奧數(shù)有關(guān)講解.doc

黃岡奧數(shù)學(xué)校-奧數(shù)杯賽集訓(xùn)班 2010年“迎春杯”復(fù)試沖刺班講義-高年級(jí)組 姓名： 年級(jí)： 考核：第六部分 整除問(wèn)題基本公式奇偶性（1） 奇數(shù)的連乘積是奇數(shù)；若干整數(shù)連乘，有一個(gè)是偶數(shù)，則乘積為偶數(shù)。（2） 相鄰兩個(gè)自然數(shù)的和必為奇數(shù)，相鄰兩個(gè)自然數(shù)的乘積必為偶數(shù)。（3） 兩個(gè)整數(shù)之和與這兩個(gè)整數(shù)之差有著相同的奇偶性。（4） 奇數(shù)的平方被4除余1，偶數(shù)的平方是4的倍數(shù)。整除判斷1. 能被2、5整除：末位上的數(shù)字能被2、5整除。2. 能被4、25整除：末兩位的數(shù)字所組成的數(shù)能被4、25整除。3. 能被8、125整除：末三位的數(shù)字所組成的數(shù)能被8、125整除。4. 能被3、9整除：各個(gè)數(shù)位上數(shù)字的和能被3、9整除。5. 能被7整除：末三位上數(shù)字所組成的數(shù)與末三位以前的數(shù)字所組成數(shù)之差能被7整除。逐次去掉最后一位數(shù)字并減去末位數(shù)字的2倍后能被7整除。6. 能被11整除：末三位上數(shù)字所組成的數(shù)與末三位以前的數(shù)字所組成的數(shù)之差能被11整除。奇數(shù)位上的數(shù)字和與偶數(shù)位數(shù)的數(shù)字和的差能被11整除。逐次去掉最后一位數(shù)字并減去末位數(shù)字后能被11整除。7. 能被13整除：末三位上數(shù)字所組成的數(shù)與末三位以前的數(shù)字所組成的數(shù)之差能被13整除。逐次去掉最后一位數(shù)字并減去末位數(shù)字的9倍后能被13整除。整除性質(zhì)如果a、b能被c整除，那么（a+b）與（a-b）也能被c整除。如果a能b整除，c是整數(shù)，那么a乘以c也能被b整除。如果a能被b整除，b又能被c整除，那么a也能被c整除。如果a能被b、c整除，b、c互質(zhì)，那么a也能被bc整除。分解質(zhì)因數(shù) N=a1r1a2r2a3r3a4r4anrn，其中a1、a2、a3an都是合數(shù)N的質(zhì)因數(shù)。約數(shù)個(gè)數(shù)：P=（r1+1）（r2+1）（r3+1）（rn+1）所有約數(shù)和： 最大公約數(shù)的性質(zhì)1、 幾個(gè)數(shù)都除以它們的最大公約數(shù)，所得的幾個(gè)商是互質(zhì)數(shù)。2、幾個(gè)數(shù)的最大公約數(shù)都是這幾個(gè)數(shù)的約數(shù)。3、幾個(gè)數(shù)的公約數(shù)，都是這幾個(gè)數(shù)的最大公約數(shù)的約數(shù)。4、幾個(gè)數(shù)都乘以一個(gè)自然數(shù)m，所得的積的最大公約數(shù)等于這幾個(gè)數(shù)的最大公約數(shù)乘以m。最小公倍數(shù)的性質(zhì) 1、幾個(gè)數(shù)的任意公倍數(shù)都是它們最小公倍數(shù)的倍數(shù)。 2、兩個(gè)數(shù)最大公約數(shù)與最小公倍數(shù)的乘積等于這兩個(gè)數(shù)的乘積。經(jīng)典回顧1.（2009年高年級(jí)組復(fù)試）三個(gè)兩兩不同的正整數(shù)，和為126，則它們兩兩最公約數(shù)之和的最大值是 2.（2008年高年級(jí)組復(fù)試）如果一些不同質(zhì)數(shù)的平均數(shù)為21，那么它們中最大的一個(gè)數(shù)的最大可能值為 3.（2010年5年級(jí)組初試）已知一個(gè)五位回文數(shù)等于45與一個(gè)四位回文數(shù)的乘積（即abcba=45deed）,那么這個(gè)五位回文數(shù)最大的可能值是 鞏固練習(xí)4.（2010年6年級(jí)組初試）用0-9這10個(gè)數(shù)字組成若干個(gè)合數(shù)，每個(gè)數(shù)字都恰好用一次，那么這些合數(shù)之和的最小值是 5.（2010年6年級(jí)組初試）有5個(gè)不同的正整數(shù)，它們中任意兩數(shù)的乘積都是12的倍數(shù)，那么這5個(gè)數(shù)之和的最小值是 6.（2009年高年級(jí)組復(fù)試）用數(shù)字0、0、1、1、2、2、3、3、4、4、5、5、6、6、7、7、8、8、9、9組成5個(gè)四位數(shù)，要求這5個(gè)數(shù)的和的各位數(shù)字都是奇數(shù)，那么這個(gè)和數(shù)最大是 7. （2008年高年級(jí)組復(fù)試）有四個(gè)非零自然數(shù)a、b、c、d，其中c = a + b, d = b + c,如果a能被2整除，b能被3整除，c能被5整除，d能被7整除，那么d最小是 8.（2009年5年級(jí)組初試）如果兩個(gè)合數(shù)互質(zhì)，它們的最小公倍數(shù)是126，那么他們的和是 10.（2009年5年級(jí)組初試）將數(shù)字4、5、6、7、8、9各使用一次，組成一個(gè)被667整除的6位數(shù)，那么這個(gè)6位數(shù)除以667的結(jié)果是 11.（2009年6年級(jí)組初試）如果一個(gè)五位數(shù)，它的各位數(shù)字乘積恰好是它的各位數(shù)字和的25倍，那么這個(gè)五位數(shù)的前兩位的最大值是 12.（2008年5年級(jí)組初試）一個(gè)五位數(shù)恰好等于它各位數(shù)字和的2007倍，則這個(gè)五位數(shù)是 13.（2008年5年級(jí)組初試）有4個(gè)不同的數(shù)字共可組成18個(gè)不同的4位數(shù)。將這18個(gè)不同的4位數(shù)由小到大排成一排，其中第一個(gè)是一個(gè)完全平方數(shù)，倒數(shù)第二個(gè)也是完全平方數(shù)，則這18個(gè)數(shù)中最大的數(shù)是 14.（2008年6年級(jí)組初試）已知九位數(shù)2007122既是9的倍數(shù)，又是11的倍數(shù)；那么，這個(gè)九位數(shù)是 15.（2008年6年級(jí)組初試）有4個(gè)不同的數(shù)字共可組成18個(gè)不同的4位數(shù)。將這18個(gè)不同的4位數(shù)由小到大排成一排，其中第一個(gè)是一個(gè)完全平方數(shù)，倒數(shù)第二個(gè)也是完全平方數(shù)。那么這18個(gè)數(shù)的最大數(shù)是 16.（2007年高年級(jí)組初試）甲乙兩個(gè)三位數(shù)的乘積是一個(gè)五位數(shù)，這個(gè)五位數(shù)的后四位為1031，如果甲數(shù)的數(shù)字和為10，乙數(shù)的數(shù)字和為8，那么甲乙兩數(shù)之和是 第七部分 排列組合基本公式u 加法原理如果完成一件任務(wù)有n類(lèi)方法，在一類(lèi)方法中有m1種不同的方法，在第二類(lèi)方法中有m2種不同的方法，在第n類(lèi)方法中有mn種不同的方法，則完成這件任務(wù)共有：m1+m2+m3+mn種不同的方法。u 乘法原理如果完成一件任務(wù)需要分成n個(gè)步驟進(jìn)行，做第1步有m1種方法，不管第1步用哪一種方法，第2步總有m2種方法不管前面n-1步用哪一種方法，第n步總有mn種方法，那么完成這件任務(wù)共有m1m2m3mn種不同的方法。u 組合從n個(gè)不同元素中任取r個(gè)不同元素，不考慮取出元素的順序并成一組，這類(lèi)任務(wù)叫做從n個(gè)不同元素中取出r個(gè)不同元素的無(wú)重復(fù)組合。u 排列從n個(gè)不同元素中取出r個(gè)不同元素的無(wú)重復(fù)排列的方法數(shù)叫排列數(shù)，記為，n（n1）（n1）（nr1）。=。把任務(wù)“從n個(gè)不同元素中選出r個(gè)不同的元素的排列”分為兩步：從n個(gè)不同的元素中選取r個(gè)不同的元素對(duì)選出的r個(gè)元素進(jìn)行排列。經(jīng)典回顧17.（2009年高年級(jí)組復(fù)試）從1-999中選出連續(xù)6個(gè)自然數(shù)，使得它們的乘積的末尾恰有4個(gè)0，一共有 種選法。18.（2010年5年級(jí)組初試）請(qǐng)從1，2，39，10中選出若干個(gè)數(shù)，使得1，2，3，19，20這20個(gè)數(shù)中的每個(gè)數(shù)都等于某個(gè)選出的數(shù)或某兩個(gè)選出的數(shù)（可以相等）的和，那么，至少需要選出 個(gè)數(shù)。19.(2010年6年級(jí)組初試) 九個(gè)大小相等的小正方菜拼成了右圖，現(xiàn)從點(diǎn)A走到B，每次只能沿著小正方形的對(duì)角線(xiàn)從一個(gè)頂點(diǎn)到另一個(gè)頂點(diǎn)，不允許走重復(fù)路線(xiàn)（如圖的虛線(xiàn)就是一種走法）。那么從點(diǎn)A走到點(diǎn)B共有 種不同的走法。20.(2007年高年級(jí)組初試）將19枚棋子放入5x5的方格網(wǎng)內(nèi)，每個(gè)方格至多只放一枚棋子，且每行每列的棋子個(gè)數(shù)均為奇數(shù)個(gè)，那么共有 種不同的做法。21.（2008年高年級(jí)組復(fù)試）如果三位數(shù)m同時(shí)滿(mǎn)足如下條件：（1）m的各位數(shù)字之和是7；（2）2m還是三位數(shù)，且各位數(shù)字之和為5，那么這樣的三位數(shù)m共有 個(gè)鞏固練習(xí)22.(2009年5年級(jí)組初試)從1、2、3、4、5、6中選取若干個(gè)數(shù)，使得它們的和是3的倍數(shù)，但不是5的倍數(shù)，那么共有 種不同的選取方法。23.(2009年6年級(jí)組初試）對(duì)于由1-5組成的無(wú)重復(fù)數(shù)字的五位數(shù)，如果它的首位數(shù)字不是1，那么可以進(jìn)行如下的一次置換操作：記首位數(shù)字為k，則將數(shù)字k與第k位上的數(shù)字對(duì)換。例如，24513可以進(jìn)行兩次置換：245134251312543，可以進(jìn)行4次置換的五位數(shù)有 個(gè)24.（2008年5年級(jí)組初試）國(guó)際象棋中“馬”的走法如圖1所示，位于位置的“馬”只能走到標(biāo)有的格中，類(lèi)似于中國(guó)象棋中的“馬走日”。如果“馬”在88的國(guó)際象棋棋盤(pán)中位于第一行第二列（圖2中標(biāo)有的位置），要走到第八行第五列（圖2中標(biāo)有的位置），最短路線(xiàn)有條。25.（2008年5年級(jí)組初試）將右圖中的2007（即陰影部分）分成若干個(gè)1x2的小長(zhǎng)方形，共有 種分法26.（2008年5年級(jí)組初試）給你一架天平和兩個(gè)砝碼，這兩個(gè)砝碼分別重50克和100克，如果再添上3個(gè)砝碼，則這5個(gè)砝碼能稱(chēng)出的重量種類(lèi)最多是 種。（天平的左右兩盤(pán)均可放砝碼）27.（2008年6年級(jí)組初試）有10個(gè)整數(shù)克的砝碼（允許砝碼重量相同），將其中一個(gè)或幾個(gè)放在天平的右邊，待稱(chēng)的物品放在天平的左邊，能稱(chēng)出1，2，3，200的所有整數(shù)克的物品來(lái)；那么，這10個(gè)砝