高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 最拿分考點系列 考點10 極坐標與參數(shù)方程.doc

專題10 極坐標與參數(shù)方程考點了解a掌握b靈活運用c用極坐標表示點的位置b極坐標和直角坐標的互化b直線的參數(shù)方程b圓的參數(shù)方程b橢圓的參數(shù)方程a極坐標與參數(shù)方程作為高中數(shù)學(xué)二選一的內(nèi)容，與三角函數(shù)、向量、解析幾何都有天然的聯(lián)系，高考中以解答題形式出現(xiàn)，以考查極坐標、參數(shù)方程與普通方程的互化，直線和圓的極坐標方程，常見曲線的參數(shù)方程及參數(shù)方程的簡單應(yīng)用。同時考查直線與曲線位置關(guān)系等解析幾何知識。為中檔題。具體解題時，除了熟練三種坐標系形式的轉(zhuǎn)化，更要能根據(jù)具體問題選擇合理的方程形式解決問題。讓學(xué)生感悟解題中所蘊含的方程思想、函數(shù)思想。復(fù)習(xí)教學(xué)中提出以下建議；教學(xué)中應(yīng)注意“四化”，知識理解“深化”、考試題型“類化”、通性通法“強化”、解題思維“優(yōu)化”。高考復(fù)習(xí)內(nèi)容四查：查考綱把握方向、查考題明辨重點、查課本回歸基礎(chǔ)、查學(xué)情對癥下藥。數(shù)學(xué)教學(xué)與高考復(fù)習(xí)要求四通：對學(xué)生點，心有靈犀一點通；讓學(xué)生悟，融會貫通；讓學(xué)生做，觸類旁通；讓學(xué)生考，無師自通。通過研究近4年全國高考試卷，高考中極坐標與參數(shù)方程試題主要以中檔題出現(xiàn)，題目設(shè)置上為二選一的解答題，分值為10分。極坐標與參數(shù)方程部分在高考中占據(jù)重要的地位，通過分析近幾年的高考情況，考查特點如下表：考什么怎么考題型與難度極坐標方程、參數(shù)方程和普通方程的互化1. 極坐標方程與直角坐標方程互化2. 參數(shù)方程與普通方程的互化題型：解答題（1）難度：容易題 直線、圓和圓錐曲線的有關(guān)問題1.圓和圓錐曲線與直線的位置關(guān)系2.圓和圓錐曲線上的點到直線的最值問題3.直線與圓和圓錐曲線的弦長問題題型：解答題（2）難度：中檔題2014-2017年全國極坐標與參數(shù)方程部分試題分布表年份題型考查角度分值難度2017年卷解答題第22題參數(shù)方程與普通方程的互化，直線與曲線的位置關(guān)系.10中等2017年卷解答題第22題圓的極坐標方程與直角坐標方程；三角形面積的最值10中等2017年卷解答題第22題參數(shù)方程與直角坐標方程互化；極坐標中的極徑的求解10中等2016年卷解答題第23題曲線的參數(shù)方程及極坐標方程、直線的極坐標方程10中等2016年卷解答題第23題圓的極坐標方程、直線的參數(shù)方程、弦長問題10中等2016年卷解答題第23題橢圓的參數(shù)方程、直線的極坐標方程10中等2015年卷解答題第23題直線與圓的極坐標方程、曲線的交點10中等2015年卷解答題第23題圓的極坐標方程、直線的參數(shù)方程、弦長問題10中等2014年卷解答題第23題橢圓與直線的參數(shù)方程、兩點間的距離問題10中等2014年卷解答題第23題圓的極坐標方程與參數(shù)方程、兩直線間的位置關(guān)系10中等（一）坐標系與參數(shù)方程考點詳解1.坐標系（1）理解坐標系的作用.（2）了解在平面直角坐標系伸縮變換作用下平面圖形的變化情況.（3）能在極坐標系中用極坐標表示點的位置，理解在極坐標系和平面直角坐標系中表示點的位置的區(qū)別，能進行極坐標和直角坐標的互化.（4）能在極坐標系中給出簡單圖形的方程.通過比較這些圖形在極坐標系和平面直角坐標系中的方程，理解用方程表示平面圖形時選擇適當坐標系的意義.（5）了解柱坐標系、球坐標系中表示空間中點的位置的方法，并與空間直角坐標系中表示點的位置的方法相比較，了解它們的區(qū)別.2.參數(shù)方程（1）了解參數(shù)方程，了解參數(shù)的意義.（2）能選擇適當?shù)膮?shù)寫出直線、圓和圓錐曲線的參數(shù)方程.（3）了解平擺線、漸開線的生成過程，并能推導(dǎo)出它們的參數(shù)方程.（4）了解其他擺線的生成過程，了解擺線在實際中的應(yīng)用，了解擺線在表示行星運動軌道中的作用.（二）坐標系與參數(shù)方程基礎(chǔ)知識掃描(1)坐標變換；設(shè)點p(x，y)是平面直角坐標系中的任意一點，在變換：的作用下，點p(x，y)對應(yīng)到點(x，y)，稱為坐標系中的伸縮變換(2)極坐標系；在平面內(nèi)取一個定點o，叫做極點；自極點o引一條射線ox，叫做極軸；再選一個長度單位，一個角度單位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆時針方向)，這樣就建立了一個極坐標系設(shè)m是平面內(nèi)任意一點，極點o與點m的距離|om|叫做點m的極徑，記為；以極軸ox為始邊，射線om為終邊的角xom叫做點m的極角，記為，有序數(shù)對(，)叫做點m的極坐標，記為m(，)（3）直角坐標與極坐標的互化；把直角坐標系的原點作為極點，x軸正半軸作為極軸，且在兩坐標系中取相同的長度單位設(shè)m是平面內(nèi)的任意一點，它的直角坐標、極坐標分別為(x，y)和(，)，則，.（4）曲線的參數(shù)方程；在平面直角坐標系xoy中，如果曲線上任意一點的坐標x，y都是某個變數(shù)t的函數(shù)并且對于t的每一個允許值，由上述方程組所確定的點m(x，y)都在這條曲線上，則該方程叫做這條曲線的參數(shù)方程，其中變數(shù)t稱為參數(shù)（5）一些常見曲線的參數(shù)方程；(1)過點p0(x0，y0)，且傾斜角為的直線的參數(shù)方程為(t為參數(shù))(2)圓的方程(xa)2(yb)2r2的參數(shù)方程為；(為參數(shù))(3)橢圓方程1(ab0)的參數(shù)方程為；(為參數(shù))(4)拋物線方程y22px(p0)的參數(shù)方程為(t為參數(shù))典例【2017課標1理22】在直角坐標系xoy中，曲線c的參數(shù)方程為（為參數(shù)），直線l的參數(shù)方程為.（1）若a=1，求c與l的交點坐標；（2）若c上的點到l的距離的最大值為，求a.由解得或.從而與的交點坐標為，.（2）直線的普通方程為，故上的點到的距離為.當時，的最大值為.由題設(shè)得，所以；當時，的最大值為.由題設(shè)得，所以.綜上，或.【精準解讀】本題考查極坐標方程，參數(shù)方程與直角坐標方程的互化，及直線與橢圓的位置關(guān)系，其基本思路為；1.將極坐標方程化為直角坐標方程，參數(shù)方程化為普通方程來解決；2.直接運用參數(shù)方程求解，常常會起到簡化運算的作用。1.【2017北京理11】在極坐標系中，點a在圓上，點p的坐標為（1,0），則|ap|的最小值為_.【答案】1【解析】將圓的極坐標方程化為普通方程為 ，整理為； ，圓心，點是圓外一點，所以的最小值就是.【精準解讀】1.運用互化公式：將極坐標化為直角坐標；2.直角坐標方程與極坐標方程的互化，關(guān)鍵要掌握好互化公式，研究極坐標系下圖形的性質(zhì)，可轉(zhuǎn)化直角坐標系條件下解決2.【2017天津理11】在極坐標系中，直線與圓的公共點的個數(shù)為_.【答案】2【解析】直線為 ，圓為 ，因為 ，所以有兩個交點【精準解讀】再利用公式 把極坐標方程化為直角坐標方程，再解聯(lián)立方程組根據(jù)判別式判斷出交點的個數(shù)，極坐標與參數(shù)方程為選修課程，要求靈活使用公式進行坐標變換及方程變換.3. 【2017課標ii理22】在直角坐標系xoy中，以坐標原點為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標系，曲線的極坐標方程為。（1）m為曲線上的動點，點p在線段om上，且滿足,求點p的軌跡的直角坐標方程；（2）設(shè)點a的極坐標為，點b在曲線上，求面積的最大值?！敬鸢浮?1)； (2) 。（2）設(shè)點b的極坐標為,由題設(shè)知,于是面積當時，s取得最大值。所以面積的最大值為?！揪珳式庾x】本題考查了極坐標方程的求法及應(yīng)用。重點考查了轉(zhuǎn)化與化歸能力。遇到求曲線交點、距離、線段長等幾何問題時，求解的一般方法是分別化為普通方程和直角坐標方程后求解，或者直接利用極坐標的幾何意義求解。要結(jié)合題目本身特點，確定選擇何種方程?！緦崙?zhàn)演練】（共150分）一、選擇題（共4題，每題5分）1.在極坐標系中a(2，)，b(4，)兩點間的距離為()a2 b3 c6 d3【答案】c2. 【2014高考北京理3】曲線，（為參數(shù)）的對稱中心（ ）a在直線上 b在直線上 c在直線上 d在直線上【答案】b【解析】參數(shù)方程所表示的曲線為圓心在，半徑為1的圓，其對稱中心為，逐個代入選項可知，點滿足，故選b.3雙曲線2cos 2c(c0)的離心率為()a. b. c2 d.或2【答案】a【解析】由2cos 2c得；2(cos2sin2)c，即x2y2c(c0)，當c0時，雙曲線為1，離心率e.當c0時，雙曲線為1，離心率為e.故選a.4. 【2014安徽理4】以平面直角坐標系的原點為極點，軸的正半軸為極軸，建立極坐標系，兩種坐標系中取相同的長度單位，已知直線的參數(shù)方程是（為參數(shù)），圓的極坐標方程是，則直線被圓截得的弦長為 （ ）a b c d【答案】d二、填空題（共6題，每題5分）5.【2016年高考北京理數(shù)】在極坐標系中，直線與圓交于a，b兩點，則_.【答案】2【解析】分別將直線方程和圓方程化為直角坐標方程：直線為過圓圓心，因此，故填：.6.【2015高考安徽理12】在極坐標中，圓上的點到直線距離的最大值是 .【答案】7橢圓c的參數(shù)方程為(表示參數(shù))，過左焦點f1的直線l與c相交于a，b，則|ab|min_.【答案】【解析】由(為參數(shù)消去參數(shù)得)1，當abx軸時，|ab|有最小值|ab|min2.8. 【 2014湖南11】在平面直角坐標系中，傾斜角為的直線與曲線，（為參數(shù)）交于、兩點，且，以坐標原點為極點，軸正半軸為極軸建立極坐標系，則直線的極坐標方程是_.【答案】【解析】利用可得曲線的普通方程為,即曲線為直角 的圓,因為弦長,所以圓心在直線上,又因為直線的斜率為,所以直線的直角坐標方程為,則根據(jù)直角坐標與極坐標之間的轉(zhuǎn)化可得,故填.9. 【2015高考湖北理16】在直角坐標系中，以o為極點，軸的正半軸為極軸建立極坐標系. 已知直線的極坐標方程為，曲線的參數(shù)方程為 ( 為參數(shù)) ，與c相交于兩點，則 .【答案】【解析】因為，所以，所以，即；由消去得.聯(lián)立方程組，解得或，即，由兩點間的距離公式得.10在極坐標系中，曲線c的極坐標方程為2，a、b是c上兩點，o為極點，若oaob，則oab面積的最大值為_【答案】三、解答題（共5題，每題10分）11. 【2015高考新課標2理23】選修4-4：坐標系與參數(shù)方程在直角坐標系中，曲線（為參數(shù)，），其中，在以為極點，軸正半軸為極軸的極坐標系中，曲線，曲線（）.求與交點的直角坐標；（）.若與相交于點，與相交于點，求的最大值【答案】（）和；（）【解析】（）曲線的直角坐標方程為，曲線的直角坐標方程為聯(lián)立解得或所以與交點的直角坐標為和（）曲線的極坐標方程為，其中因此得到極坐標為，的極坐標為所以，當時，取得最大值，最大值為12. 【2014全國2理20】在直角坐標系xoy中，以坐標原點為極點，x軸為極軸建立極坐標系，半圓c的極坐標方程為，.（）求c的參數(shù)方程；（）設(shè)點d在c上，c在d處的切線與直線垂直，根據(jù)（）中你得到的參數(shù)方程，確定d的坐標. 【解析】（）設(shè)點m是c上任意一點，則由可得c的普通方程為：，即，所以c的參數(shù)方程為是參數(shù)，.（）設(shè)d點坐標為，由（）知c是以g（1，0）為圓心，1為半徑的上半圓，因為c在點d處的切線與垂直，所以直線gd與的斜率相同，故d點的直角坐標為，即.13. 【2015高考新課標1理23】在直角坐標系中，直線:=2，圓：,以坐標原點為極點， 軸的正半軸為極軸建立極坐標系.（）求，的極坐標方程；（）若直線的極坐標方程為，設(shè)與的交點為, ,求的面積. 【答案】（）,（）14. 【2017蘭州模擬】已知直線（為參數(shù)），以坐標原點為極點，軸的正半軸為極軸建立極坐標系，曲線 的極坐標方程為.（1） 將曲線c的極坐標方程化為直角坐標方程；（2） 設(shè)點的直角坐標為，直線與曲線c 的交點為，求的值.【答案】（1）；（2）.【解析】分析：（1）利用，即可將已知條件中的極坐標方程轉(zhuǎn)化直角坐標方程；（2）聯(lián)立直線的參數(shù)方程與圓的直角方程，利用參數(shù)的幾何意義結(jié)合韋達定理即可求解.解析：（1）等價于，將，代入，記得曲線c的直角坐標方程為；（2）將代入，得，設(shè)這個方程的兩個實數(shù)根分別為，則由參數(shù)的幾何意義即知，.15.【2016高考新課標1卷】在直角坐標系xy中,曲線c1的參數(shù)方程為（t為參數(shù),a0）在以坐標原點為極點,x軸正半軸為極軸的極坐標系中,曲線c2：=.（i）說明c1是哪一種曲線,并將c1的方程化為極坐標方程；（ii）直線c3的極坐標方程為,其中滿足tan=2,若曲線c1與c2的公共點都在c3上,求a【答案】（i）圓,（ii）1【解析】分析：先把化為直角坐標方程,再化為極坐標方程； ：,：,方程相減得,這就是為的方程,對照可得.解析：（均為參數(shù)）,為以為圓心,為半徑的圓方程為,即為的極坐標方程,兩邊同乘得,即：化為普通方程為,由題意：和的公共方程所在直線即為得：,即為,16.【2016高考新課標2理數(shù)】在直角坐標系中，圓的方程為（）以坐標原點為極點，軸正半軸為極軸建立極坐標系，求的極坐標方程；（）直線的參數(shù)方程是（為參數(shù)）, 與交于兩點，求的斜率【答案】（）；（）.【解析】分析：（i）利用，可得c的極坐標方程；（ii）先求直線的極坐標方程，將的極坐標方程代入的極坐標方程得到關(guān)于的一元二次方程，再根據(jù)韋達定理，弦長公式求出，進而求得，即可求得直線的斜率解析：（i）由可得的極坐標方程（ii）在（i）中建立的極坐標系中，直線的極坐標方程為由所對應(yīng)的極徑分別為將的極坐標方程代入的極坐標方程得，于是由得，所以的斜率為或.17. 【2016高考新課標3理數(shù)】在直角坐標系中，曲線的參數(shù)方程為，以坐標原點為極點，以軸的正半軸為極軸，建立極坐標系，曲線的極坐標方程為（i）寫出的普通方程和的直角坐標方程；（ii）設(shè)點在上，點在上，求的最小值及此時的直角坐標.【答案】（）的普通方程為，的直角坐標方程為；（）【解析】分析：（）利用同角三角函數(shù)基本關(guān)系中的平方關(guān)系化曲線的參數(shù)方程普通方程，利用公式與代入曲線的極坐標方程即可；（）利用參數(shù)方程表示出點的坐標，然后利用點到直線的距離公式建立的三角函數(shù)表達式，然后求出最值與相應(yīng)的點坐標即可解析：（）的普通方程為，的直角坐標方程為. （）由題意，可設(shè)點的直角坐標為，因為是直線，所以的最小值即為 到的距離的最小值，. 當且僅當時，取得最小值，最小值為，此時的直角坐標為. 18.【2017課標3理22】在直角坐標系xoy中，直線l1的參數(shù)方程為（t為參數(shù)），直線l2的參數(shù)方程為.設(shè)l1與l2的交點為p，當k變化時，p的軌跡為曲線c.（1）寫出c的普通方程；（2）以坐標原點為極點，x軸正半軸為極軸建立極坐標系，設(shè)，m為l3與c的交點，求m的極徑.【答案】(1) ；(2) （2）c的極坐標方程為 .聯(lián)立得.故，從而 .代入得，所以交點m的極徑為.19【2017蘭州模擬】以直角坐標原點為極點，x軸正半軸為極軸建立極坐標系，直線l：sin2，曲線c的參數(shù)方程為(為參數(shù))(1)求l與c的直角坐標方程；(2)a、b是曲線c上距離最遠的兩點，在l上是否存在點p，使papb，若存在，求出p點坐標，若不存在，說明理由【答案】(1) xy40， y21.；(2) 見解析【解析】(1)直線l的極坐標方程為sin2，sin cos 2，xy40為直線l的直角坐標方程曲線c的參數(shù)方程為(為參數(shù))，曲線c的直角坐標方程為y21.(2)由a、b是曲線c上距離最遠的兩點，則a、b為橢圓c長軸上的兩個端點，由(1)知，a(2,0)，