《應用統(tǒng)計學》第9章：方差分析

1,第9章 方差分析,2,本章教學目標,了解方差分析可以解決那些實際問題； 了解應用方差分析的基本條件； 掌握方差分析的基本概念及其分析方法； 正確使用 Excel 軟件求解單因素和雙因素方差分析問題及其運行輸出結(jié)果分析. 本章主要內(nèi)容 9.1 方差分析概述 9.2 單因素方差分析 9.3 雙因素方差分析 本章重點：考慮交互作用的雙因素方差分析,3,在生產(chǎn)經(jīng)營管理過程中，通常有很多因素會影響產(chǎn)品的質(zhì)量、產(chǎn)量、銷售量等指標。如農(nóng)作物的產(chǎn)量受品種、肥料、氣候、雨水、光照、土壤、播種量等眾多因素的影響；產(chǎn)品銷售量受品牌、質(zhì)量、價格、促銷手段、競爭產(chǎn)品、顧客偏好、季節(jié)、居民收入水平等眾多因素的影響；化工產(chǎn)品的得率受溫度、壓力、催化劑、原料配比等因素的影響。 因此需要了解： (1)哪些因素會對所研究的指標產(chǎn)生顯著影響； (2)這些影響因素在什么狀況下可以產(chǎn)生最好的結(jié)果。 方差分析就是解決這類問題的一種統(tǒng)計分析方法。,9.1 方差分析概述,4,某大型連鎖超市為研究各種促銷方式的效果，選擇下屬 4 個門店，分別采用不同促銷方式，對包裝食品各進行了4 個月的試驗。 試驗結(jié)果如下：,超市管理部門希望了解： 不同促銷方式對銷售量是否有顯著影響？ 哪種促銷方式的效果最好？,【案例1】哪種促銷方式效果最好？,5,影響某化工廠化工產(chǎn)品得率的主要因素是反應溫度和催化劑種類。 為研究產(chǎn)品的最優(yōu)生產(chǎn)工藝，在其他條件不變的情況下，選擇了四種溫度和三種催化劑，在不同溫度和催化劑的組合下各做了一次試驗，測得結(jié)果如下： 化工產(chǎn)品得率試驗(得率：%),【案例2】如何確定最優(yōu)生產(chǎn)工藝,6,案例 2 要研究的問題,溫度是否對該產(chǎn)品的得率有顯著影響? 若有顯著影響，應將溫度控制在什么范圍內(nèi)可使得率最高? 催化劑是否對該產(chǎn)品的得率有顯著影響? 若有顯著影響，哪種催化劑的效果最好？ 溫度和催化劑的不同組合是否對產(chǎn)品得率有顯著影響？ 如有顯著影響，哪種溫度和催化劑的組合可使得率最高？,7,記 A, B, C 為試驗中狀態(tài)發(fā)生變化的因素， 稱因素在試驗中所取的不同狀態(tài)為水平。 設(shè)因素 A 有 a 個水平，記為 A1, A2, , Aa；因素 B 有 b個水平，記為 B1, B2, , Bb 等。 若試驗中只有一個變動的因素，就稱為單因素試驗； 若有兩個變動的因素，就稱為雙因素試驗； 若有兩個以上的變動因素，則稱為多因素試驗。 二.方差分析的基本假設(shè) 設(shè)因素 A 在水平 Ai 下的某項指標為總體 Xi，則假定 Xi N( i, 2 )， Xi 相互獨立,一. 方差分析的基本概念,8,就是要檢驗原假設(shè) H0：1 = 2 = = a 是否成立。 若拒絕 H0，就說明因素 A 對試驗結(jié)果有顯著影響， 進一步還應確定使效果達到最佳的水平。 若不能拒絕 H0，則說明因素 A 對該項指標無顯著影響，試驗結(jié)果中的差異主要是由其他未加控制的因素和試驗誤差所引起的。 雖然可以用兩兩 t 檢驗法來檢驗各 i 間是否存在顯著差異，但 t 檢驗無法檢驗多個因素間的交互效應，而這正是方差分析要解決的主要問題。,三.方差分析的目的,9,一.基本概念 記水平 Ai 下的 ni 個試驗結(jié)果為 xij ，則 xij = i + ij i = 1, 2, a；j = 1, 2, ni ij N(0, 2 )，且相互獨立 其中 ij 是由各種無法控制的因素引起的隨機誤差。 上式說明，試驗結(jié)果 xij 受到兩方面的影響： 因素 A 的水平 Ai 的均值 i 隨機誤差 ij,9.2 單因子方差分析,10,為一般平均。 稱i = i - ； i = 1, 2, , a,稱,從而要檢驗的原假設(shè)可改寫為： H0：1= 2 = = a = 0,為水平 Ai 的效應，,反映了水平 Xi 的均值與一般平均,的差異。,11,二.方差分析的基本方法,方差分析 的基本思路：,將因素的不同水平和隨機誤差對試驗結(jié)果的影響,進行分離，,并比較兩者中哪一個對試驗結(jié)果 xij 的影,響起主要作用。,若因素的不同水平對試驗結(jié)果 xij 的影響是主要的，,就拒絕 H0，,說明因素 A 對試驗結(jié)果有顯著影響；,若試驗結(jié)果 xij 中的差異主要是由隨機誤差引起的，,就不能拒絕 H0，,說明因素 A 對試驗結(jié)果無顯著影響。,為此，需要對總的偏差平方和進行分解。,12,1.總的偏差平方和,為總的偏差平方和，,它反映了樣本數(shù)據(jù) xij 間總的差,異量的大小。,為便于對 ST 進行分解，,記水平 Ai 下的樣本均值為,13,2. 偏差平方和的分解,其中,反映了各樣本(同一水平)內(nèi)的數(shù)據(jù)差異，,主要是由隨機誤差所引起的，,稱為誤差平方和或組內(nèi)平方和。,反映了各樣本(不同水平)間數(shù)據(jù)的差異，,主要是由因素A的不同水平效應間的差異引起的，,稱為因素,A的平方和 或 組間平方和。,利用 SA 和 Se 之比就可以構(gòu)造出檢驗 H0 的統(tǒng)計量。,14,故在給定水平 下，若 F F (a-1, N-a),可以證明，, F (a-1, N-a),3. 檢驗 H0 的統(tǒng)計量,當 H0 為真時，,統(tǒng)計量,就拒絕 H0，,說明各水平 Ai 的效應間存在顯著差異，,或稱因素 A 的作用是顯著的。,由于 SA /(a-1) 和 Se /(N-a) 分別是組間數(shù)據(jù)和組內(nèi),數(shù)據(jù)的樣本方差，,故稱這種基于檢驗樣本方差比的,方法為方差分析。,15,若 F F0.001(a-1, N-a)，稱因素 A 的作用極高度顯著； 若 F F0.01(a-1, N-a)，稱因素 A 的作用高度顯著； 若 F0.01 (a-1, N-a) F F0.05(a-1, N-a)，稱因素 A 的作用一般顯著； 若 F F0.05(a-1, N-a)，則認為因素 A 的作用不顯著。,單因素方差分析表,三.方差分析表,16,2. 因素 A 的各水平間是否都存在顯著差異？ 這可以通過對各 i 進行兩兩 t 檢驗來確定。 如果存在多個效果最好的水平(它們間并無顯著差異)，就可以有多種最優(yōu)水平可供決策者選擇。,若因素 A 的作用是顯著的，接下來還需要確定： 1. 因素 A 的哪一水平效果最好？,四.進一步的分析,這可以通過求出各,來確定，,它是 i 的優(yōu)良估計。,17,某大型連鎖超市為研究各種促銷方式的效果，選擇下屬4個門店，分別采用不同促銷方式，對包裝食品各進行了4個月的試驗。 試驗結(jié)果如下：,超市管理部門希望了解： 不同促銷方式對銷售量是否有顯著影響？ 哪種促銷方式的效果最好？,【案例1】哪種促銷方式效果最好？,18,可用 Excel 的【工具】“數(shù)據(jù)分析”“方差分析：單因素方差分析”求解單因素方差分析問題。 案例 1 的方差分析表,其中：P-value P 值，為檢驗中達到的顯著性水平， 其含義與 t 檢驗中“P(T=t)單尾”相同。 F crit 在水平 （默認0.05）下拒絕域的臨界值 F。 P-value = 0.00014 0.001 故不同的促銷方式對商品銷售額有極高度顯著影響。,案例 1 分析,19,進一步的分析,由 SPSS 軟件的運行輸出結(jié)果還直接可得到對各 i 的 t 檢驗結(jié)果如下（ =0.05）： 1 2 4 (廣告宣傳) 1 (有獎銷售) 2 (買一送一) 4 * * (特價銷售) 3 * * *,用 Excel 也可得到,由 Excel 或 SPSS 軟件的運行輸出結(jié)果還可得：,20,方差分析結(jié)論：,特價銷售的效果最好，買一送一次之，廣告宣傳和有獎銷售的效果最差，兩者間無顯著差異。,21,在許多情況下，,需要同時分析多個因素對某個指,標的影響。,當試驗中同時有多個因素在變化時，,不僅要考慮,每個因素對試驗指標的影響，,還要考慮各因素不同,水平間的相互搭配對試驗指標的綜合影響。,由各因素的不同水平組合所產(chǎn)生的影響，,稱為因,素間的交互作用。,9.3 雙因子方差分析,22,xij = ij+ij = + i +j + ij,為一般平均,一.不考慮交互作用的雙因素方差分析,1. 無交互作用時的雙因素試驗,設(shè)試驗中有 A, B 兩個變動的因素，,因素 A 取 a 個水平，,因素 B 取 b 個水平。,在 Ai 和 Bj 組合下的試驗效果為總,體 Xij 。,XijN( ij , 2 )， 且相互獨立,i =1, 2, ., a；j =1, 2, ., b,當不考慮交互作用時，,在兩個因素的各水平 Ai 和 Bj,組合下只需分別進行一次試驗，,記試驗結(jié)果為 xij 。,同樣，,稱 i 為因素 A 的水平 Ai 的效應；,j 為因素 B,的水平 Bj 的效應。,并稱,則,23,在無交互作用的雙因素方差分析中，要檢驗的原假設(shè)有以下兩個： H01：1 = 2 = = a = 0 H02：1= 2 = = b = 0 若拒絕 H01，說明因素 A 的作用顯著； 若拒絕 H02，說明因素 B 的作用顯著。,2. 要檢驗的假設(shè),24,與單因素方差分析完全類似地，可將總的偏差平方和 ST 分解為以下三項：,其中 Se 僅反映了隨機誤差引起的數(shù)據(jù)波動，稱為誤差平方和； SA 主要是由因素A各水平效應的不同所產(chǎn)生的差異，稱為因素 A 的平方和或 A 的組間平方和。 SB 主要是由因素 B 各水平效應的不同所產(chǎn)生的差異，稱為因素 B 的平方和或 B 的組間平方和。,3. 偏差平方和的分解,25,當 FA F ( a-1，(a-1)(b-1) ) 時，拒絕 H01； 當 FB F ( b-1，(a-1)(b-1) ) 時，拒絕 H02。,同樣可以證明：當 H01 為真時，統(tǒng)計量, F( a-1, (a-1)(b-1) ),當 H02 為真時，統(tǒng)計量, F(b-1, ( a-1)(b-1) ),4. 檢驗用的統(tǒng)計量,26,無交互作用的雙因素方差分析表,5. 方差分析表,27,影響某化工廠化工產(chǎn)品得率的主要因素是反應溫度和使用的催化劑種類。為研究產(chǎn)品的最優(yōu)生產(chǎn)工藝條件，在其他條件不變的情況下，選擇了四種溫度和三種催化劑，在不同溫度和催化劑的組合下各做了一次試驗，測得結(jié)果如下： 化工產(chǎn)品得率試驗(%),【案例2】如何確定最優(yōu)生產(chǎn)工藝？,28,可用 Excel 【工具】“數(shù)據(jù)分析”“方差分析：無重復雙因素分析”求解無交互作用的雙因素方差分析問題。 案例2的方差分析表,因素 A 的 P-value = 0.743 0.05 因素 B 的 P-valu = 0.49 0.05 故溫度和催化劑對該化工產(chǎn)品的得率都無顯著影響!?,案例 2 分析,29,顯然，很可能是由于未考慮因素間的交互作用，才導致了錯誤的分析結(jié)果。,問題出在哪里？,以上結(jié)論既不符合實際情況，,也違背化學反應的,基本常識。,由本案例的試驗數(shù)據(jù)可以明顯看出，,溫度和催化劑,不同搭配下的得率之間是存在顯著差異的。,30,1. 考慮交互作用時的雙因素試驗 交互效應 記 A, B 間的交互作用為 AB， , i , j 的定義同前。 由于存在交互作用，因此 ij + i + j 稱 ( )ij = ij - - i - j 為 Ai 與 Bj 的交互效應，它反映了兩因素間不同水平的組合對試驗結(jié)果的影響。 因此，總體 Xij 的均值可表示為 ij = + i + j + ( )ij,二.考慮交互作用的雙因素方差分析,31,(2)要檢驗的假設(shè),由于考慮了交互作用，因此要檢驗的原假設(shè)有以下三個： H01：1= 2 = = a = 0 H02：1= 2 = = b = 0 H03：( )ij = 0；對一切 i, j 為檢驗交互作用，就需要在每一 Ai Bj 水平組合下進行重復試驗。 記 xijk 為在 Ai Bj 組合下的第 k 次試驗的結(jié)果。,32,其中 Se , SA , SB 的含義同前； SAB 則主要是由交互效應所引起的差異，稱為 AB 間平方和。,完全類似地，可以將總的偏差平方和 ST 作如下分解：,2.偏差平方和的分解,33,故 H01, H02, H03 的拒絕域分別為： FA F( a-1，ab(n-1) ) FB F( b-1，ab(n-1) ) FAB F( (a-1)(b-1)，ab(n-1) ),當 H02為真時，,同樣可以證明： 當 H01為真時，, F( a-1, ab(n-1) ),當 H03為真時，, F( (a-1)(b-1), ab(n-1) ),F( b-1, ab (n-1) ),3.檢驗用的統(tǒng)計量,34,有交互作用的雙因素方差分析表,4.方差分析表,35,影響某化工廠產(chǎn)品得率的主要因素是反應溫度和使用的催化劑種類。為研究產(chǎn)品的最優(yōu)生產(chǎn)工藝條件，在其他條件不變的情況下，選擇了四種溫度和三種催化劑，在不同溫度和催化劑的組合下各做了兩次試驗，測得結(jié)果如下： 化工產(chǎn)品得率試驗(%),【案例2】如何確定最優(yōu)生產(chǎn)工藝？,36,可用 Excel 【工具】“數(shù)據(jù)分析”“方差分析：可重復雙因素分析” 求解考慮交互作用的雙因素方差分析問題。,方差分析表,重新求解案例2,37,運行結(jié)果分析,因素 A 的 P-value = 0.0298 0.05 因素 B 的 P-value = 0.0043 0.01 交互作用的 P-value = 8.3E-5 0.001 溫度對得率有顯著影響； 催化劑對得率的影響是高度