（應(yīng)用數(shù)學(xué)專業(yè)論文）三角形參數(shù)域上的超限插值.pdf

摘要 本文對近年來眾多學(xué)者對超限插值方法在三角形參數(shù)域上運用的主要研究成果進(jìn)行 了實質(zhì)性綜述，并就三角形參數(shù)域上的超限插值方法作了一些創(chuàng)新研究 首先，介紹了文章的選題背景，對該方法的產(chǎn)生、發(fā)展及應(yīng)用的過程作了簡要介紹， 同時對文章的結(jié)構(gòu)作了合理化安排 其次，討論了三角形參數(shù)域上超限插值的一般理論介紹了邊邊格式；從伊情況入 手，構(gòu)造布爾和算子，通過運用 o ，l 】區(qū)間上的h e n n i t e 插值基函數(shù)推廣到a _ 的情況， 在此過程中提出了相容性條件即被插函數(shù)在角點處混合偏導(dǎo)數(shù)可交換并給出了排除相 容性條件限制的方法同時又介紹了邊頂點格式，同樣先介紹了伊情況，通過運用【o ，1 區(qū)間上的兩點三次h e r m i t e 插值基函數(shù)，在基于b r o w n 和l i t t l e 技巧的情況下，構(gòu)造了 g 1 插值算子，并給出了為避開角點相容性所構(gòu)造的插值算子同時借助于g r e 9 0 r y 權(quán)函 數(shù)，也構(gòu)造了a - 插值算子 再次，對三角形參數(shù)域上超限插值的一般理論的應(yīng)用作出詳盡介紹，這里首先將該 理論應(yīng)用到多項式布爾和超限插值，即用多項式混合函數(shù)代替有理權(quán)函數(shù)其次介紹了 曲邊三角形超限插值，即斜邊為曲線的三角形，該應(yīng)用擴大了一般理論的適用范圍再 次介紹了幾何超限插值，構(gòu)造了一種不僅在三角形邊界上插值函數(shù)值和偏微商，而且插 值曲面的曲率的插值算子，使得插值曲面在彎曲程度上有更好的插值性質(zhì)最后介紹了 內(nèi)部超限插值，使得插值曲面在邊界上插值函數(shù)值和偏微商的基礎(chǔ)上，在內(nèi)部任意一點 也具有良好的插值性質(zhì) 然后，由于三角形內(nèi)任意一點的取法與傳統(tǒng)不同，得到了兩組不同的點，也因此得 到了特殊的超限插值算子，它們的張量積和布爾和在三角形的頂點及某些邊上具有插值 性質(zhì) 傳統(tǒng)的理論都是在給定三角形上曲面函數(shù)的基礎(chǔ)上完成的，最后，我們完成了b b g 格式的實用推廣，即在曲面函數(shù)未知，僅僅已知三角形上的邊界曲線函數(shù)以及邊界導(dǎo)曲 線函數(shù)的情況下，超限插值曲面的構(gòu)造，同時提出了超限插值的信息相容條件 關(guān)鍵詞：三角形域，超限插值，布爾和，相容性條件，信息相容 a b s t r a c t t h ep u r p o s eo ft h i sp a p e rl st od o s u b s t a n t i v es u m m 盯ya b o u tt h em 撕na c h i e v e m e n t s i nr e c e n t ”a r s ，a n dt h ec r e a t i v er e s e a r c ha b o u tt h ep a r a m e t r i cb l e n d i n gi n t e r p o l a t i o no n t r i a n g l e s a t i r s t ，m a i n l yi n t r o d u c e dt h ea r t i c l es e l e c t e dt o p i cb a c k g r o u da n d t h ep r o d u c t i o n ，t h ed e v e l o p m e n ta n dt h ea p p l i c a t i o no ft h i st h e o r y w bh a sm a d et h er a t i o n a l i z a t i o n a r r a n g e m e n tt ot h ea r t i c l es t r u c t u r ea tt h e8 a m et i m e s e c o n d ly 1 、耽d i s c u s st h eg e n e r a lt h e o r y 曲o u tt h ep a r a m e t r i cb l e n d i n gi n t e r p 0 1 a t i o n o nt h et r i a n 9 1 e s w em a k ec o n c r e t ea n 酊y s i 8w i t hr e g a r dt o8 i d e s i d em e t h o d n o mt h e e os i t u a t i o n ，t h eb o o l e a ns u mo p e r a t o rw a sc o n s t r u c t e d i tw a se x t e n d e dt oe 一1s h u a t i o nt h r o u g hh e r m i t ei n t e r p 0 1 a t i o np r i m a qf u n c t i o n i nt h i sp r o c e s s ，t h ec o m p a t i b i l i t y c o n d i t i o nw a 8p r o p o s e d n a m e l yi st h em i x - p a r t i a ld e r i v a t i v eo ft h ef u n c t i o nt ob ep o s s i b l et oe x c h a n g ei nt h ev e r t e x a tt h es a m et i m et h em e t h o do fr e m o v e dt h ec o m p a t i b l e c o n d i t i o n sw a sp r o d u c e d t h e nt h es i d e v e r t e xm e t h o di si n t r o d u c e d s i m i l a r l yf i r s t i n t r o d u c e dt h eg os i t u a t i o na n dt h r o u g hh e r m i t ei n t e r p o l a t i o np r i m a r yf h n c t i o nb a s e d o nb r o w na n di nt h el i t t l es 姐ls i t u a t i o n ，g 1i n t e r p o l a t i o no p e r a t o r i sc o 瑚t r u c t e d ，a n di n 0 r d e rt oa v o i d i n gt h ev e r t e xc o m p a t i b i l i t y ，t h ei n t e r p o l a t i o no p e r 8 t o ri sc o n s t r u c t e d a t t h es a m et i m ed r a w s8 u p p o r tt h eg r e g o r yw e i g h tf u n c t i o n ，a l s os t r u c t u r eg 1i n t e r p 0 1 a t i o n 0 p e r a t o r t h i r d l y lw ei n t r o d u c et h ea p p l i c a t i o no ft h eg e n e r a lt h e o r ya b o u tt h ep a r a m e t r i c b l e n d i n gi n t e r p o l a t i o no nt r i a n g l e s t h e ya r ep o l y n o m i db l e n d i n gi n t e r p o l a t i o n ，t 1 1 e t r i a n g l ew h i c ho n es i d ei sc u r v e ，t h eg e o m e t r yb l e n d i n gi n t e r p o l a t i o n ，a n dt h ei n t e r i o r b l e n d i n gi n t e r p o l a t i o n t h e n ，w et a k et w og r o u pp o i n t sd i 踮r e n tf r o mw i t ht h et r a d i t i o nm e t h o d a l s o t h e r e f b r eo b t a i n e dt h es p e c i a lt h eb l e n d i n gi n t e r p o l a t i o no p e r a 土o r t h e i rt e n s o rp r o d u c t a n db 0 0 1 e a ns u ma tt h ec e r t 越ns i d eo nh a st h ei n t e r p o l a t i o nn a t u r ei nt h et r i a n g l e a l l t h et r a d i t i o n a lt h e o r yi sb a s e do nc u r v e ds u r f a c ef u n c t i o nd e 矗n e do nt h et r i a n 9 1 e s f i n a l l nw ee x t e n db b gt op r a c t i c “n a m e l yi nc u r v e ds u r f a c ef u n c t i o nu n k n o w n ，m e r e l y i nt h ek n o w nt r i a n 日eb o u n d a r yc u r v ef i l n c t i o na 8w e l la si t h eb o u n d a r yg u i d ec u r v e f u n c t i o ns i t u a t i o n w ep r o d u c et h en e wt h eb l e n d i n gi n t e r p o l a t i o ns u r f a c e a tt h es a m e t i m e ，w ep r o p o s et h ei n f o r m a t i o nc o m p a t i b i l i t yc o n d i t i o no ft h eb l e n d i n gi n t e r p 0 1 a t i o n k e y w o r d s ：t r i a n g l e s ，b l e n d i n gi n t e r p o l a t e ，b o o l e a ns u m ，c o m p a t i b i l i t yc o n d i t i o n i i 學(xué)位論文版權(quán)使用授權(quán)書 本學(xué)位論文作者完全了解東北師范大學(xué)有關(guān)保留、使用學(xué)位論文的規(guī) 定，即：東北師范大學(xué)有權(quán)保留并向國家有關(guān)部門或機構(gòu)送交學(xué)位論文的復(fù) 印件和磁盤，允許論文被查閱和借閱。本人授權(quán)東北師范大學(xué)可以將學(xué)位論 文的全部或部分內(nèi)容編入有關(guān)數(shù)據(jù)庫進(jìn)行檢索，可以采用影印、縮印或其它 復(fù)制手段保存、匯編學(xué)位論文。 ( 保密的學(xué)位論文在解密后適用本授權(quán)書) 學(xué)位論文作者簽名：主丑魚姿 指導(dǎo)教師簽名：數(shù) 日 期：塑! ! 多7 日期：2 生! ：j 1 學(xué)位論文作者畢業(yè)后去向： 工作單位：盎基堊楚盔璧攫鱟遺 通訊地址：疊疊盤l 疆囡盛量癌 電話：幽2 鰳； 郵編：三塹! 塑 第一章緒論 自由型曲線曲面因不能由畫法幾何與機械制圖方法表達(dá)清楚，而使自由型曲線曲面 形狀的描述問題成為眾多學(xué)者及工程師們所研究的熱點問題 有理方法中最廣為流行的是非均勻有理b 櫸條。是美國錫拉丘茲大學(xué)的v e r s p r i l l e 在 他的博士論文f 8 0 】中提出來的，使非有理與有理貝齊爾曲線曲面和非有理b 樣條都被統(tǒng) 一起來 對一般的非有理方法，人們都采用張量積的參數(shù)多項式與分片參數(shù)多項式來描述曲 面，c o o n s i 州采用分片曲面拼合來構(gòu)造復(fù)雜曲面，其中關(guān)鍵問題是如何構(gòu)造出各種類型 的曲面片，使之便于拼合，讓曲面設(shè)計變得簡單易行，他的獨到之處就在于構(gòu)造組成復(fù) 雜組合曲面的曲面片上，與其他曲面構(gòu)造方法不同的是；c o 一直接采用可以是任意類 型參數(shù)曲線的四條邊界曲線來構(gòu)造曲面，即c o o n s 曲面不是插值邊界曲線上有限的數(shù)據(jù) 信息，而是插值兩組邊界上無限多個點為了使構(gòu)造出來的曲面片易于光滑拼臺，c 。m 又給邊界髓線加上跨界導(dǎo)矢信息，使曲面不僅插值于四條邊界，也插值于邊界的跨界導(dǎo) 矢 g 0 r d o n i 2 稱這種方法為超限插值，他給出g o o n s 曲面嚴(yán)密的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)，將g o o n s 曲 面解釋為布爾和曲面，并將之推廣用于擂值在三維空間的曲線網(wǎng)格，如同貝齊爾方法僅 僅處理單一曲面片而b 祥條方法同時處理多個曲面片一樣，這種超限插值方法即插值節(jié) 點集是不可數(shù)點集，在曲面造型、函數(shù)逼近和有限元分析中都發(fā)揮著舉足輕重的作用 在g a d 系統(tǒng)中的曲面大多定義在矩形域上，其主要原因要追溯到曲面設(shè)計的最初 應(yīng)用上，當(dāng)初設(shè)計的汽車與飛機機身等物體的外形曲面均具有內(nèi)在的矩形結(jié)構(gòu)，這導(dǎo)致 早期系統(tǒng)都圍繞矩形曲面片建立后來在一些更復(fù)雜的零件造型中，矩形曲面片與矩形 拓?fù)涞木? 匣性就暴露出來，然而，修改現(xiàn)有的系統(tǒng)要比完全的集成新的方案容易得多， 這使得非矩形曲面片即所謂m 邊曲面片難以在c a d 系統(tǒng)中普及，因此n 邊曲面片一 直是一個廣泛研究的題目 鑒于三角形元較四邊形元更方便，適應(yīng)性更強，并且有些曲面本身含有一些不可去 的三角曲面片，對三角域上的超限插值曲面間疆的研究就尤為熏要三角形參數(shù)域上的 超限擂值曲面的構(gòu)造方法分為兩種：邊邊格式和邊頂點格式 邊邊格式的超限插值曲面問題最早可以追溯到1 9 7 3 年，由b n h l l i ，b i r k h o 仃和g o r d o n p 提出運用布爾和的方法構(gòu)造三角形的邊界曲線上的插值算于，由于線性插值所形成的拼 接曲面是不理想的，它含有許多棱線，b ”n h i l l q 隨后做了進(jìn)一步完善，在線性的基礎(chǔ) 上，構(gòu)造了插值邊界函數(shù)值及一階偏微商的插值算子，并提出了相容性條件。同時用多 項式混合函數(shù)代替了有理混合函數(shù)，并證明了只要算子滿足一定條件，它們的布爾和就 能夠在三角形邊界上插值函數(shù)f ，逸不失為一種尋找插值算子的方法，并將這種方法運 用到瞌邊三角形即斜邊為曲線的情況針對相啻陸條件，1 9 m 年，g r e g o r y 【4 j 給出了經(jīng) 過修正的插值算子b m n h i l l 與m a n s 她i d 嘲證明了只要f 的某些確定的微商在頂點處是 相容的，( h o 毋壚插值f g “1 a ( t ) 與它所有邊界上s 1 階的偏微商 1 9 7 5 年，b a r n h m 和g r e 9 0 r y 嘲指出，在保持插值性質(zhì)和插值精度的前提下，去掉了 1 9 7 5 年，b a r n h m 和g r e 9 0 r y 問指出，在保持插值性質(zhì)和插值精度的前提下，去掉了 頂點的相容性 以上這些方法的共同的特點是在三角形的兩條邊上構(gòu)造滿足插值條件的三個插值算 子，運用這三個算子的布爾和來構(gòu)造三角形曲面片 三角形參數(shù)域上的超限插值的另一種方法是邊頂點插值，n i e l s o n 7 】提出線性插值算 子及插值邊界函數(shù)值和一階偏微商的插值算子，在n i e l s o n 的基礎(chǔ)上，h a g e n 【8 給出了一 個構(gòu)造幾何曲面拼接的新方法，這個結(jié)果又被h a g e n 【14 】和n i e l s o n 1 6 】推廣到構(gòu)造一階、 二階幾何連續(xù)的三角形曲面片，這些方法的共同特點是三個插值算子僅插值三角形的邊 界 2 0 0 2 年，在【9 中，給出了一種通過對一個內(nèi)部插值算子與三個邊頂點插值算子的 組合來實現(xiàn)不僅在邊界上插值，并且插值三角形的內(nèi)部區(qū)域的方法 由于三角形曲面片適應(yīng)不規(guī)則與散亂數(shù)據(jù)幾何造型，適應(yīng)于有限元分析中廣泛應(yīng)用 的三邊形元素，并且它具有構(gòu)造復(fù)雜形狀的潛力，在將來仍會獲得廣泛的應(yīng)用。以上三 角形參數(shù)域上的超限插值方法都需要已知定義在三角形邊界上的二元曲面函數(shù)f 以及它 的偏微商，而在實際應(yīng)用中，往往僅僅已知定義三角形邊界上的二元曲線函數(shù)，基于此 我們做了b b g 格式的實用推廣，又提出了更實用便捷的超限插值方法 本文接下來的文章結(jié)構(gòu)安排如下：在第二章中闡述三角形參數(shù)域上超限插值的一般 理論，就邊邊格式以及邊頂點格式的插值理論進(jìn)行了詳細(xì)的分析與研究，第三章介紹了 近年來人們對三角形參數(shù)域上超限插值一般理論的推廣和應(yīng)用，它們分別是多項式布爾 和超限插值，曲邊三角形超限插值，幾何超限插值以及內(nèi)部超限插值等第四章中，由 于三角形內(nèi)任意一點的取法與傳統(tǒng)不同，得到了兩組不同的點，也因此得到了特殊的超 限插值算子，它們的張量積和布爾和在三角形的頂點及某些邊上具有插值性質(zhì)在第五 章中，我們提出了在被插函數(shù)f 未知，僅僅已知三角形邊界上曲線函數(shù)的情況下構(gòu)造的 超限插值算子，并給出了這種情況下的信息相容條件 2 第二章三角形參數(shù)域上超限插值的一般理論 5 1 邊邊格式超限插值 如何來構(gòu)造一個邊邊格式的超限插值曲面呢? 在三角形的內(nèi)部任取一點，沿著過該 點所作的平行邊島的線段，關(guān)于函數(shù)f 在其他兩邊上所取的值上做插值，并利用布爾和 給出三角形元上的超限插值公式，它們分別是g o 和e _ 1 插值公式 首先遇到的問題就是三角形參數(shù)域內(nèi)的一點怎樣表示，它只與蘭個頂點的位置有關(guān)， 直角坐標(biāo)在這里并不適用，將用到重心坐標(biāo)陽0 | ，我們總是認(rèn)為t 為標(biāo)準(zhǔn)三角形，= ( o ，1 ) ，u = ( 1 ，o ) ，= ( o ，o ) ，所對應(yīng)的邊為e t ，任意其他三角形可以通過仿射變換由t 得到，并且在這種變化下，多項式和有理最數(shù)的次數(shù)以及遭近階保持不變，下面的面積坐 標(biāo)變換將p q 平面上的標(biāo)準(zhǔn)三角形t 映射為。平面上的普通三角形一 z = z 佃，q ) = 茁3 + 忙1 一石3 ) p + ( 髫2 一茁3 ) q ， = ( p ，q ) = 船+ ( 口1 一3 ) p + ( 9 2 一9 3 ) 口 即= $ l p + 。2 口+ z a r ，= 1 p + 2 9 + 9 3r p + g + r = 1 乜，吼r ) 是三角形“的重心坐 標(biāo)，重心坐標(biāo)與面積坐標(biāo)是一致的，即p = a i a ，q = a 2 似，r = a 3 a a 1 是以巧 為頂點的三角形的面積，a 2 是以y 為頂點的三角形的面積，a 3 是以v7 “為 頂點的三角形的面積，則( p ，吼r ) 為點( z ，) 的面積坐標(biāo)，面積坐標(biāo)是一個仿射不變量 1 g o 超限插僵 定義2 1 1 【1 0 令t 為標(biāo)準(zhǔn)三角形，對于給定的二元函數(shù)f ，q ) g ( 衍) ，稱 p l 啦 q ) = 寄f ( 0 + 南f ( 1 咱口) 1 馬 捌如，g ) = 害f ( p ，o ) + 擊f ( p ，l p ) ； p 3 【f 】( p ，口) 2 歹芊百f ( p + g ，o ) + 歹幸i f ( o ，p + g ) 為三角形參數(shù)域上的線性插值算子 由只 f 】的定義可以看出，p i 【f 是沿著過點缸q ) t ，所作的平行邊e i 的線段，關(guān) 于函數(shù)f 在其他兩邊上所取的值做成的兩點線性插值函數(shù) 我們做如下定義： 定義2 1 2 稱( p oq ) 舊( p ，q ) = p q 【f ”( p ，口) 為算子p 與q 的張量積； 稱( p oq ) f 掃，g ) = p f ( p ，q ) + q 【f 】0 ，q ) 一( poq ) 【f 】0 ，g ) 為算子p 與q 的布爾和 張量積的性質(zhì)；只。馬弓。p i 即算子不可交換，e j 這是因為：以p 1 ，p 2 為例， ( p 1 。p 2 ) f 明慨口) = ( 1 一p g ) f ( 0 ，o ) + 旦 圣口f ( 。，1 ) + r 與f ( i g ，q ) 3 ( p 2 。只) f ( p ，q ) = ( 1 一p g ) f ( 。，。) + ! 蘭尹p f ( 1 ，。) + r 與f ( p ，1 一p ) 而在t 的三邊上，( 只。弓) 【f = ( 馬。毋) 【f ，此外o 只) f 】= 只 f 當(dāng)i ，j ，各不相同 時， ( p l 。弓o r ) f 】= ( p 1 。p 2 。p 3 ) 【卅= ( 1 一p g ) f ( o ，o ) + p f ( 1 ，o ) + q f ( o ，1 ) 定理2 1 1 1 】( 只。馬) f 在t 的邊界a t 上插值函數(shù)值f 證明【1 0 】：只就( p 1op 2 ) f 】來討論，其他情形類似 ( p 1 。馴f 】= 寄f ( o 間+ 焉! 地0 ) + 南地1 - p ) 一三亍蘭尹q f ( 。，1 ) 一( 1 一p 一口) f ( 0 ，? ) 當(dāng)g = o ，p 1 時，( 且op 2 ) 【明連續(xù)且( 尸1 0p 2 ) f 】，0 ) = f ，o ) ；當(dāng)p = o ，口1 時， ( p 1 0p 2 ) f 】連續(xù)且( p 1 0p 2 ) f 】( o ，g ) = f ( o ，q ) 即在斜邊除去t 的兩頂點外，( p 1 0p 2 ) 用 連續(xù)且( p 1o 尸2 ) 【f 】( p ，q ) = f 0 ，1 一p ) ；當(dāng)( p l g ) _ ( 1 ，o ) 與，q ) _ + ( o ，1 ) 時，( p lop 2 ) 【f 的極限分別為f ( 1 ，o ) 與f ( 0 ，1 ) 以0 ，q ) 寸( 1 ，o ) 為例，由f 0 ，q ) g ( 甜) 知： f ( o ，q ) = f ( o ，o ) + e 1 ( p ，g ) ，f 掃，0 ) = f ( 1 ，o ) + e 2 ( p ，q ) ， f ，l p ) = f ( 1 ，o ) + 3 ( p ，g ) ， 且當(dāng)( p ，g ) _ ( 1 ，0 ) 時，m 口z s 1 ( p ，口) l ，i e 2 ( p ，g ) i ，l e 3 ( p ，g ) i ) 葉0 故， 1 m 、( p 1op 2 ) f - f ( o ，1 ) 當(dāng)( n g ) _ ( o ，1 ) 時證明類似，證畢 在實際應(yīng)用中，常用o 島) 【f 】的凸組合來插值f o ，口) ，對于任給的非負(fù)權(quán)函數(shù) 。玎( p ，口) 滿足o 甜( p ，口) = l ，則函數(shù) o 巧，g ) ( p fo 巧) 舊在t 的邊界上插值 4 j = l ，z 蘆t ，= l ，z ，3 f 0 ，g ) ，如果取n 玎0 ，口) = ，則有如下定理： 定理2 1 2 ”】設(shè)q = 瓠p l + p 2 + p 3 一p 1 op 2o 尸3 則q 是g ( t ) 上的一個算子，且 對任意的函數(shù)f g ( t ) ，函數(shù)斜f 】在8 r 上插值f 證明， n 3 1， 0 2 ；最一；最。b = ；最。島- l ，l 7 證畢 線性分片插值是三角形上插值的一個最簡單的例子，具有局部化、計算簡便和連續(xù) 性等優(yōu)點通過上面的定理可以看出布爾和算子在三角形邊界上的插值性質(zhì) 2 g 一1 超限插值 由于線性插值所形成的拼接曲面是不理想的，它含有許多棱線，因此需要構(gòu)造另一 種插值函數(shù)，當(dāng)它跨過三角形元的邊界進(jìn)入鄰接的三角形元時，其法向?qū)?shù)是連續(xù)的， 那么就需要構(gòu)造三個h e r m i t e 插值算子那么如何來構(gòu)造一個g 一1 的超限插值曲面呢? 同樣，關(guān)鍵之處仍在于如何構(gòu)造插值算子 4 定義2 1 3 6 令? 為標(biāo)準(zhǔn)三角形，對于給定的二元函數(shù)f 慨q ) e ( a t ) ，稱 p 1 【f 】( p ，q ) p 2 f ( p ，g ) p 3 f 】0 ，q ) = 口 l d 口 l p p p + q ( 1 一g ) 最，。( o ，q ) + 哦r 筆) ( 1 一g ) 最，。( 1 一q ，g ) 4 = u ( 1 一p ) f o ，i o ，o ) + 慨r 筆) ( 1 一p ) 。f 0 ，t ，1 一p ) 掃刊钷鑫一爭m p + 似煮蚺q ) l 嘻一扣1 ( p 帆o ) 為三角形參數(shù)域上的g 一超限插值算子 這里，忱( o ) ，他( t ) = ( 一1 ) 協(xié)( 1 一t ) 是【o ，l 】區(qū)間上的h e r m i t e 插值基函數(shù) 妒p ( o ) = d ，背( 1 ) = o ， o ，j + 1 容易看出，h e r m i t e 插值算子只( i = 1 ，2 ，3 ) 是沿著過點慨g ) t 且平行于邊e i 的 直線定義在三角形的其他兩條邊勺，e 女上，( i ，= l ，2 ，3 ；t j 女 ) ，且只 f 在邊 勺，e 上插值函數(shù)f a 1 1 ( a t ) 和它的階數(shù)s 一1 的方向微商 定理2 1 3 【6 】若f ，q ) g 肛1 ( 訂) ，且在三角形t 的頂點k 處滿足相容性條件： 纂= 器哪 ；m 其中k 為第t 邊與第j 邊共同的頂點，蠢表示沿第i 邊的方向?qū)?shù)，則( 只。島) 【f 在 t 的邊界砑上，插值f 以及全部小于或等于一1 階的偏微商 證明m o 】：我們僅就情形( p 1o 島) 予以證明首先由于f 一( 只op 2 ) 卅= ( j p 1 ) ( j p 2 ) 【用( 其中j 表示恒等算子) ，所以在邊p = 0 和l p g = o 上定理的結(jié)論為 真其次由于( p 1op 2 ) 【f 】= 砰+ p 2 一砰p 2 ，這里礙表示在算子馬中含有第t 邊的點的 項所以f 一( p 1op 2 ) f 】= u p 2 ) 【明一砰( j p 2 ) f 顯然在邊口= o 上，口一p 2 ) f 及 它的階數(shù)一1 的法向微商均為0 故余下只需證明，在邊q = o 上， 魚! ! 塾學(xué)( p ，o ) ：o ，o j 一1 容易看出 邪_ p 2 ) f = 善忱( 南) ( 1 刊懶咖h 學(xué)) ( o 瑚 ， 同時 ( 鐠) ( 0 j 驢( 錯) ( o i o ) _ ( 警) ( o ，o ) ) 唆佻乩 在上式中微商換序是允許的，因為當(dāng)f g 一1 ( a t ) 時，可以證明p 2 f 在( o ，o ) 點是 一1 次連續(xù)可微的，由l e i b n i z 公式有 ( 學(xué)) ，= 壺鬟麒籌忱c 白”) ， 詹= 1 c ：一七、， 。1 1 妒 妒 妒 篇囂瑚 ( 籌( 等) ) ( 0 ) o ) _ ( 岳( 籌) ) ( o ，o ) 在以上推導(dǎo)中，由于f g 一1 ( a t ) ，所以當(dāng)o t + 一l 時，f 的混合偏微商( 階數(shù) 蘭_ 一1 ) 是相容的( 可以換序的) ，并因此原來的合式盤1 ；：。退化為i ：。星采k 依定理條件 ( 蒜( 籌) ) ( 0 ，0 ) _ ( 嘉( 霧) ) ( 0 ，哦啪 那么p 2 f 插值在億上f 以及所有階偏微商 ；吾吲刪，( 殺 未一期f ) c 叭h ；東鼬c 訓(xùn)，( 豪 嘉一期f ) 。， + ；三訛計( 籌) ( o 。) 是平行于三角形三條邊的2 + 1 次多項式插值算子，這里吼，島，j ，m j 是合適的基函 數(shù)當(dāng)= 1 時，該算子是三三次多項式插值算子p6 | ，對一般的，算子的存在性成 立吼對所有的l q ls ，螄，o ( 。，) + 風(fēng)o ( 茹，們+ 伽o ( z ，們：1 ， ( d 。伽，o ) ( 毋) = d 。風(fēng)o ( 毋) = d 。伽，o ( 瑪) = o ( d 。血o ，。) ( e 1 ) 表示d “o ：o ，o ( 。，可) 在邊蜀上的值，等等因此 ( a o ，o + 島，o ) ( 島) = 1 ， ( d “ 。o ，o + 風(fēng)，o 】) ( e 3 ) = o ， 1sl a l p 1 f 】= a 叩( z ，可) 巧 f + 島，o 霹 f 彳a 叩( 哪) 扛+ 一1 ) u ( 茹，1 一。) + 島，。( 。，g ) ( 茁+ 一1 ) i 只，。( 1 一舢) j ； 該算子在n = 瑪上插值f c ( 亍) 和它的s 階偏微商 ( p lop 2 ) 【f 在三角 形的邊界上插值函數(shù)f 以及的偏微商 1 0 5 2 曲邊三角形上的超限插值 將超限插值的一般理論應(yīng)用于一邊為曲線的三角形上，擴大了一般理論的適用范圍， 給實際應(yīng)用又增添了許多方便 考慮頂點為u = ( o ，1 ) ，k = ( 1 ，o ) ，k = ( o ，o ) ，兩直角邊分別平行于坐標(biāo)軸，沒k 所對的邊島是由一一映射函數(shù)定義的曲線，即g = ，( z ) ，口= g ( ) ，g 是函數(shù)，的逆映 射此時島上的t a y i o r 算子矧為雩 f 】= t s _ k g ( ) p e ，。( 9 ( 可) ，9 ) ，露 卅： j s b 一，扛) p 昂( z ，( z ) ) 基函數(shù)劬，o o ，) ，阮，o 和，) 有性質(zhì)：對i 最 【o ，o ( 1 ，( 。) ，g ) + 島，o ( 1 一，( 石) ，) ( ) = l ， d 。0 f o ，o ( 1 一，( 茹) ，咖+ & ，o ( 1 ，( 。) ，y ) 】( 蜀) = o ， 則 p l 卅2 o ，o ( 1 一，( $ ) ，) 譬【f 】+ 島，o ( 1 一，扛) ，) 霹 f 相應(yīng)的p 1 f 】也有下面的形式： p l f j2a o ，o ( 。，1 9 0 ) ) 雩 f + 風(fēng)o ( 茁，1 9 ( v ) ) 霹【f ， 最f f j = ( 霉。巧) f 】= z 。只，。( o ，v ) + 9 f o j ( 茁，o ) t蔓n|!n 一；影( 籌) ( 0 ，o ) t j s o 布爾和函數(shù)( p lo 懇) f 用在曲邊三角形上插值函數(shù)f 5 3 幾何超限插值 定義3 3 1 8 j 設(shè)l ，：，- 驢是一個空間曲線口= 【o ，1 ) ，定義算子 g 日( y ) = 甄( t ) y ( i ) + 鼠( t ) y ( i ) + g i ( t ) 【y ( t ) ，y ”( i ) ，y ( t ) 4 = 0 - l 稱為幾何h e r m i t e 算子，這里 凰( t ) = 一6 t 5 + 1 5 伊一l o t 3 + 1 ，島( ) = 一3 t 5 + 8 一一6 f 3 + t ， h l ( t ) = 6 t 5 1 5 t 4 + 1 0 t 3 ， 皿( t ) ：一3 5 + 7 礦一4 3 g o ( t ) = ( 一t 5 + 3 t 4 3 3 + t 2 ) 2j ly ( o ) m g i ( t ) = ( 礦一2 4 + 壚) 2f ly + ( 1 ) f | 對忍( 糾= f 0 & + ( 1 一t ) k ) ，i = 1 ，2 ，3 ，運用幾何h e r m i t e 算子，設(shè)t ：1 6 ， & = ( 1 一弓) k + 礙，定義算子 p f = 凰( 1 6 ；) f ( k ) + 皿( 1 6 i ) f ( & ) + 凰( 1 6 i ) ( o ) + 直。( 1 一晚) 冗：( 1 ) + g o ( 1 一饑) 【磋( o ) ，( o ) 】，磁( o ) 】+ g t ( 1 一以) 【r ：( 1 ) ，毯( 1 ) 】，兄：( 1 ) j 1 1 ：虹型型崔芝幽艘：砭( ) 廈( 1 ) ：虹型攀崔芝幽趔：廈( & ) r ：( o ) ，硝( o ) ，r ：( o ) = i i 砭( o ) i | 4 ( 乜v ( k ) ( k ) + ( 饑) ( k ) ，砭( o ) 1 ) ， 廈( 1 ) ，毯( 1 ) j ，砭( 1 ) = j fr ：( 1 ) | | 4 ( b ( & ) ( 最) + ( & ) ( & ) ，r ，( 1 ) ) 定理3 3 1 【8 】設(shè)t 是一個任意三角形，f c 孕，這里 餅= f ：f