4 1 1 nn yy 所以數(shù)列 n y是等差數(shù)列 4 分 2 由題意得n xx nn 2 1 即nxx nn 2 1 n N 所以又有 1 2 12 nxx nn 26 由 得 2 2 nn xx 所以 n nn n x xx x 2 是常數(shù) 分 由 135246 x xxxxx 都是等差數(shù)列 12 xa 0a1x2a 那么得 22 1 2 112 akkxx k akkakxx k 2 1 22 1 2 22 k N N 分 故 1 n nan x nan 為奇數(shù) 為偶數(shù) 1 分 3 提出問題 若等腰三角形 1 nnn ABA中 是否有直角三角形 若有 求出實(shí)數(shù)a 提出問題 若等腰三角形 1 nnn ABA中 是否有正三角形 若有 求出實(shí)數(shù)a 解 問題 1 分 當(dāng)n為奇數(shù)時(shí) 0 1 0 1 1 anAanA nn 所以 1 2 1 aAA nn 當(dāng)n為偶數(shù)時(shí) 0 0 1 anAanA nn 所以 2 1 aAA nn 作xCB nn 軸 垂足為 n C則 nn n B C 4 要使等腰三角形 1 nnn ABA為直角三角形 必須且只須 nnnn CBAA2 1 分 當(dāng)n為奇數(shù)時(shí) 有 n 2 1 a2 4 即 n a1 4 31 n1an3a 44 當(dāng)當(dāng)時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)時(shí)時(shí) 當(dāng)5 n a0 不合題意 15 分 當(dāng)n為偶數(shù)時(shí) 有 n 2a2 4 n a 4 同理可求得 1 n2a 2 當(dāng)當(dāng)時(shí)時(shí) 當(dāng)n n 4時(shí) a0 不合題意 1 分 綜上所述 使等腰三角形 1 nnn ABA中 有直角三角形 a的值為 3 4 或 1 4 或 1 2 1 分 解 問題 1 分 當(dāng)n為奇數(shù)時(shí) 0 1 0 1 1 anAanA nn 所以 1 2