（計(jì)算數(shù)學(xué)專業(yè)論文）兩類(lèi)模型的共存解分析.pdf

兩類(lèi)模型的共存解分析 劉志強(qiáng) 摘要運(yùn)用反應(yīng)擴(kuò)散方程建立數(shù)學(xué)模型解決微生物培養(yǎng)等實(shí)際問(wèn)題已經(jīng)成為 個(gè)比較熱門(mén)的話題其中i 棚g y e 】一b p s t e i n 模型、d l e m o s t a t 模型、以及平流反 應(yīng)器模型都引起了學(xué)者的廣泛關(guān)注關(guān)于這幾類(lèi)模型已經(jīng)有了很多重要的結(jié)論 本文主要在前人研究的基礎(chǔ)上，借鑒弗吸收了他們的一些優(yōu)秀的理論和方法來(lái)研 究，l 維l e n 島r e l - e p s t e i n 模型和時(shí)變環(huán)境下的平流反應(yīng)器模型 本文分三部分就這兩類(lèi)模型共存解的情況進(jìn)行了討論 第一章主要介紹了本文用到的一些基本概念，并陳述了在后續(xù)定理證明中需 用到的幾個(gè)基本定理比如上下解、u 極限集等基本概念，以及局部分歧定理、 整體分歧定理等基本定理 第二章主要研究他維l 即g y e l e p s t e i n 模型非常數(shù)共存解的存在性此模型 可用下述形式的反應(yīng)擴(kuò)散系統(tǒng)來(lái)刻畫(huà) 嘗：u + 口一 一了等，z n ，t o ， c ，j 十l 窯= 仃陋+ 如一南) ，z t o ， 其中為l a p l a c e 算子t | = t i ( z ，z ) ，”= t ，( z ，z ) 分別表示t 時(shí)刻碘離子( i o d i d e ) 和亞氯酸根離子( c h l o r i t e ) 的濃度b ，6 是與酸的濃度相關(guān)的參數(shù)，c 是擴(kuò)散系 數(shù)的比率，伊 l ，是與淀粉濃度相關(guān)的調(diào)節(jié)參數(shù)q 是艫中具有光滑邊界a q 的有界開(kāi)區(qū)域在此系統(tǒng)中，約定8 ，玩c 盯均為正常數(shù)本章第一節(jié)介紹了 t 棚酬一e p 托n 模型的背景以及研究現(xiàn)狀本章第二節(jié)通過(guò)引入基本假設(shè)，利用 局部分歧理論證明了n 維l 曲g y d e p s t e t m 模型平衡態(tài)系統(tǒng)的常數(shù)平衡態(tài)解局部 分歧的存在性，從而得到了非常數(shù)共存解的存在條件本章第三節(jié)利用整體分歧 定理證明了n 維l e n g y e l e p s 協(xié)i n 模型平衡態(tài)系統(tǒng)的常數(shù)平衡態(tài)解整體分歧的存 在性 第三章主要研究了時(shí)變環(huán)境下平流反應(yīng)器模型共存解的存在性此模型可由 下面一組反應(yīng)擴(kuò)散方程來(lái)描述 s = d & 。一r ( t ) 一 ( s ) u 一，2 ( s 扣， 撕= 紐。一r ( t ) t k + ( 印牡， 鈍= 6 t k r ( t ) t k + ，2 ( s ) t ， 其中s ( ，z ) ，( t ，z ) ，射( t ，z ) 分別表示t 時(shí)刻營(yíng)養(yǎng)物s 和兩物種u ，口的濃度 五( s ，t = 1 ，2 滿足如下條份：( 口) 五( s ) ，i = l ，2 是e 1 的；( 6 ) 鼻( s ) 0 ； ( c ) 五( o ) = o ，且溉，t ( s ) 存在本章第一節(jié)介紹了平流反應(yīng)器模型的背景研 究現(xiàn)狀和一些研究成果本章第二節(jié)主要借助于比較原理和基本假設(shè)得到了時(shí)變 環(huán)境下平流反應(yīng)器模型的簡(jiǎn)化系統(tǒng)，即把原來(lái)關(guān)于st i ，”的系統(tǒng)簡(jiǎn)化成只關(guān)于 t ，t ，的動(dòng)力系統(tǒng)本章第三節(jié)借助予引入周期映射、競(jìng)爭(zhēng)序關(guān)系，單調(diào)動(dòng)力系統(tǒng) 等研究了時(shí)變環(huán)境下平流反應(yīng)器模裂極限系統(tǒng)周期解的存在性 關(guān)鍵詞t分歧【釉影小e p s t e i n 模型平流反應(yīng)器共存解時(shí)變環(huán)境 i i a n a l y s i so fc o e x i s t e n c ef o rt w om o d e l s z 罅q i 鋤gl i u a b s t r a c ti th a s b e e nah o td i s c u s $ b n1 1 s i n gr e a c t i o n d i m l s i 衄e q u a t i o ns o l 嘲 p r o b l e r 璐i no u rd a i l yl i f e ，s u d l 硒m i c r o o r g a n i s i 璐c u l t u r e r 曙e n t l y ，m a n ys c h o l a 璐 a i l d8 p e c j a l i s t sh a v eb e e np a 卵n gm o r ea t t e n t i o nt ol e n g ”l e p s t e i nm o d d ，c l l e i i 肛 s t a t 功【o d e l 觚df l o wr e a c t o rm o d e l ，a n dm a i l yi m p o r t a n ta n du s e f u lr e s u l t sh g v e b e e ng a h l e d d e p e n d i n go nt h e s em e t h o d sa n dt h e o r i e s ，t h ea u t h o rs t u d i e dt h em d i m e n s i o n a lk n 筋，e 1 e p 8 t e i m o d e i 鋤dt h ef l o wr e a c t o ri nt i m ev a r ye n v i r o m e n t t h ep a p e rc o n t a i n e dt h r e ec h 印t e 瑙t oi n v t i g a t et h ec o 商s t e n c ef o rt h et w o m o d e l 8 i nc l l a p t 既1 ，t h ea u t h o ri n t r o d u c e ds o m eo o n c e p t 8 ，s u c h 曬s u b - 柚d 一跚p e r 睜 l u t i o n ，“，l i l l l i ts e t 鋤de t c ，柚ds t a t e d8 刪a l t h e o r i 镩，w h i c h w o l l l db eu 8 e d i n t h e p r o o fo fp r o p o s i t i 衄s ，f b r r 舢p l e ，l o c a lb i f u r c a t i o nt h 嗍ma i l dg l o b a lb i f u r c a t i o n t h e d r 唧 i nc h a l ) t e r2 ，t h ec o e 菇s t e n c eo fn - d i m e i l s i o n a li 七n 困，e l - e p s t e i nm o d e lw a 8r 爭(zhēng) s e a r d 同t h i sm o d e lt a k e s 七h(yuǎn) ef o m 私f o l l o w i n g 害= u + 。一一羔，z t o ， 窯= 盯陋+ 6 ( u 一南) n 以 o ， 謝h e r e i st h el a p l a c eo p e r a t o r 釷= u ( z ，t ) ，t ，= ( z ，) d e n o t et h ec h 咖i c a lc o n - c e n t r a t i o 璐o fi o d i d ea n dc h l 嘶t e ，r e s p e c t i v e l y 口a n d6a r et h ep 村鋤e t e 瑁r e l a t e d t ot h ef | e e dc o n o e n t r a t i o i l s ，ct h er a t i oo ft h ed 誑h s i o nc o e 伍c i e n t s ，盯 1 ，ar e 文勉l i n g p a r 觸n e t e fd e p e n d i n go nt h ec o n 聊r a t i o no f 拙i es t a r c h qi sa b o u n d e dd o m a i ni n 艫加dni so p e n 研t h 咖o o t hb o u d 珥i nt h i sc h a p t e r ，t h e 鯽t h o rs h 棚a s s 岫e a c c o r d i n g i yt h ea l l 啪s t a j 船d ，6 ，c ，鋤d 口a r ep 0 8 i t i 、，e n eb 赫呵o u d 卸dt h e r e s e a r 出s i t u a t i o na b 叫tk l ，e l e p s t 咖w e r ei n t r o d u c e di nt h e 缸s t c t i o n i n 戧時(shí)s e c o n ds e c t i o n ，t h e 卸t h o fs t u d i e dt h el o c a lb i f i 】r c a t i o no ft h eo o n s t 衄ts t e a d y s t a t 鶴i nm d i m e n s i o 玎_ a ll e n g y e l - e p 8 t e mm o d d ，b yt h em e 枷o fl o c a lb i f i l r c a t i o n t h e 0 匹岫a n di n t r o d u c i n gab a s i ch ) 砌h e s i s c o n s e q 唧t l y ，t h es u 伍c i 朗tc 叩d i t o i l 8 f b rt h ee ) d t e l l c eo fn o n - c ( m s t a n ts t e a d y s t a t es o l u t 渤陷w e r eo b t a i n e d u s i i 培t h e v e r s i o n0 ft h ei n i t i a l 句，s t 鋤a n dg l o b a lb i f i l r c a t i o nt h 咖衄，t h e 甑i s t e n c eo ft h e g l o b a lb i f u r c a t i o nw 蹈p r a v e d i nt h el a s t8 e c t i o n i 吐a p t e r3 ，t h e 卸t h o ri m 喇e dt h ec o e x i s t e n c eo ft h e 丑o wr e c t o rm o d e l i i i i nt i m ev 8 r y i n ge n v i r o n m e n t a n d 緬i sm o d dt a k e st h ef 撕n 鴿b d 口w & = d 5 k r 0 ) 咒一 ( s ) u 一廠2 ( s ) t ， 啦= d t 一r ( t ) + ，1 ( s ) t ， 氈= 破k r ( ) 2 k + 五( s ) t ， w h e r es ( ，z ) d e n o t e st h ec o n c e n t r a t i o no ft h en u t r i e n ti nt h ef l o wr e a c t o r ，鋤d t ( t ，z ) ，t ，( t ，z ) d e n o t et h ec o n o e n t r a t i o 璐o ft h ec o m p e t i t o r 8 五( s ) ，i = 1 ，2 嘶i s 移 t h ef o l o wc c 咀d i t i o l l s ：( o ) 五( s ) c 1 ，i = l ，2 ，( 只( s ) o ，( c ) ( o ) = o ，a n d 衛(wèi)m ( s ) 喇s t s i nt h el i r s ts e c t i o n ，t h eb a d 【g r o u da n dt h e 瑚e 眥h s i t u a t i o na b o u t t h ef l o wr e a c t o rm o d e lw e r ei n t i d d u c e d b yt h e 加舊a n so fc o m p a r et h e o r e ma i l d 缸 t r o d l l c i n gab a s i cb y p o t h e s i s ，t h ei n i t i a ls y s 乞e mw a sr e d l l o e dt oa 咖kp e r i o d i o - p a 瑚擊o h cs y s t e ma b o u t 私，t ，o rt h el i m i t i n g 舄r s t e mo ft h e 丑o wr e a c t o ri nt i m e v 孤了i n g 訓(xùn)r o n m e n tw a 8o b t a i n e d i nt h es e 0 0 n ds e c t i o n a tl a s t ，t h ea u t h o rp 】r o v e d t h ee ) 【i s t e n c e0 fp e r i o d i cs o l u t i o n 8o ft h en i 邢r e a m o ri nt i m ev 哪i n ge i i r o 砌e n t ， d 印e n d i n go nc o m p a t i t i v eo r d 喇n g ，p e r i o d i cm a pa n dm o m o t o n ed y n a l i l i c a ls y s t e m k e ”舊r d s ： b i f i l r c a t i o n k n g y e l e p s t e i nm o d e l f l o wr e a c t o rm o d e lc 0 - 既i s t e n c e t i m e r y i n ge n v i r o 姍e n t 學(xué)位論文獨(dú)創(chuàng)性聲明 本人聲明所呈交的學(xué)位論文是我在導(dǎo)師的指導(dǎo)下進(jìn)行的研究工作及取得的研 究成果。盡我所知，除文中已經(jīng)注明引用的內(nèi)容外，論文中不包含其他個(gè)人已經(jīng) 發(fā)表或撰寫(xiě)過(guò)的研究成果，也不包含為獲得陜西師范大學(xué)或其它教育機(jī)構(gòu)的學(xué)位 或證書(shū)而使用過(guò)的材料。對(duì)本文的研究做出重要貢獻(xiàn)的個(gè)人和集體，均已在文中 作了明確說(shuō)明并表示謝意。 學(xué)位論文使用授權(quán)聲明 本人同意研究生在校攻讀學(xué)位期間論文工作的知識(shí)產(chǎn)權(quán)單位屬陜西師范大 學(xué)。本人保證畢業(yè)離校后，發(fā)表本論文或使用本論文成果時(shí)署名單位仍為陜西師 范大學(xué)。學(xué)校有權(quán)保留學(xué)位論文并向國(guó)家主管部門(mén)或其它指定機(jī)構(gòu)送交論文的電 子版和紙質(zhì)版；有權(quán)將學(xué)位論文用于非贏利目的的少量復(fù)制并允許論文進(jìn)入學(xué)校 圖書(shū)館、院系資料室被查閱；有權(quán)將學(xué)位論文的內(nèi)容編入有關(guān)數(shù)據(jù)庫(kù)進(jìn)行檢索： 有權(quán)將學(xué)位論文的標(biāo)題和摘要匯編出版。 前言 現(xiàn)代科學(xué)技術(shù)的發(fā)展在很大程度上依櫝于物理學(xué)，化學(xué)和生物學(xué)的成就和發(fā) 展。而這些學(xué)科的精確化又是它們?nèi)〉眠M(jìn)展的重要保證學(xué)科的精確化往往是通 過(guò)建立數(shù)學(xué)模型來(lái)實(shí)現(xiàn)的，而大量的數(shù)學(xué)模型可歸納為反應(yīng)擴(kuò)散方程運(yùn)用反應(yīng) 擴(kuò)散方程研究斑圖問(wèn)題、微生物培養(yǎng)問(wèn)題等已經(jīng)成為一個(gè)比較熱門(mén)的話題 1 9 5 2 年，英國(guó)著名數(shù)學(xué)家圖靈( a l a nm a t h i o nt r i n g ) 在其著名論文形態(tài)形 成的化學(xué)基礎(chǔ)中，用一個(gè)反應(yīng)擴(kuò)散模型成功地說(shuō)明了某些生物的體表所顯現(xiàn)的 圖紋，提出了擴(kuò)散導(dǎo)致不穩(wěn)定猜想【1 j 直到1 9 9 0 年，b 0 r d e a u x 研究小組借助凝膠 反應(yīng)器中的一類(lèi)酸與淀粉的反應(yīng)( c h l 嘶協(xié)i o d i d e - m a l o n i ca c j ( 1 - s t 8 r c h 戒i c t i 咖) 給 出了圖靈猜想的實(shí)驗(yàn)證明經(jīng)過(guò)研究，g y e l 和e p s 乞e i n 發(fā)現(xiàn)此類(lèi)具有五個(gè)變量 的系統(tǒng)中的三個(gè)變量在反應(yīng)過(guò)程中幾乎保持不變，從而把原系統(tǒng)簡(jiǎn)化為個(gè)2x2 系統(tǒng)t 令t = “( z ，t ) ，t ，= t ，( z ，t ) 分別表示t 時(shí)刻碘離子( i o d i d e ) 和亞氯酸根離子 ( c h t e ) 的濃度，其l e n 舒e l _ e 耐e i n 模型是下述形式的反應(yīng)擴(kuò)散系統(tǒng)【2 l 嘗：舭+ 口一讓一害，z q ，t o ， ( 1 ) t r o 殺= 盯【c 鈔+ 6 ( t 一丁三) 】，z q ，t o ， ( 2 ) 其中為l a p l a c e 算子o ，6 是與酸的濃度相關(guān)的參數(shù)，c 是擴(kuò)散系數(shù)的比率， 盯 1 ，是與淀粉濃度相關(guān)的調(diào)節(jié)參數(shù)q 是j p 中具有光滑邊界a q 的有界開(kāi)區(qū) 域在此系統(tǒng)中。約定n ，6 c ，礦均為正常數(shù)其邊界條件取為 罷：o ，祟：o ，z a q ，t o ， ( 3 ) 其初值條件取為 t ( z ，o ) = t l o ( z ) o ，t ，( z ，o ) = t i ；d ( z ) o ，z q ，( 4 ) 其中是q 的單位外法向量，銣，珊儼( q ) n 伊( n ) 到目前為止。已經(jīng)有文獻(xiàn)【3 】【4 】對(duì)系統(tǒng)( 1 ) 一( 4 ) 解的情況特別是平衡態(tài)解的 存在性問(wèn)題及解的性質(zhì)進(jìn)行了深入的研究文獻(xiàn)【3 】借助于不變集、先驗(yàn)估計(jì)、 度理論研究了非常數(shù)平衡解存在的一些充分條件及其性質(zhì)；文獻(xiàn)【4 1 利用整體分 歧理論和極限系統(tǒng)研究了一維情況下該模型的圖靈斑圖的結(jié)構(gòu)和常數(shù)平衡解的整 體分歧 對(duì)于微生物培養(yǎng)問(wèn)題的研究比較熱門(mén)的有c h 鋤0 8 t a t 模型( 又稱恒化器模型) 基本上說(shuō)，在實(shí)驗(yàn)中c l l 咖o s t a t 模型裝置由三個(gè)相連容器組成第一個(gè)容器稱為 喂養(yǎng)容器( f j e db o t t l e ) ，盛裝微生物生長(zhǎng)所需的營(yíng)養(yǎng)液；第二個(gè)容器稱為培養(yǎng)皿 l ( c u i t u r e 慨1 ) ，它的容積固定。內(nèi)裝有待培養(yǎng)的微生物，并裝備有攪拌器和供養(yǎng) 裝置；第三個(gè)容器稱為溢流裝置( o v e r f l d wv e s 1 ) ，它用于盛放從第二個(gè)容器中抽 出的混合物，以保證培養(yǎng)皿的容積不變 記s ( t ) 表示在時(shí)刻t 營(yíng)養(yǎng)物的濃度；t ( t ) ，t ，( t ) 表示在時(shí)刻t 兩競(jìng)爭(zhēng)微生物 的濃度設(shè)營(yíng)養(yǎng)物的起始濃度鏟和輸入輸出速度口都是常值，則無(wú)量綱化后的 c h e m o s t a t 模型可用下列一組反應(yīng)擴(kuò)散方程來(lái)刻畫(huà) & = d 如一篇一蒜口1 十d0 2 十j 毗= + 篇 ( 5 ) 噸= 妣。+ 蒜t ， 其中m l ，f n 2 是最大增長(zhǎng)率，8 1 ，啦是半飽和系數(shù)，d 為擴(kuò)散系數(shù)邊界條件為 & ( o ，f ) = 一1 ，是( 1 ，f ) + ，y s ( 1 ，t ) = o ， 魄( o ，z ) = o ，( 1 ，t ) + 7 碳1 ，) = o ， ( 6 ) ( o ，t ) = o ，( 1 ，t ) + ，y ( 1 ，) = 0 初值條件為 s ( z ，o ) = 島( z ) o ， u ( z ，o ) = t 0 ( z ) o ，“( z ，o ) o ，( 7 ) 口( z ，0 ) = t j o ( z ) o ，u ( z ，0 ) o 對(duì)于此系統(tǒng)，文獻(xiàn)睜12 】已經(jīng)給出了很多好的結(jié)果 在研究動(dòng)物內(nèi)臟中微生物生長(zhǎng)狀況的時(shí)候，平流反應(yīng)器模型( t h en o wr e a c t o r l o d e l ) 比c h e m o s t a t 模型更好，它是用于微生物連續(xù)培養(yǎng)的一種實(shí)驗(yàn)裝置，是一 個(gè)簡(jiǎn)化的動(dòng)物內(nèi)臟模型，可用于動(dòng)物內(nèi)臟中菌類(lèi)的生長(zhǎng)。能更好的刻畫(huà)動(dòng)物內(nèi)臟 中微生物的生長(zhǎng)狀況，在生物制藥。食品加工等領(lǐng)域都有很重要的作用因此也 成為諸多學(xué)者的研究熱點(diǎn) 記s ( t ) 表示在時(shí)刻t 營(yíng)養(yǎng)物的濃度；u ( t ) ，t ，( t ) 表示在時(shí)刻兩競(jìng)爭(zhēng)微生物 的濃度設(shè)營(yíng)養(yǎng)物的起始濃度是伊，輸入輸出速度為r ，且s o ，r 都為常值并設(shè) 擴(kuò)散系數(shù)為d ，則無(wú)量綱化后的平流反應(yīng)器的模型可用下列一組反應(yīng)擴(kuò)散方程來(lái) 刻畫(huà) s ：= d i s 矗一r 5 ：一 ( s ) u 一，2 ( s ) ， 啦= 婦。一r + ( s ) t ， ( 8 ) 仇= d ：一r + 五( s ) t ， 2 其中五( s ) ， = l ，2 滿足如下條件：( o ) 五( s ) ，i = 1 ，2 是c 1 的，( 砷只( s ) o ， ( c ) 五( o ) = o ，且熙 ( s ) 存在邊界條件為 d ( t ，o ) 一r s 0 ，o ) = 一r s 0 ，t o ， 篡寶二篡昌三寶蒜 d ( z ，0 ) 一r ( t ，o ) = 0 ， 0 ， 一 & ( t ，1 ) = o ，( t ，1 ) = o ，( ，1 ) = o ，t o 初始條件為 s ( o ，z ) = 島( z ) o ，o z 1 ， u ( o ，z ) = t o ( z ) o ，osz 1 ， ( 1 0 ) 釘( o ，z ) = t b ( z ) o ， o z 曼1 對(duì)于此系統(tǒng)，文獻(xiàn)f 1 3 - 1 6 】已經(jīng)給出了很多好的結(jié)果文獻(xiàn)【1 3 】考慮了能動(dòng)性 對(duì)微生物生長(zhǎng)的影響作者借助于分歧理論得到了常數(shù)起始濃度s o ，常值平流 速度r 情況下兩物種共存的充分條件 在自然界中，由于季節(jié)，時(shí)令等影響，營(yíng)養(yǎng)物的起始濃度、物種的擴(kuò)散速度等 等都不是常值為了更好的模擬物種的生長(zhǎng)狀況，研究時(shí)變環(huán)境下的平流反應(yīng)器 模型將很有必要，即在所研究的平流反應(yīng)器模型中營(yíng)養(yǎng)物的起始輸入濃度和平流 速度都是周期函數(shù)類(lèi)似研究時(shí)變環(huán)境下模型的工作可參見(jiàn)文獻(xiàn)【1 2 ，1 7 - 1 9 】現(xiàn)假 定營(yíng)養(yǎng)物的起始輸入濃度鏟( t ) 和平流速度r ( t ) 都是c 1 函數(shù)類(lèi)，具有“，周期， 且在【o ，u 】上是正的則此類(lèi)時(shí)變環(huán)境下的平流器模型可由下列一組反應(yīng)擴(kuò)散方 程來(lái)刻畫(huà) 島= d s 芻一r ( ) 島一 ( s ) t 一廠2 ( s ) t ，o z o ， t t = d u 。一r ( ) t b + ( s ) 讓，0 z o ， 仇= 出k r ( t ) t k + ，2 ( s ) ”，o o ， 砒。( t ，o ) 一r ( t ) u ( t ，o ) = o ，t o ， d t k ( t ，o ) 一r ( ) 釘( t ，o ) = o ，t o ， ( t ，1 ) = o ，( ，1 ) = o ，( t ，1 ) = o ，t o 初始條件為 s ( o ，z ) = 島( z ) o ，札( o ，z ) = t 幻( z ) o ，口( o ，z ) = t 帕( z ) o 本文主要分三章進(jìn)行討論第一章介紹了一些基本概念以及幾個(gè)重要定理 第二章主要是借助文獻(xiàn) 4 】【5 】中利用分歧理論研究平衡態(tài)解的方法，研究n 維 3 l e n 留e l e p s t e i n 模型平衡態(tài)系統(tǒng)的常數(shù)平衡態(tài)解的分歧情況，進(jìn)而得到了n 維 l e n 科出e 釁e i n 模型非常數(shù)共存解的存在條件第三章主要是借助于上下解方 法、賦序b 齟a c l l 空間，競(jìng)爭(zhēng)序關(guān)系，單調(diào)動(dòng)力系統(tǒng)得到了時(shí)變環(huán)境下平流反應(yīng) 器模型共存解存在的充分條件 4 第一章預(yù)備知識(shí) 1 1 引言 本文所要研究的兩類(lèi)模型都是反應(yīng)擴(kuò)散方程為了后續(xù)研究的方便，在本章 第二節(jié)首先介紹一些基本的概念比如上下解，競(jìng)爭(zhēng)序關(guān)系，u 極限集等在本 章第三節(jié)給出了后續(xù)結(jié)論的證明過(guò)程中需要用的幾個(gè)重要定理 令 nn 眈= 一( 咖。，+ 玩( 咖，。；o q ) ， ，= 1t j = 1 b t 正= n 1 ，l + 6 ( z ) 0 a q ) 其中n cj 礦是具有光滑邊界的開(kāi)區(qū)域；，幻c ( q ) ；一l 是q 上的一致橢圓 算子口，6 滿足下列條件 ( 1 ) n = o ，6 = l ；或者( 2 ) 口= 1 ，6 ( z ) o ，6 ( z ) e ( a | q ) ， 幾是a n 的外法向量 令 4n 厶t = 一( 弘f ) “。q + k ( z ，t ) t ， j = l j = l 工t = 弛+ 厶t ，( z ，t ) q ( o ， 叁q r ， 馬u = 口t l l + 6 ( z ，f ) u ，( z ，) a q ( o ，刀壘j s 其中( z ，t ) ，屯( 霸t ) c ( q r ) ，一三是q r 上的拋物算子8 ，6 滿足 ( 1 ) 口= o ，6 = 1 ，或者( 2 ) n = 1 ，6 ( z ，) o 1 2 基本概念 考慮半線性橢圓方程的邊值問(wèn)題 三t = ，( z ，t ) 園= 9 ( z ) p q ) ， 0 鈿) ( 1 2 1 ) 定義1 2 1 上下解若眈2 ，( z ，露) q ) ，b 云9 ( z ) 扛a q ) ，則矗叫做 ( 1 2 1 ) 的上解，若三世，( 茁，墜) 扛q ) ，b 駕9 扛) 扛a q ) ，則碧叫做( 1 2 1 ) 的 下解 5 定義1 2 2 序關(guān)系令置是具有序關(guān)系的b a n a c h 空間，并具有正錐 矸，t = 1 ，2 假定i n t 耐d ，對(duì)于瓤，鼽五，若鼽一甄f ，則稱矗璣若 甄s 挑，且筑鼽，則稱而 雛若仉一置i n t 耐，則稱墨弘 令x 是具有序關(guān)系s 的b a n a c h 空同對(duì)于由x 的兩點(diǎn)口，6 所確定的閉區(qū) 間和開(kāi)區(qū)間分別為 陋，6 】：= c x l c 6 ) ，( n ，6 ) ：= c x 1 8 c h 考慮空間x = 蜀借助于錐k = x 產(chǎn)( 一時(shí)) = x ，耳定義競(jìng)爭(zhēng)序 關(guān)系 定義1 2 3 競(jìng)爭(zhēng)序關(guān)系若z 1 ，現(xiàn)蜀，譏，伽恐，若z 1 z 2 ，| ，1 耽 則( z 1 ，們) s k ( z 2 ，拋) 若 l ，掣1 ) k ( z 2 ，耽) ，( z l ，! ，1 ) ( 勛，拋) ，則( z 1 ，暑f 1 ) j r ( z 2 ，拋) 若z 1 現(xiàn)，! ，1 現(xiàn)，則( z 1 ，! 1 ) ( 耽，耽) 定義1 2 4k 單調(diào)對(duì)于映射t ：x x ，對(duì)于x 的任意兩點(diǎn)勛，z 2 ，若 z l 耳勛能推出? ( z 1 ) k 玎z 2 ) ，貝g 稱映射? 為單調(diào)的若z 1 勛能推出 t ( z 1 ) o o o 和一個(gè)c 1 類(lèi)函數(shù)( b ，妒) ：( 一點(diǎn)6 ) 一r z ，使得6 ( o ) = 6 0 ，驢( o ) = o 當(dāng)i s l o ，滿足j k ( b ) 在o 1 6 6 0 i 時(shí)可逆， 卜一k ) 退化，并且當(dāng)6 0 一e b l b 0 o ，z 【o ，1 】，o s “， 9 第二章維l e n g y e l 一e p s t e i n 模型共存解的存在性 2 1 引言 1 9 5 2 年。英國(guó)著名數(shù)學(xué)家圖靈( a l 齟m a t h i o nn i n g ) 在其著名論文形態(tài)形 成的化學(xué)基礎(chǔ)中，用一個(gè)反應(yīng)擴(kuò)散模型成功地說(shuō)明了某些生物的體表所顯現(xiàn)的 圖紋，提出了擴(kuò)散導(dǎo)致不穩(wěn)定猜想直到1 9 9 0 年，b o r d e a 娃研究小組借助凝膠 反應(yīng)器中的類(lèi)酸與淀粉的反應(yīng)( c h l o f i 協(xié)i o d i d e _ m a l o i l i ca c i d - s t 8 r c hr e 明t i 衄) 給 出了圖靈猜想的實(shí)驗(yàn)證明經(jīng)過(guò)研究，i 朋g y e l 和e p 8 t e i n 發(fā)現(xiàn)此類(lèi)具有五個(gè)變量 的系統(tǒng)中的三個(gè)變量在反應(yīng)過(guò)程中幾乎保持不變，從而把原系統(tǒng)簡(jiǎn)化為一個(gè)2 2 系統(tǒng)：令q t ( z ，) ，影= t ，( z ，) 分別表示時(shí)刻碘離子( i o d i d e ) 和亞氯酸根離子 ( d l l o r i t e ) 的濃度，其l e n g y e i e p s t e i n 模型是下述形式的反應(yīng)擴(kuò)散系統(tǒng) 豢- u + 8 叫一尚，蠔哦 o ， ( 2 - “) 塞= 盯陋+ 咖一南) l ，z q ，t o ， ( 2 1 2 ) 其中為l a a c e 算子；口，6 是與酸的濃度相關(guān)的參數(shù)；c 是擴(kuò)散系數(shù)的比率； 盯 1 ，是與淀粉濃度相關(guān)的調(diào)節(jié)參數(shù)；q 是艫中具有光滑邊界a q 的有界開(kāi)區(qū) 域在此系統(tǒng)中，約定，6 c ，仃均為正常數(shù)。 其邊界條件取為 未= o ，騫= o ，z 鯽，t o ， ( 2 t 1 3 ) 其初值條件取為 牡( z ，o ) ：= t 幻( z ) o ，t ，( z ，o ) = t 砸( z ) o ，z q ，( 2 1 4 ) 其中| ，是q 的單位外法向量，t o ，蜘儼) n 伊( 囝 到目前為止。已經(jīng)有文獻(xiàn)【3 】【4 】對(duì)系統(tǒng)( 2 1 1 ) 一( 2 1 4 ) 的解的情況特別是平 衡態(tài)解的性質(zhì)和存在性問(wèn)題進(jìn)行了深入的研究文獻(xiàn)f 3 】借助于不變集，先驗(yàn)估 計(jì)，度理論研究了非常數(shù)平衡解存在的一些充分條件及其性質(zhì)；文獻(xiàn)f 4 】利用整體 分歧理論和極限系統(tǒng)研究了一維情況下該模型的圖靈斑圖的結(jié)構(gòu)和常數(shù)平衡解的 整體分歧 1 1 本文主要是借助文獻(xiàn)【4 】【5 】中利用分歧理論研究平衡態(tài)解的方法， l e n 斟d e p s 懈n 模型平衡態(tài)系統(tǒng)的常數(shù)平衡態(tài)解的分歧情況 弘2 系統(tǒng)在常數(shù)平衡解的局部分歧 系統(tǒng)( 2 1 1 ) 一( 2 1 3 ) 所對(duì)應(yīng)的平衡態(tài)系統(tǒng)為 牡+ n u 一嵩_ 0 z 咄 d 釕+ 一r 羊= o ，z q ，矗= c 磚 祟：q 宴：0 ，z 勰 a y1 加。 首先考慮特征值問(wèn)題 一咖= a 破z 等_ o z 鋤 則方程( 2 2 4 ) 的所有特征值是按以下順序排列 0 = 。 ， 。 _ o o 研究佗維 ( 2 ，2 1 ) ( 2 ，2 2 ) ( 2 2 3 ) ( 2 2 4 ) 若設(shè)九的代數(shù)重致為觀，其相應(yīng)的規(guī)范化特征函數(shù)為如，1 歹仳，i | 如9 2 = 1 ， 則 ) 是p ( q ) 空間的一組標(biāo)準(zhǔn)正交基 為了敘述方便。文獻(xiàn)【3 】【4 j 中相應(yīng)的一些結(jié)果以下述兩個(gè)引理給出 引理2 2 1 若條件( 日) o 3 q 2 5 口0 6 滿足，則 ( i ) ( 2 1 1 ) 一( 2 1 2 ) 是無(wú)擴(kuò)散項(xiàng)穩(wěn)定的催化抑制系統(tǒng)，其中是催化劑，t ， 是抑制劑； ( i i ) 擴(kuò)= ( 礦，礦) = ( 口，l + a 2 ) ，n = n 5 是( 2 2 1 ) 一( 2 2 3 ) 唯一的常數(shù)平衡 解 令 m 一。叫一品，出一一南 則( 2 ，2 1 ) 一( 2 2 2 ) 可簡(jiǎn)寫(xiě)為 u + ，( ，t ，) = 0 ，z q ， d 釘+ g ( t ， ) = o ，z q ，( 釘) ，9 ( t ，口) 對(duì)t ，釘?shù)钠珜?dǎo)數(shù)在獷的值分別為 ，o 叫= 等，1 叫u ) 一南， 跏= 則卜羔，m = 卅) = 一南 若a 1 ，0 ，定義缸= 屯( 口，n ) 為滿足凡 ，o ，i 如的最大正整數(shù)，那么 1 t 。o 。并令 j = 酏q ) = ，蟲(chóng)d i ，應(yīng)= 南滿 則系統(tǒng)( 2 2 1 ) 一( 2 2 3 ) 的常數(shù)平衡解( 礦，礦) 的局部穩(wěn)定性可根據(jù)有下述引理來(lái) 判別 引理2 2 2 假設(shè)( 日) 成立，若a l ，o 且o o 且足夠小的情況下，能夠保證u ，”是正解 1 3 從而 證明令= d 2 f ( d j ，礦) ，l 1 = d 1 d 2 f ( 由，礦) ，直接計(jì)算可得 = ( 三矗由0 仇) 一= ( ：三) ( 1 ) 假設(shè)e = ( 咖，砂) ( ) ，則把，砂在l 2 的一個(gè)基底 ) 下展開(kāi)可得 廬= 8 巧如，妒= o t ，l j 蔓r m0 蔓蘭。o ，1 莖j 蘭m 蟛；丕觚最( 芝) _ o ，鼠= ( 矗：九m 毛氣) 仁z 腳 經(jīng)過(guò)計(jì)算可知d e t 鼠= 0 的充要條件是由= d 借助已知條件可得 c ，= 8 p a n t e ，e = ( 乏) 咖， 6 j = 學(xué)= 生學(xué) 。 ( 2 ) 經(jīng)過(guò)計(jì)算知工。的伴隨算子瑞為 瑤= ( 支向由0 夕。) 借助于( 1 ) 的方法，可以得到( 瑤) = 8 p a n e ) ， e - ( 泓 巧= 學(xué) o l 1 eg ( l ；) 上 綜合( 1 ) ( 2 ) ( 3 ) ，由局部分歧定理【2 1 i 可知結(jié)論成立 口 1 4 2 。3 系統(tǒng)在常數(shù)平衡解的整體分歧 定理2 3 1 在定理2 2 3 的假設(shè)下，由( 如，礦) 產(chǎn)生的局部分歧可以延拓成 整體分歧 證明令面= t 一口，矛t ，一1 一0 2 ，則( 2 2 1 ) 一( 2 2 2 ) 可以轉(zhuǎn)化為 一蟊= ，o 豇+ ，1 矛+ ，2 ( 矗，矛) ，( 2 3 1 ) 一d 西= 卯矗+ 肌西+ 卯( 豇，西) ，( 2 3 2 ) 其中，2 ( 面，矛) 和啦( 面，矛) 是面和畝的高階導(dǎo)數(shù)部分從而( 2 2 1 ) ( 2 2 2 ) 的常數(shù)平 衡解礦轉(zhuǎn)化成新系統(tǒng)的( o ，o ) 解把( 2 3 1 ) ( 2 3 2 ) 經(jīng)過(guò)如下整理可得 ( 一+ ，0 = 2 ，o 豆+ ，1 矛+ ，2 ，矛) ， ( 一d 一9 1 弦= 珈證+ 啦( 豇，西) 令 g = ( 一+ ，o ) ，g d = ( 一d 一鯫) ， 則有 面一g ( 2 而豇+ ，1 0 ) + g ( ，2 ，西) ) ， 移= g d 豇) + g d ( 9 2 ( 矗，面) ) 令 u = ( 面，o ) ，k ( d ) u = ( 2 ，0 g ( 矗) + g ( 畝) ，跏( 玉( 五) ) ， 日( 療) = ( g ( 厶( 矗，西) ) ，g d ( 蟲(chóng)( 矗，西) ) ) ， 則系統(tǒng)( 2 2 1 ) 一( 2 2 3 ) 可描述為e 中如下方程 u = ( d ) u + 日( u ) ，( 2 3 3 ) 其中( d ) 是e 中的緊算子，對(duì)任意的d o 都成立，h ( 療) = d ( 1 療i ) 也是e 中 的緊算子 ( 1 ) 下證1 是( d j ) 的特征值，并且代數(shù)重?cái)?shù)為1 1 5 由于 c 啪h ，( ：) = 。甘( 竺二裂：怒) _ o ， 從而 ( k ( 出) 一j ) = ( ) = s p a n e 以下驗(yàn)證出m ( k ( d j ) 一，) = 1 設(shè)( 參，驢) ( k ( 如) + 一j ) ，則 2 ，0 g ( ) + 卯g d ( p ) = 以 g ( 廬) = 9 代入g ，g d 的表達(dá)式可得 一嘭 毋= 厶+ 島驢，一9 = 咖，0 p ， 其中 厶= 2 由，0 + 9 1 ，辦= ，l 卯一2 ，o ( 夕1 + 嗎，o ) 由于 ；= 幻，p = 如， 故 蟬；毛s 。聯(lián)( 筆) 刪，目= ( 驢一0 九) 經(jīng)過(guò)計(jì)算可知d e t 研= d e t 馬，從而當(dāng)且僅當(dāng)t = j 時(shí)，d 甙騭= 0 ，故 ( k ( 嗎) 一j ) = s p 缸 ( 2 茅，1 ) 奶) 這表明 e g ( ( k ( d ) ，) ) 上= r ( k ( 由) 一，) 從而 ( k ( 也) 一，) n r ( k ( d j ) 一j ) = o ) ， 即 d i m ( k ( d j ) 一j ) = 1 1 6 ( 2 ) 若o d 也是在嘭的一個(gè)足夠小的鄰域里，則，一( d ) ：e e 是雙 射，并且對(duì)于固定的d ，0 是，一( 回一打的孤立零點(diǎn)，其指標(biāo)為 i n d 麟( ，一j r ( d ) 一只( d ，o ) ) = d e g ( ，一k ( d ) ，b ，o ) = ( 一1 ) p ， 其中b 是以0 為球心的足夠小的球，p 是算子耳( d ) 所有大于1 的特征值的代數(shù) 重?cái)?shù)之和( 參見(jiàn)文獻(xiàn)【2 2 】) 假設(shè)p 是k ( 回的一個(gè)特征值，其相應(yīng)的一個(gè)特征函數(shù) 為( 事，9 ) ，則有 一p = 【2 一p ) ，0 + ，1 驢， 一d p 驢= 冊(cè)聲+ 9 1 p 9 借助 西= 鋤，驢= b 可知 蟛毛鯫( 。叫娑叫知坳二咖九) ( 芝) 鋤一o 因此k ( 回的所有特征值滿足如下特征方程 ( + 九) p 2 2 ，o p 一面搴當(dāng)五= o ( 2 3 - 4 ) 特別地，當(dāng)d = d j 時(shí)，若p = 1 是方程( 2 3 4 ) 的一個(gè)根，則有嗎= 以，由假設(shè) 條件可知t = j 因此對(duì)于所有出附近的d ，k ( d ) 大于1 的特征值的數(shù)目是一樣 的，并且有相同的代數(shù)重?cái)?shù)在方程( 2 3 4 ) 中，令i = 歹，p