概率論與數(shù)理統(tǒng)計6講.ppt

概率論與數(shù)理統(tǒng)計 第6講,本文件可從網(wǎng)址 上下載 (單擊ppt講義后選擇概率論講義子目錄),全概率定理和貝葉斯定理,例 市上供應(yīng)燈泡中, 甲廠產(chǎn)品(A)占70%, 乙廠(A )占30%, 甲,乙廠的產(chǎn)品合格率分別為95%, 80%, B表示產(chǎn)品合格, 求總合格率P(B),解 由于B=AB +AB為二互斥事件之和,還可以進一步計算, 如果買到一合格品, 此合格品是甲廠生產(chǎn)的概率P(A|B):,例4 10個考簽中有4個難簽, 3人參加抽簽(不放回), 甲先, 乙次, 丙最后,設(shè)事件A,B,C分別表示甲乙丙各抽到難簽, 求乙抽到難簽的概率P(B),解 利用B=AB +AB, 且 AB 與AB 互斥, 得,從形式上看事件B是比較復(fù)雜的,僅僅使用加法法則或乘法法則無法計算其概率. 于是先將復(fù)雜的事件B分解為較簡單的事件AB與AB; 再將加法法則與乘法法則結(jié)合起來, 計算出需要求的概率. 把這個想法一般化, 得到全概率定理, 又稱全概率公式.,全概率定理 如果事件A1,A2,構(gòu)成一個完備事件組, 并且都具有正概率, 則對任意一事件B有,證 由于A1,A2,兩兩互不相容, 因此, A1B,A2B,也兩兩互不相容. 且,全概率定理的圖形理解,如圖所示, 事件B的面積為B與各個事件Ai相交的面積之和.,用全概率定理來解題的思路, 從試驗的角度考慮問題, 一定是將試驗分為兩步做, 將第一步試驗的各個結(jié)果分為一些完備事件組A1, A2,An, 然后在這每一事件下計算或給出某個事件B發(fā)生的條件概率, 最后用全概率公式綜合,全概率定理解題的思路,例 12個乒乓球都是新球, 每次比賽時取出3個用完后放回, 求第3次比賽時取到的3個球都是新球的概率,解 假設(shè)A0,A1,A2,A3為第一次取到0個,1個,2個,3個新球, 當然, 因為一開始都是新球, 因此第一次只能取到3個新球, 即A3為必然事件, 而A0,A1,A2都是不可能事件. 再假設(shè)B0,B1,B2,B3為第二次取到0個,1個,2個3個新球, 當?shù)诙稳∏虻臅r候, 12個乒乓球中必然有3個舊球, 而B0,B1,B2,B3構(gòu)成完備事件組,并能夠求出它們的概率, 再假設(shè)C3為最后取到3個新球,則針對C3使用全概率公式.,再假設(shè)B0,B1,B2,B3為第二次取到0個,1個,2個3個新球, 當?shù)诙稳∏虻臅r候, 12個乒乓球中必然有3個舊球, 而B0,B1,B2,B3構(gòu)成完備事件組,并能夠求出它們的概率, 再假設(shè)C3為最后取到3個新球,則針對C3使用全概率公式.,則有:,綜合就是,貝葉斯定理 若A1,A2,構(gòu)成一個完備事件組, 并且它們都具有正概率,則對于任何一個概率不為零的事件B, 有,證 由條件概率的定義得,貝葉斯定理解題的題型與全概率定理的題型完全一樣, 只是要求的是一個條件概率, 是在信息論中的重要公式, 即在二次試驗后, 觀察者只能看到最后的結(jié)果事件B, 卻要根據(jù)B來推斷第一步試驗的哪個事件發(fā)生了的條件概率,貝葉斯定理解題的思路,全概率公式和貝葉斯公式可以用表格計算:,例 假定某工廠甲乙丙3個車間生產(chǎn)同一種螺釘, 產(chǎn)量依次占全廠的45%,35%,20%. 如果各車間的次品率依次為4%, 2%, 5%. 現(xiàn)在從待出廠產(chǎn)品中檢查出1個次品, 試判斷它是由甲車間生產(chǎn)的概率,解 設(shè)事件B表示“產(chǎn)品為次品“, A1,A2,A3分別表示“產(chǎn)品為甲,乙,丙車間生產(chǎn)的“, 顯然, A1,A2,A3構(gòu)成一完備事件組. 依題意, 有 P(A1)=45% P(A2)=35% P(A3)=20% P(B|A1)=4% P(B|A2)=2% P(B|A3)=5%,則由貝葉斯公式得,在使用全概率公式和貝葉斯公式的題型中, 關(guān)鍵的一步是要使用一完備事件組, 而最常用的完備事件組,是一事件A與它的逆A構(gòu)成的完備事件組, 這時的全概率與貝葉斯公式為, (應(yīng)在考試前專門將它們記住).,例 假設(shè)在某特定人群中某種疾病的發(fā)病率為p. 對此疾病有一種血檢方法. 如果一個人得了這種病, 則此血檢結(jié)果呈陽性的概率為, 而如果一個人沒這種病化驗卻呈陽性的概率為. 求出當化驗為陽性時,此人得了這種病的概率和沒得這種病的概率.,解 設(shè)A為事件“待檢者患病“, B為事件“試驗結(jié)果陽性“, 則,1987年理工科碩士入學(xué)考試題,有兩個箱子, 第一個箱子有3個白球2個紅球, 第二個箱子有4個白球4個紅球. 現(xiàn)從第1個箱子中隨機地取1個球放到第2個箱子里, 再從第2個箱子中取1個球, 此球是白球的概率為_, 已知上述從第2個箱子中取出的球是白球, 則從第1個箱子中取出的球是白球的概率為_.,解 假設(shè)事件A為從第1個箱子取出的是白球, B為從第2個箱子取出的是白球, 第一步試驗中的 A 與A 構(gòu)成完備事件組, 則,1999年MBA試題,甲盒內(nèi)有紅球4只, 黑球2只, 白球2只; 乙盒內(nèi)有紅球5只, 黑球3只; 丙盒內(nèi)有黑球2只, 白球2只, 從這3只盒的任意一只中取出1只球, 它是紅球的概率是( ) (A) 0.5626 (B) 0.5 (C) 0.45 (D) 0.375 (E) 0.225,解 假設(shè)A1,A2,A3為取到甲,乙,丙盒的事件, 這是第一步試驗的各事件, 構(gòu)成完備事件組. 假設(shè)B為最后取出的是紅球的事件.,則,例6 經(jīng)分析利率下調(diào)的概率為60%, 利率不變的概率為40%. 如利率下調(diào), 股價上漲的概率為80%, 而在利率不變的情況下, 股價上漲的概率為40%. 求股價上漲的概率.,解 記A為事件“利率下調(diào)“, 則A為“利率不變, 記B為事件“股價上漲“. 據(jù)題設(shè)知 P(A)=60%, P(A )=40%, P(B|A)=80%, P( B|A)=40%. 于是 P(B)=P(AB)+P(AB ) =P(A)P(B|A)+P(A )P( B |A ) =0.60.8+0.40.4=0.64.,例7 某商店收進甲廠生產(chǎn)的產(chǎn)品30箱, 乙廠生產(chǎn)的同種產(chǎn)品20箱, 甲廠每箱裝100個, 廢品率為0.06, 乙廠每箱裝120個, 廢品率為0.05, 求: (1) 任取一箱, 從中任取一個為廢品的概率; (2) 若將所有產(chǎn)品開箱混放, 求任取一個為廢品的概率.,解 記事件A,B分別為甲, 乙兩廠的產(chǎn)品, C為廢品, 則 (1),(2),例8 對以往數(shù)據(jù)分析結(jié)果表明, 當機器調(diào)整良好時, 產(chǎn)品的合格率為98%, 而當機器發(fā)生某種故障時, 其合格率為55%. 每天早上機器開動時, 機器調(diào)整良好的概率為95%. 試求已知某日早上第一件產(chǎn)品是合格時, 機器調(diào)整良好的概率是多少?,解 設(shè)A為事件“產(chǎn)品合格“, B為事件“機器調(diào)整良好“. 已知 P(A|B)=0.98, P(A|B)=0.55, P(B)=0.95, P(B)=0.05, 所需求的概率為P(B|A). 則,這就是說, 當生產(chǎn)出第一件產(chǎn)品是合格品時, 此時機器調(diào)整良好的概率為0.97. 這里, 概率0.95是由以往的數(shù)據(jù)分析得到的, 即為先驗概率. 而在得到信息(即生產(chǎn)出的第一件產(chǎn)品為合格品)之后再重新加以修正的概率0.97即為后驗概率. 有了后驗概率我們就能對機器的情況有進一步的了解.,例9 設(shè)某批產(chǎn)品中, 甲, 乙, 丙三廠生產(chǎn)的產(chǎn)品分別占45%, 35%, 20%, 各廠的產(chǎn)品的次品率分別為%4, 2%, 5%, 現(xiàn)從中任取一件 (1) 求取到的是次品的概率; (2) 經(jīng)檢驗發(fā)現(xiàn)取到的產(chǎn)品為次品, 求該產(chǎn)品是甲廠生產(chǎn)的概率.,解 記A1,A2,A3為抽到甲乙丙各廠的產(chǎn)品, B為抽到的是次品. P(A1)=0