微積分論文

畢業(yè)論文（設(shè)計(jì)） 阜 陽 師 范 學(xué) 院 數(shù)學(xué) 專業(yè)畢業(yè)論文 題目： 微積分對現(xiàn)代科學(xué)的影響 姓 名： 陳亮 2013年 04月 01日 微積分對現(xiàn)代科學(xué)的影響 摘要 ： 從微積分的發(fā)展歷史及各發(fā)展階段數(shù)學(xué)家對微積分所引起的不同爭論 ,來闡述微積分的發(fā)展對整個自然科學(xué)的發(fā)展所起的影響。 關(guān)鍵字 ： 微積分 ；牛頓 ；萊布尼茲 ；極限 1. 數(shù)學(xué)是自然科學(xué) 的 基礎(chǔ) 數(shù)學(xué)是自然科學(xué)的基礎(chǔ)學(xué)科 , 自然科學(xué)的發(fā)展離不開數(shù)學(xué)的發(fā)展。尤其是數(shù)學(xué)中的微積分理論 ,對整個自然科學(xué)的發(fā)展起了極大的推動作用 ,為自然科學(xué)中一些現(xiàn)象的解釋提供了堅(jiān)實(shí)的理論基礎(chǔ) ,使有限和無限、連續(xù)和離散、代數(shù)和幾何形成了有機(jī)的結(jié)合與統(tǒng)一。在數(shù)學(xué)的眾多學(xué)科分支中 ,就嚴(yán)謹(jǐn)性、應(yīng)用性和簡潔性而言 ,微積分應(yīng)是最具代表性的學(xué)科之一。微積分以簡潔、優(yōu)美的形式把運(yùn)動學(xué)問題、磁場問題、幾何中曲線的切線問 題、函數(shù)中最值問題、曲線長度及曲面面積和立體體積問題總結(jié)于一個高度統(tǒng)一的理論體系之中。因而 ,這一理論的 產(chǎn)生被譽(yù)為數(shù)學(xué)史上乃至人類文明史上的偉大創(chuàng)造 ,受到歷代數(shù)學(xué)家、物理學(xué)家、哲學(xué)家的盛贊。如果我們對其歷史和現(xiàn)狀作一番認(rèn)真的考究 ,追溯這 一理論產(chǎn)生的歷史 ,將會使我們更深刻的認(rèn)識到數(shù)學(xué)對自然科學(xué)發(fā)展所起的深刻影響。于此 ,微積分提出之后 ,遭到了許多人的猛烈抨擊 ,其中也包括一些著名的數(shù)學(xué)家。 牛頓繼承和總結(jié)了先輩們的思想 ,作出了自己獨(dú)到的 建樹。他把自己的發(fā)現(xiàn)稱為“流數(shù)術(shù)” ,稱連續(xù)變化的量為流動量 ,無限小的時間間隔為瞬 ,而流量的速度稱為流動率或流數(shù)。牛頓的“流數(shù)術(shù)”就是以流量、流數(shù)和瞬為基本概 念的微分學(xué)主觀唯心論哲學(xué)家貝克萊 G. Berkeley是抨擊微積分理論最強(qiáng)有力的人物。他憤恨牛頓的微積分理論給唯物論以支持 ,于是向流數(shù)術(shù)展 開了猛烈的攻擊。 1734 年 ,貝克萊 出版了一本書 :分析學(xué)家 :或一答致不信神數(shù)學(xué)家的論文 ,其中審查一下近代分析學(xué)的對象、原則及論斷是不是比宗教的神秘 ,教義的主旨有更清晰的陳述 ,或更明確的推理在這本書里 ,他嘲笑無窮小量是已死量的幽靈。他說如果取 x 的一個增量 i ,這里 i代表某一個不為零的量 ,則 xn 的增量被 i 除便是 nxn- 1+ n (n - 1) xn - 2i + + in - 1,現(xiàn)令 i = 0 2. 關(guān)于微積分的 思想的建立與發(fā)展 2 1 微積分使極限理論更加成熟 我們 知道微積分的基礎(chǔ)是極限論 ,而牛頓、萊布尼茲的極限觀念是十分模糊的 ,牛頓的瞬和流數(shù) ,萊布尼茲的 dx 和 dy 究竟是什么含義 ? 在他們各自的著述中沒有給出明確和一貫的定義 ,在運(yùn)用時也顯得前后不一。牛頓和萊布尼茲在使用無限小量時 ,有時視瞬或 dx 為無限小增量 ,而有 時視之為一個有限量加以運(yùn)算 ,甚至把它作為零而忽略不計(jì) ,這就在邏輯上造成明顯的矛盾。牛頓曾用有限差值的 最初比和最終比 一種萌芽狀態(tài)的極限概念來說明流數(shù)的意義。但是當(dāng)差值還未達(dá)到零時 ,其比值不是最終的 ,而 當(dāng)差值達(dá)到零時 ,它們比是 0 。怎樣理解這樣的最終比 ,牛頓也承認(rèn)自己的方法只作出“簡略的說明 ,而不是正確的論證?！倍R布尼茲的微積分論文發(fā)表以后 ,連當(dāng)時在數(shù)學(xué)上頗有造詣的數(shù)學(xué)家 象 Bernoulli 兄弟 也頗感費(fèi)解 :“與其說有一種說明 ,還不如說是一個謎?！本烤箻O限是什么 ? 無窮小是什么 ? 在今天很容易理 解。但在十九世紀(jì)以前還是一個數(shù)學(xué)上本質(zhì)性的難題?；鶚O限思想在當(dāng)時也散見于各個時代著作中 ,如中國莊子 天下篇中“一尺之棰”、 Zeno 悖論、 Endoxus 的“窮竭法”、劉微的“割圓術(shù)”等和極限思想有直接關(guān)系 ,但這些都 只能說是對極限有些模糊認(rèn)識而已。十八世紀(jì) ,許多數(shù)學(xué)家為維護(hù)微積分的應(yīng)用價值和美學(xué)價值 ,在回?fù)魜碜詳?shù)學(xué)界內(nèi)外的攻擊同時 ,竭盡所能使微積分在理論上嚴(yán)密化、邏輯化 ,在形式更趨完美。在十八世紀(jì)前期 ,許多數(shù)學(xué)家 ,尤其是英國數(shù)學(xué)家總是企圖使微積分與歐幾里得幾何結(jié)合起來 ,他們試圖借助于幾何學(xué)中論證之嚴(yán)謹(jǐn)體系去完善微積分。但這一努力是失敗的 ,打破這 一僵局的大數(shù)學(xué)家歐拉 ,他以代數(shù)方式研究微積分 ,力圖用形式演算方式代替累贅的幾何語言 ,使微積分建立在算術(shù) 和代數(shù)基礎(chǔ)上。達(dá)朗貝爾把牛頓的“最終比”發(fā)展為一種極 限概念 ,并試圖用極限加以定義和說明。他認(rèn)為應(yīng)以極限 理論作為微積分的理論基礎(chǔ) ,這一思想在數(shù)學(xué)界產(chǎn)生了極其深遠(yuǎn)的影響。直到 1821 年以后 ,柯西出版他的分析教 程、無窮小計(jì)算講義、無窮小計(jì)算在幾何中應(yīng)用這幾部具劃時代意義的名著之后 ,微積分一系列基礎(chǔ)概念及理正式明確地確定下來。自此以后 ,連續(xù)、導(dǎo)數(shù)、微分、積分、無窮級數(shù)的和概念也建立較堅(jiān)實(shí)的理論基礎(chǔ)之上 極限理論。我們現(xiàn)在所謂的極限的柯西定義或 年之后半個世紀(jì)經(jīng)過維爾斯特拉斯的加工才完成的?？挛靼颜麄€極限過程用不等式來刻畫 ,使無窮的 運(yùn)算化為一系 列不等式的推導(dǎo)。維爾斯特拉斯將柯西的完成了現(xiàn)今的 - 方法 ,形成了微積分的嚴(yán)謹(jǐn)之美。 2 2 微積分 狀態(tài)與過程的統(tǒng)一 微積分是十七世紀(jì)數(shù)學(xué)所達(dá)到的最高成就。微積分出 現(xiàn)以后 ,逐漸顯示出它非凡的威力 ,過去許多數(shù)學(xué)家束手無策的問題 ,至此迎刃而解。恩格斯指出 :“只有微分學(xué)才能使自然科學(xué)有可能用數(shù)學(xué)來不僅表明狀態(tài) ,并且也表明過程 :運(yùn)動。” 然而 ,在十九世紀(jì)以前 ,微積分理論歷史發(fā)展始終包含著矛盾 :一方面純粹分析及其應(yīng)用領(lǐng)域中呈現(xiàn)出一個接一個的偉大發(fā)現(xiàn)與成就 ；另一方面則是基 礎(chǔ)理論的含糊性。事實(shí)上 ,無論是牛頓還是萊布尼茲 ,他們對微積分所作的論 證都是不很嚴(yán)謹(jǐn)?shù)暮筒磺宄摹?在歐洲大陸方面 ,萊布尼茲的含糊也招致了尼文 Nieuwentijt ,荷蘭哲學(xué)家 的反對。荷蘭的物理學(xué)家和幾何學(xué)家紐文 B.Nieuwentydt 也就一系列問題公開提出質(zhì)問 :無限小量與零怎樣區(qū)別 ? 無限個無限小量之和為什么能夠是 有限量 ? 在推理過程中為什么能舍棄無限小量 ? 包括一大 批數(shù)學(xué)家也群起而攻之。盡管他們承認(rèn)微積分的效用 ,欣賞微積分的美學(xué)價值 ,但卻不能容忍這種方法的理論本身如此含糊甚 至令人感到荒謬。法國數(shù)學(xué)家羅爾 M. Rolle微積分為 :“巧妙的謬論的匯集。”法國思想家伏爾泰則說微積分是一種“精確的計(jì)算和度量其存在無從想象的東西的藝術(shù)”。貝克萊和尼文太對微積分的攻擊純粹是消極的 ,他們不能給微積分以嚴(yán)格的基礎(chǔ) ,但他們的論點(diǎn)都有一定道理 ,在一定程度上它激勵了微積分進(jìn)一步的建設(shè)性工作。例如突變函數(shù)論、非 線性泛函分析等學(xué)科的建立。因此 ,人們追求數(shù)學(xué)美 ,以達(dá)到精神上的愉悅 ,而這一點(diǎn)正是通過數(shù)學(xué)家經(jīng)由數(shù)學(xué)的“神秘美”、“奇異美”和“朦朧美” ,而最終達(dá)到 完備的“統(tǒng)一美”和“和諧美”。 2.3微積分 分析與幾何的統(tǒng)一 微積分的本原問題是指它同現(xiàn)實(shí)世界的關(guān)系問題，即它是產(chǎn)生于存在還是產(chǎn)生于純思維的問題。唯物主義與唯心主義有著根本不同的看法。唯心主義認(rèn)為純數(shù)學(xué)產(chǎn)生于純思維。它可以先驗(yàn)地，不需利用外部世界給我們提供的經(jīng)驗(yàn)，而從頭腦中創(chuàng)造出來。杜林、康德、貝克萊等唯心主義者就是這種觀點(diǎn)的代表。牛頓、萊布尼茨是微積分的創(chuàng)立者。他們分別在研究質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動和曲線的性質(zhì)中，不自覺地把客觀世界中的運(yùn)動問題引進(jìn)了數(shù)學(xué)。各自獨(dú)立地創(chuàng)立了微積分。這個功勞是應(yīng)該肯定的。但是，他們沒有很好注意到微積分同現(xiàn)實(shí)世界 的親緣關(guān)系。其運(yùn)算出發(fā)點(diǎn)是先驗(yàn)的。所以，馬克思把牛、萊的微積分稱為 “神秘的微分學(xué) ”唯物主義認(rèn)為，微積分同所有的科學(xué)一樣，它起源經(jīng)驗(yàn)，然后又脫離外部世界，具有高度抽象性和相對獨(dú)立性的一門嶄新的科學(xué)恩格斯指出： “數(shù)學(xué)是從人的需要中產(chǎn)生的 ”微積分是從生產(chǎn)斗爭和科學(xué)實(shí)驗(yàn)的需要中產(chǎn)生的。生產(chǎn)實(shí)踐對微積分的創(chuàng)立起著決定的作用。從十五世紀(jì)開始，資本主義在西歐封建社會內(nèi)部逐漸形成。到十七世紀(jì)，資本主義生產(chǎn)方式有了巨大發(fā)展。隨著生產(chǎn)發(fā)展，自然科學(xué)技術(shù)也雨后春筍般地發(fā)展起來了。它們跑出來向數(shù)學(xué)敲門，提出了大量研究新課題。微積分 的創(chuàng)立就是為了處理十六、十七世紀(jì)在生產(chǎn)實(shí)踐和科學(xué)實(shí)驗(yàn)中所遇到的一系列新問題。這些問題歸納起來大致分為四類：一是已知物體運(yùn)動的路程與時間的函數(shù)關(guān)系，求速度和加速度；反過來，已知物體運(yùn)動的速度和加速度與時間的函數(shù)關(guān)系，求路程。二是求曲線的切線。三是求函數(shù)的極大值、極小值。四是求曲線的弧長，求曲線所圍成的面積，曲面所圍成的體積等求積問題上述四類問題，形式各不相同，但有著共同的本質(zhì)，即都是反映客觀事物的矛盾運(yùn)動過程。其中的量都在不斷變化著。因此，研究常量的初等數(shù)學(xué)無法解決這些問題。生產(chǎn)和科研的需要，促使數(shù)學(xué)由研究常 量向研究變量轉(zhuǎn)化。于是微積分在傳統(tǒng)代數(shù)學(xué)的長期孕育中，經(jīng)解釋幾何這個 “助產(chǎn)婆 ”的接生 “而分娩了 ”。所以，恩格斯說： “數(shù)學(xué)的轉(zhuǎn)折點(diǎn)是笛卡爾的變數(shù)。有了變數(shù)，運(yùn)動進(jìn)入了數(shù)學(xué)。有了變數(shù)，辯證法進(jìn)入了數(shù)學(xué)。有了變數(shù)，微分學(xué)和積分學(xué)也就立刻成了必要的了 ”。 3.牛頓 萊布尼茨公式 聯(lián)結(jié)微分與積分的橋梁 唯物辯證法是關(guān)于普遍聯(lián)系的科學(xué)。微分與積分是一對矛盾的兩個方面。它們之間的聯(lián)系集中表現(xiàn)在互逆關(guān)系上。微分是已知原函數(shù)求導(dǎo)數(shù)（微商）；積分則是已知導(dǎo)數(shù)求原函數(shù)。微分與積分的互逆關(guān)系，揭示了導(dǎo)數(shù)與原函數(shù)的對立統(tǒng)一關(guān) 系。原函數(shù)經(jīng)過微分轉(zhuǎn)化為導(dǎo)數(shù)。導(dǎo)數(shù)在積分過程中又還原為原函數(shù)。微分與積分相互轉(zhuǎn)化的辯證過程普遍存在于自然界中。前面 說過，水分子的蒸發(fā)與凝聚的過程就是微分與積分矛盾轉(zhuǎn)化的過程；在幾何學(xué)中長與寬、面積與體積的相互轉(zhuǎn)化；在物理學(xué)中路程與速度、速度與加速度的相互轉(zhuǎn)化，都可以用微分與積分相互轉(zhuǎn)化來描述。微分與積分這種相互聯(lián)系、相互轉(zhuǎn)化的辯證內(nèi)容盡管在現(xiàn)實(shí)世界早已存在。但在數(shù)學(xué)領(lǐng)域里，這種互逆關(guān)系在 “牛頓 萊布尼茨公式 ”誕生前一直被隱藏，未被人們所認(rèn)識。這是因?yàn)槲⒎峙c積分在發(fā)展歷史上各有淵源。在幾何學(xué)中，前者和計(jì)算切線的斜率有關(guān)。后者則和計(jì)算曲邊形的面積相聯(lián)系。牛頓、萊布尼茨之所被認(rèn)為是微積分的創(chuàng)立者，主要是他們發(fā)現(xiàn)了微分與積分的互逆關(guān)系，找到了根據(jù)導(dǎo)數(shù)求原函數(shù)的一種簡便方法，從而把表面上互不相干的兩種運(yùn)算統(tǒng)一起來了，使微分與積分成為一種普遍意義的強(qiáng)有力的數(shù)學(xué)方法，為數(shù)學(xué)的發(fā)展開發(fā)開辟了一條新的康莊大道。 牛頓 萊布尼茨公式是微積分的基本原理。它表述為設(shè)函數(shù) （ x)在（ ab)上連續(xù)。如果函數(shù) F（ x)是函數(shù) （ x)的一個原函數(shù)，則有： b （ x)dx F（ b)-F（ a) a 這個公式左邊是一個定積分，右邊是原函數(shù)在（ ab）兩端值的差。它把數(shù)軸在一個區(qū)間的定積分同這個區(qū)間端點(diǎn)的原函數(shù)聯(lián)系起來了，揭示了微分與積分的對立統(tǒng)一關(guān)系 。為了說明這個問題，我們從分析具體問題入手，先來考察質(zhì)點(diǎn)在直線上的變速運(yùn)動。設(shè)時刻 t 時質(zhì)點(diǎn)在直線上的位置是 s（ t)，那么從時刻 t a 到時刻 t b 這一區(qū)間，質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動的路程為 s（ b)-s（ a)。這是質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動的一個方面。 再從另一個方面看。設(shè)已知質(zhì)點(diǎn)在時刻 t 內(nèi)的瞬時速度為 u(t)，我們用另一種方法可從 u（ t)計(jì)算出質(zhì)點(diǎn)所走過的路程為： b u（ t)dta 由于這兩個表達(dá)式都是表示同一質(zhì)點(diǎn)在同一時間內(nèi)所走過的路程，因而應(yīng)該是相等的，即 b u（ t)dt S(b)-S（ a) a 從微分角度看，路程函數(shù) S(t)的微商是速度函數(shù) u(t)dS(t) u(t) 或 dS（ t) u（ t)dt dt b 從積分角度看，速度函數(shù) u（ t)的積分值 u（ t)dt a 表達(dá)了路程函數(shù) S(t)的兩點(diǎn)值之差 S（ b)-S(a)。這里的 b 是任意固定的，有一個 b就有一個 S（ b)與之對應(yīng)。這樣當(dāng)我們深入一步，從運(yùn)動的角度看公式時，即把 b 視為變量 t，它給出了用定積分表達(dá)路程函數(shù)的方法： t u(t)dt S（ t)-S（ a) a t 這就用變上限的積分 u(t)dt表達(dá)了路程函數(shù) S（ t)。因而 a dF（ x) (x)dx在區(qū)間（ ab）上的無限積累。微分與積分的同一性與差異性都包函在牛 萊公式之中。其同一性的一面是微分與積分共處于牛 萊公式之中，互相依存，互相貫通，在一定的條件下相互轉(zhuǎn)化。原函數(shù)在微分條件下轉(zhuǎn)化為導(dǎo)函數(shù)；導(dǎo)函數(shù)在積分條件下轉(zhuǎn)化為原函數(shù)。微分把 “有限 ”轉(zhuǎn)化 為 “無限 ”，而積分又把 “無限 ”轉(zhuǎn)化 為 “有限 ”。牛 萊公式就是在這種 “有限 無限 有限 ”的轉(zhuǎn)化 中，把定積分計(jì)算變?yōu)椴欢ǚe分計(jì)算，把繁雜的極限計(jì)算轉(zhuǎn)化為原函數(shù)兩點(diǎn)值之差的運(yùn)算。從而找到了計(jì)算定積分的捷徑。然而，牛 萊公式的兩邊不是絕對 的同一，絕對的統(tǒng)一，絕對的轉(zhuǎn)化，而的有差別的同一，對立的統(tǒng)一，有條件的轉(zhuǎn)化。公式的兩邊僅僅是數(shù)量上的同一，兩邊各自的性質(zhì)、地位與作用并不相同。這個不同正是微分與積分的差異性，即互逆關(guān)系的表現(xiàn)。歸納起有三個方面：其一，兩者所反映的事物性質(zhì)不同。在物理學(xué)中微分所描述的是物體運(yùn)動的路程向速度轉(zhuǎn)化以及速度向加速度轉(zhuǎn)化的過程；而積分卻反其道而行之，它描寫的是加速度轉(zhuǎn)化為速度，速度轉(zhuǎn)化為路程的過程。在幾何學(xué)中微分就是求曲線的切線；而積分是求弧長，求曲線所圍成的面積，曲面所圍成的體積。一般地講，微分就是已知函數(shù)求函數(shù)的變 化率；而積分是根據(jù)函數(shù)的變化率求函數(shù)。其二、兩者所處的地位不同。在微分與積分這對矛盾中，一般地說微分是矛盾的主要方面，居于支配地位；積分是矛盾的次要方面，居于被支配地位。微分是積分運(yùn)算的前提和基礎(chǔ)。進(jìn)行積分運(yùn)算，首先要 “化整為零 ”，進(jìn)行無限分割，即微分。無微分就不可能進(jìn)行積分。但是積分又不是消極被動的。在導(dǎo)函數(shù)向原函數(shù)轉(zhuǎn)化過程中，最后是由積分來完成的。沒有積分就無法完成這一轉(zhuǎn)化。其三、各自的作用不同。微分是把整體分成無限多個無窮小量，完成以 “直 ”代 “曲 ”的轉(zhuǎn)化；而積分又把無窮多的無限小量累積起來，實(shí)現(xiàn)以 “以 曲代直 ”。微積分的 “曲 ”與 “直 ”、 “有限 ”與 “無限 ”的相互轉(zhuǎn)化 正是在微分與積分的相互作用、相互制約下實(shí)現(xiàn)的。它推動微積分的基本矛盾 “直 ”與 “曲 ”， “勻 ”與 “不勻 “的矛盾運(yùn)動，解決了初等數(shù)學(xué)無法解決的矛盾。 4 實(shí)際問題思想的具體表現(xiàn) 說明 連續(xù)、可導(dǎo)、可微問題 微積分中對于無窮大與無界、極大 (小 )值與最大 (小 )值以及可導(dǎo)與連續(xù)等容易混淆的概念之間的關(guān)系，可以通過運(yùn)用適當(dāng)?shù)姆蠢M(jìn)行準(zhǔn)確理解把握。同時也能培養(yǎng)與提高學(xué)生的辯證思維能力。 情形 1 若函數(shù) f（ x）在 a 連續(xù)， 則函數(shù) f（ x）在 a 也連續(xù)， 但其逆命題不成立。 反例：函數(shù) f（ x） =1， x?叟 0-1， x0，總存在 x=n，當(dāng) n時，有 f（ x） =n cosn =n G 然而，當(dāng) x時，若取 x=n +此時 f（ x） =n +cosn +=0。即 f（ x）并不趨于。 4 函數(shù)的極大 (小 )值與最大 (小 )值問題 情形 94可導(dǎo)函數(shù)的極值點(diǎn)一定是函數(shù)的駐點(diǎn)，但駐點(diǎn)不一定是函數(shù)的極值點(diǎn)。 反例： x=0 是函數(shù) f（ x） =x3 的駐點(diǎn)，但不是其極值點(diǎn)。 情形 10 函數(shù) f（ x） 的極大 (小 )值不一定就是最大 (小 )值。 反例：函數(shù) f（ x） =x-4x+3x+1， x -1， 3，由于 f（ x） =4x-8x+3=4（ x-1） -1，易見 x=或 x=為 f（ x）的穩(wěn)定點(diǎn)