復(fù)變函數(shù)與積分變換第2章.ppt

,Ch2 解析函數(shù),1. 復(fù)變函數(shù)的定義 2. 映射的概念 3. 反函數(shù)或逆映射,2.1 復(fù)變函數(shù),復(fù)變函數(shù)的理論基礎(chǔ)是十九世紀(jì)奠定的。 A.L.Cauchy （1789-1866)和K.Weierstrass(1815-1897)分別應(yīng)用積分和級數(shù)研究復(fù)變函數(shù)，G.F.B.Riemann (1826-1866)研究復(fù)變函數(shù)的映照性質(zhì)。他們是這一時期的三位代表人物。經(jīng)過他們的巨大努力，復(fù)變函數(shù)形成了非常系統(tǒng)的理論，且滲透到了數(shù)學(xué)的許多分支，同時，它在熱力學(xué)，流體力學(xué)和電學(xué)等方面也得到了很多的應(yīng)用。 二十世紀(jì)以來，復(fù)變函數(shù)已被廣泛地應(yīng)用在理論物理、彈性理論和天體力學(xué)等方面，與數(shù)學(xué)中其它分支的聯(lián)系也日益密切。,1. 復(fù)變函數(shù)的定義,與實(shí)變函數(shù)定義相類似,定義,分類：,例1,例2,在幾何上， w=f(z)可以看作：,定義域,值域,2. 映射的概念,復(fù)變函數(shù)的幾何意義,以下不再區(qū)分函數(shù)與映射（變換）。,在復(fù)變函數(shù)中,用兩個復(fù)平面上點(diǎn)集之間的 對應(yīng)關(guān)系來表達(dá)兩對變量 x，y與 u，v 之間的對應(yīng)關(guān)系。以便在研究和理解復(fù)變 函數(shù)問題時，可借助于幾何直觀.,復(fù)變函數(shù)的幾何意義是一個映射（變換）,例3,解,關(guān)于實(shí)軸對稱的一個映射,見圖1-11-2,例4,乘法的模與輻角定理,圖1-1,圖1-2,例4,例5、 求下列曲線在映射,下的象,消 x, y 建立 u, v 所滿足的象曲線方程或由兩個實(shí)二元函數(shù)反解解得 x=x (u, v), y=y (u, v）后，代入原象曲線方程即得象曲線方程.,（2）,代入原象曲線方程，得,w平面內(nèi)的一條直線。,3. 反函數(shù)或逆映射,例 設(shè) z=w2 則稱 為z=w2的反函數(shù)或逆映射,為多值函數(shù),2支.,定義 設(shè) w =f (z) 的定義域為E, 值域為G,1. 已知映射w= z3 ，求區(qū)域 0argz 在平面w上的象。,1. 函數(shù)的極限 2. 運(yùn)算性質(zhì) 3.函數(shù)的連續(xù)性,2 復(fù)變函數(shù)的極限與連續(xù)性,1. 函數(shù)的極限,定義,幾何意義: 當(dāng)變點(diǎn)z一旦進(jìn) 入z0 的充分小去 心鄰域時,它的象 點(diǎn)f(z)就落入A的 一個預(yù)先給定的 鄰域中,(1) 定義中, 的方式是任意的.與一 元實(shí)變函數(shù)相比較要求更高.,(2) A是復(fù)數(shù).,2. 運(yùn)算性質(zhì),復(fù)變函數(shù)極限與其實(shí)部和虛部極限的關(guān)系：,定理2.1,(3) 若f(z)在 處有極限,其極限是唯一的.,例1,例2,證 (一),例3,根據(jù)定理2.1可知,證 (二),3.函數(shù)的連續(xù)性,定義2.3,定理2.5,例如,定理2.3,2.4 連續(xù)函數(shù)的和、差、積、商 (分母不為0) 仍為連續(xù)函數(shù); 連續(xù)函數(shù)的復(fù)合函數(shù)仍為連續(xù)函數(shù)。,有界性：有界閉區(qū)域上連續(xù)函數(shù)的最大（?。┠Ｔ?作業(yè),P41 1; 2 (1)(3);3 ;4 ;5,1. 復(fù)變函數(shù)的導(dǎo)數(shù)定義 2. 解析函數(shù)的概念,2.2 解析函數(shù)的概念,一. 復(fù)變函數(shù)的導(dǎo)數(shù),(1)導(dǎo)數(shù)定義,如果w=f(z)在區(qū)域D內(nèi)處處可導(dǎo)，則稱 f (z)在區(qū)域D內(nèi)可導(dǎo)。,例1,解,(1) z0是在平面區(qū)域上以任意方式趨于零。,(2) z=x+iy,z=x+iy, f=f(z+z)-f(z),例2,(2)求導(dǎo)公式與法則, 常數(shù)的導(dǎo)數(shù) c=(a+ib)=0. (zn)=nzn-1 (n是自然數(shù)).,-實(shí)函數(shù)中求導(dǎo)法則的推廣, 設(shè)函數(shù)f (z),g (z) 均可導(dǎo)，則 f (z)g (z) =f (z)g(z)， f (z)g(z) = f (z)g(z) + f (z)g(z),復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù) ( f g(z) =f (w)g(z)， 其中w=g(z)。, 反函數(shù)的導(dǎo)數(shù) ，其中: w=f (z) 與z=h(w)互為單值的反函數(shù)，且h(w)0。,例4 問：函數(shù)f (z)=x+2yi是否可導(dǎo)？,例3,解,解,(1) 復(fù)變函數(shù)在一點(diǎn)處可導(dǎo)，要比實(shí)函數(shù) 在一點(diǎn)處可導(dǎo)要求高得多，也復(fù)雜得 多，這是因為z0是在平面區(qū)域上 以任意方式趨于零的緣故。,(2) 在高等數(shù)學(xué)中要舉出一個處處連續(xù)， 但處處不可導(dǎo)的例題是很困難的, 但在復(fù)變函數(shù)中，卻輕而易舉。,思考題,?,(3)可導(dǎo)與連續(xù),若 w=f (z) 在點(diǎn) z0 處可導(dǎo) w=f (z) 點(diǎn) z0 處連續(xù).,反過來不成立，例如：函數(shù)f (z)=x+2yi在整個平面上處處連續(xù)但處處不可導(dǎo)。,(4) 微分的概念,復(fù)變函數(shù)微分的概念在形式上與一元實(shí)變函數(shù)的微分概念完全一致.,定義,特別地,可微,可導(dǎo),連續(xù),有定義,極限存在,“同生死，共存亡”。,二. 解析函數(shù)的概念,(1) w=f (z) 在 D 內(nèi)解析 在D內(nèi)可導(dǎo)。 (2) 函數(shù)f (z)在 z0 點(diǎn)可導(dǎo)，未必在z0解析。,例5 證明 f (z)=zRez只在z=0處才可導(dǎo)。,證明,例如 (1) w=z2 在整個復(fù)平面處處可導(dǎo)，故是整個復(fù)平面 上的解析函數(shù)；,定理2.6 （1）設(shè)w=f (z)及w=g(z)是區(qū)域D內(nèi)的解析函數(shù)，則 f (z)g(z)，f (z)g(z) 及 f (z) g(z) (g (z)0時)均是D內(nèi)的解析函數(shù)。,(2) w=1/z，除去z=0點(diǎn)外，是整個復(fù)平面上的解析函 數(shù), z=0為它的奇點(diǎn) ；,(3) w=zRez 在整個復(fù)平面上處處不解析(見例5)。,定理 2.6 (2) 設(shè) w=f (h) 在 h 平面上的區(qū)域 G 內(nèi)解析, h=g(z) 在 z 平面上的區(qū)域 D 內(nèi)解析, h=g(z)的函數(shù)值 集合 G，則復(fù)合函數(shù)w=f g(z)在D內(nèi)處處解析。,1. 函數(shù)解析的充要條件 2. 舉例,2.3 函數(shù)可導(dǎo)與解析的充要條件,如果復(fù)變函數(shù) w = f (z) = u(x, y) + iv(x, y)在定義域 D內(nèi)處處可導(dǎo)，則函數(shù) w = f (z) 在 D內(nèi)解析。,本節(jié)從函數(shù) u (x , y) 及 v (x , y) 的可導(dǎo)性，探求 函數(shù)w=f (z) 的可導(dǎo)性，從而給出判別函數(shù)解析的 一個充分必要條件，并給出解析函數(shù)的求導(dǎo)方法。,問題 如何從函數(shù)的實(shí)部與虛部判斷的解析性呢？,稱為Cauchy-Riemann方程(簡稱C-R方程).,定義2.6 對于二元實(shí)函數(shù)u(x,y)，v(x,y),方程,一. 解析函數(shù)的充要條件,記憶,定理2.7 設(shè) f (z) = u (x, y) + iv(x, y)在 D 內(nèi)有定義， 則 f (z)在點(diǎn) z=x+iy D處可導(dǎo)的充要條件是 (1)u(x, y) 和 v(x, y) 在點(diǎn) (x, y ) 可微， (2) u(x, y) 和 v(x, y)滿足Cauchy-Riemann方程,當(dāng)上述條件滿足時,有,證明 （由f (z)的可導(dǎo) C-R方程滿足上面已證！只須證 f (z)的可導(dǎo) 函數(shù) u(x, y)、v(x, y)可微）。,函數(shù) w =f (z)點(diǎn) z可導(dǎo)，即,則 f (z+ z)-f(z)=f (z)z+(z)z (1), 且,u+iv = (a+ib)(x+iy)+(1+i2)(x+iy),=(ax-by+1x-2y) +i(bx+ay+2x+1y),令：f (z+z) - f (z)=u+iv，f (z)= a+ib， (z)=1+i2 故（1）式可寫為,因此 u=ax-by+1x-2y , v=bx+ay+2x+1y,所以u(x, y)，v(x, y)在點(diǎn)(x, y)處可微.,（由函數(shù)u(x,y) ,v (x,y)在點(diǎn)(x,y)處可微及滿足 C-R方程 f (z)在點(diǎn)z=x+iy處可導(dǎo)）,u(x，y)，v(x，y)在(x，y)點(diǎn)可微，即：,定理2.8 函數(shù)f (z)=u(x, y)+iv(x, y)在D內(nèi)解析充要 條件是 u(x, y) 和 v(x, y)在D內(nèi)可微，且 滿足Cauchy-Riemann方程,由此可以看出可導(dǎo)函數(shù)的實(shí)部與虛部有密切的聯(lián)系.當(dāng)一個函數(shù)可導(dǎo)時,僅由其實(shí)部或虛部就可以求出導(dǎo)數(shù)來.,利用該定理同樣可以判斷哪些函數(shù)是不可導(dǎo)的. 其中C-R方程是復(fù)變函數(shù)可導(dǎo)的主要條件。,可導(dǎo)或解析的充分條件,使用時: i) 判別 u(x, y)，v (x, y) 偏導(dǎo)數(shù)的連續(xù)性， ii) 驗證C-R條件.,iii) 求導(dǎo)數(shù)：,前面我們常把復(fù)變函數(shù)看成是兩個實(shí)函數(shù)拼成的, 但是求復(fù)變函數(shù)的導(dǎo)數(shù)時要注意, 并不是兩個實(shí)函數(shù)分別關(guān)于x,y求導(dǎo)簡單拼湊成的.,二. 舉例,例1 判定下列函數(shù)在何處可導(dǎo)，在何處解析：,解 (1) 設(shè)z=x+iy w=x-iy u=x, v= -y 則,解(2) f (z)=ex(cosy +isiny) 則 u=excosy, v= exsiny,僅在點(diǎn)z = 0處滿足C-R條件，故,解 (3) 設(shè)z=x+iy w=x2+y2 u= x2+y2 , v=0 則,解析函數(shù)的判定方法:,例2,證明,參照以上例題可進(jìn)一步證明:,練習(xí) 求證函數(shù),證明 由于在z0處，u(x,y)及v(x,y)都是可微函數(shù)， 且滿足C-R條件：,故函數(shù)w=f (z)在z0處解析，其導(dǎo)數(shù)為,練習(xí):,a=2 , b=-1 , c=-1 , d=2,例4 如果f (z)=u(x, y)+i v(x, y)是一解析函數(shù)， 且f (z)0，那么曲線族u(x, y)=C1， v(x, y)=C2必互相正交，這里C1 、 C2常數(shù).,那么在曲線的交點(diǎn)處，i)uy、 vy 均不為零時， 由隱函數(shù)求導(dǎo)法則知曲線族 u(x, y)=C1， v(x, y)=C2中任一條曲線的斜率分別為,解,利用C-R方程 ux=vy, uy=-vx 有 k1k2=(-ux/uy)(-vx/vy)= -1，即：兩族曲線互相正交.,ii) uy，vy中有一為零時，不妨設(shè)uy=0，則k1=， k2=0（由C-R方程）,即：兩族曲線在交點(diǎn)處的切線一條是水平的，另 一條是鉛直的, 它們?nèi)曰ハ嗾弧?作業(yè),P42 6; 7 (2);8;9(1),1. 指數(shù)函數(shù) 2.對數(shù)函數(shù) 3.乘冪與冪函數(shù) 4. 三角函數(shù)和雙曲函數(shù) 5. 反三角函數(shù)與反雙曲函數(shù),2.3 初等函數(shù),本節(jié)將實(shí)變函數(shù)的一些常用的初等函數(shù)推廣到復(fù)變函數(shù)情形，研究這些初等函數(shù)的性質(zhì)，并說明它的解析性。,內(nèi) 容 簡 介,1.定義2.7 對任何復(fù)數(shù)z=x+iy,用關(guān)系式,2.指數(shù)函數(shù)的基本性質(zhì),一. 指數(shù)函數(shù),這個性質(zhì)是實(shí)變指數(shù)函數(shù)所沒有的。,例1,例2,例3,二. 對數(shù)函數(shù),(1) 對數(shù)的定義,故,例4,特別,(2) 對數(shù)函數(shù)的性質(zhì),見P21例2.3,冪函數(shù)zb,當(dāng)b = n (正整數(shù)),w=z n 在整個復(fù)平面上是單值解析函數(shù),三. 冪函數(shù),除去b為正整數(shù)外,為多值函數(shù)， 當(dāng)b為無理數(shù)或復(fù)數(shù)時，為無窮多值。,乘冪ab,多值,一般為多值,q支,(2)當(dāng)b=1/n(n正整數(shù))時，乘冪ab與a 的 n次根意義一致。,(1)當(dāng)b=n(正整數(shù))時，乘冪ab與a 的n次冪 意義一致。,解,例5,四. 三角函數(shù)和雙曲函數(shù),推廣到復(fù)變數(shù)情形,定義2.10,正弦與余弦函數(shù)的性質(zhì),其它三角函數(shù)的定義,雙曲正弦和雙曲余弦函數(shù)的性質(zhì),1. 反三角函數(shù)的定義,兩端取對數(shù)得,五、反三角函數(shù)和反雙曲函數(shù),