（課標(biāo)通用）高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第十一章 計(jì)數(shù)原理、概率、隨機(jī)變量及其分布 11.3 二項(xiàng)式定理學(xué)案 理.doc

11.3二項(xiàng)式定理考綱展示1.能利用計(jì)數(shù)原理證明二項(xiàng)式定理2會(huì)用二項(xiàng)式定理解決與二項(xiàng)展開(kāi)式有關(guān)的簡(jiǎn)單問(wèn)題考點(diǎn)1二項(xiàng)展開(kāi)式中特定項(xiàng)或系數(shù)問(wèn)題二項(xiàng)式定理二項(xiàng)式定理(ab)n_二項(xiàng)式系數(shù)二項(xiàng)展開(kāi)式中各項(xiàng)系數(shù)c(k0,1，n)二項(xiàng)式通項(xiàng)tk1_，它表示第_項(xiàng)答案：cancan1bcankbkcbn(nn*)cankbkk1(1)教材習(xí)題改編(12x)7的展開(kāi)式的第4項(xiàng)的系數(shù)是_答案：280解析：展開(kāi)式中，tr1c(2x)rc(2)rxr，當(dāng)r3時(shí)，t4c(2)3x3280x3，所以第4項(xiàng)的系數(shù)為280.(2)教材習(xí)題改編12的展開(kāi)式的常數(shù)項(xiàng)是_答案：495解析：展開(kāi)式中，tr1cx12rr(1)rcx123r，當(dāng)r4時(shí)，t5c495為常數(shù)項(xiàng).典題1(1)在二項(xiàng)式5的展開(kāi)式中，含x4的項(xiàng)的系數(shù)是()a10 b10 c5 d20答案a解析由二項(xiàng)式定理可知，展開(kāi)式的通項(xiàng)為c(1)rx103r，令103r4，得r2，所以含x4項(xiàng)的系數(shù)為c(1)210，故選a.(2)2017吉林長(zhǎng)春模擬5的展開(kāi)式中的常數(shù)項(xiàng)為()a80 b80 c40 d40答案c解析tr1c(x2)5rr(2)rcx105r，由105r0，得r2，t3(2)2c40.(3)2015湖南卷已知5的展開(kāi)式中含x的項(xiàng)的系數(shù)為30，則a()a. b c6 d6答案d解析tr1c()5rrc(a)rx，由，解得r1.由c(a)30，得a6.故選d.(4)8的展開(kāi)式中的有理項(xiàng)共有_項(xiàng)答案3解析8的展開(kāi)式的通項(xiàng)為tr1c()8rrrcx (r0,1,2，8)，為使tr1為有理項(xiàng)，r必須是4的倍數(shù)，所以r0,4,8，故共有3個(gè)有理項(xiàng)(5)二項(xiàng)式n的展開(kāi)式中含有非零常數(shù)項(xiàng)，則正整數(shù)n的最小值為_(kāi)答案5解析二項(xiàng)展開(kāi)式的的通項(xiàng)是tr1cx3n3rx2rcx3n5r，令3n5r0，得n(r0,1,2，n)，故當(dāng)r3時(shí)，n有最小值5.點(diǎn)石成金1.求展開(kāi)式中的特定項(xiàng)，可依據(jù)條件寫(xiě)出第k1項(xiàng)，再由特定項(xiàng)的特點(diǎn)求出k的值即可2已知展開(kāi)式的某項(xiàng)，求特定項(xiàng)的系數(shù)，可由某項(xiàng)得出參數(shù)項(xiàng)，再由通項(xiàng)公式寫(xiě)出第k1項(xiàng)，由特定項(xiàng)得出k的值，最后求出其參數(shù)考點(diǎn)2二項(xiàng)式系數(shù)及項(xiàng)的系數(shù)問(wèn)題 二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)答案：相等遞增的遞減的一項(xiàng)兩項(xiàng)2n2n1二項(xiàng)式系數(shù)與項(xiàng)的系數(shù)的區(qū)別已知(1x)n的展開(kāi)式中第4項(xiàng)與第8項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)相等，則奇數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和為_(kāi)答案：29解析：因?yàn)檎归_(kāi)式中第4項(xiàng)與第8項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)相等，所以cc，解得n10.根據(jù)二項(xiàng)式系數(shù)和的相關(guān)公式得，奇數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和為2n129.1.系數(shù)和：賦值法若(x1)4a0a1xa2x2a3x3a4x4，則a0a2a4的值為_(kāi)答案：8解析：令x1，得a0a1a2a3a40；令x1，得a0a1a2a3a416.故a0a2a48.2通項(xiàng)公式：tr1canrbr.7的展開(kāi)式中x5的系數(shù)是_(用數(shù)字填寫(xiě)答案)答案：35解析：tr1c(x3)7rrcx214r，令214r5，得r4，因此x5的系數(shù)為c35.典題22017四川成都一中模擬設(shè)(x21)(2x1)9a0a1(x2)a2(x2)2a11(x2)11，則a0a1a2a11的值為()a2 b1 c1 d2答案a解析令等式中x1，可得a0a1a2a11(11)(1)92，故選a.點(diǎn)石成金1.賦值法研究二項(xiàng)式的系數(shù)和問(wèn)題“賦值法”普遍適用于恒等式，是一種重要的方法，對(duì)形如(axb)n，(ax2bxc)m(a，br)的式子求其展開(kāi)式的各項(xiàng)系數(shù)之和，常用賦值法，只需令x1即可；對(duì)形如(axby)n(a，br)的式子求其展開(kāi)式各項(xiàng)系數(shù)之和，只需令xy1即可2二項(xiàng)式系數(shù)最大項(xiàng)的確定方法(1)如果n是偶數(shù)，則中間一項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大；(2)如果n是奇數(shù)，則中間兩項(xiàng)第項(xiàng)與第1項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)相等并最大.1.在(1x)n(xn*)的二項(xiàng)展開(kāi)式中，若只有x5的系數(shù)最大，則n()a8 b9 c10 d11答案：c解析：二項(xiàng)式中僅x5的系數(shù)最大，其最大值必為，即得5，解得n10.2若(1mx)6a0a1xa2x2a6x6，且a1a2a663，則實(shí)數(shù)m的值為()a1或3 b3c1 d1或3答案：d解析：令x0，得a0(10)61.令x1，得(1m)6a0a1a2a6.又a1a2a3a663，(1m)66426，m1或m3.考點(diǎn)3多項(xiàng)式展開(kāi)式中的特定項(xiàng)或系數(shù)問(wèn)題考情聚焦在高考中，常常涉及一些多項(xiàng)式問(wèn)題，主要考查學(xué)生的化歸能力主要有以下幾個(gè)命題角度：角度一幾個(gè)多項(xiàng)式和的展開(kāi)式中的特定項(xiàng)(系數(shù))問(wèn)題典題32017山東榮成模擬在1(1x)(1x)2(1x)3(1x)4(1x)5的展開(kāi)式中，含x2項(xiàng)的系數(shù)是()a10 b15 c20 d25答案c解析含x2項(xiàng)的系數(shù)為cccc20.角度二幾個(gè)多項(xiàng)式積的展開(kāi)式中的特定項(xiàng)(系數(shù))問(wèn)題典題42015新課標(biāo)全國(guó)卷(ax)(1x)4的展開(kāi)式中x的奇數(shù)次冪項(xiàng)的系數(shù)之和為32，則a_.答案3解析設(shè)(ax)(1x)4a0a1xa2x2a3x3a4x4a5x5.令x1，得(a1)24a0a1a2a3a4a5.令x1，得0a0a1a2a3a4a5.，得16(a1)2(a1a3a5)232，a3.角度三三項(xiàng)展開(kāi)式中的特定項(xiàng)(系數(shù))問(wèn)題典題52015新課標(biāo)全國(guó)卷(x2xy)5的展開(kāi)式中，x5y2的系數(shù)為()a10 b20 c30 d60答案c解析解法一：(x2xy)5(x2x)y5，含y2的項(xiàng)為t3c(x2x)3y2.其中(x2x)3中含x5的項(xiàng)為cx4xcx5.所以x5y2的系數(shù)為cc30.故選c.解法二：(x2xy)5為5個(gè)x2xy之積，其中有兩個(gè)取y，兩個(gè)取x2，一個(gè)取x即可，所以x5y2的系數(shù)為ccc30.故選c.點(diǎn)石成金1.對(duì)于幾個(gè)多項(xiàng)式和的展開(kāi)式中的特定項(xiàng)(系數(shù))問(wèn)題，只需依據(jù)二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng)，從每一項(xiàng)中分別得到特定的項(xiàng)，再求和即可2對(duì)于幾個(gè)多項(xiàng)式積的展開(kāi)式中的特定項(xiàng)(系數(shù))問(wèn)題，一般都可以根據(jù)因式連乘的規(guī)律，結(jié)合組合思想求解，但要注意適當(dāng)?shù)剡\(yùn)用分類(lèi)方法，以免重復(fù)或遺漏3對(duì)于三項(xiàng)式問(wèn)題一般先變形化為二項(xiàng)式再解決考點(diǎn)4二項(xiàng)式定理的應(yīng)用典題6(1)設(shè)az，且0a13，若512 012a能被13整除，則a()a0 b1 c11 d12答案d解析512 012a(521)2 012ac522 012c522 011c52ca，c522 012c522 011c52能被13整除，且512 012a能被13整除，c(1)2 012a1a也能被13整除，又0a2n1(n3，nn*)證明當(dāng)n3，nn*時(shí)，2n(11)ncccccccc2n22n1，不等式成立點(diǎn)石成金1.整除問(wèn)題和求近似值是二項(xiàng)式定理的兩類(lèi)常見(jiàn)的應(yīng)用問(wèn)題，整除問(wèn)題中要關(guān)注展開(kāi)式的最后幾項(xiàng)，而求近似值則應(yīng)關(guān)注展開(kāi)式的前幾項(xiàng)2二項(xiàng)式定理的應(yīng)用基本思路是正用或逆用二項(xiàng)式定理，注意選擇合適的形式3由于(ab)n的展開(kāi)式共有n1項(xiàng)，故可通過(guò)對(duì)某些項(xiàng)的取舍來(lái)放縮，從而達(dá)到證明不等式的目的190c902c903c(1)k90kc9010c除以88的余數(shù)是()a1 b1 c87 d87答案：b解析：190c902c903c(1)k90kc9010c(190)108910(881)108810c889c881，前10項(xiàng)均能被88整除，余數(shù)是1.方法技巧二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng)tk1cankbk中含有a，b，n，k，tk1五個(gè)元素，只要知道其中的四個(gè)元素，就可以求第五個(gè)元素，這類(lèi)問(wèn)題一般是利用二項(xiàng)式定理把問(wèn)題歸納為解方程(或方程組)的問(wèn)題，這里必須注意n是正整數(shù)，k是非負(fù)整數(shù)，且kn.(1)第m項(xiàng)：此時(shí)k1m，直接代入通項(xiàng)(2)常數(shù)項(xiàng)：即項(xiàng)中不含“變?cè)?，令通?xiàng)中“變?cè)钡膬缰笖?shù)為0建立方程(3)有理項(xiàng)：令通項(xiàng)中“變?cè)钡膬缰笖?shù)為整數(shù)建立方程 真題演練集訓(xùn) 12016新課標(biāo)全國(guó)卷(2x)5的展開(kāi)式中，x3的系數(shù)是_(用數(shù)字填寫(xiě)答案)答案：10解析：由(2x)5，得tr1c(2x)5r()r25 rcx，令53，得r4，此時(shí)系數(shù)為10.22016北京卷在(12x)6的展開(kāi)式中，x2的系數(shù)為_(kāi)(用數(shù)字作答)答案：60解析：(1 2x)6的展開(kāi)式的通項(xiàng)tr1c(2)rxr，當(dāng)r2時(shí)，t3c(2)2x260x2，所以x2的系數(shù)為60.32016天津卷8的展開(kāi)式中x7的系數(shù)為_(kāi)(用數(shù)字作答)答案：56解析：二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng)tr1c(x2)8rr(1)rcx163r，令163r7，得r3，故x7的系數(shù)為c56.42016山東卷若5的展開(kāi)式中x5的系數(shù)是80，則實(shí)數(shù)a_.答案：2解析：5的展開(kāi)式的通項(xiàng)tr1c(ax2)5rxca5rx，令10r 5，得r2，所以ca380，解得a2.52014新課標(biāo)全國(guó)卷(xy)(xy)8的展開(kāi)式中x2y7的系數(shù)為_(kāi)(用數(shù)字填寫(xiě)答案)答案：20解析：x2y7x(xy7)，其系數(shù)為c，x2y7y(x2y6)，其系數(shù)為c，x2y7的系數(shù)為cc82820. 課外拓展閱讀 二項(xiàng)展開(kāi)式中賦值法的應(yīng)用典例在(2x3y)10的展開(kāi)式中，求：(1)二項(xiàng)式系數(shù)的和；(2)各項(xiàng)系數(shù)的和；(3)奇數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和與偶數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和；(4)奇數(shù)項(xiàng)系數(shù)和與偶數(shù)項(xiàng)系數(shù)和；(5)x的奇次項(xiàng)系數(shù)和與x的偶次項(xiàng)系數(shù)和審題視角求二項(xiàng)式系數(shù)的和或各項(xiàng)系數(shù)的和的問(wèn)題，常用賦值法求解解設(shè)(2x3y)10a0x10a1x9ya2x8y2a10y10，(*)各項(xiàng)系數(shù)的和即為a0a1a10，奇數(shù)項(xiàng)系數(shù)的和為a0a2a10，偶數(shù)項(xiàng)的系數(shù)和為a1a3a5a9，x的奇次項(xiàng)系數(shù)和為a1a3a5a9，x的偶次項(xiàng)系數(shù)和為a0a2a4a10.由于(*)是恒等式，故可用“賦值法”求出相關(guān)的系數(shù)和(1)二項(xiàng)式系數(shù)的和為ccc210.(2)令xy1，各項(xiàng)系數(shù)和為(23)10(1)101.(3)奇數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和為ccc29.偶數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和為ccc29.(4)令xy1，得到a0a1a2a101.令x1，y1(或x1，y1)，得a0a1a2a3a10510，得2(a0a2a10)1510，奇數(shù)項(xiàng)系數(shù)的和為；，得2(a1a3a9)1510，偶數(shù)項(xiàng)系數(shù)的和為.(5)x的奇次項(xiàng)系數(shù)和為a1a3a5a9；x的偶次項(xiàng)系數(shù)和為a0a2a4a10.方法點(diǎn)睛(1)“賦值法”普遍適用于恒等式，是一種重要的方法，對(duì)形如(axb)n，(ax2bxc)m(a，br)的式子求其展開(kāi)式的各