《直線與平面》PPT課件.ppt

畫法幾何,洛陽(yáng)理工學(xué)院土木工程學(xué)院,LuoyangInstituteofScienceandTechnologySchoolofCivilEngineering,DescriptiveGeometry,洛陽(yáng)理工學(xué)院網(wǎng)絡(luò)課程,第5章直線與平面、平面與平面的相對(duì)位置,目錄,概述5.1直線與平面、平面與平面平行5.2直線與平面、平面與平面相交5.3直線與平面、平面與平面垂直,第5章直線與平面、平面與平面的相對(duì)位置,本章講述的是直線與平面、平面與平面的相對(duì)幾何關(guān)系。,直線與平面、平面與平面的相對(duì)幾何關(guān)系有：平行：直線與平面平行平面與平面平行相交：直線與平面相交平面與平面相交垂直：直線與平面垂直平面與平面垂直,5.1直線與平面、平面與平面平行,幾何條件若平面外的一條直線與平面內(nèi)的一條直線平行，則該直線與該平面平行。這是解決直線與平面平行作圖問(wèn)題的依據(jù)。,一、直線與平面平行,有關(guān)線、面平行的作圖問(wèn)題有：判別已知線面是否平行；作直線與已知平面平行；包含已知直線作平面與另一已知直線平行。,a,c,b,m,a,b,c,m,例5-1：過(guò)M點(diǎn)作直線MN平行于平面ABC。,有無(wú)數(shù)解,正平線,例5-2：過(guò)M點(diǎn)作直線MN平行于V面和平面ABC。,c,b,a,m,a,b,c,m,唯一解,例題5-3試判斷直線AB是否平行于定平面,結(jié)論：直線AB不平行于定平面,若一平面上的兩相交直線對(duì)應(yīng)平行于另一平面上的兩相交直線，則這兩平面相互平行。,若兩投影面垂直面相互平行，則它們具有積聚性的那組投影必相互平行。,二、平面與平面平行,兩面平行的作圖問(wèn)題有：判別兩已知平面是否相互平行；過(guò)一點(diǎn)作一平面與已知平面平行；已知兩平面平行，完成其中一平面的所缺投影。,【例5-4】判斷ABC和平面DEFG是否平行。,X,O,c,b,a,a,b,c,d,g,f,f,e,d,e,m,n,n,m,g,例題5-5試判斷兩平面是否平行,結(jié)論：兩平面平行,例題5-6已知定平面由平行兩直線AB和CD給定。試過(guò)點(diǎn)K作一平面平行于已知平面。,5.2直線與平面、平面與平面相交,直線與平面不平行，則一定相交于一點(diǎn)。,平面與平面不平行，則一定交于一直線。,點(diǎn)擊2次,A,B,K,A,B,C,M,N,5.2直線與平面、平面與平面相交,直線與平面相交，其交點(diǎn)是直線與平面的共有點(diǎn)。,兩平面相交其交線為直線，交線是兩平面的共有線，同時(shí)交線上的點(diǎn)都是兩平面的共有點(diǎn)。,另外，在畫法幾何中平面圖形通常被當(dāng)作是不透明的，所以在投影圖中還要表明直線被平面遮擋以及平面與平面互相遮擋的情況，即判斷其投影的可見性。,4-2直線與平面、平面與平面相交,一、直線與平面相交,利用直線或平面的某些投影有積聚性，求交點(diǎn)。,1.直線或平面中至少有一個(gè)處于特殊位置的情況。,5.2直線與平面、平面與平面相交,（1）平面投影具有積聚性交點(diǎn)“一眼可見”,a,b,c,m,n,c,n,b,a,m,例5-7：求直線MN與平面ABC的交點(diǎn)K并判別可見性。,空間及投影分析,平面ABC是一鉛垂面，其水平投影積聚成一條直線，該直線與mn的交點(diǎn)即為K點(diǎn)的水平投影。,求交點(diǎn),判別可見性,由水平投影可知，KN段在平面前，故正面投影上kn為可見。,還可通過(guò)重影點(diǎn)判別可見性。,1(2),作圖,（1）平面投影具有積聚性交點(diǎn)“一眼可見”,a,b,p,a,b,p,k,k,【例5-8】一般位置直線AB與鉛垂面P相交，求作交點(diǎn)K。,可見性判別,O,X,k,m(n),b,m,n,c,b,a,a,c,（2）直線投影有積聚性轉(zhuǎn)化成“面上定點(diǎn)”,空間及投影分析,直線MN為鉛垂線，其水平投影積聚成一個(gè)點(diǎn)，故交點(diǎn)K的水平投影也積聚在該點(diǎn)上。,求交點(diǎn),判別可見性,點(diǎn)位于平面上，在前；點(diǎn)位于MN上，在后。故k2為不可見。,1(2),作圖,用面上取點(diǎn)法,m(n),b,a,c,d,m,a,b,c,n,d,k,k,1,2,12,(),e,e,【例5-8】鉛垂線MN與平面ABCD相交，求作交點(diǎn)K。,可見性判別,X,O,M,N,K,A,B,輔助平面,2.直線與平面都處于一般位置“包線作面”,輔助平面投影面的垂直面,H,A,B,D,F,E,M,N,K,輔助平面法作圖步驟包含已知直線作輔助平面求輔助平面與已知平面的交線求此交線與已知直線的交點(diǎn),1,2,m,n,n,m,b,a,用鉛垂面作輔助面,A,B,D,F,E,M,N,K,d,e,a,b,d,e,f,f,PH,k,k,12,(),利用交錯(cuò)直線的重影點(diǎn)判斷直線各段的可見性:,d,k,m,n,n,m,b,a,用正垂面作輔助面,d,e,a,b,e,f,f,QV,k,3,34,(),4,二、兩平面相交交線為兩平面共有線,1.一般位置平面與特殊位置平面相交,利用積聚性求交線,b,c,f,h,a,e,a,b,c,e,f,h,1(2),空間及投影分析,平面EFH是一水平面，它的正面投影有積聚性。ab與ef的交點(diǎn)m、bc與fh的交點(diǎn)n即為兩個(gè)共有點(diǎn)的正面投影，故mn即MN的正面投影。,求交線,判別可見性,點(diǎn)在FH上，點(diǎn)在BC上，點(diǎn)在上，點(diǎn)在下，故fh可見，n2不可見。,作圖,例5-10：求兩平面的交線MN并判別可見性。,可通過(guò)正面投影直觀地進(jìn)行判別。,a,b,c,d,e,f,c,f,d,b,e,a,m(n),空間及投影分析,平面ABC與DEF都為正垂面，它們的正面投影都積聚成直線。交線必為一條正垂線，只要求得交線上的一個(gè)點(diǎn)便可作出交線的投影。,求交線,判別可見性,作圖,從正面投影上可看出，在交線左側(cè)，平面ABC在上，其水平投影可見。,能!,如何判別？,例5-11：求兩平面的交線MN并判別可見性。,c,d,e,f,a,b,a,b,c,d,e,f,投影分析,N點(diǎn)的水平投影n位于def的外面，說(shuō)明點(diǎn)N位于DEF所確定的平面內(nèi)，但不位于DEF這個(gè)圖形內(nèi)。所以ABC和DEF的交線應(yīng)為MK。,互交,例5-12：求兩平面的交線并判別可見性。,【例5-13】求一般位置平面ABC與鉛垂面Q的交線KL。,a,b,q,a,b,q,c,c,k,l,k,l,O,X,例5-14如圖a所示，作三角形ABC與鉛垂的矩形DEFG的交線，并表明可見性。,(a)已知條件,(b)作圖過(guò)程和作圖結(jié)果,解,作三角形與鉛垂矩形的交線KL。,判斷并表明可見性：在交線之右，三角形在前，矩形在后，正面投影重合處應(yīng)是三角形可見，矩形不可見；在交線之左則相反。,方法1直線與平面求交點(diǎn)方法“包線作面”,2.兩個(gè)一般位置平面相交,求兩平面交線的問(wèn)題可以看作是求兩個(gè)共有點(diǎn)的問(wèn)題,因而可利用求一般位置線面交點(diǎn)的方法找出交線上的兩個(gè)點(diǎn)，將其連線即為兩平面的交線。,m,m,b,c,c,例求平面ABC與平面DEF的交線。,d,a,d,e,a,b,e,f,f,PH,b,c,c,例求平面ABC與平面DEF的交線。,d,a,d,e,a,b,e,f,f,QV,m,m,n,n,2,1,(),n,m,m,n,b,c,c,例求平面ABC與平面DEF的交線。,d,a,d,e,a,b,e,f,f,12,n,m,m,n,b,c,c,例求平面ABC與平面DEF的交線。,d,a,d,e,a,b,e,f,f,3,4,34,(),X,O,PV,m,m,QV,l,l,例求平面ABC與平面DEF的交線。,r,r,s,s,PV,QV,l,k,k,l,b,c,c,d,a,d,e,a,b,e,f,f,g,h,g,h,輔助平面P、Q為特殊位置平面,方法2三面共點(diǎn)法求兩平面交線,例求作平面ABC與一對(duì)平行直線DE、F所確定平面的交線。,V,5.3直線與平面、平面與平面垂直,直線與平面垂直、平面與平面垂直，是相交的特殊情況。,一、直線與平面垂直,一直線如果同時(shí)垂直（含相交垂直和交錯(cuò)垂直）于平面上的相交兩直線，則該直線與平面垂直。,反之，若直線垂直于平面，則該直線垂直于平面上的所有直線，當(dāng)然也包括于平面上的投影面平行線。圖中直線AK垂直于平面P，垂足是點(diǎn)K。過(guò)垂足K在平面P上作水平線BC和正平線DE。則，直線AK垂直于BC和DE。,但根據(jù)直角投影法則，在水平投影中ak應(yīng)垂直于bc或PH；在正面投影中ak應(yīng)垂直于de或PV。結(jié)論：垂直于一平面的直線，其投影垂直于該平面上投影面平行線的相應(yīng)投影，因而也垂直于該平面的同面跡線。,例4-18過(guò)ABC外一點(diǎn)M，作直線MN垂直于該平面。解：作平面內(nèi)的水平線AD和正平線CE，則mn應(yīng)垂直于ad，mn應(yīng)垂直于ce。,例過(guò)M點(diǎn)作直線MN垂直于平面ABCD。,b,c,c,a,a,b,m,m,n,n,d,d,e,e,例過(guò)點(diǎn)K作平面垂直于直線AB。,b,a,a,b,k,k,1,1,2,2,例4-19給定平面ABC，試過(guò)定點(diǎn)M作平面的法線,a,b,c,a,b,c,m,n,n,例4-20平行直線AB、CD確定一平面，直線MN是否垂直于該平面？,c,d,a,b,c,d,m,n,m,n,f,e,f,不垂直！,e,b,a,例4-21已知直線MN及直線外一點(diǎn)A，試過(guò)點(diǎn)A作一平面，使該平面與已知直線MN相垂直，并求出垂足K。解：,如果已知平面是特殊位置平面，則過(guò)已知點(diǎn)所作的垂線也必定是特殊位置直線。例如：,鉛垂面的垂線是水平線,正垂面的垂線是正平線,正平面的垂線是正垂線,例4-23如圖a所示，過(guò)點(diǎn)A作正垂面三角形CDE的垂線AB和垂足B，并確定點(diǎn)A與三角形CDE平面的真實(shí)距離。,(a)已知條件,(b)作圖過(guò)程和作圖結(jié)果,解,如果某平面包含一條垂直于另一平面的直線，則該兩平面互相垂直。,直線KL平面Q，則包含KL直線的所有平面如P1、P2、P3等，都垂直于平面Q。反之，與平面Q垂直的任何平面，如P1，一定包含有與平面Q垂直的直線，如KL。,二、平面與平面垂直,例4-24試過(guò)點(diǎn)M作平面垂直于ABC平面。,2.包含此直線任作一平面，則所作平面必與已知平面垂直。包含直線MN的平面MND、MNE、MNF都垂直于已知平面ABC。,解：1.過(guò)點(diǎn)M作一直線垂直于已知平面（MNABC）。,例4-26如圖a所示，過(guò)點(diǎn)A作一平面，平行于直線BC，垂直于三角形DEF。,(a)已知條件,解,(b)作圖過(guò)程和作圖結(jié)果,分析：按直線與平面平行和兩平面垂直的幾何條件，只要所作的平面既包含過(guò)點(diǎn)A的BC的平行線，又包含過(guò)點(diǎn)A的三角形DEF的垂線，就能滿足題目的要求。,過(guò)點(diǎn)A作AGBC：作agbc，agbc，就作出了AG的兩面投影。,過(guò)點(diǎn)A作AHDEF：作DEF平面上的一條水平線D和一條正平線D。過(guò)a作ahd1，過(guò)a作ahd2，便作出了AH的兩面投影。,兩相交直線AG和AH所確定的平面AGH即為所求。,例4-27如圖a所示，檢驗(yàn)兩三角形ABC與DEF是否垂直。,解,分別在三角形DEF平面上作水平線D和正平線D。,過(guò)b作bg垂直于d2，與ac交得g；由g引投影連線，與ac交得g，連b與g。檢驗(yàn)bg是否與d1垂直：如bg與d1垂直，則在三角形ABC上能作出一條直線BG與三角形DEF相垂直，兩三角形互相垂直；否則，兩三角形不垂直。,結(jié)論：bg垂直于d1，所以檢定了三角形ABC與DEF是互相垂直的。,例過(guò)點(diǎn)K作一平面垂直平面ABCD。,k,k,b,a,a,b,d,c,c,d,1,2,1,2,e,e,例判斷下圖中兩平