（應(yīng)用數(shù)學(xué)專業(yè)論文）skyrmelike磁單極子的數(shù)學(xué)分析.pdf

河南大學(xué)碩士學(xué)位論文 摘要 本文我們用變分法證明了球?qū)ΨQ磁單極子解的存在性，討論了能量極小解的性 質(zhì)特別的，在參數(shù)k 為0 時，我們得到t b p s 磁單極子方程，研究t b p s 解的一些性 質(zhì)，最后，我們證明了當(dāng)參數(shù)k 趨于0 時，s k y r m e - l i k e 磁單極子解一致的趨于b p s 解 關(guān)鍵詞：s k y r m e - l i k e 磁單極子，變分法，b p s 方程 a b s t r a c t i nt h i sp a p e r ，w ed i s c u s st h a tt h es p h e r i c a l l ys y m m e t r i cm o n o p o l es o l u t i o ni se x i s - t e n c eb yv a r i a t i o n a lm e t h o d ，a tt h es a m et i m ew ef i n ds o m ep r o p e r t i e so fe n e r g y - m i n i m i z e s o l u t i o n e s p e c i a l l y , w h e nt h ek = 0 ，w eg e tb p sm o n o p o l e se q u a t i o n s ，w er e s e a r c hs o m e p r o p e r t i e sa b o u tb p ss o l u t i o n f i n a l l yw en o t et h a ta st h ep a r a m e t e rk 一0t h es k y r m e - l i k em o n o p o l ea p p r o a c ht h eb o g o m o l n y i - p r a s a d s o m m e r f i e l d ( b p s ) s o l u t i o nu n i f o r m l y k e y w o r d s ：s k y r m e - l i k em o n o p o l e ，v a r i a t i o n a lm e t h o d ，b p se q u a t i o n s i i 關(guān)于學(xué)位論文獨(dú)立完成和內(nèi)容創(chuàng)新的聲明 本人向河南大學(xué)提出碩士學(xué)位中請。本人鄭重聲明：所呈交的學(xué)位論文是 本人在導(dǎo)師的指導(dǎo)下獨(dú)立完成的，對所研究的課題有新的見解。據(jù)我所知，除 文中特別加以說明、標(biāo)注和致謝的地方外，論文中不包括其他人已經(jīng)發(fā)表或撰 寫過的研無威果，也不包括其他人為獲得任何教育、科研機(jī)構(gòu)的學(xué)位或證書而 使用過的材料。與我一同工作的同事對本研究所做的任何貢獻(xiàn)均已在論文中作 了明確的說明并表示了謝意。，氟j，”、t 一 學(xué)位孛簸一。學(xué)位耋毒l 二三f ：起盤 “ 、。y。?1p 學(xué)位申請人。( 學(xué)位論文作者) 釜名：? ：_ 絲型曼 r j 、，。7 | ，y - ，7 一，。，“，o。 。 ，、_ 。i 、，：7 “l(fā)。j：、72 0 o 卑多月f 目 j ，- 一，妒，? 7 ；7 j： 一7 ， j j j “。一。二_ j j - 。jj j、| o 一 。一，： ：ij ：i ? ，皇y ，。、7 ：_ ，：誓f j j 7 ， ；z j ，關(guān)于學(xué)位論文著作權(quán)使用授權(quán)書參 ，? ，。：，。， ，j霎 i j j j ? 、 j 。j1 一。j j ，j ? ；_ 本人經(jīng)河南大學(xué)審核批準(zhǔn)授予碩士學(xué)住。作為學(xué)位論文的作者，本人完全 了解并同意河南大學(xué)有關(guān)保留使用學(xué)位論文的要求，即河南大學(xué)有權(quán)向國家 圖書館、科研信息機(jī)構(gòu)、數(shù)據(jù)收集機(jī)構(gòu)和本校圖書館等提供學(xué)位論文( 紙質(zhì)文 本和電子文本) 以供公眾檢索、查閱。本人授權(quán)河南大學(xué)出于宣揚(yáng)i 展覽學(xué)校 學(xué)術(shù)發(fā)展和進(jìn)行學(xué)術(shù)交流等目的?？梢圆扇∮坝　⒖s印、掃描和拷貝等復(fù)制手 段保存、匯編學(xué)位論文( 紙質(zhì)文本和電子文本) 。7 ( 涉及保密內(nèi)容的學(xué)住論文在解奢后適用本授權(quán)書) 學(xué)位獲得者( 學(xué)位論文作者) 釜名：匙太 2 0 d 年石月i 目 學(xué)位論文指導(dǎo)教師簽名：趟杰 2 0 0 年6 月，日 第一章預(yù)備知識 在過去的五十多年里，規(guī)范場理論在理論物理界逐漸獲得了很重要的地位規(guī) 范場論作為當(dāng)代物理學(xué)前沿的最基礎(chǔ)部分，和牛頓力學(xué)、麥克斯韋電磁理論、狹義 相對論、廣義相對論以及量子力學(xué)一樣，是物理學(xué)中最基本的部分同時它還被寄 予能夠找到統(tǒng)一的結(jié)構(gòu)來描述自然界的四種基本力，如電磁力，弱力，強(qiáng)力，引力 等等，可以說是人類認(rèn)識的精華事實(shí)上，狄拉克通過結(jié)合量子力學(xué)和狹義相對論 所建立的量子場論，通過重整化完成量子電動力學(xué)，當(dāng)把量子電動力學(xué)的成功向核 相互作用拓展時，使外爾的規(guī)范理論的思想得以復(fù)活，形成了以y l n 乎m i l l s 理論為核 心的現(xiàn)代規(guī)范場論，在此基礎(chǔ)上形成了所謂的粒子物理的標(biāo)準(zhǔn)模型，因此，現(xiàn)代量 子場論以規(guī)范場論為核心量子力學(xué)的發(fā)展賦予規(guī)范變換新的含義在量子力學(xué)中規(guī) 范變換相當(dāng)于相位變換由于相位變換是隨時空而變的，規(guī)范變換稱為定域規(guī)范變 換相應(yīng)的場稱為規(guī)范場 規(guī)范場理論里一個很好的特征是它里面存在著孤立子孤立子反映了自然界的 一種相當(dāng)普遍的非線性現(xiàn)象；并發(fā)展了一套求解非線性微分方程的有效的解法，因 而受到廣泛的重視瞬子，磁單極子，雙子，渦旋這些拓?fù)涔铝⒆佣际瞧⒎址匠滔?統(tǒng)中具有穩(wěn)定光滑結(jié)構(gòu)的解它們在空間中局部改變結(jié)構(gòu)，同時擁有穩(wěn)定的拓?fù)湫?質(zhì)這些孤立子應(yīng)用廣泛，包括量子物理，宇宙學(xué)，高分子物理，生物學(xué)，超流體，超 導(dǎo)和磁學(xué)等 疇壁，是一維空間中最簡單的孤立子，被廣泛描述在兩個不同邊界狀態(tài)下的相 變過程中渦旋是二維空間中的孤立子，它是由急速自旋的水流，流體旋轉(zhuǎn)時形成 的螺旋形，不同半球旋轉(zhuǎn)方向不同而人們研究最多的是規(guī)范場里三維空間中的孤 立子，即磁單極子英國物理學(xué)家狄拉克最早由m a x w e l l 方程的結(jié)構(gòu)，從理論上預(yù) 言了磁單極子存在的可能性并指出其性質(zhì)，接著一些學(xué)者著重討論了兩種特殊的 磁單極子：b p s 磁單極子和s k y r m i o n s 這兩種孤立子有著許多相同之處與不同之處， 1 河南大學(xué)碩士學(xué)位論文 相同之處在于：( 1 ) 對于各自場中所有電荷都是軸對稱的；( 2 ) 在相同的電荷下，都 有p l a t o n i c 對稱解不同之處在于：( 1 ) 模型所在的基本場不同；( 2 ) 拓?fù)潆姾沙霈F(xiàn)的方 式不同；( 3 ) 各自存在的邊界狀態(tài)不同 一般研究磁單極子的方法有兩種：一種方法是構(gòu)造其顯形式解 1 ，2 ，3 即所謂的 b p s 解( 或稱為共軛解在規(guī)范場理論里，有一種一般的b o g o m o l n y i - p r a s a d - s o m m e r f i e l d ( 簡稱為b p s ) 結(jié)構(gòu)即當(dāng)能量取得最小時，得到所滿足的一階方程，也稱為b p s 方程， 并且可以證明：一階方程的解一定是原始的二階方程的解一階方程的解稱為b p s 解 有時，二階方程的解也是一階方程的解，雖p b p s 方程和原始的二階方程是等價的) ； 另外一種方法是運(yùn)用變分法對其進(jìn)行分析【4 ，5 ，6 ，原因是有的磁單極子沒有b p s 結(jié) 構(gòu)在1 9 9 8 年，楊亦松就對7 維的磁單極子的存在性和唯一性進(jìn)行了討論 7 ，8 ；2 0 0 6 年， 王秀琴又用動態(tài)打靶法對此模型磁單極子解的存在唯一性進(jìn)行了討論，并對b p s 解 進(jìn)行了分析【9 2 0 0 9 年高志鋒對任意( 4 p - 1 ) 維上的磁單極子的存在唯一性進(jìn)行了討 論 1 0 】 而在所討論的磁單極子當(dāng)中，對于s k y r m e 模型的研究也有很長的歷史了靜態(tài) 下的s k y r m e 模型能量泛函如下： 以糾2 丘( 。圣3 協(xié)釧2 ，點(diǎn)s 3 協(xié)咖a 0 k 尸渺 在很久以前，k i r k m a n ，z a c h o s 1 1 和g a r d n e r 就曾對單位電荷th o o f t p o l y a k o v 磁單極 子進(jìn)行了漸近分析 1 2 ，1 3 】現(xiàn)如今，r e u i l l o n ，o b a d i a 和f o r g a c s 1 4 等人又對這個問題 重新進(jìn)行了高精度的數(shù)值分析和已經(jīng)被分析證明了的th o o f t p o l y a k o v 磁單極子存 在性不同的是，對一般酐j s k y r m e 模型 1 5 ，1 6 ，17 】卻沒有這樣的證明這是因?yàn)閾碛懈?階的s k y r m e - l i k e 形式時，得到的解大都是數(shù)值解正如文獻(xiàn) 1 5 中所述的能量泛函 e = 擊r n ( 圭場+ 現(xiàn)圣現(xiàn)西+ 譬盼西，功訓(xùn)現(xiàn)西，馬鯽d 3 z 其中，d f 圣= 諺圣+ 【a i ，刮是共變導(dǎo)數(shù)，而是場強(qiáng)我們發(fā)現(xiàn)當(dāng)參數(shù)p 等于。時， 可以得到通常的b p sy a n g - m i l l s h i g g s b r 量并且磁單極子解滿足一階b o g o m o l n y 方程； 而當(dāng)參數(shù)“不等于0 時，卻只能得到具有s k y r m e 形式下的模型 河南大學(xué)碩士學(xué)位論文 本文研究的就是三維孤立子中的磁單極子，通過在協(xié)變的h i g g s 場上，在現(xiàn)有 的s k y r m e - l i k e 形式下，對變形的g e o r 西g l a s h o u 模型( s o ( 3 ) 非交換 塹 h i g g s 模型) 中的單 位電荷磁單極子進(jìn)行一系列的數(shù)學(xué)性質(zhì)的分析雖然y v e sb r i h a y e ，j u r g e nb u r z l a f f ， 和d h t c h r a k i a n 1 8 已經(jīng)用數(shù)值分析的方法對此磁單極子進(jìn)行了高精度的分析但 在這里，我們用數(shù)學(xué)分析的方法重新對此單位電荷s k y r m e - l i k e 磁單極子進(jìn)行分析 1 2本文的主要結(jié)果 本文運(yùn)用數(shù)學(xué)分析的方法，對s k y r m e - l i k e 磁單極子的性質(zhì)進(jìn)行了分析，得到了 以下主要結(jié)果： 在第二章，我們主要證明了此s k y r m e - l i k e 磁單極子的能量泛函存在極小能量 定理2 1 能量泛函e m = i i l f e ( u ， ) i ( u ，h ) a ) 在滿足邊界條件( 2 4 ) 的情況 下，確實(shí)存在極小能量；即方程( 2 2 ) 一( 2 3 ) 存在著解 在第三章，我們證明了能量極小解的一些性質(zhì) 定理3 1 能量極小解( u ，h ) 滿足對任意的r 0 都有：0 w ( r ) 1 和0 h ( r ) 1 ，而且h ( r ) 是一個嚴(yán)格增函數(shù)同時，存在與k 無關(guān)的正常數(shù)，記為島， 使得能量( 2 1 ) 對于極小能量( u ，h ) 都有 1 e ，h ) sc o 在第四章，我們討論了當(dāng)參數(shù)k 等于0 時的特殊情況，能量極小解的若干性質(zhì) 定理4 1 當(dāng)參數(shù)k 等于0 時，u ( r ) 是個嚴(yán)格減函數(shù)；接著，所得到的一階方 程( 且o b p s 方程) 和e u l e r - l a g r a n g e 方程等價；進(jìn)一步，可求得b p s 方程的顯形式解 解 在第五章，我們討論了當(dāng)參數(shù)k _ 0 時的情形 定理5 1 當(dāng)參數(shù)k 一0 時，s k y r m e - l i k e 方程的解一致的收斂于b p s 方程的唯一 3 第二章能量極小解的存在性 2 1引言 氕= 拍曙1 2 + i d 擴(kuò)1 2 + 互1 k i d 妒d j 】矽叩) l 羆珊 日邛，) 2 + + 知7 ) 2 + w 2 h 2 + 編2 【2 ( 。+ 譬】 鼬，驢o 。2 + 錢+ 互1 r 2 ( 2 + w 2 h 2 + 刪2 嘲2 + 可w 2 h 2 】) d r ( 2 1 ) 冉等竽勘z = 2 蒯，) 2 + 譬】 ( 2 2 ) 河南大學(xué)碩士學(xué)位論文 r+一 ：4 k 娑一4 k p ，+，) 2 + 2 w j h h 2 h i 2 r h 2 w 2 h t d - r t 。 2 h 2 h w 2 h ( h 2 w whh 2 】 r+一：4 k 齊一一4 k b7 7 +7 ) 2 +2 】 有限能量解的邊界條件為 u ( 0 ) = 1 ，h ( 0 ) = 0 ，u ( 。) = 0 ， ( 。) = 1 2 2主要結(jié)果的證明 為了得到問題( 2 2 ) 一( 2 4 ) 的解，我們考慮容許集 a = ( u ，九) iu ( r ) 和h ( r ) 在區(qū)間【0 ，0 ( 3 ) 上連續(xù)， 在( 0 ，o o ) 的任意緊子區(qū)間上絕對連續(xù)， 并且滿足邊界條件( 2 4 ) 和e ( u ，h ) 。) 考慮能量極小問題： e m = i n f e ( w ，h ) t ( w ，h ) a ) 設(shè) ( u n ，h n ) 】為( 2 6 ) 的極小化序列不失一般性，我們可以假設(shè)： e ( u 。，h n ) e m + 1 ，禮= 1 ，2 ， 由( 2 1 ) 中能量e 的形式，我們還可以假設(shè) 0 u nr ) 1 ，0 h n ( r ) 1 ，r 之0 否則我們可以調(diào)整極小化序列使其滿足( 2 8 ) 而不會擴(kuò)大能量 由簡單的不等式可得 l k ( r ) 一1 is i h 。( p ) i d p ，。 jr 0 。石1 p i 九乞( p ) l d p 擊( ，以嗽) 2 糾 了i r v e ( e m + i ) 。 從而當(dāng)r 0 0 時，k ( r ) 一1 是一致的 劬 鋤 印 動 力 踟 皿 河南大學(xué)碩士學(xué)位論文 同樣，由不等式 ( 圳叫2 z r 而d 齜) - 1 2 d p 2 i 叱( p ) l l u n ( p ) 一1 d p 2 屈( o r ( ) 2 d ( z 7 掣荊 一 2 4 5 r ( + 1 ) 我們得到當(dāng)r _ 0 時w n ( r ) _ 1 是一致的。 由上面的結(jié)論，我們不妨假設(shè)存在r o ，使得當(dāng)0 0 很小時，u ( 0 ) = 1 ，九( o ) = 0 ；同時，( 2 9 ) 說明了 h ( 0 0 1 = 1 為了說明( u ，危) a ，我們需要得到u ( 。) = 0 事實(shí)上，用 即，壚( 2 + + 扣 ，) 2 _ f _ o d 2 h 2 + k o j 2 h 2 2 ( 2 + 丁w 2 h 2 】 ( 2 1 3 ) 來表示能量密度函數(shù)，由弱下半連續(xù)的性質(zhì)，我們得到 z 6 1 駛尊日( u n ，k ) d r = f b h ( u ，九) 咖 劍i m i n f j a h ( w n , h n ) d r ( 2 1 4 ) l i m i n f e ( ，h n ) 禮- o 。 = 對于任意的0 n b 0 都有：0 w ( r ) 1 和 0 九( r ) 1 ，而且m r ) 是一個嚴(yán)格增函數(shù)同時，存在與k 無關(guān)的正常數(shù)，記為 島，使得能量( 2 1 ) 對于能量極小解( u ，h ) 都有 1 e ，h ) 島 定理的證明可歸納為以下引理的證明 引理3 1 函數(shù)u 和h 滿足 0 w ( r ) 1 ，0 0 易知，u 三0 是( 2 2 ) 的一個平衡解，由常微分方程初值問題解的存在唯一性定理， 可知對于能量極小解( u ，h ) 中的u 來說，不存在這樣的r o ，使得w ( r o ) = u 7 ( r 0 ) = 0 即 w ( r ) 0 ，vr 0 ( 3 2 ) 反之，如果存在這樣的伯 0 ，使得u ( r o ) = 0 ，這說明u 在這點(diǎn)達(dá)到極小，即有 u 7 ( r o ) = 0 ，這就得到u 是平凡解，即蘭0 接下來我們要說明 u ( r ) 0( 3 3 ) 事實(shí)上，如果存在這樣的點(diǎn)r 0 0 使得u ( r o ) = 1 ，那么r o 就是函數(shù)u 的一個 極大值點(diǎn)，同時我們還可以得到( r o ) 0 將此結(jié)果和( 3 2 ) 一同代入到( 1 2 ) 中， 立刻就可以得到矛盾因此( 3 3 ) 成立。 8 河南大學(xué)碩士學(xué)位論文 接f 來我們要證明 h ( r ) 0 ( 3 4 ) 事實(shí)上，如果存在一點(diǎn)r o 使得h ( r o ) = 0 ，我們就調(diào)整函數(shù)h ( r ) 為 元( r ) ： o ， r 【。，r 。 ， 【尼( r ) ，r ( r o ，+ 。) ， 于是，我們就可以得到e ( u ，元) e ( u ，危) 并且( u ，元) a 同樣，( u ，元) 滿足( 2 2 ) 一 ( 2 4 ) 因?yàn)?( 。) = 1 ，不妨設(shè)r o 是函數(shù) ( r ) 的最右方的零點(diǎn)然而，在方程( 1 3 ) r = r o 處應(yīng)用常微分方程初值問題解的存在唯一性定理，得知當(dāng)r ( r o ，r o + e ) 當(dāng) 充分小時，都有九( r ) = 0 ，再由 ( 徇) = 0 和九7 ( 伽) = 矛( 加) = 0 ，我們又得到矛盾 因此( 3 4 ) 成立 最后，我們將證明 h ( r ) 0 ，使得h ( r o ) = 1 因?yàn)閞 o 是函數(shù)h ( r ) 的極大值點(diǎn)，故有 九協(xié)o ) = 0 和( 絢) 0 將其帶入到( 2 3 ) 中，得到矛盾因此( 3 5 ) 成立 引理3 2 九( r ) 為一嚴(yán)格增函數(shù) 證明我們首先證明h ( r ) 是個非減函數(shù)假設(shè)存在一點(diǎn)r l 0 使得h i ( r ) 0 因?yàn)閔 ( 0 ) = 0 ，我們就能推出，存在 這樣的兩點(diǎn)0 r 2 r 3 h ( r 3 ) 對于某些r ( r 2 ，r 3 ) ( 3 6 ) 砸，= 愀：裂 7 ， 則( u ，元) a 且有e ( u ，元) e ( u ，九) ，這就得到矛盾 接下來，我們就說明函數(shù)九( r ) 嚴(yán)格遞增若不然，則存在0 r 1 r 2 o 。使得 忍( r 1 ) = h ( r 2 ) 這就說明對所有的r ( r 1 ，r 2 ) 都有 ( r ) = h ( r 1 ) 將此結(jié)論代入( 2 3 ) 河南大學(xué)碩士學(xué)位論文 就可得到矛盾故引理成立 引理3 3 定義在( 2 6 ) 中的極小能量e ( u ，h ) 關(guān)于參數(shù)k 一致有界，當(dāng)k o 。 時，即1 e ( u ，h ) l ；h ( r ) = 0 ，r 2( 3 8 ) 這就使得函數(shù)w 和日不重疊因此 e ( 彬日) ：f ( w ，) 2 + 掣+ 丟r 2 ( 日，) 2 + w 2 日2 ) 咖 ( 3 9 ) - ，0 二7二 上述能量事實(shí)上與參數(shù)，c 無關(guān)當(dāng)然，e ( u ，h ) se ( 彤h ) 令c o = e ( 彤h ) 另外， 鑒于邊界條件( 2 4 ) ，我們可以得到 鼬= 肌竹掣坷1 2 ) 2 4 - w 2 h 2 渺 = 小w + w h ) 2 + 扣+ 箏) 2 ) o 。叫f o h 打 = 1 不等式( 3 8 ) 和( 3 9 ) 說明極小能量e ( w ，h ) 確實(shí)關(guān)于參數(shù)托是一致有界的引理得 證 1 0 第四章b p s 磁單極子方程的解 本章我們將討論當(dāng)參數(shù)k = 0 時，能量e ( u ，九) 的特殊情形此時能量e ( u ，九) 為 腳= 廂2 + 譬+ 知7 ) 2 + w 2 h 2 ) d r ( 4 1 ) 有限能量解的邊界條件仍為 u ( 0 ) = 1 ，h ( 0 ) = 0 ，u ( o 。) = 0 ，危( 。) = 1( 4 2 ) 定理4 1 當(dāng)參數(shù)k 等于。時，u ( r ) 是個嚴(yán)格減函數(shù)；接著，所得到的一階方 程( 且p b p s 方程) 弄f l l e u l e r l a g r a n g e 方程等價；進(jìn)一步，可求得b p s 方程的顯形式解 引理4 1 u ( r ) 是個嚴(yán)格減函數(shù) 證明我們首先證明u ( r ) 為一非增函數(shù) 假設(shè)有兩點(diǎn)0 口 r 0 o 時石1 ( u 7 ) 2 + ( u 2 一石2 ) 九2 ( r o ) + 去( 宙2 1 ) 】 d r 0 從而e ( u ，h ) e ( 歷，h ) ，這就與( u ，h ) 是能量極小解矛盾 接下來我們將證明函數(shù)u ( r ) 是一嚴(yán)格減函數(shù) 如果存在兩點(diǎn)r 1 0 令 尸= r 2 h 7 + u 2 1 ，q = u 7 + u 危 如果我們能夠證明p = q 蘭0 那么( u ，九) 就一定滿足一階方程組( 4 3 ) 通過簡單的計(jì)算可知 p f = 2 r h r 2 h + 2 w w ：2 w 2 h + 2 w w 7 = 2 w ( w h + u 7 ) = 2 u q 和 q 7 = + u 7 h + w h 7 ：u 九。一學(xué)+ u 7 九+ u 危7 = h q + u 暑 】3 動 力 固 聊 似 河南大學(xué)碩士學(xué)位論文 同時 從( 4 1 ) 和( 4 2 ) 我們可知 p i 7 = 2 w q + 2 糾q = 2 w 7 q + 2 u ( h q + u ) d ：2 q 2 + 2 啐 ：2 警+ ( 苦刪p ， ( 4 1 0 ) 溉p ( r ) = 煅( r 2 危7 + u 2 1 ) = 0 ( 4 1 1 ) 事實(shí)上，如果h 腳。or 2 h ，0 則一定j o 0 對v5 0 當(dāng)0 0 使得p ( r o ) = 0 ，運(yùn)用方程( 4 i i ) 和最大值原理，我們就可得到結(jié) 論p ( r ) = 0 ，r ( o ，r o 再次運(yùn)用常微分方程初值問題解的存在唯一性定理，可知對 于所有的r 0 都有p ( r ) = 0 我們先設(shè)p ( r ) 0 ，r 0 從方程( 4 1 0 ) 可以知道函數(shù)p 不可能到達(dá)局部極 大值再由方程( 4 1 1 ) 可得函數(shù)p 為一增函數(shù)因此，p 7 0 且q 0 運(yùn)用已經(jīng) 得到的結(jié)論0 u 1 ，0 0 這就與u ”) c 2 ( 4 1 2 ) 這就與能量有限矛盾 1 4 河南大學(xué)碩士學(xué)位論文 從而，我們就得到了函數(shù)p 三0 ，從方程( 4 8 ) 我們立刻得到q 三0 因此引 理得證 在文獻(xiàn) 1 9 ，2 0 】中，b p s 方程( 4 3 ) 的顯形式解也被作者猜測出來這里我們將用 常微分方程求解方法推導(dǎo)出b p s 方程的顯形式解 做如下變換， 1 u = 7 v h = 三+ u ( 4 1 3 ) 此時b p s 方程就轉(zhuǎn)化為 v 7 = v v , u 7 = v 2 f 4 1 4 ) 化簡得 d vu d u2 一v ( 4 1 5 )、“。， 也即是 l u 2 一y 2 ：c ( 4 1 6 ) 這里c 是一常數(shù)從方程( 4 2 ) 和( 4 1 3 ) ，我們得到當(dāng)r o 。時，u 一一1 而v _ 0 ，故c = 1 ，將( 4 1 4 ) 和c = 1 帶入方程( 4 1 5 ) ，我們得到 u 2 一礦7 ：1 也即為 d u ：u 2 1 _ _ _ n r 解得， u = 而1 + c e 2 r 其中c 為任意常數(shù)將上式帶入( 4 1 6 ) 可求得 y = 若每1 一c e 2 r 再結(jié)合邊界條件( 4 2 ) 可得c = 1 于是我們就得到顯形式解為 u = c o t h ( r 、 進(jìn)一步，我們通過直接計(jì)算得到 和 h ( r ) - c o t h ( r 一 1 6 第五章s k y r m e - l i k e 磁單極子仡_ 0 的情形 在這一章里，我們記u k ，h k 和鼠表示其與參數(shù)k 有關(guān)我們知道當(dāng)仡 0 ， 方程( 2 2 ) 一( 2 4 ) 沒有顯形式解但是當(dāng)k 一0 時，我們可以證明它將逼近b p s 方程 的唯一解設(shè)( w 0 ，h o ) 為方程( 4 3 ) 及邊界條件( 4 2 ) 的解，( u 蠡，) 為方程( 2 2 ) 一( 2 4 ) 的解則 s u p i h 尤( r ) 一h o ( r ) j9 - l u k ( r ) 一u o ( r ) | _ 0 當(dāng)k _ 0( 5 1 ) u r o o 對于任意的0 k 1 我們需要得到一些與參數(shù)k 無關(guān)的解( u k ，h k ) 估計(jì)為了簡 單起見，我們設(shè)c 為一與參數(shù)k 無關(guān)的正常數(shù)，而且在不同地方其值可以不同 引理5 1 存在與參數(shù)，c 無關(guān)的常數(shù)c ，滿足估計(jì)式 九k ( r ) 一1 1 c r 一0 尤 t o 令札：e r o ，則u ，：u 所以( u ：一亂) 7 7 u ：一亂在r = r o 處，u ：二us0 ；在 r ：o 。時，u ：一亂：0 ，由最大值原理知，u ：一u 0 對任意的r r o 都成立，也即 u ：( r ) e r o 一引理得證 引理5 3 存在一獨(dú)立于參數(shù)k 的常數(shù)c ，使得 u k ( r ) 一1 i c7 ；，0 r 1 證明運(yùn)用簡單的不等式可知 ( u k ( r ) 一1 ) 2 2 i u k ( p ) ，u k ( p ) 一1 i d j d 2 佩卜，) 2 訓(xùn)( r 學(xué)荊 2 v 2 r c 因此，當(dāng)r _ 0 時，u k ( r ) _ 1 也是一致的 1 8 ( 5 7 ) 河南大學(xué)碩士學(xué)位論文 引理5 4 當(dāng)7 一0 e 1 ，愚( r ) _ ( ) ，關(guān)于參數(shù)k 是一致的 證明類似于引理5 1 可得 ( r ) 一k ( ) i r 陬( p ) 1 7 d p 詎( r 歹1 訓(xùn) ( 廠掣糾； ( 5 8 ) 鰣t 1 d p ) j 1 所以當(dāng)r e ，k ( r ) 一k ( ) 這里的0 o ( 5 9 ) 設(shè)( u ，h ) 是( 5 9 ) 和( 4 3 ) 的解我們引入變換亂= l n w 2 于是就將方程( 5 9 ) 變?yōu)?札，= 等 ( 5 1 0 ) 故有u o = i n 嵋滿足( 5 1 0 ) ，我們得到 ( 銣刊= 鯊掣 同時還有 ( u 。一u ) ，( u - - u 0 ) ：坐蘭芝趔( 亂咄) 因而，對于任意的0 7 1 0 使得f 7 ( r o ) = 0 ，那么函數(shù)2 就滿足 ? ，= 2 , e u o e 札) = i 2e e z ? ，= e 札) = 互e z 因此函數(shù)z 不能在r = r o 處達(dá)到局部極值點(diǎn)由極大值原理可知對于r ( o ，r o ) 有 z ( r ) = 0 運(yùn)用常微分方程初值問題解的存在唯一性定理可知當(dāng)r 0 都有2 蘭0 即( 5 1 2 ) 式成立 因此，我們可以假設(shè)f ) 0 這就說明2 ( r ) 是一個單調(diào)函數(shù)所以l i 腳。of ( r ) 的值或者為有限數(shù)或者為4 - o o 前者就已經(jīng)滿足( 5 1 2 ) 式，因此我們只需驗(yàn)證后者 由洛必達(dá)法則知 熙亍= 熙( 缸7 一亂：) = 0r _ rr _ o o 和 土墊巴r z 7 = 土粵巴圭互= 1 翌- 2 ( u 0 2 1 ) 一( u 2 一1 ) = 0 r _ r _ o 。一r 一二 r 一 、，j 這就證明了( 5 1 z ) 式的第二個極限現(xiàn)在對( 5 1 1 ) 令r 1 0 和r 2 _ o o ，我們會得 到 ，o o r o o ( u o u ) ( 札一u o ) d r = ( 亂；一u 7 ) 2 d r j 毽 j q 所以u 三 1 1 , 0 ，也就是( u ，h ) = ( t o o ，h o ) 引理5 5 得證 解 綜合上述引理，我們得到了以下定理 定理5 1 當(dāng)參數(shù)，c 一0 時，s k y r m e - i i k e 方程的解一致的收斂于 3 p s 方程的唯一 2 0 河南大學(xué)碩士學(xué)位論文 參考文獻(xiàn) 【1 e b b o g o m o l n y i ，t h es t a b i l i t yo f c a l s s i c a ls o l u t i o n j ，s o v j n u c l p h y s 2 4 ，4 4 9 4 5 4 ( 1 9 7 6 ) 2 r j c a k i wa n dc r e b b i ，d e g r e e so f f r e e d o mi np s e u d o p a r t i c l e j ，p a y s l e t t b6 7 ，1 8 9 - 1 9 2 ( 1 9 7 7 ) 3 b j u l i aa n da z e e ，p o l e sw i t hb o t he l e c t r i ca n de l e c t r i cc h a r g e si nn o n a b e l i a ng a u g e t h e o r y j ，p h y s r e v d l l ，( 1 9 7 5 ) 4 a a b e l a v i n ，a m p o l y a k o v ，a s s c h w a r t za n dy u s t y u p k i n ，p s e u d op a r t i c l es o l u t i o n so ft h ey a n g m i l l se q u a t i o n s j ，p h y s l e t t b 5 9 ，8 5 8 7 ( 1 9 7 5 ) 5 】l c a g a r e l l i b g i d a sa n dj s p r u c k ，o nm u l t i m e r o ns o l u t i o n so ft h ey a n g m i l l se q u a t i o n j ，c o m m u n m a t h p h y s 8 7 ，4 8 5 4 9 5 ( 1 9 8 3 ) f 6 a j a f f ea n dc h t a u b e s ，v o r t i c e sa n dm o n o p o l e s m ，b i r k h a u s e r ，b o s t o n ，( 1 9 8 0 ) 7 y y a n g ，e x i s t e n c eo f s o l u t i o n sf o rag e n e r a l i z e dy a n g m i l l st h e o r y j ，l e t t m a t h p h y s 1 9 ，2 5 7 - 2 6 7 ( 1 9 9 8 ) 8 】y y a n g ，s e l f - d u a lm o n o p o l e si nos e v e n d i m e n s i o n a lg a u g et h e o r y j ，l e t t m a t h p h y s 2 0 2 8 5 - 2 9 0 ( 1 9 9 8 ) 9 x w a n ga n dy y a n g ，e x i s t e n c eo fs t a t i c 尉芍m o n o p o l e sa n dd y o n si na r b i t r a r y ( 4 p - j ，一d i m e n s i o n a ls p a c e j ，l e t t m a t h p h y s 7 7 ，2 4 9 2 6 3 ( 2 0 0 6 ) 1 0 z g a oa n dj z h a n g ，e x i s t e n c e ，u n i q u e n e s s ，a n de q u i v a l e n c et h e o r e m sl o tm a g n e t i c m o n o p o l e si ng e n e r a l ( 4 p 一1 ) - d i m e n s i o n a ly a n g m i l l st h e o r y j ，j o u r m a t h p h y s 7 7 ， 2 4 9 - 2 6 3 ( 2 0 0 9 ) 1 1 】t w k i r k r a a na n dc k z a c h o s ，a s y m p t o t i ca n a l y s i so ft h em o n o p o l es t r u c t u r e j ， p h y s r e v d 2 4 9 9 9 ( 1 9 8 1 ) 2 1 河南大學(xué)碩士學(xué)位論文 【1 2 g th o o f f ，m a g n e t i cm o n o p o l e si nu n i f i e dg a u g et h e o r i e s j ，n u c l p h y s b ，v o l u m e 7 9 ，2 6 3 - 2 7 6 ( 1 9 7 4 ) 【1 3 a m p o l y a k o v ，p a r t i c l es p e c t r u mi nq u a n t u mf i e l dt h e o r y j ，j e p t p h y s l e t t 2 0 ，1 9 4 ( 1 9 7 4 ) 14 p f o r g a c s ，n o b a d i aa n ds r e u i l l o n ，n u m e r i c a la n da s y m p t o t i ca n a l y s i so ft h e t h o o f t - p o l y a k o vm a g n e t i cm o n o p o l e j ，p h y s r e v d 7 1 ，0 3 5 0 0 2 ( 2 0 0 5 ) ；7 1 ，1 1 9 9 0 2 ( e )