2012第二講第二章整數(shù).ppt

第二講第二章整數(shù)（1）,主要內(nèi)容：2.1自然數(shù)的認(rèn)識(shí)2.1.1自然數(shù)的概念2.1.2自然數(shù)的大小2.1.3自然數(shù)的表示2.1.4自然數(shù)的計(jì)數(shù)法2.1.5自然數(shù)表示的相關(guān)知識(shí),教學(xué)目標(biāo)1.掌握自然數(shù)的概念及其表示法；2.了解記數(shù)和計(jì)數(shù)、基數(shù)和序數(shù)的意義和區(qū)別；3.會(huì)正確讀寫(xiě)自然數(shù)；4.理解比較自然數(shù)大小的算理.,小學(xué)數(shù)學(xué)中主要的數(shù)的概念自然數(shù)（奇數(shù)、偶數(shù)、因數(shù)、倍數(shù)、質(zhì)數(shù)、質(zhì)因數(shù)、合數(shù)）分?jǐn)?shù)（真分?jǐn)?shù)、假分?jǐn)?shù)）小數(shù)（純小數(shù)、混（帶）小數(shù)、有限小數(shù)、無(wú)限小數(shù)、循環(huán)小數(shù)、純循環(huán)小數(shù)、混循環(huán)小數(shù)、不循環(huán)小數(shù)）整數(shù)正數(shù)、負(fù)數(shù)都是在有理數(shù)范圍內(nèi)討論的,2.1自然數(shù)的認(rèn)識(shí)2.1.1自然數(shù)的概念1、自然數(shù)的概念及意義小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中的表述：自然數(shù)：用來(lái)表示物體個(gè)數(shù)的0、1、2、3、4、5、6、7、8、9、10叫做自然數(shù)。集合意義下的表述：自然數(shù)：自然數(shù)是一類(lèi)等價(jià)有限集合的標(biāo)記。通俗地說(shuō)，自然數(shù)表示有限集合中元素的個(gè)數(shù)。思考與訓(xùn)練：1.為什么把“0”看作自然數(shù)？最小的偶數(shù)是幾？2.在第一單元中，教材指明研究倍數(shù)與因數(shù)，小學(xué)階段偶數(shù)不研究“0”。如果在測(cè)試的時(shí)候，最小的偶數(shù)是寫(xiě)“2”還是寫(xiě)“0”？3.最小的一位數(shù)是幾？最大的一位數(shù)是幾？,討論1為什么把“0”看作自然數(shù)？最小的一位數(shù)是幾？最小的偶數(shù)是幾？從歷史上看，國(guó)內(nèi)外數(shù)學(xué)界對(duì)于“0”是不是自然數(shù)歷來(lái)是有爭(zhēng)議的，建國(guó)以來(lái)，我國(guó)的中小學(xué)教材一直規(guī)定自然數(shù)不包括“0”.目前，國(guó)外數(shù)學(xué)界大部分都規(guī)定“0”是自然數(shù)。1993年我國(guó)頒布的中華人民共和國(guó)國(guó)家標(biāo)準(zhǔn)（GB31003102-93）量和單位（11-2.9）第311頁(yè)，規(guī)定自然數(shù)包括“0”.把“0”作為一個(gè)自然數(shù)，數(shù)學(xué)家們給出了相應(yīng)的解釋._表示空集我們知道“空集”是集合中一種最主要也是最基本的集合，也是我們?cè)诿枋鲋車(chē)F(xiàn)象時(shí)經(jīng)常用到的集合。把“空集”作為一個(gè)有限集合是很自然的，并且我們很容易理解用“0”來(lái)描述“空集”中所含元素的多少.如果把“0”作為一個(gè)自然數(shù)，那么“所有自然數(shù)”就可以刻畫(huà)“所有的有限集合元素多少”。而如果“所有自然數(shù)”不包括“0”，那么就沒(méi)有自然數(shù)可以表示“空集”所含元素的多少.這是從“自然數(shù)刻畫(huà)有限集合的基數(shù)的基本功能”方面說(shuō)明了把“0”作為自然數(shù)的好處。把零作為自然數(shù)在數(shù)學(xué)上還有很多好處，詳細(xì)可見(jiàn)2005年1期小學(xué)教學(xué)設(shè)計(jì)王尚志教授寫(xiě)的為什么把“0”作為一個(gè)自然數(shù).,討論2在第一單元中，教材指明研究倍數(shù)與因數(shù)，小學(xué)階段偶數(shù)不研究“0”。如果在測(cè)試的時(shí)候，最小的偶數(shù)是寫(xiě)“2”還是寫(xiě)“0”？回答這個(gè)問(wèn)題首先要明確所討論的數(shù)的范圍。在我們的教材這一單元中，已經(jīng)說(shuō)明是在非零的自然數(shù)范圍內(nèi)，這樣最小的偶數(shù)是2。如果在教學(xué)和考試中，首先必須明確在什么范圍內(nèi)，如果在自然數(shù)范圍內(nèi)，最小的偶數(shù)是0。,討論3最小的一位數(shù)是幾?在認(rèn)識(shí)位數(shù)的時(shí)候規(guī)定：一個(gè)數(shù)的最高位不能是0。如：沒(méi)有一個(gè)數(shù)表示為0325，只能是325，是一個(gè)三位數(shù)，最高位上是3，而不說(shuō)0325是一個(gè)四位數(shù)，最高位上是0。由此可見(jiàn)在一位數(shù)中最高為為上也不能是0，那么0根本就不是一個(gè)一位數(shù)。另外如果0是最小的一位數(shù)，那么最小的兩位數(shù)就是00，最小的三位數(shù)就是000而這個(gè)結(jié)論顯然是不對(duì)的。綜上所述0不是一位數(shù)更談不上是最小的一位數(shù)，1是最小的一位數(shù)?！澳?是一個(gè)怎樣的數(shù)呢？”答案：0表示一個(gè)也沒(méi)有，它是最小的自然數(shù)，另外0還表示起點(diǎn)、開(kāi)始.,參考資料：0是最小的自然數(shù)，那么最小的一位數(shù)是“1”還是“0”？在0沒(méi)有歸入自然數(shù)以前大家都很清楚，最小的一位數(shù)是1。那么，現(xiàn)在0也成為自然數(shù)了，最小的一位數(shù)還是1嗎？這是許多教師提出的疑問(wèn)，筆者認(rèn)為最小的一位數(shù)還是1。因?yàn)椋?表示一個(gè)物體也沒(méi)有，在記數(shù)法中是表示空位的一個(gè)符號(hào)，如3005里“0”就分別表示這個(gè)數(shù)的十位、百位、都是空位。這次調(diào)整雖然將“0”劃歸自然數(shù)，然而對(duì)幾位數(shù)的概念并沒(méi)改變。關(guān)于“幾位數(shù)”是這樣定義的“只用一個(gè)有效數(shù)字表示的數(shù)，叫做一位數(shù)，只用兩個(gè)有效數(shù)字，其中左邊第一個(gè)數(shù)字是有效數(shù)字來(lái)表示的數(shù)就叫做兩位數(shù)”假設(shè)0也算作一位數(shù)的話(huà)，那么最小的兩位數(shù)是“10”還是“00”呢？那么最小的三位數(shù)、四位數(shù)又是多少呢？,九年義務(wù)教育六年制小學(xué)數(shù)學(xué)第八冊(cè)教師教學(xué)用書(shū)第98頁(yè)“關(guān)于幾位數(shù)”是這樣敘述的：“通常在自然數(shù)里，含有幾個(gè)數(shù)位的數(shù)，叫做幾位數(shù)。例如，2，含有一個(gè)數(shù)位的數(shù)，叫做一位數(shù)；30含有兩個(gè)數(shù)位的數(shù)，叫做兩位數(shù)；405含有三個(gè)數(shù)位的數(shù)，叫做三位數(shù)但是要注意：一般不說(shuō)0是幾位數(shù)。所謂最大的幾位數(shù)，最小的幾位數(shù)，通常也是在非零自然數(shù)有范圍來(lái)說(shuō)。所以，最大一位數(shù)是9，最小一位數(shù)是1；最大兩位數(shù)是99，最小兩位數(shù)是10；最大三位數(shù)是999，最小三位數(shù)是100”綜上所述，“0”雖然是最小的自然數(shù)，但仍然不能稱(chēng)為“一位數(shù)”，更不能稱(chēng)為最小的一位數(shù),最小的一位數(shù)是1還是0？要回答這個(gè)問(wèn)題須從“位數(shù)”和“數(shù)位”說(shuō)起。位數(shù)是指一個(gè)整數(shù)所占有數(shù)位的個(gè)數(shù)。把占有一個(gè)數(shù)位的數(shù)叫一位數(shù)，占有兩個(gè)數(shù)位的數(shù)叫兩位數(shù)例如，48076是五位數(shù)，因?yàn)樗加形鍌€(gè)數(shù)位，這里“0”占有數(shù)位。0能不能稱(chēng)為一位數(shù)呢？不能。因?yàn)橛洈?shù)法里有個(gè)規(guī)定：一個(gè)數(shù)的最高位不能是0。為什么要這樣規(guī)定呢？因?yàn)槿魶](méi)有這樣的規(guī)定，0就是一位數(shù)，由此可以得出最小的兩位數(shù)是00，最小的三位數(shù)是000，這樣的結(jié)論顯然是不對(duì)的。不僅這樣，若沒(méi)有這樣的規(guī)定，對(duì)一個(gè)數(shù)也就無(wú)法確定它是幾位數(shù)了。例如，15是兩位數(shù)，“015”就變成了三位數(shù)，“0015”就變成了四位數(shù)。這樣，同一個(gè)數(shù)我們可以隨意稱(chēng)它為幾位數(shù)，“位數(shù)”這一概念的存在也就沒(méi)有必要了。因此，一個(gè)數(shù)的最高位不能“0”。也就是說(shuō)，最小的一位數(shù)是1，而不是0。,最初，阿拉伯?dāng)?shù)字中沒(méi)有“0”，經(jīng)過(guò)1000多年后才產(chǎn)生了“0”。沒(méi)有“0”這個(gè)數(shù)字時(shí)，為了表示某一位上一個(gè)計(jì)數(shù)單位也沒(méi)有，就“不寫(xiě)”或“空寫(xiě)”。后來(lái)，印度人在數(shù)字中間加上小點(diǎn)“.”表示空位，又過(guò)了很長(zhǎng)時(shí)間，小點(diǎn)便改“0”。我國(guó)古代用算籌記數(shù)，也采取空位表示零。古書(shū)中缺字常用“”表示，數(shù)字里的空位也用“”表示，以后由于書(shū)寫(xiě)時(shí)常用行書(shū)，“”也就容易寫(xiě)成圓圈了，用“”表示零。,2.1.2自然數(shù)的大小根據(jù)自然數(shù)的集合式定義的含義，自然數(shù)表示的是集合中元素個(gè)數(shù)的多少，因此自然數(shù)的大小是通過(guò)比較集合中元素個(gè)數(shù)的多少來(lái)完成的.一般地，設(shè)自然數(shù)m,n分別表示有限集合A,B的元素的個(gè)數(shù)，那么，（1）當(dāng)集合A與集合B等價(jià)時(shí)，就叫做m等于n，記m=n即若AB,則m=n（2）當(dāng)集A的一個(gè)真子集A/與集B等價(jià)時(shí)，就叫做m大于n，記mn即若A/B,則mn（3）當(dāng)集A與集B的一個(gè)真子集B/等價(jià)時(shí)，就叫做m小于n，記mn即若AB/,則mn這里分別定義了自然數(shù)的三種大小關(guān)系.,2.1.3自然數(shù)的意義:基數(shù)與序數(shù)自然數(shù)列N：自然數(shù)構(gòu)成了一個(gè)非常重要的數(shù)列,這個(gè)數(shù)列具有三個(gè)基本特征：有始、有序、無(wú)限。自然數(shù)的兩重意義：基數(shù)意義與序數(shù)意義基數(shù):表示集合中元素的個(gè)數(shù)。序數(shù):表示某個(gè)有序集合中的每個(gè)元素所占的位置例如：“某單位有二百人參加了第五屆運(yùn)動(dòng)會(huì)。”這里的“二百”是基數(shù)，而“五”是序數(shù)。,數(shù)的觀念具有悠久的歷史，特別是自然數(shù)觀念，其產(chǎn)生當(dāng)在史前時(shí)期，但對(duì)數(shù)系建立嚴(yán)謹(jǐn)?shù)睦碚摶A(chǔ)，卻在19世紀(jì)下半葉才完成。建立自然數(shù)概念通常有基于基數(shù)與基于序數(shù)兩種方法。基于基數(shù)的自然數(shù)概念可溯源于原始人類(lèi)用匹配方法計(jì)數(shù)。古希臘人用小石子記畜群的頭數(shù)或部落的人數(shù)。事實(shí)上，英文calculate（計(jì)算）一詞是從希臘文calculus（石卵）演變來(lái)的。中國(guó)古藉易系辭中說(shuō)：“上古結(jié)繩而治，后世圣人易之以書(shū)契”，這些都是匹配計(jì)數(shù)法的反映。但直至1889年，皮亞諾才建立自然數(shù)序數(shù)理論。自然數(shù)產(chǎn)生于“數(shù)個(gè)數(shù)”?！皵?shù)個(gè)數(shù)”能夠解決兩個(gè)問(wèn)題：已經(jīng)數(shù)過(guò)的總數(shù)是多少；說(shuō)明正在數(shù)的是第幾個(gè)。前者是集合中的基數(shù)概念，后者是集合中的序數(shù)概念。,2.1.4自然數(shù)的表示（命數(shù)法、記數(shù)法、讀數(shù)法）小學(xué)數(shù)學(xué)中自然數(shù)的認(rèn)識(shí)是分布在1-6年級(jí)。主要是1、2、4三個(gè)年級(jí)。是按照數(shù)的大小范圍逐步認(rèn)識(shí)的。1-5的認(rèn)識(shí)、6-10的認(rèn)識(shí)、11-20各數(shù)的認(rèn)識(shí)（1上）100以?xún)?nèi)數(shù)的認(rèn)識(shí)（1下）1000以?xún)?nèi)數(shù)的認(rèn)識(shí)、萬(wàn)以?xún)?nèi)數(shù)的認(rèn)識(shí)（2下）大數(shù)的認(rèn)識(shí)（4上）大數(shù)的讀寫(xiě)和近似（上）主要問(wèn)題形式：數(shù)數(shù)（計(jì)數(shù)）、讀數(shù)、寫(xiě)數(shù)（記數(shù)）,2.1.5自然數(shù)的計(jì)數(shù)法（十進(jìn)制）1.自然數(shù)的命數(shù)法命數(shù)的含義：給自然數(shù)命名，就是計(jì)算事物的個(gè)數(shù)，也就是數(shù)數(shù).數(shù)數(shù)的過(guò)程：把要數(shù)的那個(gè)集合里的元素，與自然數(shù)列里從“一”開(kāi)始的自然數(shù)依次建立起一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系.關(guān)于數(shù)數(shù)的一個(gè)問(wèn)題：對(duì)同一個(gè)集合，數(shù)數(shù)的結(jié)果唯一嗎？（數(shù)數(shù)的結(jié)果和所數(shù)事物的順序有關(guān)嗎？）答：結(jié)果是唯一的，且與順序無(wú)關(guān)例如數(shù)班里學(xué)生的人數(shù)時(shí)，按什么順序數(shù)的結(jié)果是都唯一的.（這是加法交換律的基礎(chǔ)）從數(shù)數(shù)的概念還可以得出兩個(gè)結(jié)論：（1）數(shù)一種事物可以用另一種事物代替，然后再數(shù)，使得的結(jié)果是相同的；（2）只要繼續(xù)有事物可數(shù)，數(shù)數(shù)是永遠(yuǎn)數(shù)不完的.,命數(shù)的基礎(chǔ)：進(jìn)位制滿(mǎn)十進(jìn)一具體方法：分組命名。四個(gè)一組，一個(gè)組稱(chēng)為一級(jí)，常用有三個(gè)級(jí)。第一組，個(gè)級(jí)：個(gè)、十、百、千第二組，萬(wàn)級(jí)：萬(wàn)、十萬(wàn)、百萬(wàn)、千萬(wàn)第三組，億級(jí)：億、十億、百億、千億,計(jì)數(shù)單位：一（個(gè)）、十、百、千、萬(wàn)、十萬(wàn)，每相鄰的兩個(gè)計(jì)數(shù)單位之間的進(jìn)率都是十一（個(gè)）、十、百、千、萬(wàn)、十萬(wàn)等，叫做數(shù)的計(jì)數(shù)單位。10個(gè)一是十，10個(gè)十是一百，10個(gè)一百是一千萬(wàn)，10個(gè)一千是一萬(wàn)，10個(gè)一萬(wàn)是十萬(wàn)，10個(gè)十萬(wàn)是一百萬(wàn)，10個(gè)一百萬(wàn)是一千萬(wàn)，10個(gè)一千萬(wàn)是一億，,2、自然數(shù)的記數(shù)法（寫(xiě)數(shù)）記數(shù)的含義：用符號(hào)表示數(shù)，就是把數(shù)寫(xiě)下來(lái)的意思。記數(shù)的基礎(chǔ)：位值制.數(shù)位順序表,如下表：具體方法：記數(shù)符號(hào)阿拉伯?dāng)?shù)字（個(gè)）順序從高往低寫(xiě)起分級(jí)四位分級(jí),3自然數(shù)的讀數(shù)法讀數(shù)的含義：讀出寫(xiě)出的自然數(shù)讀數(shù)的基礎(chǔ)：計(jì)數(shù)和寫(xiě)數(shù)具體方法：從高往低，四位分級(jí)，注意“”的讀法讀數(shù)分為兩類(lèi)：（）四位和四位以?xún)?nèi)的數(shù)的讀法：從高位起，順著數(shù)位，一位一位讀出來(lái)。例如：讀作“四百八十三”讀作“二千五百九十六”,（）四位以上的數(shù)的讀法：先從右向左四位分級(jí)，再?gòu)母呶黄穑槾巫x出各級(jí)里的數(shù)和它們的級(jí)名。例，讀作“二千四百五十四萬(wàn)，三千六百八十九”，億級(jí)萬(wàn)級(jí)個(gè)級(jí)練習(xí)：用四位分級(jí)法分級(jí)并讀出下例各數(shù)：；,（3）“”的讀法：級(jí)尾的“”不讀。例，,其它數(shù)位上有一個(gè)或連續(xù)幾個(gè)“”都只讀一個(gè)“”例，0000，,思考與訓(xùn)練1在64002780中，個(gè)級(jí)上的數(shù)是（），表示有（）個(gè)（），萬(wàn)級(jí)上的數(shù)是（），表示有（）個(gè)（）。2根據(jù)自然數(shù)中0的讀法，選擇正確答案。3045000503000450040343050003050004500304054000034030050A.一個(gè)0也不讀B.只讀一個(gè)0C.要讀兩個(gè)0,一個(gè)小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)片段,課題用萬(wàn)或億作單位寫(xiě)多位數(shù)教學(xué)內(nèi)容六年制小學(xué)數(shù)學(xué)第七冊(cè)第13頁(yè)。教學(xué)目標(biāo)掌握把整萬(wàn)、整億的數(shù)改寫(xiě)成用萬(wàn)或億作單位的數(shù)的方法，并能正確改寫(xiě)。教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn)掌握改寫(xiě)方法，正確改寫(xiě)。,教學(xué)過(guò)程（一）問(wèn)題情境1小黑板出示光的速度是每秒三十萬(wàn)千米，誰(shuí)能寫(xiě)出這個(gè)數(shù)？（1）學(xué)生通常會(huì)寫(xiě)作每秒300000千米。（2）教師寫(xiě)作“30萬(wàn)千米”。（3）讓學(xué)生讀一讀，兩個(gè)量是否一樣。看一看，兩個(gè)量寫(xiě)法哪個(gè)方便。2導(dǎo)人揭題。為了讀寫(xiě)的方便，我們?？梢园颜f(wàn)、整億的數(shù)改寫(xiě)成用萬(wàn)或億作單位的數(shù)。出示課題：用萬(wàn)或億作單位寫(xiě)多位數(shù)。,（二）嘗試活動(dòng)1出示例6（1），把下列各數(shù)改寫(xiě)成以萬(wàn)作單位的數(shù)：23000040320000（1）學(xué)生嘗試解答。（2）反饋：23000023萬(wàn)403200004032萬(wàn)（3）師生小結(jié)：改寫(xiě)成萬(wàn)作單位的數(shù)，只要去掉個(gè)級(jí)的4個(gè)0，寫(xiě)上萬(wàn)。2例6（2），把下列各數(shù)改寫(xiě)成以?xún)|作單位的數(shù)。3000000001100000000（1）學(xué)生嘗試。（2）學(xué)生歸納方法：改寫(xiě)成用億作單位的數(shù)，只要去掉個(gè)級(jí)和萬(wàn)級(jí)的8個(gè)0，寫(xiě)上億。2.試一試，在括號(hào)里填上適當(dāng)?shù)臄?shù)。54000000（）萬(wàn)70840000（）萬(wàn)500000000（）億2300000000（）億,（三）歸納小結(jié)1回顧例6，小結(jié)改寫(xiě)方法。2提出改寫(xiě)注意點(diǎn)。（1）去掉萬(wàn)級(jí)或億級(jí)后面的而不是去掉末尾所有的0。（2）不要忘記添寫(xiě)級(jí)名“億”或“萬(wàn)”。（四）反饋調(diào)節(jié)1練習(xí)“練一練”第1、2、3題。2在下面里填上或（“練一練”第4題）。184601980299000030000075443763205980000060000000填好后說(shuō)說(shuō)比較方法：（1）位數(shù)多的比位數(shù)少的大。（2）位數(shù)相同，從高位到低位依次比較。,例（教學(xué)片段）萬(wàn)以?xún)?nèi)計(jì)數(shù)單位和和數(shù)位順序。問(wèn)題：萬(wàn)以?xún)?nèi)計(jì)數(shù)單位有哪些？數(shù)位呢？1、最小的自然數(shù)是幾？和99999相鄰的自然數(shù)是幾？2、整數(shù)就是自然數(shù)嗎？3、依次說(shuō)說(shuō)相鄰計(jì)數(shù)單位間的進(jìn)率。,思考與訓(xùn)練1.名詞解釋?zhuān)海?）自然數(shù)的概念；（2）自然數(shù)的基數(shù)意義；（3）自然數(shù)的序數(shù)意義。2.用四位分級(jí)法分級(jí)并寫(xiě)出下例各數(shù)的讀法：10002800600090；1390014006003.辨析：數(shù)與數(shù)字、計(jì)數(shù)與記數(shù)、數(shù)位與位數(shù)、基數(shù)與序數(shù)。,如何借助直觀模型幫助學(xué)生認(rèn)識(shí)十萬(wàn)、百萬(wàn)、千萬(wàn)、億等計(jì)數(shù)單位，以及它們之間的進(jìn)位關(guān)系？在計(jì)數(shù)時(shí)增加直觀模型有什么作用？,對(duì)學(xué)生來(lái)說(shuō)，抽象地比較數(shù)的大小比較困難。因此，教材從一年級(jí)開(kāi)始就有意識(shí)地設(shè)計(jì)了直觀模型，在數(shù)數(shù)中讓學(xué)生經(jīng)歷“數(shù)實(shí)物數(shù)模型撥計(jì)數(shù)器抽象出數(shù)”，在數(shù)的比較中，經(jīng)歷“借助實(shí)物比較模型比較計(jì)數(shù)器比較抽象的數(shù)比較”的過(guò)程，這樣不僅能幫助學(xué)生理解如何進(jìn)行數(shù)