泛函分析第七章習(xí)題解答.doc

第七章 習(xí)題解答1設(shè)（X，d）為一度量空間，令 問的閉包是否等于？ 解 不一定。例如離散空間（X，d）。=，而=X。 因此當(dāng)X多于兩點(diǎn)時(shí)，的閉包不等于。2. 設(shè) 是區(qū)間上無限次可微函數(shù)的全體，定義 證明按成度量空間。證明 （1）若=0，則=0，即f=g（2） =d（f，g）+d（g，h）因此按成度量空間。3 設(shè)B是度量空間X中的閉集，證明必有一列開集包含B，而且。證明 令是開集：設(shè)，則存在，使。設(shè)則易驗(yàn)證，這就證明了是 開集 顯然。若則對(duì)每一個(gè)n，有使，因此。因B是閉集，必有，所以。4. 設(shè)d（x，y）為空間X上的距離，證明是X上的距離。證明 （1）若則，必有x=y （2）因而在上是單增函數(shù)，于是=。5. 證明點(diǎn)列按習(xí)題2中距離收斂與的充要條件為的各階導(dǎo)數(shù)在a，b上一致收斂于f的各階導(dǎo)數(shù)。證明 若按習(xí)題2中距離收斂與，即 0 因此對(duì)每個(gè)r，0 ，這樣0 ，即在 a，b 上一致收斂于。 反之，若的（t）各階導(dǎo)數(shù)在a，b上一致收斂于f（t），則任意，存在，使；存在，使當(dāng)時(shí)，max ，取N=max ，當(dāng)nN時(shí)，即0 。6. 設(shè)，證明度量空間中的集f|當(dāng)tB時(shí)f（t）=0為中的閉集，而集A=f|當(dāng)tB時(shí)，|f（t）|a（a0）為開集的充要條件是B為閉集。證明 記E=f|當(dāng)tB時(shí)f（t）=0。設(shè)，按中度量收斂于f，即在a，b上一致收斂于f（t）。設(shè)，則，所以f E，這就證明了E為閉集 充分性。當(dāng)B是閉集時(shí)，設(shè)f A。因f在B上連續(xù)而B是有界閉集，必有，使。設(shè) 。我們證明必有。設(shè)，則若，必有，于是，所以，這樣就證明了A是開集 必要性。設(shè)A是開集，要證明B是閉集，只要證明對(duì)任意若，必有。倘若，則定義。于是對(duì)任意，因此由于A是開集，必有，當(dāng)Ca，b且時(shí)，。定義，n=1，2。則因此當(dāng)時(shí)，。但是，此與的必要條件：對(duì) 任意，有矛盾 因此必有。7. 設(shè)E及F是度量空間中的兩個(gè)集，如果，證明必有不相交開集O及G分別包含E及F。證明 設(shè)。令 則且，事實(shí)上，若，則有，所以存在E中的點(diǎn)x使，F(xiàn)中點(diǎn)y使，于是，此與矛盾。8. 設(shè) Ba，b表示a，b上實(shí)有界函數(shù)全體，對(duì)Ba，b中任意兩元素f，g Ba，b，規(guī)定距離為。證明Ba，b不是可分空間。證明 對(duì)任意a，b，定義則Ba，b，且若， 。 倘若Ba，b是不可分的，則有可數(shù)稠密子集，對(duì)任意a，b，必有某，即。由于a，b上的點(diǎn)的全體是不可數(shù)集。這樣必有某，使，于是此與矛盾，因此Ba，b不是可分空間。9. 設(shè)X是可分距離空間，為X的一個(gè)開覆蓋，即是一族開集，使得對(duì)每個(gè)，有中的開集O，使得，證明必可從中選出可數(shù)個(gè)集組成X的一個(gè)開覆蓋。證明 若，必有，使，因是開集，必有某自然數(shù)n，使。設(shè)是X的可數(shù)稠密子集，于是在中必有某，且。事實(shí)上，若，則所以。這樣我們就證明了對(duì)任意，存在k，n使且存在 任取覆蓋的O，記為是X的可數(shù)覆蓋。10. X為距離空間，A為X中子集，令證明是X上連續(xù)函數(shù)。證明 若對(duì)任意，存在，使。取。則當(dāng)時(shí)，因此。由于x與對(duì)稱性，還可得。于是。這就證明了是X上連續(xù)函數(shù)。11. 設(shè) X為距離空間，是X中不相交的閉集，證明存在開集使得。證明 若，則由于，為閉集，必有，使，令，類似，其中，顯然是開集，且。 倘若，則必有，使。設(shè)。不妨設(shè)，則因此，此與矛盾。這就證明 了。12 . 設(shè) X，Y，Z為三個(gè)度量空間，f是X到Y(jié)中的連續(xù)映射，g是Y到Z中的連續(xù)映射，證明復(fù)合映射是X到Z中的連續(xù)映射。證明 設(shè) G是Z中開集，因g是Y到Z中的連續(xù)映射，所以是Y中開集。又f是X到Y(jié)中的連續(xù)映射，故是X中 的開集。這樣是X中 的開集，這就證明了g。f是X到Z的連續(xù)映射。13. X是度量空間，證明f是連續(xù)映射的充要條件是對(duì)每個(gè)實(shí)數(shù)c，集合和集合都是閉集。證明 設(shè) f是X上連續(xù)的實(shí)函數(shù)，又對(duì)每一實(shí)數(shù)c，G=（c，）是開集，于是 是開集。這樣= 是閉集。同理是閉集。 反之，若對(duì)每個(gè)實(shí)數(shù)c，和都是閉集，則和都是開集。設(shè)G是直線上的開集，則或，其中是G的構(gòu)成區(qū)間。不妨設(shè)于是是開集。因此f是連續(xù)的實(shí)函數(shù)。14. 證明柯西點(diǎn)列是有界點(diǎn)列。證明 設(shè) 是X中的柯西點(diǎn)列。對(duì)10，存在N，使當(dāng)n，m時(shí)，令則對(duì)任意有。因此 是有界點(diǎn)列。15. 證明第一節(jié)中空間S，B（A），以及離散的度量空間都是完備的度量空間。證明 （1）S是完備的度量空間設(shè) 是S中的柯西點(diǎn)列，對(duì)每一個(gè)固定的i，由于，因此對(duì)任意存在，當(dāng)時(shí)，對(duì)此，存在n，m時(shí)，因此，從而。這樣對(duì)固定的i，是柯西點(diǎn)列。設(shè)。令，故有，且對(duì)任意給定，存在，使。存在使時(shí)，。于是當(dāng)時(shí)， +所以按S的距離收斂于x（2）B（A）是完備的度量空間設(shè)是B（A）中的柯西點(diǎn)列，任意，存在N，使當(dāng)n，m時(shí)。這樣對(duì)任意，。因此對(duì)固定的t， 是柯西點(diǎn)列。設(shè)，由于n，m時(shí)，令，得，這樣，于是故x （A），且nN時(shí)，。這就證明了按B（A）中距離收斂于x。（3）離散的度量空間（X，d）是完備的度量空間設(shè)是X中柯西點(diǎn)列，則對(duì)0,存在N，當(dāng)n，m是。特別對(duì)一切nN, ,于是nN是。因此，即（X，d）是完備的度量空間。 16. 證明 與C（0，1的一個(gè)子空間等距同構(gòu)。 證明 若 ，定義， 若，則因此T到到（0，1的子空間的一個(gè)同構(gòu)映射，即到（0，1的一個(gè)子空間等距同構(gòu)。17. 設(shè)F是n維歐幾里得空間的有界閉集，A是F到自身中的映射，并且適合下列條件：對(duì)任何，有。 證明映射A在F中存在唯一的不動(dòng)點(diǎn)。證明 定義F上的函數(shù)f（x）=d（Ax，x）。由于因此f是F上的連續(xù)映射，因F是有界閉集，必有，使。我們先證明，若，則。記，則，于是此與是f的最小值矛盾。故即=若是A的另一個(gè)不動(dòng)點(diǎn)，則，矛盾。18. 設(shè)X為完備度量空間，A是X到X中的映射，記 若，則映射A有唯一不動(dòng)點(diǎn)。證明 因，則必有N，使。這樣對(duì)任意x, X,若x,則 這樣由壓縮映射原理有不動(dòng)點(diǎn)，即=。由于=A=A, A也是的不動(dòng)點(diǎn)。的不動(dòng)點(diǎn)是唯一的，因此= A，即是A的不動(dòng)點(diǎn)。 若x是A的任意一個(gè)不動(dòng)點(diǎn)，即A x= x。于是x=x= A x= x。這樣x也是的不動(dòng)點(diǎn)，由于的不動(dòng)點(diǎn)是唯一的，因此= x。即A的不動(dòng)點(diǎn)也是唯一的。19. 設(shè)A為從完備度量空間X到X中映射，若在開球內(nèi)適合 又A在閉球上連續(xù)，并且證明：A在中有不動(dòng)點(diǎn)。證明 設(shè)=，。則 任給0，存在N，使，這樣若且，有 因此是柯西列。設(shè)，因 因此。這樣。因?yàn)锳在上連續(xù)。，即是A在中的不動(dòng)點(diǎn)。A的不動(dòng)點(diǎn)不一定是唯一的。例如X是離散的度量空間。A是X中的恒等映射。在開球內(nèi)只有一點(diǎn)，自然滿足條件。而，也滿足。但X中每一點(diǎn)皆為A的不動(dòng)點(diǎn)。20. 設(shè) 為一組實(shí)數(shù)，適合條件，其中當(dāng)j=k時(shí)為1 ，否則為0。證明：代數(shù)方程組 對(duì)任意一組固定的，必有唯一的解，。 證明 記定義到內(nèi)的映射T：TX= -AX+X+b。設(shè)X 則 由于1,于是T有唯一不動(dòng)點(diǎn)，即，因此有唯一解。21. 設(shè)表示上右連續(xù)的有界變差函數(shù)全體，其線性運(yùn)算為通常函數(shù)空間中的運(yùn)算。在中定義范數(shù)=,證明是Banach空間。證明 顯然是線性空間。下證是賦范線性空間。1 若，顯然0。若=0，則=0，即=0，且=0。由=0可知在上為常值函數(shù)，于是2 若， 3 若，其中的理由如下：對(duì)任意分劃 因此再證是完備的。設(shè)為中柯西列，對(duì)任意，存在，當(dāng)時(shí)，。于是，。而對(duì)任意，從而這就證明了是上一致收斂的函數(shù)列。設(shè)一致收斂于。由于是上右連續(xù)的函數(shù)，于是對(duì)任意，因?yàn)樵谏弦恢率諗坑凇Ｒ虼思匆嘣谏嫌疫B續(xù)。對(duì)任意，存在，當(dāng)時(shí)，= 對(duì)上的任一分劃，有令， （*） 因此，從而由（*）式及分點(diǎn)的任意性知，從而 即按中范數(shù)收斂于。這樣我們就證明了是完備的賦范線性空間，即空間。22設(shè)是一列空間， 是一列元素，其中，并且這種元素列的全體記成，類似通常數(shù)列的加法和數(shù)乘，在X中引入線性運(yùn)算。若令 證明：當(dāng)時(shí)，X是空間。證明 X顯然是線性空間。 先證X是賦范線性空間。1 若顯然。若，則即對(duì)任意，。于是，從而。2 若， 3 若，則再證X是完備的。設(shè)是X中柯西列，其中 對(duì)任意存在，使當(dāng)時(shí)，即于是對(duì)每一個(gè)固定的是中的柯西列。設(shè)令，由于，因此對(duì)任意，令得 再令得 因此從而，且由知按X的范數(shù)收斂于。由以上證明可知X是空間。證畢。23設(shè)X是賦范線性空間，X*X為兩個(gè)X的笛卡兒乘積空間，對(duì)每個(gè)定義 則X*X成為賦范線性空間。證明X*X到X的映射是連續(xù)映射。 證明 設(shè)則 于是所以，這就證明了是連續(xù)映射。24 設(shè)是實(shí)（復(fù)）數(shù)域，為賦范線性空間，對(duì)每個(gè)，定義證明：為到中的連續(xù)映射。證明 設(shè)同第23題一樣可證 由于收斂，必有，使則因此映射是連續(xù)的。25. 為一切收斂數(shù)列所成的空間，其中的線性運(yùn)算與通常序列空間相同。在中令證明：