（概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)專業(yè)論文）關(guān)于下一個(gè)失效時(shí)刻估計(jì)的討論.pdf

摘要 4 6 7 2 9 3 一、f 若n 個(gè)獨(dú)立同分布產(chǎn)品同時(shí)開(kāi)始定數(shù)壽命試驗(yàn)，假設(shè)我們已經(jīng)觀察到前r 個(gè)產(chǎn)品 的次序失效時(shí)刻扛( 1 ) x ( ：) 工( ，) j ，那么第r + 1 個(gè)產(chǎn)品將再活過(guò)一段時(shí)間缸的概率 ( 以下記其為只) 為多大? ) 本文主要討論了在定數(shù)截?cái)嗳笔?shù)據(jù)場(chǎng)合及污染數(shù)據(jù)場(chǎng)合 ， 下只的估計(jì)問(wèn)題，并給出了定數(shù)截?cái)嗳笔?shù)據(jù)場(chǎng)合下參數(shù)及只的b a y e s 估計(jì)。第一章 緒論介紹了該問(wèn)題的起源、背景和問(wèn)題的一般性描述。第二章將討論以下問(wèn)題：當(dāng)數(shù) 據(jù)由于某種原因出現(xiàn)缺失，只能觀察到部分定數(shù)截?cái)鄶?shù)據(jù)情況下，如何估計(jì)參數(shù)及只， 本章對(duì)單參數(shù)指數(shù)分布、雙參數(shù)指數(shù)分布及兩參數(shù)威布爾分布分別使用了兩種方法進(jìn) 行了討論，并通過(guò)隨機(jī)模擬比較了兩種方法。第三章討論了在定數(shù)截?cái)嗳笔?shù)據(jù)場(chǎng)合 下，雙參數(shù)指數(shù)分布在形狀參數(shù)已知、形狀參數(shù)未知時(shí)尺度參數(shù)與只的b a y e s 估計(jì)， 并分別構(gòu)造了一種計(jì)算較為簡(jiǎn)單的近似b a y e s 估計(jì)方法。第四章將問(wèn)題集中在定數(shù)截 斷污染數(shù)據(jù)場(chǎng)合下，分別討論了三種污染模型下只的估計(jì)，并討論了估計(jì)的大樣本性 質(zhì)，進(jìn)行了隨機(jī)模擬。 關(guān)鍵詞：定數(shù)截?cái)喽〝?shù)截?cái)嗳笔?shù)據(jù)污染數(shù)據(jù) a b s t r a c t d u r i n gt h et y p ei ic e i l s o m de x p e r i m e n t ，s u p p o s ew ec a no b s e r v et h ef i r s trs e q u e n t i a l f a i l u r et i m ei x ( 1 ) x ( 2 ) x ( ，) j ，w h a tw i l lb et h ep r o b a b i l i t y ( b e l o ww ed e n o t ei ta s 只) t h a tt h er + l s tp r o d u c tw i l ls u r v i v ea n o t h e ra t ? t h i sp a p e rm a i n l yd i s c u s s e st h ee s t i m a t o r o fp 麗t l l m u l t i p l et y p ei ic e n s o r e dd a t aa n dc o n t a m i n a t e dd a t a , a n dp r o p o s e st h eb a y e s e s t i m a t o ro fpa n d p a r a m e t e r su n d e rm u l t i p l et y p e i ic e n s o r i n g t h ef i r s tc h a p t e r i n t r o d u c e st h eo r i o n ，b a c k g r o u n da n dt h ed e s c r i p t i o no f t h ep r o b l e m u n d e rm u l t i p l e t y p e i ic e n s o r i n g ，t h es e c o n dc h a p t e rp r o p o s e st w om e t h o d st oe s t i m a t et h ep a r a m e t e ra n d p ，o f o n e a n dt w o p a r a m e t e re x p o n e n t i a ld i s t r i b u t i o n sa n dt w o - p a r a m e t e rw e i b u l l d i s t r i b u t i o n a n dt h et w om e t h o d sa r ec o m p a r e dt h r o u g hs i m u l a t i o n t h et l l i r dc h a p t e r d i s c u s s e st h eb a y e se s t i m a t o ro fpf o ro n e a n dt w o - p a r a m e t e re x p o n e n t i a ld i s t r i b u t i o n u n d e rm u l t i p l et y p e i ic e n s o r i n g ，a n dp r o p o s e so n ea p p r o x i m a t eb a y e se s t i m a t i o nm e t h o d w h i c hi sm o r es i m p l e t h el a s tc h a p t e rm a i n l yd i s c u s s e st h ee s t i m a t i o no f 只w i t ht h r e e k i n d so f c o n t a m i n a t e dm o d e lu n d e rt y p e i ic e n s o r i n ga n dt h ec h a r a c t e ro f e s t i m a t o r k e yw o r d s ：t y p e i ic e n s o r i n gm u l t i p l et y p e i ic e n s o r i n g c o n t a m i n a t e dd a t a 第一章緒論 在某些實(shí)際問(wèn)題中，我們有時(shí)會(huì)關(guān)心下一個(gè)失效時(shí)刻例如，n 個(gè)獨(dú)立同分布的產(chǎn) 品同時(shí)開(kāi)始?jí)勖囼?yàn)，假設(shè)我們已經(jīng)順序觀察到r 個(gè)產(chǎn)品的失效時(shí)刻，那么第r + 1 個(gè) 產(chǎn)品將于何時(shí)失效? 確切的問(wèn)題歸結(jié)為，第r + 1 個(gè)產(chǎn)品將以多大的可能性再活過(guò)一段時(shí) 間a t ? 再如，n 個(gè)病人同時(shí)進(jìn)入某種藥物的治療研究，假設(shè)我們已經(jīng)順序觀察到r 個(gè)病 人的死亡時(shí)間，那么下一個(gè)病人還能活過(guò)垃的概率為多大? 據(jù)此，我們可以決定是否 需要采取某種相應(yīng)的輔助治療以及更好地控制治療時(shí)間這個(gè)問(wèn)題，1 9 9 3 年t s o k o s 等 人對(duì)w e i b u l l 分布進(jìn)行了研究，1 9 9 4 年李剛對(duì)定數(shù)截?cái)嗟囊话闱樾芜M(jìn)行了討論 問(wèn)題的一般描述如下： 設(shè)有n 個(gè)產(chǎn)品同時(shí)進(jìn)行壽命試驗(yàn)，產(chǎn)品壽命 x 。，x ：，x 。) 是獨(dú)立同分布的隨機(jī)變 量，共同的分布函數(shù)為f ( x ) ，密度函數(shù)為f ( x ) 我們僅能觀察到r 個(gè)次序失效時(shí)間： x ( 1 ) x ( 2 ) x ( ，) f 1 1 ) 現(xiàn)在的目的是根據(jù)順序樣本( 1 1 ) 去估計(jì) 尸r 2p ( x ( ) 一x ( ，) a t i ( ，) ) 令 k = 一x ( ，) + x ( h ) 藝= x f r l 容易得到( i ，e ) 的聯(lián)合密度函數(shù)為： ( y - ，y z ) 2 i 了二i 豇i ：! ：了二j 可f 。1 ( y z ) 1 一( f ( y l + y 2 ) 。廠( y ：) 廠( y l + y 2 ) 故 匕的密度函數(shù)為 妒( y z ) = i 7 二西；：j 二面f 。( y ：) 1 一( f ( y z ) ”一7 廠( _ y z ) 于是給定x ( ，) 時(shí)x ( ) 一x ( ，) 的條件密度為 川艫= 矧 =(”一r)!lilll簪f(x 廠( y ，+ x 。，) ( 1 _ 2 ) 。 。 一(。) r ” 第l 頁(yè)，共3 5 頁(yè) 只= e ( x ”1 ) 一( ，) c 工( ，) ) 2 j 妒( y 1l z ) d y ：r i 二! 墮立氅 叫1 j 麗 ：( 掣廣， 3 )= i il dj 、s ( 五，) 此處，s ( f ) = p ( x f ) = 1 一，( f ) 為生存函數(shù)我們可以發(fā)現(xiàn)n r 個(gè)獨(dú)立個(gè)體活過(guò) x 后，又全部活過(guò)x ( ，) + a t 的概率就是( 1 t3 ) 根據(jù)( 1 3 ) ，我們可以得到z ”的置信度為1 一d 的置信區(qū)間【z 【，) ，z ( ，) 十f ， 其中a t 由方程an - r s ( x ( ，) ) = s ( x + f ) 確定 在參數(shù)情況下，設(shè)x 。，x ：，x 。i i d f ( x ；毋) ，口0 ，這里f 的數(shù)學(xué)形式已知，只 有參數(shù)護(hù)未知，并且x 具有連續(xù)的密度函數(shù)廠( 置矽) 假如我們已獲得參數(shù)口的一個(gè)估計(jì) 6 ，由( 1 3 ) ，我們可以得到只的估計(jì) a 、 只a ：l 型止掣l ( 1 4 ) ls ( x r ，r i o ) j 在參數(shù)情況下，李剛證明了只a 的大樣本性質(zhì)與各的大樣本性質(zhì)有關(guān) 引理1 ( 李剛1 9 9 4 ) 若以下條件同時(shí)滿足： a ) 當(dāng)n m 時(shí)，三一a ，其中a 是大于0 小于1 的常數(shù)； ，n b ) a t ( n ) = o ( 與，l a g = 1 1 嬰n z x t ； n “7 c ) 存在吖 o ，使餾 a t lx ( r ) ) 以下2 2 將利用最小二乘法和近似似然估計(jì)方法討論單參數(shù)指數(shù)分布的估計(jì)問(wèn) 題，2 3 將利用此兩種方法討論雙參數(shù)指數(shù)分布的估計(jì)問(wèn)題2 4 將分別使用逆矩估 計(jì)方法和最小二乘法討論兩參數(shù)威布爾分布的估計(jì)問(wèn)題 2 2 單參數(shù)指數(shù)分布 設(shè)產(chǎn)品壽命 鼻。) f i d 參數(shù)為0 的指數(shù)分布，其分布函數(shù)為： ，( 石；曰) = 1 一口一。7 9 ，石0 ，0 0 現(xiàn)假定有n 個(gè)產(chǎn)品進(jìn)行定數(shù)截?cái)鄩勖囼?yàn)，由于數(shù)據(jù)缺失，我們僅能觀察到k 個(gè)次 序失效數(shù)據(jù)：x ( 1 ) x ( 。) x ( a ) 預(yù)估計(jì)& ，下面先求護(hù)的估計(jì)值 第4 頁(yè)，j 3 5 頁(yè) 2 2 1 方法一：最j j 、- - 乘法估計(jì) 設(shè)五= l i b ，則f ( x ) = p ( x 0 現(xiàn)假定有n 個(gè)產(chǎn)品進(jìn)行定數(shù)截?cái)鄩勖?驗(yàn)，由于數(shù)據(jù)缺失，我們僅能觀察到k 個(gè)次序失效數(shù)據(jù)： x ( ) x ( 丘) x ( 略) 預(yù)估計(jì)& ，下面先求，0 的估計(jì)值 2 3 1 方法一：最小二乘法估計(jì) 設(shè)五= i 0 ，貝l j f ( x 。) = l 一日一2 h m 令y = h a ( 1 一f ( x ) ) = 一2 x y 。= i n ( 1 1 一f ( x n ) ) = 一x ( x 一) + 占 令q ( ，a ) ：壹 - 旯( x 。一) 一y a 】2 最小 詈= 2 扣( x n - # 一a 拙f 艫。 囂= z 扣魄刊嚙a 艫。 解這個(gè)方程組，可得 “2 t _ ( l ；l l = 1 y 。 x _ 】 k 只a i m 一( 圭_ ) ( k _ ) ，h 。) j lj 1 圭奠 旯= 一i - ( _ 一二 ( 2 3 1 ) ( 2 3 2 ) 。 以 。 一 、j 這里，可以用樣本分位數(shù)估計(jì)f ( a ) = n + l l ，則只a = 1 n ( 1 一旨) 由( 1 3 ) 可得： t 玎曠崩。e x p ( n 一班f i a y f i 一f ) ( 2 3 3 ) 則z ( 州) 的置信度為l 一口的置信區(qū)間為： 石( r i ) ，x ( ，1 1 + f ，其中血= 一i i 0 l n 口 2 3 2 方法二：近似極大似然估計(jì) 類似于2 2 2 單參數(shù)指數(shù)分布求近似極大似然估計(jì)的方法，可得到未知參數(shù) a t 。0 的近似極大似然估計(jì) + ( n 一_ ) + z e r r l l m 墨+ ( 1 6 ，) x l + l 卜( n 一 + 1 ) 。l 歸瓦j 鬲1 ) r 一 眩，舢 七一( + l 一一 。 2 3 4 a ：x 。+ p a i n ( 型) 2 x 一+ p 1 “( 半 d i 一 一l k 一( k 。一一1 妒 f = 1 類似于2 2 2 ，可計(jì)算估計(jì)量的期望與方差如下： d ( 口) = e ( o ) = 一一1 妒， 2 一一1 ) r c ， ( 2 3 - 5 ) ( kc ，z 盧。+ 2 kc ，c ，島) ( 2 3 6 ) 盧lf - 第l i 頁(yè)，兵3 5 頁(yè) 一 ( 一t + “ 一 陋 其中 曠喜南2 毒去 = 喜赤= 。：薹汀1 ， aa 最= e 一”“ 一( 一l l 驢。 i 一l = e x p _ ( 一) f r i j 土旦一 ) + ( n - r d x ( q ) + o i 一一1 】 一z ( ) + ( 1 4 ) x ( ) + 一r k 十1 ) x ( 1 ) 則x ( 州) 的置信度為1 一口的置信區(qū)間為：k 咿x ( 。) + f ，其中出= 一i 蘭l n a 以下是一組隨機(jī)模擬的結(jié)果： 取n = 1 0 0 0 ，k = 4 0 0 ，i = l ，3 ，5 7 ，7 9 9 ，取參數(shù)真值0 = = 2 ，0 = 3 ，= 1 兩種組合 分別用最小二乘法、近似極大似然估計(jì)法進(jìn)行了模擬，結(jié)果見(jiàn)表2 3 1 及表2 3 2 表中 參數(shù)估計(jì)數(shù)據(jù)為2 0 次重復(fù)模擬所得估計(jì)的均值與標(biāo)準(zhǔn)差 參數(shù) 最小二乘法 近似極大似然估計(jì)法 n 2 0 0 2 0 0 30 0 2 6 4 7 72 0 0 1 5 8 20 0 0 1 9 6 1 口 2 0 2 7 5 7 60 0 4 4 3 7 81 9 9 9 3 2 30 0 4 5 5 5 9 x ( r d 模擬值 5 2 0 2 5 8 4 4 45 2 0 2 5 8 4 4 4 石( + 1 ) 模擬值 5 2 0 4 7 0 4 5 25 2 0 4 7 0 4 5 2 0 1 3 7 7 0 1 8 9 60 1 3 3 8 9 7 5 0 6 p ( a t = 0 0 2 ) 0 9 0 5 6 2 2 0 6 60 9 0 4 3 5 4 3 3 4 只( a t = 0 0 0 1 ) “( 4 + ”置信區(qū)間 5 2 0 2 5 8 4 4 4 ，5 2 3 2 8 0 3 7 1 8 5 2 0 2 5 8 4 4 4 ，5 2 3 2 3 8 2 6 31 ( 置信度9 5 ) 表2 3 10 = 2 ，= 2 第1 2 頁(yè)。共3 5 頁(yè) 表2 3 2 0 = 3 ，= 1 從上表可以看出，兩種方法的模擬結(jié)果的精度都是令人滿意的，其中近似極大似然 估計(jì)方法的估計(jì)效果更優(yōu) 2 4 兩參數(shù)w e i b u l l 分布 設(shè)產(chǎn)品壽命 x 0f i d 服從兩參數(shù)w e i b u l l 分布，其分布函數(shù)為： f ( z ；，0 ) = l e x p - ( 丟- ) “ ，x 0 ，其中m o 稱為形狀參數(shù)，0 o 稱為刻度參數(shù) v 現(xiàn)假定有n 個(gè)產(chǎn)品進(jìn)行定數(shù)截?cái)鄩勖囼?yàn)，由于數(shù)據(jù)缺失，我們僅能觀察到k 個(gè)次 序失效數(shù)據(jù)：z ( ) x ( ) 上( ) 預(yù)估計(jì)& ，下面先求趿肌的估計(jì)值 2 4 1 方法一；逆矩估計(jì) 王蓉華、徐曉玲( 1 9 9 6 ) 提出了定數(shù)截?cái)嗳笔?shù)據(jù)下w e i b u l l 分布參數(shù)的逆矩估計(jì)方 法，令： z ( m ) + 1 ) ( 等) ” + 1 ) ( 孚) ” 第1 3 頁(yè)共3 5 面 參數(shù)最小二乘法近似極大似然估計(jì)法 爿 o 9 8 7 5 9 6o 0 3 3 5 0 8 1 0 0 2 7 0 3o 0 0 2 7 9 臼 3 0 4 7 1 3 9o 0 9 6 0 3 53 0 0 9 2 8 7o 0 9 1 4 8 7 石( ) 5 4 4 7 2 4 9 9 95 4 4 7 2 4 9 9 9 x l + ” 5 4 5 6 5 3 7 35 4 5 6 5 3 7 3 & a ( a t = 0 0 2 ) 0 2 6 7 3 3 0 31 3 0 2 6 2 9 3 0 7 5l p l a ( 出= 0 0 0 1 ) 0 9 3 616 5 0 2 20 9 3 5 3 8 8 5 9 2 石( + ”置信區(qū)間 5 4 4 7 2 4 9 9 9 ，5 4 9 2 6 6 4 9 7 8 5 4 4 7 2 4 9 9 9 ，5 4 9 21 0 0 8 2 7 ( 置信度9 5 ) 竺眥 _ 一 一 一 一 珂 一 胛 。日丸百 同 i | r 血口 一 一 一 一 一 。守厶孚，【，厶 閂 可以看出t t ( m ) 的分布與參數(shù)無(wú)關(guān)由此利用m o n t e - - c a r l o 模擬方法易知正) 的期望 值，記其為k 。，令 t z ( m 2 善( 堋等) k ( 等門(mén)= - - ，。z 。( 一川) ( 石品，吖三一)l ：i vvv l - l 可以看出t z ( m ，臼) 的分布與參數(shù)無(wú)關(guān)由此利用m o n t e - - c a r l o 模擬方法易知疋( m ，目) 的 期望值，記其為k 。：，于是利用逆矩估計(jì)思想可得形狀參數(shù)r n 的點(diǎn)估計(jì)m ，即m 為如 下方程的根 正( m ) = k 。 ( 2 4 1 ) 由參考文獻(xiàn) 1 1 知( 2 4 1 ) 有唯一正數(shù)根進(jìn)而可以得到刻度參數(shù)口的點(diǎn)估計(jì)目： 臼a2 東善k ( 叫+ 1 ) ( x i ，薯) ) 1 篇( 2 。2 ) 則代入( 1 3 ) 得： 最：e x p ( n _ r k ) ( 竿) ：一( 每竺炳 ( 2 _ 4 3 ) 丘= ( n 。r k ) ( ) k ( _ 午一) ”】 ( 2 4 3 ) 則。( 。+ 1 ) 的置信度為1 - 口的置信區(qū)間為： x ( ) ，x ( ) + 訂，其中 扯廿6 f ( 1 n a c 拶 屈 以下是一組隨機(jī)模擬的結(jié)果： 取參數(shù)真值0 = m = 1 ，分別對(duì)n = 1 0 ，k = 6 ，= 1 ，3 ，4 ，6 ，8 ，9 ( 稱為情形1 ) ： n = 2 0 ，k = 1 0 ，= 1 ，3 ，4 ，6 ，8 ，9 ，1 2 ，1 6 ，1 8 ，1 9 ( 稱為情形2 ) 兩種場(chǎng)合進(jìn)行了1 0 0 次m o n t e c a r l o 模擬，結(jié)果如表2 4 1 所示( a t = 0 0 2 ) 。表中參數(shù)估計(jì)數(shù)據(jù)為1 0 0 次重復(fù)模擬所 a 得估計(jì)的均值與標(biāo)準(zhǔn)差，并根據(jù)當(dāng)前數(shù)據(jù)及參數(shù)估計(jì)值計(jì)算得到的最 第1 4 頁(yè)，韭3 5 頁(yè) 情形情形l情形2 足 5 4 9 3 6 6 7 9 3 1 1 2 5 9 5 1 9 8 2 3 2 k 。2 5 0 1 2 3 5 3 2 51 1 1 1 9 1 3 4 5 7 均值：1 0 3 1 4 0 2 1 2 3均值：1 0 6 2 4 3 7 0 9 8 口 標(biāo)準(zhǔn)差：0 1 0 6 2 3 8標(biāo)準(zhǔn)差：o 0 7 3 6 8 均值：1 0 1 7 4 l均值：1 0 0 7 5 6 5 m 標(biāo)準(zhǔn)差：o 11 0 2 3 4標(biāo)準(zhǔn)差：o 0 4 6 3 2 1 x ( n ) 1 6 8 0 1 5 0 0 1 72 1 6 1 2 8 6 4 6 4 x ( h + 1 ) 1 7 1 3 1 1 4 5 4 72 9 1 1 1 2 4 5 7 2 只 0 9 8 0 3o 9 8 1 1 l 表2 4 1 從上表可以看出模擬結(jié)果是比較令人滿意的。 2 4 2 方法二：最小二乘法估計(jì) 設(shè)兄= i 0 ，則f ( x ) = p ( x 0 假定最短壽命l 已知“= o 時(shí)，雙參數(shù)指數(shù)分布即一般的單參數(shù)指數(shù)分布 f ( x ；o ) = l e 一。7 9 ，x o ，臼 0 在定數(shù)截?cái)鄩勖囼?yàn)數(shù)據(jù)缺失場(chǎng)合下，我們?nèi) 個(gè)產(chǎn)品參加壽命試驗(yàn)，假設(shè)僅能觀 察到k 個(gè)次序缺失數(shù)據(jù)：x ( n ) 戈( ) x ( 1 ) ( 3 2 1 ) 由于0 是尺度參數(shù)，因此其先驗(yàn)分布可取為無(wú)信息先驗(yàn)分布： 第j 8 頁(yè)，共3 5 頁(yè) 石。( 護(hù)) 4 萬(wàn)1 ，o 口 。 ( 32 3 ) 這是定數(shù)截?cái)鄶?shù)據(jù)場(chǎng)合下口的共軛先驗(yàn)分布當(dāng)超參數(shù)a ：o ，彥：o 時(shí)逆伽瑪分布即為無(wú) 信息先驗(yàn)分布( 3 2 2 ) 先驗(yàn)分布( 3 2 3 ) 中的超參數(shù)口，口可以由歷史數(shù)據(jù)或?qū)＜乙庖?jiàn)確定，也可以根據(jù)工 程經(jīng)驗(yàn)或歷史數(shù)據(jù)給出平均壽命p 的上限先和下限吼，使之滿足 p ( 護(hù) 0 ，記 d ( ，；f ) = i o 7 9 ( o ；a ，f 1 ) l ( to ) a o f ，m ，+ j ( t h t ，) s ( t ) + p + t l m ? + j ( t j 。 =rc口+七一，差善。ct，一簍“(fic：1s。，+k-itim!+j(t,+l-ti)i=0l i = 0 “+ 。 如= o 1 = o j 從而在平方損失下，0 的b a y e s 估計(jì)為 0 = e ( o i t ) = 忙( 曰；口，p ) u of ) 棚弦( 鈾，f 1 ) l ( a t ) d a 010 = d ( 1 ；t ) d ( o ；t ) 則代入( 1 3 ) 得到的b a y e s 估計(jì)為： 最一e x p 礎(chǔ)錙( n 訓(xùn)) p =一，二3 二里( 一以) 3 3 雙參數(shù)指數(shù)分布形狀參數(shù)已知時(shí)& 的近似b a y e s 估計(jì) ( 3 2 4 ) 上節(jié)我們討論了雙參數(shù)指數(shù)分布形狀參數(shù)已知時(shí)& 的b a y e s 估計(jì)，并給出了顯 性表達(dá)式，但其計(jì)算過(guò)程非常復(fù)雜，本節(jié)我們將給出一種近似b a y e s 估計(jì)方法 第2 0 頁(yè)。共3 5 頁(yè) 令。( 。) 一= f ，w r , = f 0 ，i = 1 2 ，k ，則樣本( 3 2 1 ) 的似然函數(shù)變?yōu)?l ( w 1 日) = c o n s t 0 “ 其中m 。= + l 一+ 1 相應(yīng)的對(duì)數(shù)似然函數(shù)為 ( 3 3 1 ) 3 2 中0 的b a y e s 估計(jì)計(jì)算的復(fù)雜性主要是因?yàn)閘 ( x 口) 的形式過(guò)于復(fù)雜，我們這里考 慮它的一種較簡(jiǎn)單的近似 記 ( k ，+ ) = l n ( e 一一e - t ) p 。= 齋，g “一p 。，s t , 一l n g 則是標(biāo)準(zhǔn)指數(shù)分布的n 的分位數(shù) 把函數(shù) ( ，w r j ，) 在( ，s ) 處t a y l o r 展開(kāi)得 帆，w 。嘶。1 。也抄燾+ ( w r ，1 - - f r , , t ) 燾 孝子城( e 一s “) 2 ” = 口，一層+ 以+ 一4 ( 一+ ) 2 + 如 其中，口，= n c 。一a 。+ ，+ ! 衛(wèi)l 塑半一! 旦! ：i 窘 療： 生 一生紐塑紐二! ! 型 i g 一q 1 。( g 。一g 。) 2 ，。= 一，+ 屈，甌。持 余項(xiàng)r 。由下式給出： r。=擊cc一s。，+cw。+s。+，3!墮二：i：i!；：!ii鏟 ( 3 3 2 ) 第2 l 貝共3 5 頁(yè) m 、) 一 e一 一 e ，l 兀 w 、， k 一阼 ，l +w 。h p xe ， 一 e一 口 w p ，l nm 瑚 + w 、j 唯 一 n ，l + 。 一臼n，k fs門(mén)dcn = e n 忽略余項(xiàng)，并代入( 3 3 1 ) 得： 女 k - 1 i n lz i n l = l n c o n s t k l n o 一 w + ( h r d w 。 + z m 。 口。一p , w l 十y 。w + i = ii = 0 因w ，= t ，0 ，對(duì)上式進(jìn)行整理得： 呲舊= c o n s t - k i n 0 + b 口( t ) 一筍 ( 3 3 3 ) 其中，c o n s t 為常數(shù)， k l 占( f ) = 一j ( f ) + m f ( - p , t + m + ，) i = 0 c ( f ) = 6 i ( t 一f ) 2 s ( f ) = t 。+ o - r d t ， 進(jìn)而基于樣本( 3 2 1 ) 的近似似然函數(shù)形式如下： 砌印= c o n s t 曠唧學(xué)一詈) 引理1 ( 王乃生王玲玲2 0 0 1 ) 設(shè)對(duì)于每個(gè)酊= 1 , 2 ，k 1 ) ，存在o 占： + 。 0 = l 第2 3 頁(yè)，共3 5 頁(yè) 顯然一切6 1 都適合這個(gè)要求，且容易算出上述積分值為生t o 蔓) 丁6 一 以d ( b ，c ，d ) 記一分布，其密度函數(shù)為： 魚(yú)生。“口啪叫。一竽 r ( b ) 記f = d ( b ，c ，d ) ：6 1 ，c o ，d 0 定理1 定數(shù)截尾數(shù)據(jù)場(chǎng)合下雙參數(shù)指數(shù)分布的參數(shù)( 口，p ) 的共軛先驗(yàn)分布為 f = d ( b ，c ，d ) ：b 1 ，c 0 ，d o ) 證明：設(shè)( 臼，) 的先驗(yàn)分布為d ( b ，c ，d ) ，其聯(lián)合密度函數(shù)為 枷) = 而b - 1 c 礦一學(xué) 則( 曰，) 的后驗(yàn)概率為： 石c 口，lj r ，。- j ：；i ：孑j 畿 魚(yú)土?！翱趍 叫。竽l 口一r 。一r ?！?： ! 蚴竺二型 f 糕產(chǎn)礦一學(xué)- 南o - , e - r e - w , d 娜 ：! ! ：! ，! ：蘭f c + 丁1 6 + ，一1 口一( 6 + ，一1 ) p 一! ! ! ：! ：! ；二1 1 8 r ( b + ，1 、 ( 3 4 2 ) 即汐，) 的后驗(yàn)分布為d ( 6 + ，c + t ，d + 開(kāi)) ，仍屬于，這證明了，是其共軛先驗(yàn)分布 族 下面求在定數(shù)截尾缺失數(shù)據(jù)場(chǎng)合下，o 的b a y e s 估計(jì) 取( 護(hù)，) 的先驗(yàn)分布為d ( b ，c ，d ) ，則樣本( 3 4 1 ) 的似然函數(shù)為： 第2 4 頁(yè)，共3 5 頁(yè) 嘶 d 竽 扣 一臚 o 婕眵b些目 定確 l ( x f 護(hù)，) = i i _ = = _ i ：_ ：。五而f ，( 工- ) 】1 一p ( 上c n ，) p ( _ 。，) p ( x ( r d ) 一1 1 _ f ( 石( 。) ) r 兀 ，( 工( 叫) ) f ( t ) p 1 ” 一刪鏟 1 - e x p ( _ 皇藝掣n r l - - i 一石l 。跏k + 住_ ( n - r k + 堋 # e x p ( 一等- ) 唧( 一字坩” 令r o = x o = 0 ，m f = + i r 一1 ，i = 0 , 1 ，k 一1 s ( 工) 2 蚤x + o 一_ ) j ( r i ) 則 地舊艫一加e x p 一扣曲叫n - r k + k ) 】 珥k - i f e x p ( 一竽) 一e x p ( 一玉鏟曠 ( 3 4 3 ) j r ( o ，jz ) d ( o ，；6 ，c ；d ) l ( x0 ，) “一半e x p h - 爹( d - n + r k - k ) 珥k - i e x p ( 等) _ e 冊(cè)孚礦r o c e 一掣唧 一詈”m 卅 符i f f i o 溉j 。o ( 砒卅扣x ( n ，0 - - x ( r d m 如刊 。c 0 - ( b _ k - l ) e x p 一弘1 一s 。) 十p 耐一n + 一 - 差莖0 囂( - l p ，e 一萬(wàn)1 c j ix p u ( 飛一x ( r 9 ) + 州，一刪 - 兀( 一1 ) “，e 一石 ，( ) 一) + ??；( z 一) 】 山= 0 一1 = 0l f ；o j “爭(zhēng)篇。 ”扣礦1 ( x p - h 廠) ) + 剛。) + m l x c ，1 】一鈔 小州 硼。“” n ( 一1 ) “c ie 。i h 廠。) + c + s o】一告( d + 一n 一女哪) = 0 j - dl 枷 v9 j 珂”“嘻斟一n 軋唧憎i k - t 噸。，1 一鼬帥 ) e x p 芳簍c d + 一n t 一，”。，) 對(duì)任意，0 ，記 第2 5 頁(yè)，其3 5 頁(yè) d j ) = jj 護(hù)。d ( 口，a ；b , c ；d ) 三( z f 曰，) z 刪p 00 叮爭(zhēng)釜關(guān)氅 _ r ( 小3 ) 長(zhǎng)藝 = 0m 1z o 儼“e x p 一；扎i = 0 慨。， ( _ 1 ) 菇c ；) ( d + - n - k - m 。) 上“ ) + c + s ( j ) + m x “，】 d 目 j 7k - i、一( 6 “一，一3 ) 一z ) + c 十s ( x ) + m 。x l i = 0 j 從而在平方損失下，目的b a y e s 估計(jì)為： ；叫卟) = 器 則t 的b a y e s 估計(jì)為： 最= e x p 一a t 嬲( n 訓(xùn)r k 只= 一虧湍( n 一) ) 3 5 雙參數(shù)指數(shù)分布形狀參數(shù)未知時(shí)最的近似b a y e s 估計(jì) ( 3 4 4 ) ( 3 4 5 ) ( 3 4 6 ) 上節(jié)我們討論了雙參數(shù)指數(shù)分布形狀參數(shù)未知時(shí)最的b a y e s 估計(jì)，并給出了顯 性表達(dá)式，但其計(jì)算過(guò)程較為復(fù)雜，本節(jié)我們將給出一種近似b a y e s 估計(jì)方法 屯= 竿，l f = 1 ，2 ，七 則樣本( 3 4 1 ) 的似然函數(shù)變?yōu)椋?l ( t io ，) = c o n s t 口- t e x p - 杰f 。+ ( n - r d f ?！?n k - i ( g 一一g 一) 嘶 其中 r t 。= 。一r i + 1 ，則相應(yīng)的對(duì)數(shù)似然函數(shù)為： l n 三：l n 淵盯一脅臼叫窆。+ ( n 一咯) f _ + k - i 朋，1 n ( e w _ _ e - t q i ) ( 3 5 1 ) 3 4 中矽的b a y e s 估計(jì)計(jì)算的復(fù)雜性主要是因?yàn)閘 ( x ) 口，) 的形式過(guò)于復(fù)雜，我們 這里考慮它的一種較簡(jiǎn)單的近似 記 ( f ，r ) = l n ( e 。1 一p + 1 ) p 。= 熹，吼_ 1 一以，一l n 吼 則。是標(biāo)準(zhǔn)指數(shù)分布的p 。的分位數(shù)類似3 3 ，將函數(shù)h ( w 。，w 。) 在點(diǎn)( s 。，s 。) 處 t a y l o r 展開(kāi)得： h ( w ，+ ，) = 口，一臼i w r , + ，。w + ，一玩( 一。) 2 + r 。 ( 3 5 2 ) 其中，口。= n ( 。一q 。，) + 1 2 土：警一! ! ! j 等 肛去qq 一毪q 鏟一+ j【一g 。j y - = 一t + 屈，占一2 抬 尺。=三cc一占。，+c+一占。+，3!旦!：；!：i!i；ii：鏟 忽略余項(xiàng)，并代入( 3 5 1 ) 得 l n l l n f t 一l = i n c o n s t k l n o 一 f + ( ”一k y l 】+ z m f 口，一f l , t + y ，t 1 ：，一, 5 i ( f 一f “，) 2 】 f _ ll - 0 因鏟竽，對(duì)上式進(jìn)行整理得 呲b 舊= c o n s t - k i n 0 + b p ( x ) + 字一鏟 ( 3 5 3 ) - 1 其中，c o n s t + 為常數(shù)，占( 石) = 一j ( z ) + ( 一層+ ，工) f = 0 s ( z ) = + o - r 。) x 。， 女一l d = ( n - r k + j ) + 州，6 j = 0 c ( j ) = m ，口( _ 一_ + ) 2 贓| 墊亍仟不( 3 4 1 ) 的j 拄似似然函數(shù)形式如f ： m l e ) = 矽- k e x p f f _ 筍+ 字一鏟 ( 3 1 5 4 ) 在樣本量n 較大的情況下，可以根據(jù)近似似然函數(shù)r 對(duì)參數(shù)做推斷首先利用近似 似然函數(shù)r 求得( 口，) 的近似后驗(yàn)密度為： 萬(wàn)c 目，ix ，石+ c 只盧lx ，2 了7 丟囂；蓋；：薹蕓 - c 儼“) c x p 竽+ 丁( d - d ) p 一鏟 其中，c 為正則化常數(shù)( c 。礦f ，d ( 只彬6 ，c , d ) l ( x i o , , t t d o d f l ) 則可計(jì)算得一的近似后驗(yàn)邊際密度為： 石( el 加c 伊m 2 擊唧 字一筍 “一9 - ( k + b - 2 ) e x p 竽一筍 ( 3 s 5 ) 類似于3 3 ，利用l a p l a c e 近似算法，可以很容易地求出口的近似b a y e s 估計(jì)為： 否= ( 口= 吼t r f l 乒b 2x p 伸( 壚c 】畸一旁一c ( 壩壽一壽) ) 1 + 。( 聆_ 2 ) 】 ( 3 5 6 ) 其中，對(duì)f-o，1，p：c-8(x)+,jc-b(x)2+8c(x)(k+b-2-i) z 【七十b 一2 ) 鏟o 。 k + b - 2 - i + 2 c f ( x ) 證明略 則e r 的近似b a y e s 估計(jì)為： 乓：e x p ( _ f 皇芝型 ( 3 5 7 ) 第2 8 頁(yè)，共3 5 貝 4 1 模型l 第四章定數(shù)截?cái)辔廴緮?shù)據(jù)的討論 模型i ：我們?cè)谟^察隨機(jī)變量x ，時(shí)，受到隨機(jī)變量e 的污染和干擾，事實(shí)上我們 只能觀察到z ，。x 。+ 蟛其中， x 。) 譴d e x p ( ) ， e f 彳e x p ( a 2 ) 且與 z ) 相互獨(dú)立s 亦稱為污染系數(shù)，為一個(gè)很小的數(shù)，可進(jìn)一步假定云玄“1 。 z ( 。，五：) z ( 時(shí)為( z 。，z 2 ，乙) 的順序統(tǒng)計(jì)量，試驗(yàn)在出現(xiàn)第r 個(gè)失效產(chǎn)品時(shí)停止 記總試驗(yàn)時(shí)間為r ：圭z ( ，) + o r ) z ( ，) 則此時(shí)，z 的分布函數(shù)與密度函數(shù)分別為： 哪h 一去e - & z + 纛e 吐“ 1 。d 驊) = 警= 毪曠年叫吐2 “) h l2 根據(jù)鄭祖康、郎春梅、張宏鵬( 2 0 0 1 ) ，2 z 1 的分布函數(shù)為： g ( f ) = p ( 2 丁 1 ) = ( 1 一砉s ) - k 2 r + o ( ) ， 其中k 2 ，( r ) 表示自由度為2 r 的z 2 分布函數(shù) 假設(shè)互，疋，乙為一列歷史數(shù)據(jù)，即過(guò)去試驗(yàn)中的總時(shí)間，r 是當(dāng)前試驗(yàn)的總時(shí)間i 則用矩估計(jì)的方法，我們可以構(gòu)造下面的方程組，從而得到參數(shù)的估計(jì)值 熹嘻b ( 1 一魯?shù)V盤(pán) 熹( 喜私礦川l 一砉礦4 ，( ，+ 1 ) 熹( 豁刪專玎”西( ，+ 駙+ 2 ) 第2 9 頁(yè)共3 5 虹 解此方程組，可得到參數(shù) ，五：及占的矩估計(jì)值 ，五和占 若s ， 已知，a ：未知，則可計(jì)算得 盆：苧! ! ( 4 1 3 ) 1 _ ( 爭(zhēng) 舯于= 熹( 善+ ) 代入( 1 3 ) 及( 4 1 1 ) 可得 a p = 一阜( z ( ，) + m l f e 弧一1 + ( 1 一( 旁”) e 12 7 二再= _ e 唧+ ( 1 一( 鏟弦2 7 ( 4 1 4 ) 下面討論估計(jì)的相合性： 引理1 ：設(shè)g ( 口) = 矗( 以， ；o j j ，仃。) ，從，盯，都是口 的函數(shù)， 為其各變?cè)倪B 續(xù)函數(shù)，則g ( 臼) 的矩估計(jì)g ( 口) = ( 口礦塒- ；塒 ，聊山) 為g ( 口) 的強(qiáng)相合估計(jì)其中a 。為 樣本原點(diǎn)矩，m 。為樣本中心矩 證明：見(jiàn)參考文獻(xiàn) 1 引理2 ：設(shè)未( 屯，矗) ，j ：1 ，p 分別為既( 口) ，七：1 ，p 的相合估計(jì)，假設(shè)函數(shù) e ( y ，y 。) 滿足如下的條件： 1 對(duì)任何n 及x ，x 。，( 自( _ ，x 。) ，g 。( x ”，x 。) ) 落在9 的定義域內(nèi)；對(duì)任何臼o ， ( 蜀( 口) ，g 。夠) ) 落在妒的定義域內(nèi) 2 對(duì)任何口 ，函數(shù)妒在點(diǎn)( 自( 力，g 。p ) ) 處連續(xù) 則妒( 晶，以) ，g ，( 五，) ) 為妒( g 。妒) ，g ，( 卯) 的